河南省安阳市2021-2022学年高三第二次调研数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2 .第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.九章算术勾股章有一“引葭赴岸”问题“今有饼池径丈，葭生其中，出水两尺，引葭赴岸，适与岸齐，问水深，葭各几何？”，其意思是：有一个直径为一丈的圆柱形水池，池中心生有一颗类似芦苇的植物，露出水面两尺，若把它引向岸边，正好与岸边齐，问水有多深，该植物有多高？其中一丈等于十尺，如图若从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为（）)D.2,a3 4 1-t a n72 .已知 sina-2 cosa=1,a e（TT,）,则-=（2 1 ，a1 +tan 21 1A.-B.2 C.一223.已知 a=log3 74,b=log,m,c=|,若 a b c,则正数加可 以 为（）A.4 B.2 3 C.8 D.174.设集合A、3是全集U的两个子集，贝！是“4 0。/=0 的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充要条件 D.既不充分也不必要条件5.在平面直角坐标系中，经过点P（20，-0）,渐近线方程为y=&x的双曲线的标准方 程 为（）A.-=1 1 5.-=1 C.-=1 U.-=14 2 7 14 3 6 14 76.已知定义在R上的函数/。)=犷2凶，a=/(log3V5),Z 7 =-/(lo g3l),c=/(ln 3),则a,b,c的大小关系 为（）A.c b aB.b c aC.abcD.c a h7.设石,入2为/（x）=6 s i n 5-c o s 5（690）的两个零点，且|%-百 的 最 小 值 为1,则二（）71 71 71A.4 B.C.D.2 3 48.九章算术“少广”算法中有这样一个数的序列：列出“全步”（整数部分）及诸分子分母，以最下面的分母遍乘各分子和“全步”，各自以分母去约其分子，将所得能通分之分数进行通分约简，又用最下面的分母去遍乘诸（未通者）分子和以通之数，逐个照此同样方法，直至全部为整数，例如：=2及=3时，如图：)记S为每个序列中最后一列数之和，则S6为（A.147B.294C.882D.17649.如图是来自古希腊数学家希波克拉底所研究的几何图形，此图由三个半圆构成，三个半圆的直径分别为直角三角形A8C的斜边B C,直 角 边 很AC.已 知 以 直 角 边 公 即 为 直 径 的 半 圆 的 面 积 之 比 若，记加。=-则。吐=c92 512B.25C.4I).-53510.如图所示，为了测量A、8两座岛屿间的距离，小船从初始位置C出发，已知A在C的北偏西45。的方向上，B在C的北偏东15的方向上，现在船往东开2百海里到达E处，此时测得8在E的北偏西30。的方向上，再开回。处,由C向西开2#百海里到达。处，测得A在。的北偏东22.5。的方向上，则A、8两座岛屿间的距离为（）AA.3 B.372 C.4 D.4721 1 .已知实数0a a bC.lnalnhB.ac2 b c2D.5（夕1 2 .已知函数f（x）=J 若函数y =/（x）的图象恒在X 轴的上方，则实数。的取值范围为（）a二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共 2 0 分。2 x 1,则/（/（2）=1 4 .由于受到网络电商的冲击，某品牌的洗衣机在线下的销售受到影响，承受了一定的经济损失，现将A地区2 0 0 家实体店该品牌洗衣机的月经济损失统计如图所示，估算月经济损失的平均数为加，中位数为“，则 机-=.1 5 .等边AABC的边长为2,则 而 在 而 方 向 上 的 投 影 为1 6 .已知向量互=（2,-6）,b=（3,tn）,若:+,=k 一闸,则机=.三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .