河北省石家庄八月2021-2022学年高三第二次诊断性检测数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项：1 .答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2 .回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3 .考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .已知某批零件的长度误差（单位：毫米）服从正态分布N（0,3 2）,从中随机取一件，其长度误差落在区间（3,6）内的概率为（）（附：若随机变量。服从正态分布N（,b 2）,则P（M c r g M +b）=6 8.2 6%,P（-2 b 4 +2 b）=9 5.4 4%.）A.4.56%B.13.59%C.27.18%D.31.74%2 .将函数/（x）=c o s2 x图象上所有点向左平移:个单位长度后得到函数g（x）的图象，如果g（无）在区间 Q,a上单调递减，那么实数”的最大值为（）兀 3A.-B.C.D.-7T8 4 2 43 .已知函数g（x）=l n 1 +l ,若,f（z）=g（）成立，则 一 的 最 小 值 为（）4 .在A A 3 C中，内角A的平分线交8c边于点O,A 3 =4,A C =8,B D=2,则八钻）的面积是（）A.1672 B.V15 C.3 D.8 G5.数学中的数形结合，也可以组成世间万物的绚丽画面.一些优美的曲线是数学形象美、对称美、和谐美的结合产物,曲线C ：（/+y 2）3 =1 6 x2y2恰好是四叶玫瑰线.给出下列结论：曲线C经过5个 整 点（即横、纵坐标均为整数的点）；曲线C上任意一点到坐标原点。的距离都不超过2;曲线C围成区域的面积大于4万；方 程(/+丁2)3 =1 6/丁2(个 0),/(+%)=f(-x),K/()=5,则b=()8 8 8A.3 B3或7 C.5 D 5或8A二；+/B.(匚+/)；7.已知复数Z=,3+4i则复数Z的虚部为()444 4A.C.-i D.一一i555 58.用数学归纳法证明:,则 当-=-上：时，左端应在-=-的基础上加上()1+2+3+-+*=C(二+1)+(=+二)+(二+/)：D C二+J)+U+/A9.已知 sin a-2cosa=1,a1 tan.3 兀、r i t)0)上的点加到其焦点尸的距离比点 到y轴的距离大;，则抛物线的标准方程为()A.y2=x B.y2=2x C.y2=4x D.y2=8x,I MA|11.已知焦点为尸的抛物线C：V=4 x的准线与x轴交于点A,点 在 抛 物 线C上，则当石曾取得最大值时，直线 的 方 程 为()A.y=x+l 或 y=-x 1 B.y=gx+g 或 y C.y=2x+2或 y=-2x 2D.y=-2,x+21 2.已知a e R若(Lai)(3+2i)为纯虚数，则a的 值 为()3 3 2A.一一 B.-C.一一2 2 3二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。2D.-31 3.已知函数/(x)=alnx 图象上一点(2,/(2)处的切线方程为y=-3x+21n2+2,贝肥+人=1 4 .关于函数/（x）=l n（2+x）l n（4-x）有下列四个命题：函数y =/（x）在（一2,4）上是增函数；函数y =/（x）的图象关于（1,0）中心对称；2不存在斜率小于y且与函数V =/（X）的图象相切的直线；函数y =/（x）的导函数y =/（X）不存在极小值.其 中 正 确 的 命 题 有.（写出所有正确命题的序号）1 5.若 （。一2）公=一，则4=.1 6.已知x =0是 函 数/（幻=%（依-ta nx）的极大值点，则“的取值范围是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.