考点03 函数及其性质（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考）(学生版）.pdf

考点03函数及其性质(核心考点讲与练),考点i .函数的概念设 4 8是两个非空数集,如果按照确定的法则f 对 4中的任意数x,都有唯二确定的数y与它对应，那么就称/：4-8为从集合A到集合B的一个函数，记作y-/V),A.2 .函数的定义域、值域(1)函 数 v=F(x)自变量取值的范围(数集/)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合3 尸/X x),正山叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,则这两个函数为相等函数.3 .函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4 .分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x的不同取值区间，有着不同的对应法则,这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的史集，值域是各段值域的并集.5.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间加上具有单调性，区 间 称为单调区间.增函数减函数定义设 函 数 尸 f(x)的定义域为A,区间J也凡如果取区间”中任意两个值汨，物 改 变 量 Ax=加一%0,则当 y=/(用)一f(无)时，就称函数 尸 f(x)在区间材上是增函数 y=八加一/(*)0 时,就称函数y=f(x)在区间M上是减函数图象描述I自左向右看图象是上丑的|不)小 2)自左向右看图象是下降的6.函数的最值前提设 函 数 尸 f(x)的定义域为I,如果存在实数M 满足条件(1)对于任意x e/,都 有/(x)W M；存在旅G/,使 得/U)=(3)对于任意x e/,都有/(于(4)存在的W/,使 得/.(施)=M结论 为最大值 为最小值7 .函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设 函 数 尸 F(x)的定义域为如果对内的任意一个必都有一x G D,且 F(x)=-F(x),则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设 函 数 尸 g(x)的定义域为，如果对内的任意一个X,都有一且 鼠一x)=g(x),则这个函数叫做偶函数关于y 轴对称8 .函数的周期性(1)周期函数：对 于 函 数 尸/(X),如果存在一个非零 常 数T,使得当x取定义域内的任何值时，都 有 瓜+7)=/(x),那么就称函数尸f(x)为周期函数，称 7 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)1.利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2 .已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3.函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较.比较指数式大小时，常常化为同底数的基，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幕，利用幕函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数,或不同类型的数常常借助中间值如0或1比较大小.4.导数是研究函数的单调性、极值（最值）最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：（1）考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.（2）利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.（3）利用导数求函数的最值（极值），解决生活中的优化问题.（4）考查数形结合思想的应用.函数及其表示一、单选题-%-（x 2）存在（之2）个不同的数为,天，斗,使得工61=/也=成立，则的取值集合是)A.2,3,4,5 B.2,3 C.2,3,5 D.2,3,4 2.（20 22 天津市第四十七中学模拟预测）已知函数/（=一5须*0 ,若同），则实数2 x-x2,x 04的取值范围是（）C.(-2,O)U(O,2)B.(-2,-l)u(l,2)D.(-1,O)U(O,1)3.（20 22 河北模拟预测）设函数x）=（I）+2 0的解集为-2x,x 1,A.(Tl)B.