吉林省长春市2021-2022学年高一下学期期末数学试题【含答案】.pdf

吉林省长春市2021-2022学年高一下学期期末数学试题题号一二三四总分得分注意事项：1.答题前填写好自己的姓名、班级、考号等信息2.请将答案正确填写在答题卡上评卷人 得分-一、单选题1.复数z=l-2/的虚部为()A.1 B.i C.-2 D.-2i2.设。，人 为两条不同的直线，夕为两个不同的平面，则下列结论正确的是()A.若b/a ,则a/aB.若。6,a l i a,b l i p,则 a/?-TC.若4,6,a V a,b/，则a ,B D.若 a a,b!a ,则 a_L 反3.如图，是水平放置的A/O B的直观图，但部分图象被茶渍覆盖，已知。为坐标原点，顶点/、均 在坐标轴上，且2UO8的面积为1 2,则 8 的长度为()A.1 B.2 C.3 D.44.若圆锥的轴截面为等腰直角三角形，且直角边长为血，则该圆锥的侧面积为()A.兀 B.五 K C.2兀 D.2亚兀一(m =a,cos 5.在A/5 C 中，角 4&C 的对边分别为a,6,c,已知三个向量 1 2 人G =L，cosO,，=jc,cosC）I 2 J I 2 J 共线，则A/8 C 的形状为（）A.等边三角形 B.钝角三角形nC.有一个角是的直角三角形 D.等腰直角三角形6.关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（）A.某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查B.为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为6 3,则样本容量为135C.若甲、乙两组数据的标准差满足际不$则可以估计乙比甲更稳定D.若数据不，、3”小”的平均数为亍，则 数 据 乃=，-6。=1,2,3 一,）的平均数为d x-b7.设复数4*2 满足=员|=2,4+2 2=6-*则区 卜（）A.百 B.2 C.2&D.2 G8.如图所示，/8 8-Z/8/G。是长方体，。是 8/。/的中点，直线小C 交平面48/于点M,则下列结论正确的是（）A.A,M,。三点共线C.A,M,C,。不共面评卷人 得分-二、多选题B.A,M,O,小不共面D.B,B,O,M 共面9.设 是已知的平面向量，向量”，K c在同一平面内且两两不共线，下列说法正确的是（)A.给定向量否，总存在向量乙使B.给定向量刃和人总存在实数义和，使 =4+）;C.给定单位向量否和正数，总存在单位向量1 和实数%,使 =%+）；D.若W=2,存在单位向量萌和正实数4，使 =+则 210.对于角4 B,C 的对边分别为a,6,c,有如下判断，其中正确的判断是（）A.若力 B,则 siMsinBB.若a 6,则cos24cos28C.若a=8,c=10,8=6 0,则符合条件的“8C 有两个D.若sin?/+sin。8 =旧 圈,/B A D =45D i G夕 y-证明：BD 4；证明：4 4 /平面8cM.18.已知乌，02为不共线的(1)求2 的值；在 S。),陪对这两个条件中任选一个，补充在下面的横线上并解问题：若,分别求0 和e2的坐标.(注：如果选择两个条件分别解答，按第一个解答计分)19.从某校高一年级新生中随机抽取一个容量为2 0 的身高样本，数据如下(单位:cm,数据间无大小顺序要求）：152,155,158,164,164,165,165,165,166,167,168,168,169,170,170,170,171,x,174,175.(1)若x 为这组数据的一个众数，求x 的取值集合；(2)若样本数据的第90百分位数是1 7 3,求x 的值；(3)若x=*4,试估计该校高一年级新生的平均身高.2 0.如图，在四棱锥中，底面Z8CZ)为正方形，R41底面ABCD,PA=AB=4,E 为尸8 的中点，F 为线段5 c 上的点，Ji BF=4 BC.(1)求证：平面/E F 1平面P8C；(2)求点F到平面PCD的距离.T FZCDA=-62 1.如图，在A/B C中，A C 1B C.延长8 4到。，使得“。=2,且(1)若40=/，求AO8C的面积：(2)当/C =花+，故 B 正确.对 C,给定单位向量1 和正数，总存在单位向量工和实数孔 使 =花+4 工，当 分解到方向的向量长度大于时，向量没办法按瓦工分解，所以C 不正确.对 D,存在单位向量、和 正 实 数 ，由于 =4+，向量口工的模为1,由三角形的三边关系可得工+2,所 以D成立.故选：ABD10.ABD【分析】利用正、余弦定理、倍角公式以及三角形的一些结论进行判断求解.