河北省正定县2021-2022学年高三第二次联考数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 .答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2 .答题时请按要求用笔。3,请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5 .保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。x+y 1,1,若实数工，丁满足不等式组3 x-y W 6,则3 x+)，的最小值等于()九_”0,A.4 B.5 C.6 D.72 .某圆柱的高为2,底面周长为1 6,其三视图如图所示，圆柱表面上的点”在正视图上的对应点为A ,圆柱表面上的点N在左视图上的对应点为8,则在此圆柱侧面上，从M到N的路径中，最短路径的长度为()A.2拒 B.2 7 5 C.3 D.23 .已知全集。=1 1,集合M=x|-3 c x O)的图像向右平移了个单位长度后，得到的图像关于)轴对称，/(0)=1,当O。取得最小值时，函数/(X)的解析式为()A.f(x)=V 2 c o s(2 x+)B./(x)=c o s(2 x+)4 4C.f(x)=y/2 c o s(2 x -)D./(x)=c o s(2 x-)4 45.如图是甲、乙两位同学在六次数学小测试(满分1 0()分)中得分情况的茎叶图，则下列说法错煲的是()甲乙92 2 83789241969A.甲得分的平均数比乙大B.甲得分的极差比乙大C.甲得分的方差比乙小D.甲得分的中位数和乙相等6.“中国剩余定理”又称“孙子定理”,最早可见于中国南北朝时期的数学著作 孙子算经卷下第二十六题，叫做“物不知数”，原文如下：今有物不知其数，三三数之剩二，五五数之剩三，七七数之剩二.问物几何？现有这样一个相关的问题：将 1到 2020这 2020个自然数中被5 除余3 且被7 除余2 的数按照从小到大的顺序排成一列，构成一个数列,则该数列各项之和为（）A.56383B.57171C.59189D.612427.已知集合=尤|一2 09.已知实数X,y 满足约束条件X-2 y +2 N 0,则 f 的取值范围是（)x=60。，E为 的 中 点，以3E为折痕将ABCE折起到APBE的位置，使 得 平 面 平 面A B C O,如图2.(1)证明：平面4 4 6,平面PBE；(2)求点。到平面Q 46的距离.19.(12分)已知数列 4 为公差不为零的等差数列，S“是数列 4 的前项和，且生、出、生成等比数列，S7=49.设 数 列 也 的 前 项 和 为，且满足l o g 2 +2)=瓦.(1)求数列 4、d 的通项公式；(2)令 q,噜证明：c,+c2+-+cn b 0)的左、右焦点分别为耳(一1,0)、鸟(1,0),点 P在椭圆E上，P 苞，耳法且忸耳|=3 归段.(I )求椭圆E的标准方程：(U)设直线/：x =m y+l(m w R)与椭圆E相交于A、B 两点，与圆Y+V=片 相 交 于。、。两点，求恒8 卜|8 的取值范围.2 1.(1 2 分)已知数列 q 满足，=1,=4,且 a“+2-4 a“+I+3 a,=0(e N).(1)求证：数列“向-为等比数列，并求出数列 4 的通项公式；(2)设口=2 4,求 数 列 也 的前n项和S“.2 2.(1 0 分)在边长为6 c 机的正方形A B C。，E、F分别为6 C、C D 的中点，M.N分别为A B、C尸的中点，现沿 A E、AF,。折叠，使 B、C、。三点重合，构成一个三棱锥.(1)判别MN与平面4 尸的位置关系，并给出证明;(2)求多面体E-AFMN的体积.参考答案一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.A【解析】首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求二的最小值.