(-,-l)o(l,+0,且1)在区间(x +1)+4，x 0 时，r(l+x)+r(l-x)0,则下列说法正确的是()A./（1）=0B.“X）在（-8 上单调递减C.若不 马,/（N）/（赴），则%+2/（X,）D.若士，弓是g（x）=/（x）-c o s;r x 的两个零点，且为三，则1 “x j?1 2.（2 02 2 江苏沐阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设/（x）是定义在R上的函数，对于x e R,令X.=/（X“T）（=L 2,3,3）,若存在正整数”使得4=尤 0,且当时，x 1 与,则称马是/（X）的一个周期为的周期点.若/（幻=12（1 x）,x.下列各值是/（X）周期为2的周期点的有（）A.0 B.-C.1 D.13 31 3.（2 02 2 江苏江苏一模）下列函数中，最大值是1 的函数有（）A.y =|s i n x|+|c o s x|C.y =4s i n2x c o s2xB.y =s i n2x-c o s2x门 t a n x t a n 2xD.y=-t a n 2 x-t a n x2 r +31 4.2 1 江西模拟预测）已知函数X）=E,则下列叙述正确的是-4,*2 ,则/。)的最小值为-31 5.(2 0 2 1 江 西 模拟预测)下列各组函数中表示同一个函数的是()A./(%)=.|2.A|,g(x)=2 x,x 0 B./(x)=x今 ,g(f)=L9I Z x,X UY。1 元 2 _ 6C.f(x)=x+,g(x)=x+-D./(x)=x +4 ,g(x)=:-3 3 x-41 6.(2 0 2 1 全 国 模 拟 预 测)已 知函数*x)=CF，g(x)=q二，则和g(x)满足()A./(x)=/(x),g(x)=g(x)B./(-2)/(3),g(-2)O.占一1 8.（2 0 2 2 山东淄博一模）以模型y=a 八（c 0）去拟合一组数据时:设 z=l n y,将其变换后得到线性回归方程z=2 x 1,贝!J。=_ _ _ _ _ _.1 9.（2 0 2 2 全国模拟预测）己知f（ev）=x l g 3,则2）+/（5）=_ _ _ _ _.2 0.（2 0 2 2 重 庆 模拟预测）已知定义在A 上的函数f（x）不是常值函数，且同时满足：2 +x）=f（2-x）；对任意再eR,均存在eR 使得为）=2）成立；则函数/（）=.（写出一个符合条件的答案即可）四、双空题2 1.（2 0 2 2 浙江嘉兴二模）已知函数/5）的定义域为凡 且满足/（x-D =/（x+l）,当xejlj时，x+Z?,1 4 x 0,（./=,若八3）=/（-3），则实数6=，/-=.2 2.（2 0 2 2 江苏金陵中学二模）己知函数/（x）则/5）的最小正周期为当5,万 时，/（X）的值域为2 3.（2 0 2 2 山东济南一模）已知函数 x）=C T）（2 x +l）（+at+）,对任意非零实数力均满足=则 T）的值为；函数.f（x）的最小值为.函数的基本性质一、函数的单调性一、单选题1.（2 0 2 2 天 津 耀华中学模拟预测）已知函数.f（x）=e T,a=/（l o g，）,6=/（l o g 3 9,c =.f（k）g|1）,则下述关系式正确的是（）A.b a c B.b c aC.c a bD.a b c2.（2 0 2 2 广东广州二模）下列函数中，既是偶函数又在（0,”）上单调递增的是（)A.=（式 B.k国 C.y=1 -1 D.y=x-3.（2 0 2 2 辽宁抚顺一模）已知函数八力对任意xwR都有/3+4）=/（乃一/（2）,若y=/（x+l）的图象关于直线x =-1对称，且对任意的，x,x2e 0,2 ,当玉声七时，都有八）/0,则下列结论正确的是()A.1 1-/(-3)/(4)向1B./(-3)1 1/售 厂 1 1111 1C./(4)D./(4)八?/(-3)4.(2 0 2 2 全国哈师大附中模拟预测(理)已知实数a,6,c满足a cl n c-I n =c-,贝！|()2 2 2 2A.c b aB.b c aC.a c b D.a h c二、多选题/、x.I n x.-x.I n x.八5.（2 0 2 2 广东茂名二模）若对任意的4，（八长o）,且不 与，都有 丁L0时，x）在 1 0,1 1）单调递增C.当4 0,且 让 1时，若将函数g q /?与 x）的图象在 0,2 （”eN*）的用个交点记为加（七，）（，=1,2,3,，加），则 Z（x,+x）=H2+2-1=|7.（2022 广东广东一模）下列四个函数中，以兀为周期且在上单调递增的偶函数有（）A.y=cos|2x|B.y=|tanx|C.y=sin|x|D.y=lg|sinx|三、填空题8.（2022 全国模拟预测）已知函数/（x）=log2（7 7 I l-x）,若对任意的正数。