【详解】a _ b对于选项A,若 4 B ,则”b,由正弦定理sin/T sin 8 有：siivl si nB,故 A 正确；a b对于选项B,若 则 由 正 弦 定 理 sin/sinB有：siivf sin5 0,所以l-2sin2/l l-2 sin25,即cos2/cos28,故 B 正确;对于选项C,若=8,c=10,8=60,显然三角形的一个内角及两邻边确定，则符合条件的 Z8C 只一个，故 C 错误；对于选项D,若s in J +s in v s in C,由正弦定理有：a2+h2c2t由余弦定理可知，a2+b2-c2 Acos C=-3 d M，所以/小旦亚 展 小。2旦也 4 3,故 0 Q 2 1 -2 4,所以3 3 4 2，当且仅当以4=4 时取等号,故选项D正确.故选:ABD与球有关的问题解题关键是找球心和半径，求半径的方法有：公式法；多面体几何性质法；补形法；（寻求轴截面圆半径法；确定球心位置法.13.-l+i#i-l【分析】利用复数的运算进行化简即可.【详 解】=2i _ 2i(l+i).iz(l-i)=0 +i)2=2 i,则“1-i(l-i)(l+i),故T +i14.2【分 析】由向量的线性运算结合数量积的定义及运算律求解即可.【详 解】石,丽=(而+诙)四+=方+g可.叵+而)=-DA-D A-D C+-D C2=-4-x 2 x 4 x-+-x 6 =22 2 2 2 2故2.15.2布【详 解】6x x42 x4-9/3 x4=6x xa2 a2=40,a=2710设正三棱柱的底面边长 为。，则 4 4正16.2【分析】根据已知条件画出图形，再利用异面直线所成角的定义及解三角形即可求解.【详解】由题意可知，延长瓦4与 平 面a交 于 点E,延 长C 8与平面a交 于 点 尸，连 接“瓦/跖,即 平 面4E P所在平面为平面a,如图所示因为平面Z E F/平面C 8 Q,平面4.n平面=又 B D II BD,所以M/B B同理可证 CR,所以利所成角的大小与B QC D所成角的大小相等，在正方体 ABCD-481Goi 中，5,C=B R=CD、,所以AC与A 是等边三角形，所以机，所成角就是N8百=60；且所以机，所成角的正弦值为2.旦故答案为.217.(1)证明见解析(2)证明见解析【分析】(1)根据题意证明8。，平面4,进而证明结论：(2)连结力仁“心，设cn8Z)=E,连结E G,证明四边形C E 是平行四边形即可结合判定定理证明结论.(1)证明：(1)/8=&4),Z B A D =45,在/8O 中，由余弦定理得B D2=A D2+A B2-2A D-A Bc os450=A D21 A D2+B D2 A B1,A D A.BD,平面且B D U平面w。，DD1 B D,又“on叫=。，平面“O R 4 又彳 4 u 平面 A D R 4 ,BD 1 A A,(2)证明：连结N C、4G,设 Z C n 8 D =E,连结E G,.四边形4 8 C Z)是平行四边形，-AE=A C,由 棱 台 的 定 义 及 回 标=29知，AC J/AE,且 4G=/%二 四 边形 4胡是平行四边形，4 4 J/E G,又E C u平面8 C；。，工同仁平面弓。，A A /平面 B C Q1 8.(1)2(2)答案见解析【分析】(1)由 与坂共线，可 设%a,得到q+鸡=29-弓，得出方程组，即可求解；.2 2 1m +n=1 选 择 ：设,=的 )，得至3 =侬 一 血 2)，列出方程组3-可+(2 -1,求得见N 的值，即可求解；加2 +/=1选择：设备(见)，得 到 小 侬 一 尺 )，列 出 方 程 组 出 一 +(2 ),求得机，”的值，即可求解.(1)解：由题意，向量4,e?为不共线的单位向量，“=2 e e z,b =e,+因为2 与2ju=1 ,s石 共线,可设6”,则 马+鸡=2 的-”,所 以 ，=-，解得（2）解：选择：设1 =（%），因 为 一 最=（上，）,所以=Q机一6,2 ），可得加 2 +=1m=百 f百m=22Q-厨+伽）2 解得n=12 或-1 八2，当时，？2=（。，1）；当1 1 一,=时，0 2 =（O，T）选择：设。=3,），因为,所以小（2 吁 6,2”），可得（2 时+（2 ）七,解得6m=2tn 6=21n=2 ，当2 )1m-+-=11=2或,2 时，e2=(,1).当 J 2,时，e2=(0,-1)1 6 4,1 6 5,1 6 8,1 7 0)I 九 1/(2)1 7 21 6 6.5 (c m)【分析】（1）首先排列1 9 个数据，根据众数的定义，即可确定x的取值集合；（2）首先确定第9 0 百分位数是第1 8 项和第1 9 项数据的平均数，再讨论x的取值，根据百分位数，列式求值：（3）根据平均数公式，列式求值.（1）其余十九个数据 1 5 2 1 5 5,1 5 8,1 6 4,1 6 4,1 6 5,1 6 5,1 6 5,1 6 6 ,1 6 7,1 6 8,1 6 8,1 6 9,1 7 0,1 7 0,1 7 0,1 7 1,1 7 4,1 7 5 中，数据出现的频数为 3 的数有 1 6 5,1 7 0,出现频数为2的数据有1 6 4,1 6 8.