【详解】x+y2解：作出实数x,）满 足 不 等 式 组 表 示 的 平 面 区 域（如图示：阴影部分）x-y Q由，x+y2-0 x-y =Q得由 z=3x+y得y=_3x+z,平移y=-3x,易知过点A时直线在 上截距最小,所以 z*=3xl+l=4.【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题.2.B【解析】首先根据题中所给的三视图，得到点M 和 点 N 在圆柱上所处的位置，将圆柱的侧面展开图平铺，点 M、N 在其四分之一的矩形的对角线的端点处，根据平面上两点间直线段最短，利用勾股定理，求得结果.【详解】根据圆柱的三视图以及其本身的特征，将圆柱的侧面展开图平铺，可以确定点M 和 点 N 分别在以圆柱的高为长方形的宽，圆柱底面圆周长的四分之一为长的长方形的对角线的端点处,所以所求的最短路径的长度为V 42+2 2 =2石，故选B.点睛：该题考查的是有关几何体的表面上两点之间的最短距离的求解问题，在解题的过程中，需要明确两个点在几何体上所处的位置，再利用平面上两点间直线段最短，所以处理方法就是将面切开平铺，利用平面图形的相关特征求得结果.3.D【解析】先求出集合N的补集。小，再求出集合拉与电N的交集，即为所求阴影部分表示的集合.【详解】由。=1,N=x|x|,1 ,可得Q/N =%|x l ,又 M=x|-3 v x v l 所以 Mc6N=x|-3 x-l .故选：D.【点睛】本题考查了韦恩图表示集合，集合的交集和补集的运算，属于基础题.4.A【解析】先求出平移后的函数解析式，结合图像的对称性和/(O)=1得到A和。.【详解】因为/(x)=A c o s +0 =A c o s 2 x-+)关于,轴对称，所以一 +=左万(左e Z),所以(p=g k 7 i,。的最小值是?./()=A c o s?=l,则4 =&，所以/(X)=&C O S1 2X+).【点睛】本题主要考查三角函数的图像变换及性质.平移图像时需注意x的系数和平移量之间的关系.5.B【解析】由平均数、方差公式和极差、中位数概念，可得所求结论.【详解】“工 b 7 9+8 8 +8 2 +8 2 +93 +91 对于甲，=-8 5.8 ；6“一7 2 +7 4 +8 1 +8 9+96 +99 对于乙，乂 =-8 5.2 ,6故 A正确；甲的极差为93 -7 9=1 4,乙的极差为99-7 2 =2 7,故3错误；对 于 甲,方 差 甲-2 6.5,对于乙，方差S；*1 0 6.5,故 C正确；甲得分的中位数为号空=8 5,乙 得 分 的 中 位 数 为 笥 2 =8 5,故。正确.故选：B.【点睛】本题考查茎叶图的应用，考查平均数和方差等概念，培养计算能力，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平，属于基础题.6.C【解析】根据“被5除余3且 被7除余2的正整数”，可得这些数构成等差数列，然后根据等差数列的前项和公式，可得结果.【详解】被5除余3且被7除余2的正整数构成首项为23,公差为5 x 7 =3 5 的等差数列，记数列 4 贝！|4=2 3+3 5（-1）=3 5-1 2令。“=3 5”一1 2 4 2 0 2 0,解得 5 8 二3 55 8 x 5 7故该数列各项之和为5 8 x 2 3 +x 3 5 =5 91 8 9.2故选：C【点睛】本题考查等差数列的应用，属基础题。7.B【解析】先求出P =x|x W 2 ,Q=x|0 2 ,再结合集合交集的运算，即可求解.【详解】由题意，集合P=x|x_240,Q=|x|彳-0j,所以 P=x|xW2,Q=x|02,所以(a P)n Q =|2xW3=(2,3.故选：B.