力，满足f（a）+f（3b-l）=O3 19则+的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.a by _ 1 _ S9.（2022 山东济南市历城第二中学模拟预测）函 数 八 力=一 ；在（1,+8）上是减函数，则实数的范X-67+3围是.10.（2022 北京丰台 一模）设函数/的定义域为 0,1,能说明“若函数f（x）在 0 5 上的最大值为1）,则函数/（x）在 0,1 上单调递增“为假命题的一个函数是四、解答题11.（2022 江苏江苏一模）已知实数a 0,函数“X）=x ln a-aln x +（x-e）-,e是自然对数的底数.当”=e 时，求 函 数 的 单 调 区 间；（2）求证：/（X）存在极值点,并求为的最小值.1 2.（2 0 2 2 山东青岛一模）已知函数/（x）=e*+s i n x-cos 尤-a r.（1）若函数/（X）在 o,+3）上单调递增，求实数。的取值范围;(2)设函数g(x)=/(x)-1 n(l x),若 g(x)W 0,求。的值.1 3.(2 0 2 2 湖 北 黄冈中学模拟预测)已知函数/(x)=(x+l)e，-(x0),g(x)=xe、+a l n x(a eR),且/(%)=0X（1）若4=1,且 g（X 0）=0,试比较看与4 的大小关系，并说明理由;若。=-1,且 +1）/（马）=8（刍）,证明:5 5(1)入1 2 ；9 3e(i i)e f3-2 x,-(参考数据：I n 3 a l.0 98,I n 5a l.60 9 a 0.3 68 )二、函数的最值一、单选题1.（2 0 2 1 湖南模拟预测）已知奇函数y =x）为R上的增函数，且在区间-2,3 上的最大值为9,最小值为-6,则3）+/（2）的 值 为（）A.3 B.1 C.-1 D.-32.（2 0 2 2 浙江嘉兴二模）设 a,b e R,若x N O 时，恒有2/4 d-3+2/+冰+4 x,+1,则（）A.ci b=2 B.a-b=2 C.|a|+|A|=2 D.a+h=23.（2 0 2 2 浙江省义乌中学模拟预测）设/（x）=x（d-l）,g（x）=x3-x2-l,则 有（）A.存在为wR,/（不 卜 8 伍）成立 B.任意x e R,/（x）g（x）恒成立C.任意xeR，/（x）4 g（x）恒成立 D.存在x e R，/（为）=8 小）+；成立4.（2 0 2 2 重 庆 二 模）已知 x）=2 +2T,若“2 x）2时（x）6 对任意xeR恒成立，则实数0的最大值 为（）A.2 B.4 C.2 76 D.4 指5.（2 0 2 2 天津实验中学模拟预测）已知函数 x）=F 2X+2，,2,若 也 力，使得毛）2立，则实数R的取值范围为（）A.-1，7 B.7，1 C.-2 匚 D.4一 4|_ 4 4 J|_ 3 一二、多选题6.（2 0 2 2 湖 北 一 模）已知函数/（x）=|x|+|x g _ co s x，则下列说法正确的是（）A.f（x）是偶函数 B.7（x）在（0,+8）上单调递减C.f（x）是周期函数 D.恒成立2 x7.（2 0 2 2 福建漳州一模）已 知 函 数=则（）r+9A.f（x）的定义域为R B./（幻是偶函数C.函数y=/（x+2 O 2 2）的零点为0 D.当x 0 时，/（刈的最大值为g三、填空题8.（2 0 2 2 浙江省诸暨市第二高级中学模拟预测）已知平面单位向量I，或满足|2 冢-可4应.设 24+工,向量，坂的夹角为9，贝 h i n d 的最大值是.9.（2 0 2 2 湖 北 一模）已知函数/（x）=x+1（x 0）,若 一f的（x 最 大 值 为 工7，则正实数折_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.X （/（x）+a 51 0.（2 0 2 0 山东临沂二模）若 以（）,y）,盘 士 U明 则实数用的取值范围为X1 1.（2 0 2 1 北京延庆模拟预测）同学们，你们是否注意到：自然下垂的铁链；空旷的田野上，两根电线杆之间的电线；峡谷的上空，横跨深涧的观光索道的钢索.这些现象中都有相似的曲线形态.事实上，这些曲线在数学上常常被称为悬链线.悬链线的相关理论在工程、航海、光学等方面有广泛的应用.在恰当的坐标系中，这类函数的表达式可以为/(x)=a e +岳r (其中a,是非零常数，无理数e =2.7 1 8 2 8),对于函数 x)以 下 结 论 正 确 的 是.如果a =b,那么函数”X)为奇函数；如果必0,那么函数 x)没有零点；如果a b =1,那 么 函 数 的 最 小 值 为 2.1 2.(2 02 1 浙江浙江 二模)设,/I 0,若1+义从=4 ,且“+/,的最大值是石，贝 巾 2=四、解答题1 3.(2 02 2 海南模拟预测)已知函数八x)=(x-?s i nx.(1)求f(x)在区间 一。上的最大值和最小值；设 g(x)=a c o s x-/(x),若当0,y 时，g(x)(),求实数a的取值范围.1 4.