（1 2 分）在直角坐标系x O y 中，以坐标原点为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系；曲线G 的普通方程为（X-1）2+/=1,曲线C 2 的参数方程为 0）分别与曲线G 和 C 2 相交于4,8两点，求H8|的值.618.(12分)团购已成为时下商家和顾客均非常青睐的一种省钱、高校的消费方式，不少商家同时加入多家团购网.现恰有三个团购网站在A 市开展了团购业务，A 市某调查公司为调查这三家团购网站在本市的开展情况，从本市已加入了团购网站的商家中随机地抽取了 50家进行调查，他们加入这三家团购网站的情况如下图所示.所加入的团购网站数量(单位:个)(1)从所调查的50家商家中任选两家，求他们加入团购网站的数量不相等的概率；(2)从所调查的50家商家中任取两家，用&表示这两家商家参加的团购网站数量之差的绝对值，求随机变量J 的分布列和数学期望；(3)将频率视为概率，现从A 市随机抽取3 家已加入团购网站的商家，记其中恰好加入了两个团购网站的商家数为，试 求 事 件 2 2”的概率.19.(12分)已知抛物线G：f=2y(p 0)和圆C2：(x+l +y 2=2,倾斜角为45。的直线4过抛物线G 的焦点，且 4与 圆 相 切.(1)求 P 的值；(2)动点用在抛物线G 的准线上，动点A 在 G 上，若 G 在A点处的切线4 交 轴于点8,设 丽=庇+丽.求证点N 在定直线上，并求该定直线的方程.20.(12分)已 知 AASC三内角A、B、。所对边的长分别为a,b,c,且 3s加?A+3s加25=4$加 As加3+3s加2c.(1)求cosC的值；(2)若 a=3,c=6，求A A 5C 的面积.21.(12 分)AABC1中，内角 4 B,C 的对边分别为。、b、c,2a+c=2AosC.(1)求 8 的大小；(2)若。=3,且 G 为AABC的重心，且|旃卜平，求AABC的面积.孔222.(10 分)数 列 满足 q +2a2+3%I-/14=2 m一.(1)求数列 4 的通项公式；d 2(2)设 a =(+q)j +q,j，为 2的前项和，求证：Tn-.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.C【解析】由题意知：B C =2,B C =5,设4C=x,则AB=AB=x+2,在RtACB中，列勾股方程可解得工，然后由Xp=得出答案.x+2【详解】解：由题意知：B C =2,B C=5,设AC=x,则AB=AB=x+2,?!在RSACB中，列勾股方程得：52+%2=(%+2)解得=一2 1Y A 2 1所以从该葭上随机取一点，则该点取自水下的概率为P=;=万=x+2 2 1+2 2 94故选C.【点睛】本题考查了几何概型中的长度型，属于基础题.2.B【解析】结合siV a+cos2 a=1求得sina,cosc的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详解】sin a-2 cosa=1 3万 3 4由.2 2 ,，以及a e(乃,丁)，解得sina=一二,cosa=一 二.sin-a+cos-a =1 2 5 5a214 al-t a n 2i a1 +t a n 2acos 2.asinl+xacos 222a.acos+sin 22a.acos-sin 2 2a.acos-sin2 22a.acos+sin221 g a.al-2 cossin2 22 a .2 acos-sin-一221 +51 -sin a=-2.cos a45故选：B【点 睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.3.C【解 析】首先根据对数函数的性质求出。的取值范围，再代入验证即可;【详 解】解：,.3 =log3 2 7 g3 7 4 A 1 8 .【点 睛】本题考查集合关系及充要条件，注意数形结合方法的应用，属于基础题.5.B【解析】根据所求双曲线的渐近线方程为y =&x,可设所求双曲线的标准方程为2 x 2-y 2=k.再把点(20,-代入，求 得k的值，可得要求的双曲线的方程.