【点睛】本题主要考查了集合的混合运算，其中解答中熟记集合的交集、补集的定义及运算是解答的关键，着重考查了计算能力，属于基础题.8.B【解析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】一 5 _ 5(3-今)工3 4.Z-3+4z-(3+4/)(3-4/)-5-5 G4则复数z的虚部为-故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.9.B【解析】画出可行域，根据可行域上的点到原点距离，求 得 的 取 值 范围.【详解】由约束条件作出可行域是由4(2,0),B(0,l),C(2,2)三点所围成的三角形及其内部，如图中阴影部分，而f +),2可理解为可行域内的点到原点距离的平方，显然原点到AB所在的直线x+2)，-2=()的距离是可行域内的点到原点距离的最小值，此时/+=3,点C到原点的距离是可行域内的点到原点距离的最大值，此时/+卜2=2 2 +2 2 =8.所 以$+,2的取值范围是1,8.【点 睛】本小题考查线性规划，两点间距离公式等基础知识；考查运算求解能力，数形结合思想，应用意识.1 0.B【解 析】将所有可能的情况全部枚举出来,再根据古典概型的方法求解即可.【详 解】设乙，丙，丁 分 别 领 到 x元 j元义元，记 为(x,y,z)，则基本事件有(1,1,4),(1,4,1),(4,1,1),(1,2,3),(1,3,2),(2,3),(2,3,1),(3,1,2),(3,2,1),(2,2,2)，共 1 0个，其中符合乙获得“最佳手3气”的 有 3个，故 所 求 概 率 为 历，故选：B.【点 睛】本题主要考查了枚举法求古典概型的方法，属于基础题型.1 1.A【解 析】设椭圆的半长轴长为4,双曲线的半长轴长为与，根据椭圆和双曲线的定义得:|P 制+|尸身=2q|P 周 一|P 周=2/、既盘，然 后 在 尸 附 札由余弦定理得:=(q +2)+(i 4)-2(q +2),(1 2).cos ,化简求解.3【详 解】设 椭 圆 的 长 半 轴 长 为 ,双 曲 线 的 长 半 轴 长 为 七,由椭圆和双曲线的定义得：恨P Fl:+周P F,=22生ai，叫P F.=周 a t.2万设师|=2必 阜 线=后,在耳产耳中，由余弦定理得：4c=(a 1+4)+(q 绐)2 (a 1+a 2),(可 s2 j ,cos -,化 简 得3 a；+公=4 c2,3 1 彳B P +=4e e2故选：A【点 睛】本题主要考查椭圆，双曲线的定义和性质以及余弦定理的应用，还考查了运算求解的能力，属于中档题.1 2.B【解 析】复 数z=(/1)+(。l)j(a eA)为 纯 虚 数，则 实 部 为0,虚 部 不 为0,求 出，即 得z.【详 解】z =(2-l)+(-l)/(a G R)为纯虚数,a2 1 =09 解得 6 Z =1.。一1。0:z =4故选：B.【点 睛】本题考查复数的分类，属于基础题.二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共2 0分。1 3.3【解 析】在直角三 角 形 中 设B C =3,A C =x 3,t a nZ D A B =tan(ZB A C-Z D A C)=-,利用两角差的正切公式求解.2【详 解】设8 c =3,A C =x x =l,i,3 X2+3 2X故 t a n Z.B A C=3.故答案为：3【点睛】此题考查在直角三角形中求角的正切值，关键在于合理构造角的和差关系，其本质是利用两角差的正切公式求解.1 4.啦【解析】由已知可得到圆锥的底面半径，再由圆锥的体积等于半球的体积与水的体积之和即可建立方程.【详解】设圆锥的底面半径为广，体积为V,半球的体积为匕，水(小圆锥)的体积为匕，如图,4则O A=r,O C=l,O B =2,郎=/,所以七。