（1 2分）设数列 4的 前 项 和S“满足2 s =4+，/?GN+,见=2,（1）证明：数列 4是等差数列，并求其通项公式；,1（2）设“=凡，I 7=,求证：T”=a+b,T-b 1.4+1+4+4 1 8.（1 2分）超级病菌是一种耐药性细菌，产生超级细菌的主要原因是用于抵抗细菌侵蚀的药物越来越多，但是由于滥用抗生素的现象不断的发生，很多致病菌也对相应的抗生素产生了耐药性，更可怕的是，抗生素药物对它起不到什么作用，病人会因为感染而引起可怕的炎症，高烧、痉挛、昏迷直到最后死亡.某药物研究所为筛查某种超级细菌，需要检验血液是否为阳性，现 有 （e N*）份血液样本，每个样本取到的可能性均等，有以下两种检验方式：（1）逐份检验，则需要检验 次；（2）混合检验，将其中A （A e N*且“22）份血液样本分别取样混合在一起检验，若检验结果为阴性，这A份的血液全为阴性，因而这A份血液样本只要检验一次就够了，如果检验结果为阳性，为了明确这A份血液究竟哪几份为阳性，就要对这4份再逐份检验，此时这A份血液的检验次数总共为左+1次，假设在接受检验的血液样本中，每份样本的检验结果是阳性还是阴性都是独立的，且每份样本是阳性结果的概率为p .（1）假设有5份血液样本，其中只有2份样本为阳性，若采用逐份检验方式，求恰好经过2次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率；（2）现取其中*（%e N”且ZN2）份血液样本，记采用逐份检验方式，样本需要检验的总次数为。，采用混合检验方式，样本需要检验的总次数为幺(i)试运用概率统计的知识，若 监=E$，试求P关于4的函数关系式 =/(%)；(i i)若，=1一 关，采用混合检验方式可以使得样本需要检验的总次数的期望值比逐份检验的总次数期望值更少，求k的最大值.参考数据：l n 2 0.69 31,l n 3 1.0 9 8 6,I n 4 1.38 63,I n 5 a l.60 9 4,l n 6a 1.7 9 1 81 9.(1 2分)如图，正方形A G/C是某城市的一个区域的示意图，阴影部分为街道，各相邻的两红绿灯之间的距离相等,A/处为红绿灯路口，红绿灯统一设置如下：先直行绿灯30秒，再左转绿灯30秒，然后是红灯1分钟，右转不受红绿灯影响，这样独立的循环运行.小明上学需沿街道从/处骑行到A处(不 考 虑4 /处的红绿灯)，出发时的两条路线LTF,ITH)等可能选择，且总是走最近路线.田田(1)请问小明上学的路线有多少种不同可能？(2)在保证通过红绿灯路口用时最短的前提下，小明优先直行，求小明骑行途中恰好经过E处，且全程不等红绿灯的概率；(3)请你根据每条可能的路线中等红绿灯的次数的均值，为小明设计一条最佳的上学路线，且应尽量避开哪条路线？2 0.(1 2分)已知各项均为正数的数列 4 的前项和为S,且4 =1,风=底+6：(GN*,且 2 2)(1)求数列%的通项公式;1 1 1 1 3 证 明：当 心2时，亚+记+总 52 1.(1 2分)已 知 点P是抛物线。：=一%2-3的顶点，A，B是C上的两个动点，且 刀.p =4.4(1)判断点。(0,1)是否在直线AB上？说明理由；(2)设点”是 Q钻的外接圆的圆心，点M到x轴的距离为d,点N(l,0),求|M N|一d的最大值.2 2.(1 0分)一个工厂在某年里连续1 0个月每月产品的总成本y(万元)与该月产量 (万件)之间有如下一组数据:X1.081.121.191.281.361.481.591.681.801.87y2.252.372.402.552.642.752.923.033.143.26(i)通过画散点图，发现可用线性回归模型拟合y与x的关系，请用相关系数，-加以说明；(2)建立月总成本y 与月产量X 之间的回归方程；通过建立的量关于X的回归方程，估计某月产量为1.98万件时，产品的总成本为多少万元？(均精确到0.001)10 10 I 10 I 10附注：参考数据：2千=1445,y,.