高等代数-某大学近几年硕士研究生招生考试初试试题.pdf
p B囱就%下Guangxi University for Nationalities2019年全国硕士研究生招生考试初试试题【B】卷科目代码：821 科目名称：高等代数.番 至/面1 .答案须写在答题纸密封线内，写在试题卷、草稿纸等均视为无效。2 .答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。3 .交卷时，请本人将答题纸放入试题袋内，密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。一、（1 5 分）设 为非负整数，f（x）=xi m-xin+x3p+2,g（x）=/_ 尤 +1 ,且满足 g（x）|/（x）,证明犯,p具有相同的奇偶性.二 （1 5 分）设火,。2,%R,记与=s i n Q +%）,i,j=1,，定义矩阵N =（囱）e R *,试对=2时计算行列式|小的值；当2 3时结果如何？三、（1 5分）几 匹+I 2 +/=丸一3已知线性方程组，x,+AX2+x3=-2 ,试讨论义取何值时，方程组无解、有唯一%+%2 +几1 3 =-2解和有无穷多组解.四、（1 5分）-1 1 -r已知/=-1 1 1 ，矩阵X满足N*X=，T+2 X,其中4是4的伴随矩阵，求1-11矩阵X.五 （2 0分）已知3维线性空间忆有两组基：但应右；（1 1）3,2 2,3比（1）若向量a在基下的坐标为（1,1,-1 1，求a在基（I I）下的坐标；（2）定义线性变换 A：A（）=,A（2）=2 J,A（3）=3 3 -，求 A 关于（H）的矩阵尸.六、（1 5分）设二次型为 f（x1,x2,x3）=ax；+ax；+（a-l）x；+2 x,x3-2x2x3,（1）求二次型/的矩阵的所有特征值；第1页 共2页Guangxi U就niversity佐 for Nati亨onalities(2)若/的规范形为疗+员，求。的值.七 (1 5分)已知线性空间%(K)的线性变换及线性子空间少如下:中（X）=BTX XTB,VXe“2（K）,其中 8U 1、0 IW =X”%!2“21 X22x i +x22=，x（j e K ,(1)求力的一个基；(2)证明%是中的不变子空间.八 （2 0分）设/是阶复方阵，t r(/)表示/的迹，证明：/=0当且仅当t r(/)=O,.=1,2,，.九 (2 0分)已知4员。,。是线性空间修上的线性变换，且两两可互相交换，并有4 C +B D =E,这里E是单位变换，证明：k e K/8)=k e r Zk e r B.第 2 页 共 2 页G”uangxi Unive的rsity fo就r Natio暗nalities2021年硕士研究生招生考试试题A 卷科目代码及名称：821高等代数考生须知1.答案须写在报考点提供的答题纸上，一律使用蓝色或黑色钢笔或签字笔。2.考毕，请将试题和答卷放入试题袋内密封后，在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。一、（15 分）已知多项式/(x)=2/(x)+g(x),gj(x)=5/(x)+3g(x),证明:(Ax),g(x)=(x),&(%).二、（15 分）1 2 3 n 1 n1-1 o.0 00 2 2 0 0计算级行列式：D =0 0 0 5-2)00 0 0 n 1 (n 1)三、（15分）4 1 012 a n已知实数域上的阶矩阵4=%-,满 足 2同 一=1,2,1证明：同*0四、(15分)设实二次型+ai2x2+-+ainxn)2,证明/(西,，斗)的秩i=等于下列矩阵A的秩a a 2 a nA 21 a2 2 *a2n考试科目代码及名称：高等代数第 1 页 共 2 页Guang该xi Univers如ity for Na李tionalities五 （15分）已知3维线性空间V有两组基：(I)(U)0+2一 3,Ci+Zq(1)求基到基(U)的过渡矩阵；(2)若向量a在基下的坐标为(2,2,5 1，求a在基(U)下的坐标。六、(15分)1 0 0已知A=-110,矩阵X满足A*X=AT+3X,其中A*是A的伴随矩阵，求0-1 4矩阵X.七、(20分)设b是数域P上的维向量空间V的一个线性变换，C T2=(T,记W=a-a(a)a EV.(1)证明c r的核8(0)=卬；(2)证明 V=Wb(V).八、(20分)设V是一个维欧氏空间，a w O是V中一个固定向量。(1)证明匕=|(x,a)=0,尤e V 是V的子空间；(2)证明V,的维数等于九、(20分)设/是阶单位矩阵，4，4,a”是个互异实数，证明：存在阶实方阵X满足矩阵方程：a 0 0X202,+2 X2020+5/=电:.