=万，2 x r =V777xl，解 得 产=力，所以丫=一万，3Jz泌一2X/(X万1-3K=万2-3-匕8-9X2-X=Q O 1由7=、+匕，得 万=乃+乃川，解得力=啦.故答案为：啦【点睛】本题考查圆锥的体积、球的体积的计算，考查学生空间想象能力与计算能力，是一道中档题.1 5.7【解析】【详解】=墨 出 令r=3,即可得到本题答案.(2 y-r/,丫(,丫由题，得=户-x I J I2 J (2)/3 s i n +V3,再利用求正弦型函数值域的方法即可得到答案.【详解】(1)因为而 J _ 5，所以a(s i n A _ s i n B)+S _ c)(s i n B+s i n C)=O.在 AAB C中，由正弦定理得一；s i n Ab _ cs i n B s i n C所以 a(a-b)+S-c)(b +c)=。，BP a2+/?2-c2=ab-*A4 n-4-u 人力EZO-cr+b-c cib 1在 AAB C中，由余弦定理得c o s C =-=-=2ab 2ab 2jr又因为C e(0,%),所以C =.JI(2)由(1)得。=一，在A A BC中，A+B+C=TT93所以 p=1 x(sin A-sin B)+2(sin B+sin C)2 2=sin A+cos A+G2 2=73sinA4-4-/3.因为A0,芝I，所以A+会修爸,所以当A+=工，即4 =工时，y=sin(A+g 有最大值1,6 2 3 I 6J所以 万的最大值为2 6.【点睛】本题考查正余弦定理解三角形，涉及到两角差的正弦公式、辅助角公式、向量数量积的坐标运算，是一道容易题.18.(1)证明见解析(2)B2【解析】(1)由题意可证得P E _ L A B,A B 上B E,所以4 8,平面P BE,则平面P A B _ L平面P 5 E可证；(2)解法一：利用等体积法由/B可求出点。到平面Q 4 3的距离；解法二：由条件知点。到 平 面 加3的距离等于点E到平面Q 4 3的距离，过点E作 网 的 垂 线，垂足口，证 明 防，平面R3,计算出E F即可.【详解】解法一：(1)依题意知，因为C E L B E,所以P E 上B E.又平面平面A BC。，平面P B E c平面A BC )=BE,P E u 平面PBE,所以P E L平面A BC。.又平面A BC。，所以P E L A B.由已知，A B C D是等边三角形，且E为。的中点，所以3 E _ L C ).因为A 3 C O,所以又 P E c B E =E,所以 A B_ L平面 P 3 E.又A B i平 面 所 以 平 面2 4 6_ L平面P 8 E.p（2）在A BD中，A B =A D =2,N 5 4 =60。，所 以 心 如=8.由（1）知，P E J _平 面 他 ）,且 P E =1，所以三棱锥P A B O的体积V=1 x g x l =3.3 3在 R f B E 中,P E =1，B E =6,得 P B =2,由（1）知，A B L平面P 3 E,所以A BL P B,所以Si=2，设点。到 平 面 6的距离d,则三棱锥E P 4 3的体积V =,x 2 x d =也，得d=.3 3 2解法二：（1）同解法一；（2）因为 D E H A B,A B 平面 Q 4 6,平面。4 6,所以D E平面P 4 B.所以点E到平面P A B的距离等于点D到平面P A B的距离.过点E作P B的垂线，垂足尸，即 所，尸B.由（1）知，平 面 平 面 尸8 E,平面E L B c平面E F u 平面P B E,所 以 所，平面Q 4 3,即石户为点。到平面R L B的距离.由（1）知，P E 上BE,在 RfAPBE 中,P E =T，B E =拒,得 P B=2.又 P E x B E=P B x E F,所以 E F =也.所以点。到平面e钻 的 距 离 为 且.2【点睛】本题主要考查空间面面垂直的的判定及点到面的距离，考查学生的空间想象能力、推理论证能力、运算求解能力.