(2 02 1 江西模拟预测)设函数/*)是定义在R上的奇函数，且当了 0 时，/)=-2+4-1。阳.9 3(1)求，X)的解析式；若 玉 叩,一),使得/(x)0的解集为()A.2)B.(-2,+o o)C.(0,+8)D.(-o o,0)2.(2 02 2 湖南湘潭三模)函数/(x)=x ln(x 2 +l)-2 x的部分图象大致为()3.(2 02 2 广东茂名二模)已知函数g(x),(力分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且g(x)+/z(x)=e +x,若函数力=产+沏(苫-1)-2；1 2有唯一零点，则正实数2的值为()A.-B.g C.1 D.23 24.(2 02 1 全国模拟预测)已知f(x)为定义在R上的奇函数，且当x 0且/(司+)。，则有()A./(x)可能是奇函数，也可能是偶函数 B./(-1)/(1)C.时，f(s i nx)e 2 f(cosx)D./(0)V e/(1)6.(2 02 2 江苏南通模拟预测)若函数犬)=岸卫为奇函数，则实数。的 值 为()2 -aA.1B.2C.-1D.17.(2 02 2 湖 北 二 模)已知函数，湖=lg(|x|-D+2*+2-*,则使不等式f(x+D 0,y o 时，都有/3)=.f(x)+y),则不等式1 呜|八 )+1|0的解集为.四、函数的周期性一、单选题1.(2 02 2 山东济宁一模)定义在R上的奇函数/(X)满足了(x-2)=-/(x),则“2 02 2)=()A.0 B.1C.-1D.2 02 22.(2 02 2 福 建 模 拟 预 测)已 知/(x)是定义在R 上的奇函数，/(x+l)=/(l-x),且=则7(2021)=()A.1 B.0 C.-2021 D.-13.(2022 江苏江苏二模)已知“力是定义域为R 的偶函数，f(5.5)=2,g(x)=(x 1)/(x).若 g(x+1)是偶函数，则g(-0.5)=()A.3 B.2 C.2 D.3二、多选题4.(2022 河北模拟预测)若函数/(2x+l)(xeR)是周期为2 的奇函数.则下列选项一定正确的是()A.函数/(X)的图象关于点(1,0)对称B.2 是函数/(x)的一个周期C.”2021)=0D./(2022)=05.(2022 全国模拟预测)已知函数 x)=k i n x+c o s x|+s i n 2x,则()A.万是函数/(x)的一个周期B.x =-(是函数/(x)的一条对称轴C.函数/(x)的最大值为0 +1，最小值为-1D.函数/(X)在万 划上单调递增6.(2021 广东肇庆模拟预测)已知定义在R 上的偶函数y =/(x)对任意的x 满足 x+2)=/(x),当0 0(。0 且。工1),则下列结论正确的有()A.7(x)是周期为2 的周期函数B.当2 4 x 3 时，f(x)=xC.若g(x)在 R 上单调递减，则0“1D.若方程 x)=g(x)在A上有4 个不同的实数根，则实数。的取值范围是三、填空题7.(2022 广 东茂名二模)请写出一个函数/()=，使之同时具有以下性质：图象关于y轴对称：V x e R,/(x+4)=/(x).8.(2022 重庆二模)已知定义域为R 的函数 x)满足一x)=-f(x)且 x)=2+x),则函数的 解 析 式 可 以 是.五、函数的对称性一、单选题1.(2022 广 东佛山模拟预测)已知函数y =g(x)的图象与函数y =s i n 2x 的图象关于直线x =/r对称，将g(x)的图象向右平移9 个单位长度后得到函数y =的图象，则函数y =x)在 时 的 值 域 为()上 舟 ，6,A.B.-h C.-1 1 D.0,12 2 2 2 L J2.(2021 全国模拟预测)已知函数八力=1 2-2*卜2+奴+3+6,且对任意的实数x,f(x)=f(4-x)恒成立.若存在实数不，演，毛 0,5 (n e N ),使得2/)=f/(占)成立，则的最大值为Z=1()A.25 B.26 C.28 D.313.(2021 浙江模拟预测)已知定义在R 上的图象连续的函数f(x)的 导 数 是/),/(x)+/(-2-x)=0,当 x-l 时，(x+l)x)+(x+l)_ f(x)/(0)的解集为()A.(-1,1)B.C.(1,+?)D.(o o,l)u(l,+o o)4.(2021 广东梅州市梅江区嘉应中学模拟预测)己知定义在力上的函数A x)满足：对任意xeR,都有/(x+l)=/(l-x),且当x e(Y O,l)时，(x-l)/(x)0(其中f(x)为 的 导 函 数).设“lo g”)，b=f(og,2),c =/(215).贝 Ua,b,c 的大小关系是()A.a b c二、多选题B.c a bC.h a cD.a c b5.(2022 江苏新沂市第一中学模拟预测)己知三次函数x)=a?