=27.31,-10 x2 0.850,L 0 4 2 f A=L223-i=l I V Z=1 V Z=1参考公式:a-y-b x.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】试题分析：由题意 P(-33)=68.26%,P(-6 6)=95.44%,/.P(36)=1(95.44%-68.26%)=13.59%.故选B.考点：正态分布2.B【解析】根据条件先求出g(x)的解析式，结合三角函数的单调性进行求解即可.【详解】将函数/(x)=cos2x图象上所有点向左平移:个单位长度后得到函数g(x)的图象,则 g(x)=cos271X+4=cos 2x+工I 2TT设e=2尢+，271 71 71则当时，02 xW 2a,一 2xH 4 2。H ,2 2 2TT TT即一 6 2 a+,2 2要使g (x)在区间 OM 上单调递减，71 71 71则2。+4 得2。一，得。0),：.n-m =2e-2nt-2,7令：(r)=2 T-2 I n r-2,/?,(/)=2 e,-y,)在(0,+”)上增，且(1)=0,所以/i(f)在(0,1)上减，在(1,+8)上增，所以().=(1)=2-2 =0,所以一的最小值为0.故选：A【点睛】本题主要考查了导数在研究函数最值中的应用，考查了转化的数学思想，恰当的用一个未知数来表示 和?是本题的关键，属于中档题.4.B【解析】利用正弦定理求出C。，可得出BC,然后利用余弦定理求出co s3,进而求出si n 8,然后利用三角形的面积公式可计 算 出 的 面 积.【详解】.A）为 AC的角平分线，则N84=NC4O.NADB+NADC=7T,则 NADC=;r NA/犯，sin ZADC=sin（乃-ZADB）=sin ZADB,在AABD中，由正弦定理得在AACO中，由正弦定理得sin ZADB sin NBADAC CDsin ZADB sin/BAD,8 CDsin ZADC sin ZADCsin ZADC sin ZCAD2 1十得一=一，解得 CD=4,：.BC=BD+CD=6,CD 2,n+-eirT m Z H AB+BC AC 1 .I 2 r.Jl 5由余弦定理得cos B=-=，sin B=川 一cos B=-，2ABBC 4 4因此，/$的面积为5初=：4 8 8。4118=后.故选：B.【点睛】本题考查三角形面积的计算，涉及正弦定理和余弦定理以及三角形面积公式的应用，考查计算能力，属于中等题.【解析】利用基本不等式得/+/4 4,可判断；/+丁=4和卜2 +,2)3=6 丁联立解得尤2 =丫2=2可判断(；由图可判断.【详解】X2+y2=16fy2 2=2时取等号)，则正确；将/+y2=4和(/+2 )3=6*2,2 联立，解得*2 =/2=2,即圆 x?+y?=4 与曲线 C 相切于点(,y/2,y/2,1-&，-丘),-逝)，则和都错误：由 孙 O),若/(g +x)=/(g x),则/(X)的图象关于x =对称，8 8 o7T又/(一)=5,所以2+6=5或 2+6=5,8所以的值是7或3.故选：B.【点睛】本题考查的是三角函数的概念及性质和函数的对称性问题，属基础题7.B【解析】利用复数的运算法则、虚部的定义即可得出【详解】5 5(3-4 z)3 4.3+4 i(3+4 z)(3-4 z)5 54则复数z的虚部为故选：B.【点睛】本题考查了复数的运算法则、虚部的定义，考查了推理能力与计算能力，属于基础题.8.C【解析】首先分析题目求用数学归纳法证明1+1+3+亦=，+一时，当n=k+l时左端应在n=k的基础上加上的式子，可以分别2使 得n=k,和n=k+l代入等式，然后把n=k+l时等式的左端减去n=k时等式的左端，即可得到答案.【详解】当n=k时，等式左端=1+1+k l当 n=k+l 时,等式左端=1+1+1?+1?+1+1?+1+(k+1)I 增加了项(k*+l)+(k*+l)+(k*+3)+.+(k+1)1.故选：C.