求点到平面的距离一般可采用两种方法求解：等体积法；作(找)出点到平面的垂线段，进行计算即可.19.(1)an=2n-,bn=2(2)证明见解析【解析】(D利用首项4和公差d构成方程组，从而求解出 凡 的通项公式；由 4 的通项公式求解出S“的表达式，根据log2(北+2)=反以及bn=T“-加(2 2),求解出b的通项公式；(2)利用错位相减法求解出 c“的 前 项 和 根 据 不 等 关 系 证 明 即 可.【详解】(1)设首项为6,公差为d.a；=4由题意，得 彳 7x61，解得6=1，d=27q+2=49。=2C -1，S(l+2n 4-1)(/!4-1)9+l=-六-=(+1)-.Jog2(7；+2)=瓦=7+1,.7 2向 _2当 2 2 时，刀“=2-2.勿=7；-7；-=2,2 2.当 =1时，乙=1=2满足上式.勿=2 1(2)%=一 式，令数列%的前项和为1 3 5H.亍+齐+就+2n-l21 u 1 3 52=F+7+F+-+2 3 2/7 1T+2n+两 式 相 减 得 也=)+2管+：+”卷 得1 2 1 J 2-1 32 T-i r-21-22n+3:.H.=3王一 b-ya2 c2=1 椭圆E的标准方程为y+y2=l；(n)设点A(X1,y)、8(%,%)，联 立 匕 2 G 消去工，得(加2+2)y 2+2 m y _ l =0,/.A =8 m2+8 0,nl2m 1 /-r.2 /2（m2+1）贝5十%=-R，%=一.，i=J设圆x?+y2的圆心。到直线/的距离为d,则d =/,Jm+1广+12 _ 2阳m2+1)2 +i 8 7 2(2 m2+1)1 1 1 1 4+2 m2+1 m2+2Q O 1 Q 0 -,:.-2一一-2,.,4 V 2|A B|-|C D|2 1 6 7 2.病+2 2 2 病+2 111 1.|4如|8的取值范围为卜3,1 6 0).【点睛】本题考查椭圆方程的求解，同时也考查了椭圆中弦长之积的取值范围的求解，涉及韦达定理与弦长公式的应用，考查计算能力，属于中等题.2 1.(1)证明见解析；/=之 匚(2)(2-1)-3叫3 一(+1)n 2 4 2【解析】(1)根据题目所给递推关系式得 到%+2。向=3(%+1-%)，由此证得数列%,“为等比数列，并求得其通项公式.然后利用累加法求得数列 4的通项公式.(2)利用错位相减求和法求得数列 bn的前n项和S“【详解】(1)已知4+2 -4 a“+3 al i=0,则 4+2-4用=3(4+1-4)，且%-q=3,则%,4为以3为首相，3为公比的等比数列，3 -1所以为+1 _，=3”,=(an-4 _ 2)+(2-!)+!=.(2)由(1)得：bn=n-3-n,Tn=1X3 +2X32+n x 3 ,3 7；,=1X32+2X33+(-1)X3 +X3 +I,一可得 2 7；=3 +32+3 x 3,+|=3 3 x 3 T ,23n+l-3 n x 3,+l(2-l)x 3n+l+3-1-贝!1 7；二-244Hn c(2 z?1)x 3 1 1+3 (+l)即，=-4 2【点睛】本小题主要考查根据递推关系式证明等比数列，考查累加法求数列的通项公式，考查错位相减求和法，属于中档题.2 722.(1)平行，证明见解析；(2).4【解析】(1)由题意及图形的翻折规律可知MN应是AAB尸的一条中位线，利用线面平行的判定定理即可求证；(2)利用条件及线面垂直的判定定理可知A8_L BE,ABBF,则A B,平 面 班 尸，在利用锥体的体积公式即可.【详解】(1)证明：因翻折后8、C、O重合，:.MN应是AABE的一条中位线，:.MN/AF,平面A M,A f u平面AEF,.MN平面 AEF；解：AB上BE,ABBF,:.面班F且AB=6,BE=BF=3,A-BEF 9，Vr S 4E-ABF aSABF_ 2 7.,VK-AFMN=【点睛】本题主要考查线面平行的判定定理，线面垂直的判定定理及锥体的体积公式，属于基础题.