+法2+3-1,若函数g(x)=/(-x)+l的图象关于点(1,0)对称，且 g(-2)0,则()A.a0 B.g(x)有 3 个零点C.f(x)的对称中心是(TO)D.12t z-4/?+c 0三、填空题6.(2022 重庆模拟预测)写出一个同时满足下列三个条件的函数/(x)的解析式/(x)的定义域为R，值域为 0,+8)；l+x)=l 一 x)；/(X)在(-8,0)上单调递减.7.(2022 广东广州二模)函数 x)=s i n G-h i|2x-3|的 所 有 零 点 之 和 为.一、单选题1.(2020 山 东 高 考 真 题)已 知 函 数 ”是偶函数，当无e(O,KO)时，y =a(O a 0 成 立,则 函 数 一 定 是()%2 一%A.奇函数 B.偶函数 C.增函数 D.减函数3.(2020 山东 高 考 真 题)函 数 J的定义域是()lg xA.(0,+助 B.(O,1)U(1，E)C.O.l)U(l.o)D.(l,+8)4.(2021 全 国 高 考 真 题(理)设函数 x)的定义域为R,x+l)为奇函数，x+2)为偶函数，当x e l,2时，f(x)=ax2+b.若 0)+3)=6,贝卜()5.(2021 全 国高考真题(文)设 是 定 义 域 为 R的奇函数，且/(l+x)=/(x).若=则伶A.-(B-4c-1D.531 x6.(2。21 全国高考真题(理)设 函 数 小)=17 P则下列函数中为奇函数的是()A./(x-l)-lB./(x 1)+1 C./(x+1)1 D.x+l)+l二、填空题7.(2021 全国高考真题)已知函数 刃=9(2。27)是偶函数，则。=三、解答题(1)画出y=/(x)和 y=g(x)的图像；(2)若f(x+a)N g(x),求 a的取值范围.一、单选题*11.（2022 全国模拟预测）已知函数/（x）=-2+2，x 的值域为 1,物），则的最小值为（A.1 B.2 C.3 D.42.（2022 北 京 北师大实验中学模拟预测）下列函数中，既是偶函数又在（0,+8）单调递增的函数是（）A.y=nx B.y =|x|+l C.y=-x2 4-1 D.y=3 3.（2022 全国模拟预测）函数/（x）=l n J T j _ 7 T +c o s x 在-兀，兀 上的大致图象为（）24.（2022 全国模拟预测）已 知 函 数=|一，则/（人）=（）In x JC11八1A.e B.1 C.D.一4 2x 25.(2022 全 国 模 拟 预 测)函 数/(%)=-的图象大致为()x-l n x6.（2022 全国模拟预测）已知定义域为R的函数“X）满足l +x）+l-x）=4,且当x l时,r（x）2f+H Q 8,则不等式/（力一2人（刀一1）0的解集为（）A.（2,+o o）B.（l,+o o）C.（1,2）D.（2,e2）7.（2022 全 国 模拟预测）若 函 数 耳=33一/+*+1在 3。,3司（。0）上的最大值与最小值之和 不 小 于 小 则 实 数 的取值范围为（）1-3B.-1-2C-a8.（2022 全国模拟预测）已知/（x）为R上的奇函数，42）=2,若V%,%（，+8）且%/，/（%）/（%）都有 看 ,0，则不等式（3-1）/（%-1）4的解集为（）王一看A.(-o o,-1)j(3,+x)B.-o o,3)C.(-1,3)D.f 1,9.（2022 广东汕头一模）定义在R上的偶函数/（x）满足/（2 x）=2+x）,且当x e 0,2时,2v-l,0 x l=（7t,若关于x的方程ml n|=/（x）至少有8个实数解，则实数m的取值范围2s i n x-l,l x 2二、多选题10.（2022 辽宁大东模拟预测）已知y =/（x）是定义域为R的奇函数，且 y =/（x+2）为偶函数,若当x e 0,2时，/（力=：嗔 3 卜+明，下列结论正确的是（）A.a =l B./（1）=/（3）C./=/（6）D./（2022）=-111.（2022 河北模拟预测）已知定义在R上的偶函数f（x）,其导函数为/（X）,当xNO时，fx)+s i n 2x 0,则()A./（0）=0 B.函数y =/（x）x在区间 0，+8）上单调递减C.不等式/（X）-/（X+c o s 2x的解集为1 8,-D.不等式/0）-/卜+:|）8$2 8的解集为（一7，+00）12.（2022 江苏泰州一模）定义：在区间/上，若函数y =/（x）是减函数，且 y =犷（x）是增函数,则称y =/（x）在 区 间/上 是“弱减函数”.根据定义可得（）A./（力=,在（0,+8）上 是“弱减函数”B.x）=5在（1,2）上 是“弱减函数”In YC.若/(x)=丁 在(相,”)上 是“弱减函数”，贝I J mD.若 x)=c o s x+依2在上是“弱 减 函 数,k0)为偶函数，则机=.1 8.(2 0 2 2 全 国 模 拟 预 测)已 知 函 数/(力=工 匕-；(。0且若不等式f(a x2+bx+c)0仅6 (-5,1)的解集为(1,2),则a的取值范围是