【点睛】本题主要考查数学归纳法，属于中档题./9.B【解 析】结 合5抽2。+8 5 2。=1求 得411%的值，由此化简所求表达式，求得表达式的值.【详 解】sine 2cos。=1 3 7 3 4由4.2 2,，以 及a e(肛二)，解 得sina=一二,cosa=一-.sin-a+cos-a=1 2 5 521 -tan cos cos-sin I cos-sin-I l-2cossin_=_ 2_=2 2=I 2 2J=2,a.a a.a(a a V a.a、.21 +tan sin cos+sin cos sin cos+sin cos sin1+2 2 2 I 2 2 JI 2 2)2a2l-sin,6z _ 1 -5-cos a _ 45故选：B【点 睛】本小题主要考查利用同角三角函数的基本关系式化简求值，考查二倍角公式，属于中档题.10.B【解 析】由抛物线的定义转化，列 出 方 程 求 出p,即可得到抛物线方程.【详 解】由 抛 物 线y2=2px(p 0)上 的 点M到 其 焦 点F的 距 离 比 点M到y轴 的 距 离 大;，根据抛物线的定义可得g =；,：.p=,所以抛物线的标准方程为：y2=2x.故 选B.【点 睛】本题考查了抛物线的简单性质的应用，抛物线方程的求法，属于基础题.11.A【解 析】过M作MP与准线垂直,垂 足 为P,利用抛物线的定义可得MAMFMA _ 1 _ 1MP cos ZAM P cos ZM AF要使出M F 最大，则NA ME应 最 大，此 时A M与 抛 物 线C相切，再用判别式或导数计算即可.【详 解】11过 作MP与准线垂直,垂 足 为P,MAMFMAMPcos ZAM P cos NM AFM A则 当 品 一 取得最大值时，NM4F最 大，此 时A M与 抛 物 线C相切,M F 易知此时直线A M的斜率存在，设 切 线 方 程 为y =R(x+D,y =(x +1)则 a2 3”0_32故选：A【点 睛】本题考查复数的运算和复数的分类，属基础题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共2 0分。1 3.1【解析】求出导函数，由切线方程得切线斜率和切点坐标，从而可求得“力.【详解】由题意 f x -2 b x,XV函数图象在点(2,/(2)处的切线方程为y =-3x+2 1 n 2 +2,0-4。=-32Q I n 2 4-h 6+2 I n 2 +2a=2，解得b=l:.a+b 3.故答案为：1.【点睛】本题考查导数的几何意义，求出导函数是解题基础，1 4.0【解析】由单调性、对称性概念、导数的几何意义、导数与极值的关系进行判断.【详解】函数/(x)=I n(2+x)I n(4-x)的定义域是(-2,4),由于/(%)=I n (2 +x)-I n (4-x)=I n +x-in(1 H ),4 一 冗 4-x =1+4在(2,4)上递增，.函数=耳 在(-2,4)上是递增，正确；/(2x)=ln(4 -x)ln(2+x)=-/(x)，二函数y =的图象关于(1,0)中心对称，正确;1 1 6 6 6 2_I _=_ _ 2+x 4-x 8+2x-x2 -(x-1)2+9-9-3x =l时取等号，正确;&)=+=导有设g(x)=/(x)，则蟹8)2,显然A1是g(x)即 八X)的极小值点，错误.故答案为：.【点睛】本题考查函数的单调性、对称性，考查导数的几何意义、导数与极值，解题时按照相关概念判断即可，属于中档题.15.2【解析】直接利用关系式求出函数的被积函数的原函数，进一步求出。的值.【详解】解：若(n-f 心=|,贝!,即 4一2=1，所以0=2.3 3故答案为：2.【点睛】本题考查的知识要点：定积分的应用，被积函数的原函数的求法，主要考查学生的运算能力和转换能力及思维能力，属于基础题.16.