；0a2 an_考试科目代码及名称：高等代数第 2 页 共 2 页W亨Guangxi University for Nationalities2022年硕士研究生招生考试试题 A 卷科目代码及名称：8 2 1高等代数善星希面1.答案须写在报考点提供的答题纸上，一律使用蓝色或黑色钢笔或签字笔。2.考毕，请将试题和答卷放入试题袋内密封后，在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。一、（15 分）9-5设Z 6+C N =0,=0 3、2 -20 0、0 ,c=0 1 0 ,求忸+3勾。3 j I。二、（15 分）设/=32321010-3-264-1020，求力的逆。7三、（15分）Q （1 1设a=，是4=1 21 1。10、1的逆矩阵的特征向量，求f的值。2 J四 （15分）设,。2,是非齐次线性方程组的一组解，则匕%+尢?也是该非齐次线性方程组的一组解的充要条件是左+尢=1。五 （15分）设M是 数 域F上 一 个n维向量空间，火,心,是其一组 基，,是/+%+4生成的子空间，叫=。i=i /=1证明：（1）叼是P的子空间；（2）忆=%。考试科目代码及名称：821高等代数第 1 页 共 2 页Guangxi University for Nationalities六、（15分）设Z为三阶矩阵，小。2，。3 为线性无关的三维列向量，且满足Aa=/+%+%，4a 2 =4%+a1,Aa3=%（1）求矩阵 6,使得/（名,。2，。3）=（%,。2，%）8；（2）求矩阵4 的特征值；（3）求可逆矩阵尸，使得P-/P 为对角矩阵。七 （15分）在欧氏空间心=（%,。2，4，4）|4 却 中，其内积定义为4 卬,生,，%），3 也也也）=工。也令 =(i,o,o,o),%=，求看,二R1,使 得%，72，%，为 为A 的标准正交基。八 (15分)证明：次数大于零的多项式/（X）是某一个不可约多项式方累的充分必要条件是对任意的多项式g（x）有（/（x）,g（x）=1 或存在某一个正整数加使得/.（X）.九 （15分）设力为三阶实对称矩阵，且满足条件T 44=0,已知N的秩r（z）=2。求：（1）/的所有特征值；（2）当左为何值时，矩阵4+为正定矩阵。+（15分）已知z 是复数域阶方阵，则存在唯一4 和，2,使得/=4 +4,其中 7 s H 0 0 ”4=u u ,4=u uH,1 L J L N.7w C 是可逆的，N=O,。是 可 逆 的 且 满 足=U。（1）求/的 秩；（2）求方程组 4 i=4 （X）=r 的解；（3）求 方 程 组=T,A Y =X,（4 ）=/tY （X）=r 的解。考试科目代码及名称：821高等代数第2页 共2页B囱亨Guangxi University for Nationalities2020年全国硕士研究生招生考试初试试题A 卷科目代码：821 科目名称：高等代数考生须知1.答案须写在答题纸密封线内，写在试题卷、草稿纸等均视为无效。2.答题时一律使用蓝或黑色钢笔、签字笔书写。3.交卷时，请本人将答题纸放入试题袋内，密封后在封条与试卷袋骑缝处亲笔签名。一、(1 5 分)已 知 多 项 式/(幻=/+/+2%2+刀+1,g(x)=x3+2x2+2 x+,求它们的最大公因式(/(x),g(x),并求它们的公共根。二(1 5 分)设4 a 2a,w O,计算下列行列式的值，并给出0=0的条件已知线性方程组,2玉+3电+3=3,试讨论左取何值时，方程组无解、有唯一解X 1 +kx2+3七-2D =1+qI122+23 3 3+6 0*,nnn123 +%三、(1 5分)2+/一工3=1和有无穷多组解。当有解时，写出其解表示式。四(1 5分)已知3维线性空间V有两组基：(I)与,.邑；(I I)3,2S2,-3t(1)求基到基(I I)的过渡矩阵；(2)若向量a在基(I)下的坐标为(1,2,3 1，求a在基(I I)下的坐标。五(1 5分)设A是一个3阶方阵，且满足下列等式第 1 页 共 2 页金帝历的行李Guangxi University for Nationalities0A-1,1-12-1n o o1 =0 010。3、33,求矩阵A,并求A的全部特征值。六、（1 5分）设4,4,4是阶矩阵A的3个互不相同的特征值，即%,%分别是A属于4,4,4的特征向量，证明：囚+2 +。3不是A的特征向量.七、（2 0分）设A是一个阶实对称矩阵，且|川0,证明：必存在维向量x =（x”X 2,X）%。使得 f（x）XTAX 0.八 （2 0分）已知目,如?是欧氏空间丫的一组标准正交基，设%=+/一名，ai=1一“一2，卬=s p a ncif1,6 Z2,证明号分别是W和卬上的标准正交基;（2）求1 =2+2%在W中的内射影夕，即求 eW，使。=+/,yeW1.九（2 0分）设A是维欧氏空间V的线性变换，1=/（单位变换），令VJ=x|x e V,A x =x ,V2-|x|,证明：V=M匕.|x e V,A x =第2页 共2页