【详解】.双曲线的渐近线方程为y =J Ix,.设所求双曲线的标准方程为2 x 2-y 2=k.又(2夜,在 双 曲 线 上，则2 2k=16-2=14,即双曲线的方程为2 x?y 2 =1 4,.双曲线的标准方程为上 一 上=17 1 4故选：B【点睛】本题主要考查用待定系数法求双曲线的方程，双曲线的定义和标准方程，以及双曲线的简单性质的应用，属于基础题.6.D【解析】先判断函数在x0时的单调性，可以判断出函数是奇函数，利用奇函数的性质可以得到方=/Qog3 2),比较1。8 3 6,1。8 3 2,1 1 1 3三个数的大小，然后根据函数在x ()时的单调性，比 较 出 三 个 数 的 大 小.【详解】当x ()时，/(x)=x-2W=x-2A=/(x)=2 +x-ln2-2v 0,函数/(x)在x0时，是增函数.因为于(x)=-X-2H=-r 2 =-f(x),所以函数/(%)是奇函数，所以有。=-/(log31)=/(-log31)=/(log3 2),因为In3 l log3石 k)g3 2 0,函数/*)在x 0时，是增函数，所以c ab,故本题选D.【点睛】本题考查了利用函数的单调性判断函数值大小问题，判断出函数的奇偶性、单调性是解题的关键.7.A【解析】7T先化简已知得/(x)=2 sin(松-),再根据题意得出f (x)的最小值正周期T为1 x 2,再求出3的值.6【详解】7T由 题 得/(幻=2 sin(松-7)，设 Xi,X2为 f（x）=2sin（ox-（o 0）的两个零点，且后一日的最小值为6一.4=1,解得 T=2；2 红.2 一 4,（D解 得 =2 6,又因为一所以BC=2啦走=娓，sin/BEC sm NCBE 2所以 AB=VAC2+BC2-2AC-BC-cos ZACB=不24+6-2x2&x&x g =3血.故选：B.【点睛】本题考查解三角形中的角度问题，难度一般.理解方向角的概念以及活用正、余弦定理是解答问题的关键.11.C【解析】A 8利用不等式性质可判断，C、。利用对数函数和指数函数的单调性判断.【详解】解：对于A i,实数0 a 0在（0,+。）上恒成立.即 X，即函数 的图象在直线y=xa a a上方，先求出两者相切时a的值，然后根据。变化时，函数y=交的变化趋势，从而得。的范围.a【详解】由题2 x 0在（0,+纥）上恒成立.即 x,a ay=J的图象永远在y=x的上方，axJ设,=土 与y=x的切点（毛,为）,贝！j a,解得q =e,a ea一=尤0a易知。越小，y=巳图象越靠上，所以0 ax2+y2-2JC=0由 0?=2 +y:x =/7cos 0,y-psin 0所以曲线q的极坐标方程为。-2 cos8=0,曲线C2的普通方程为2/+3V _ 6=0则曲线G的极坐标方程为2 cos?6+3夕2 sin?6-6=0(H)令6=1(夕 0),则A,),则 cos2-+sin2-6 =0,即=2 4,_ 6 _ 6所以|C 8|=2=手，|O A|=8=2COS/=5?/7故I AB|=|0A|0 B|=6 望.【点睛】本题考查极坐标方程和参数方程与直角坐标方程的转化，以及极坐标方程中P的几何意义，属基础题.2 918.(1);(2)从而&的分布列为49012P2 0492 5494492 0 2 5 4 33 1()=0 x +lx +2 x=；(3)49 49 49 49 2【解析】(1)运用概率的计算公式求概率分布，再运用数学期望公式进行求解；(2)借助题设条件运用贝努力公式进行分析求解:(1)记所选取额两家商家加入团购网站的数量相等为事件A,则2+2 2 2 0 noP(A)=5 J一-=茄，所以他们加入团购网站的数量不相等的概率为1-尸(=.(2)由题，知J的可能取值分别为0,1,2P偌=0)=C；+o 2 0蓝 一 而p(=l)GG+G 2 549rc 4P(D=当1=2)C；o 49从而J的分布列为012p2 0492 549449E(力Ox也+lx +2*1=史.,49 49 49 49(3)所调查的50家商家中加入了两个团购网站的商家有25家，将频率视为概率，则从A 市中任取一家加入团购网站的商家，他同时加入了两个团购网站的概率为尸=|=1，所以 所以事件“2 2”的概率为DU N 、乙)P(=2)+P(”3)=叱 -扑 叱419.