(-0),11【解析】方法一:令 g(x)=o r-ta n x,则法 x)=x g(x),gx)=a,当 aV l,x e(-工，工)时，g (x)g(0)=0,f(x)=x-g(x)0,.,./()在(,0)上22ITTT单调递增，x e(0,一)时，g(x)g(0)=0,/(x)=x-g(x)0,且尸(幻=帮，()+8(*)1时，存在/%)使得cosr=7 ,即g =0,1TT又g )=。一一 在(0,彳)上单调递减，.x e(U)时，gt)=Of g(x)g(O)=。，所以x)=xg(x)/(0)=0,cos x 2这与x=0是函数A x)的极大值点矛盾.综上，al.方法二：依据极值的定义，要使x=0是函数/(x)的极大值点，由/(0)=0知须在x=0的左侧附近，f(x)0；在1=0的右侧附近，/(x)E)可 得;),设 x)=ln x(x 0)，利用导函数判断了(x)的单调K D D性,由单调性可求出攵的最大值【详解】（1）设恰好经过2次检验能把阳性样本全部检验出来为事件A,则尸（止A胃 2 A 脸1.恰好经过两次检验就能把阳性样本全部检验出来的概率为A（2）（i）由已知得E。=3 3的所有可能取值为1，攵+1，=k +1)=)，.低)=(1_)&+伏+1)1_(1_同 =女 +1_(1_)”,若 石 信)=石 ),则4=Z+l_ l_ p)”,则(1 K.P关于A的函数关系式为p=3u(k&K,S.k2)（ii）由题意知 E（幻 E）,得、（1一）,K设/(x)=lnx-gx(x 0),则 r(x)=-；,令/(%)=0,则X =；,.当x 3时,/(X)一,3Xln51.6094,11.6667,u 5二.In 5 一,3的最大值为4【点睛】本题考查古典概型的概率公式的应用，考查随机变量及其分布,考查利用导函数判断函数的单调性19.(1)6 种；(2)；(3)I TFTCTBTA”64【解析】(1)从 4 条街中选择2 条横街即可；(2)小明途中恰好经过E 处，共有4 条路线，即/f f E A,ITHTETB A,I f F f E f D f A,I f F f E f B f A,分别对4 条路线进行分析计算概率；(3)分别对小明上学的6 条路线进行分析求均值，均值越大的应避免.【详解】(1)路途中可以看成必须走过2 条横街和2 条竖街，即从4 条街中选择2 条横街即可，所以路线总数为C；=6条.(2)小明途中恰好经过E 处，共有4 条路线：当走E f D f A 时，全程不等红绿灯的概率P|=：x：x；x l =；当走E f A 时，全程不等红绿灯的概率P 2=；x j x；x；=；当走/一 尸 E f D f A 时，全程不等红绿灯的概率P3=；x；x；x l =(；当走/一 尸.E f 3-A 时，全程不等红绿灯的概率P 4=x；x；x；=.所以途中恰好经过E 处，且全程不等信号灯的概率3 3 1 3 11 =1+仍 +=1-1-1-=2 3 4 32 128 32 128 64(3)设以下第i 条的路线等信号灯的次数为变量X”则第一条：-Of A,%小 怖)，则 E(Xj =g；第二条：F f C f B f A,X 2 B 0,|,贝！|E(X2)=3X：=：；另外四条路线：1 f H f G f D i A;I TH TETBTA；1 1 F T E f D f A；/尸E fB -A,X；B(2,1)a =3,4,5,6),则 E(X,)=2x =|(i =3,4,5,6)综上，小明上学的最佳路线为/fH fE fD fA；应尽量避开/f Ff Cf A.【点睛】本题考查概率在实际生活中的综合应用问题，考查学生逻辑推理与运算能力，是一道有一定难度的题.20.(1)an=2 n-l(2)见证明【解析】(1)由题意将递推关系式整理为关于s与S“_的关系式，求得前n项和然后确定通项公式即可;(2)由题意结合通项公式的特征放缩之后裂项求和即可证得题中的不等式.