因为x 为这组数据的一个众数，所以x的取值集合为 1 6 4,1 6 5,1 6 8,1 7 0（2）因为2 0 x 9 0%=1 8,所以9 0 百分位数是第1 8 项和第1 9 项数据的平均数，若 运 1 7 1,i（1 7 1 +1 7 4）=1 7 -（x +1 7 4）=1 7 3则 9 0 百分位数为2 ,矛盾.若1 7 1 V x/2X4=8A/2 2 J,因为 2 ,设点B到平面P C D的距离为人，h =C D=2 y/2所以 S.PCD,12亚3=也由8 尸=4 8C,知点尸到平面P C L)的距离为 4 2 .5 +3-2 1.(1)2【分析】(1)在/C。中，根据正弦定理sinN4X?sinN/C D可得 4,则可利用面积公式求/C。的面积，根据边角关系再求R S/8 C的面积；(2)设48=。，用9表示夕.二 mAC,sinZCAD代入面积公式计算整理，并注意 16 3人AC AD.AD sin ZADC 41-=-sin Z-ACD=-=(1)在/(?中，:sinN/O C s in C D ,则 AC 2,即兀ZACD=-4sin NCAD=sin(ZADC+NNCO)=sin ZADC cos NACD+cos N/OCsin Z.ACD=灰;&s.c n=-A C X ADxsin ACAD=正 里。的面积 2 2在R S 48C中,RCtan ZBJC=AC,即，/c c /c c、tan Z.ADC+tan Z.ACD-二tan ZB AC=tan(ZADC+NACD)=-=2+J3BC=AC tan Z.BAC 1-tan Z.ADC tan ZACD M BS.BC=-ACX BC-AC2 X tan ABAC=2+y/3C的面积 2 2s-S +s晨 D B C -3 A B e 丁 UJC。一 2DBC的面积ACAD(2)在ZUCO 中，设4 c z)=6,.sin4Z?C s in C D ,则AD sin ZADC 1sin 4 4co sin e A/cp 的面积6 0 1 sin-cos 0-2 2DM,6加sin。81 i2 2tan(9 若),BPALs邛+22.(1)存在点加，当/M2时PM平面NDB,证明见解析.2725【分析】D M .-=2(1)当 4/时P M/平面N)8,连接M C,交B D 于点、E,连接N E,利用相似比证明P M/NE,然后由线面平行的判定定理证明即可；(2)取 8c的中点尸，连接A/r，PF,可得N PF为二面角P-8C-N 的平面角，在A P/W 中 利 用 余 弦 定 理 求 解 过 点 尸 作 尸 01P 忖，交 P M 于点Q,可证Q7,平面口。,又8c平面4。，所以。尸即为点B到平面以。的距离，再利用等面积法求出。尸，再求出8。的长，利用边角关系求解即可.D M _-二2(I)解：存在点“，当/何 时P M 平面N D B ,B证明：连接C,交 8。于点,连D M .-二2接 N E,因为 4,4。=3,所以 QM =2,AM =t 因为 NQ 3 C,则CE B C c C N-=-=2 =-则屈必 D M N P,故PM/NE,又NE u 平面NBD,PM u 平面NBD,故P A/平面B D N.(2)解：取BC的中点E,连接M E,PF,NB因为AP8c为正三角形，则P F B C,P F =P 5 s i n 6 0 =4 x =2 7 3 -2 ,因为48CO为直角梯形，A D!IBC,N 4）C =9 0。，FC =M D =2,故四边形O M尸C为矩形，则A/FL 8C,又叼 ,M F ,PFu平面P M F ,所以8cL平面*1/尸，又8Cu平面尸8C,故平面尸8c，平面PM尸，所以cos 0=-ZP/W为二面角尸-8C-Z的平面角，故/刊 物=,且 3 ,设尸M=x,由余弦定理可得，PM?=PF?+MF?-2PF M F CGS,所以 3 ,整理可得/-9=0,解得x =3或x =-3 （舍），过点尸作交尸出于点,因为A D/BC,且B C _ L平面P W,故4 D _ L平面P A/，又4Du平面尸/。，则平面产力。1.平面 P M F ,又平面尸/O n平面/W F =R W ,Q F u 平面 乂尸,所以。尸,平 面4。，故。尸即为点尸到平面尸 力。的距离，又 A D H B C ,/。u平面P/l。，809平面尸/。，所以八 厂C OS Z _ i r M =8 c平面4。，故。尸即为点5到平面以。的距离，因为 3 ,则s i n N P F M=J l -c o s?N P F M =5 p r,.=-PF MF-si nZPFM=-P M-Q F3 ,所 以 2 2 ,即.x2V3x3x-=-x 3 x 0 F 解得Q F =2 ,又 8 D =五+4?=5 ,故直线8。与平面Q F 2夜P/。所成角的正弦值为访=丁.