(1)，=6；(2)点 N 在定直线y=3上.【解析】（1）设出直线4 的方程为y=x+5,由直线和圆相切的条件：d=r,解得P；（2）设出仞（町-3）,运用导数求得切线的斜率，求得A 为切点的切线方程，再由向量的坐标表示，可得N 在定直线上；【详解】解：依题意设直线4 的方程为丫=+勺由已知得：圆G：（x +l）2+y 2=2 的圆心C2（-l,0）,半径r =J 5，因为直线4 与圆G 相切，所以圆心到直线4：y=x+5的距离-1+4d=/2=&,即=&,解得=6或。=一2 （舍去）.所以，=6；（2）依 题 意 设（见-3）,由（1）知抛物线q 方程为f =i2 y,所以y=W，所以设则以A 为切点的切线/,的斜率为/=31 2 6 6所以切线/，的方程为？=人（犬-占）+乂 .6令 x =0,丫=一1 占2+y=：*1 2%+乂 =一%，即/，交）轴于3点坐标为（0,-乂），6 6所以 K 4 =（X-九乂+3）,MB=（-m,-yt+3）,/.MN=MA+MB=（占一2m,6）,ON=OM+MN=（xt-m,3）.设 N 点坐标为（x,y）,贝!y=3,所以点N 在定直线y=3 上.【点睛】本题考查抛物线的方程和性质，直线与圆的位置关系的判断，考查直线方程和圆方程的运用，以及切线方程的求法,考查化简整理的运算能力，属于综合题.2 0.(1)-；(2)或 或 豆I.3 2 2【解 析】(1)利用正弦定理对已知代数式化简，根据余弦定理求解余弦值;(2)根 据 余 弦 定 理 求 出5=1或8=3,结合面积公式求解.【详 解】4(1)已知等式 3 s i“2 A+3 s i2 8=4s 加A s i”8+3 s i2 c,利用正弦定理化简得：3a2+3b2-3c2=4ab,BP a2+b2-c2=ab,3：.cosCa +b C=-2ab3(2)把=3,c=y/6 9 代入 3。2+3 -3 c2=4。5得：5=1 或力=3,2-cosC=-9 C为三角形内角，sinC=Jl -co s 2 c=，3:.SA ABC=-absinC=-x 3xb x b,2 2 3 2则A A B C的 面 积 为 或 土 叵.2 2【点 睛】此题考查利用正余弦定理求解三角形，关键在于熟练掌握正弦定理进行边角互化，利用余弦定理求解边长，根据面积公式求解面积.O 1小 2 1 5 G2 1.(1)兀；(2)3 4【解 析】(1)利用正弦定理，转 化27+c=c o s C为2 s in B+C+s in C=2 s in fit o s C,分析运算即得解；(2)由G为 A6 C的重心，得至U3的=丽+觉，平 方 可 得 解c,由面积公式即得解.【详 解】(1)由2。+c=2 Z?co s C,由正弦定理得2 s in A+s in C=2 s in Bco s C,即 2 s in(B+C)+s in C=2 s in BCo s C二 2 co s Bs in C+s in C=0V sinC H 0；cosB,2又BeO,7i/.B=一 7t3(2)由 于G为的重心故3时=函+配,.,-9|BG|2=c2+32+2 xcx3cos=19解 得c=5或c=-2舍AA B C 的面积为 SvABC=|acsinB=今 后【点 睛】本题考查了正弦定理和余弦定理的综合应用，考查了学生综合分析，转化划归，数学运算的能力，属于中档题.2 2.(1)(2)证明见解析【解 析】(1)利 用S“与%的 关 系 即 可 求 解.(2)利用裂项求和法即可求解.【详 解】3 1解析：(1)当九=1时，q=2 =；2 2当 心2 =2一 苫 一(2 一 段)与,可 得 区,=5 又 .当=1时也成立，.%=%；1T(2,+1)(_20 _2,+|+1)(2 +1 2+1)-1-1-1-2 +1 22+1 22+1 23+1 2+11 1 2 2 2-=-一3 2+l+1)3 2,+|+1 3【点 睛】本题主要考查了 s“与明的关系、裂项求和法，属于基础题.