【详解】1)由4=底+卮，得 S,-5 7=6+心=，即 尤 瓦=KN2),所以数列 底 是以6=苑=1为首项，以1为公差的等差数列，所 以 卮=1+(-1)x 1=，即 S“=2，当N2 时,当=1 时，4=号=1,也满足上式，所 以 勺=2-1；,_ 1 1 1 11 I f 1 0(2)当2 2 时，-=-nan n(2n-1)”(2-2)2 (一 1)2(一 1 n)【点睛】给出S“与勺 的递推关系，求引，常用思路是：一是利用a“=S“-S,i 转化为斯的递推关系，再求其通项公式；二是转化为S”的递推关系，先求出S”与之间的关系，再求斯.21.(1)不在，证明见详解；(2)鲂取8【解析】(1)假设直线方程丁=依+。，并于抛物线方程联立，结合韦达定理，计 算 丽.丽=T，可得h =-1，然后验证可得结果.(2)分别计算线段P A P B 中垂线的方程，然后联立，根 据(1)的条件可得点M的轨迹方程y=2/,然后可得焦点 F,结合抛物线定义可得|N|-d w|N 同+J,计算可得结果.8【详解】(1)设直线方程y=+6,4(石,Y),8(工 2，%)根据题意可知直线斜率一定存在，P(o,-3)y=kxb贝“1 2=X2-4 AX-4（3 +/?）=0y=x -3I 4=-4（3+Z?）,x,+w=4%=（4 y+I 6/7+48PA=（xl,yl+3）,依=（孙 必+3）则 P A P B =xix2+（x +3）（%+3）PA-PB=xlx2+yty2+3（+y2）+9yty2=（Q +力）（5+匕）=左与然2+奶（玉 +x2）+b2X +%=kx、+b+kx2+b=kxx+x2）+2/?PA-PB=k2+1）X%2+（3女 +奶）（玉 +x2）+Z?2+6b+9由 M =T所以（左2+1）石电+（3左 +妨）（X +x2）+Z?2+6b+9-4将 百/=T（3+0）,X +/=4 k代入上式化简可得。2+2b +l=0,所以Z?=1则直线方程为y=履-1,所以直线过定点（0,1）,=（-U p+1 6人+48 0所以可知点。（0,1）不在直线上.（2）设M（%“，）线段PA的中点为线段P B的中点为G（年,之，）v +3则直线P A的斜率为kpA=1 ,芭%+3直线P B的斜率为kpB=可 知 线 段 的 中 垂 线 的 方 程 为y-三 口 =-一 三 彳一?2 y+3l 2i 4 x2由 乂 北 片 一3 所以上式化简为=一 下+方 一】4 x2即线段PA的中垂线的方程为y=-玉x,8同理可得:2线段P B的中垂线的方程为y=-ix22 84 jJ iy =-7%+1x22 8 _4 x；=y =7 X+1%2 832 832由（1）可知：%+%=4左=4（3+6）=-8yMXM=kJM=2k?32即M（Z,2巧，所以点轨迹方程为1=2f所以|MN|_ d=|MN|_|MF|百 尤2（尤I+%2）则所以加XjX2（Xj+人）Xj+玉元2-8焦点为尸（0,；当M,N,E三点共线时，|MN|d有最大所以|MN|-d =|MN|-|M可+，引N目8【点睛】+病81=-8+本题考查直线于抛物线的综合应用，第（1）问中难点在于计算处，第（2）问中关键在于得到点M的轨迹方程，直线与圆锥曲线的综合常常要联立方程，结合韦达定理，属难题.22.（1）见解析；（2）$=1.223x +0.9643.386（万元）【解析】唇-代 利 用 小年;代 入 数 值,求 出 后即可得解;斤 3(2)计 算 出了、歹后，利 用4=歹 一 宸 求 出4后即可得解;把x=1.98代入线性回归方程，计算即可得解.【详 解】(1)由已知条件得,Zx2-iori=lr=1.223 0.998,1.042说 明y与x正相关，且相关性很强.10 10(2)由已知求得 _ 二 七 一，广，-e r,，a y-b x =2.731 -1.223 x 1.445 0.964x=1.445 y=2.731 10 10所 以，所 求 回 归 直 线 方 程 为9=L223x+0.964.当 x=1.98时，y=1.223x1.98+0.964 a 3.386(万元),此时产品的总 成 本 约 为3.386万元.【点 睛】本题考查 了 相 关 系 数，一的应用以及线性回归方程的求解和应用，考查了计算能力，属于中档题.