2018年数学真题及解析_2018年上海市高考数学试卷.pdf

2018年上海市高考数学试卷一、填空题（本大题共有12题，满分54分，第广6题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.（4.00分）行列式4 1的值为.2 52 ,2.（4.00分）双曲线工-y2=i的渐近线方程为43.（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，X2项 的 系 数 为 （结果用数值表示）.4.（4.00分）设常数aGR,函数f （x）=l o g2（x+a）.若f （x）的反函数的图象经过点（3,1）,则a=.5.（4.00分）已知复数z满 足（l+i）z=l -7 i （i是虚数单位），则|z|=.6.（4.00分）记等差数列 a j的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a 7=1 4,则S7=.7.（5.00 分）已知 a S -2,-1,-工，L 1,2,3）,若基函数 f （x）为2 2奇函数，且 在（0,+）上递减，则a=.8.（5.00分）在平面直角坐标系中，已知点A （-1,0）、B（2,0）,E、F是y轴上的两个动点，且I而1=2,则 标 丽 的 最 小 值 为.9.（5.00分）有编号互不相同的五个祛码，其中5克、3克、1克祛码各一个，2克祛码两个，从中随机选取三个，则这三个祛码的总质量为9克的概率是（结果用最简分数表示）.1 0.（5.00分）设等比数列 a j的通项公式为a n=q n T（n W N*）,前n项和为S.若廿 8 an+i 21 1.（5.00分）已知常数a0,函数f （x）=2，的图象经过点P （p,Q2x+a x 5（q,）.若 2 P q=36 pq,则 a=.51 2.（5.00 分）已知实数 Xi、X2、yi、丫2满足：x i2+yi2=l,x22+y22=l，x i x2+yi y2=，2则 _爸 +上 修 的最大值为二、选择题（本大题共有4 题，满分20分，每题5 分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.2 213.（5.00分）设 P 是椭圆 工 上=1上的动点，则 P 到该椭圆的两个焦点的距5 3离之和为（）A.2&B.2A/3C.2代 D.47214.（5,00 分）已知 a R,则al是 L v i 的（）aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件15.（5.00分）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设 AAi是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AAi为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）1 6.（5.00分）设 D 是含数1 的有限实数集，f（x）是定义在D 上的函数，若 f（x）的图象绕原点逆时针旋转型后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的6可能取值只能是（）A.愿B.返C.返D.02 3三、解答题（本大题共有5 题，满分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（14.00分）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为。，半径为2.(1)设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；(2)设 P0=4,OA、OB是底面半径，且NAOB=90。，M 为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与 0B 所成的角的大小.18.(14.00 分)设常数 a d R,函数 f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若 f(x)为偶函数,求 a 的值；(2)若 f(2 L)=后 1,求方程f(x)=1-&在区间-R,用上的解.419.(14.00分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S 中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S 中x%(0 x 1 0 0)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,0 x30f(x)=i gnn(单位：分钟)，2 x+i-9 0,30 x 2.在平面直角坐标系xOy中，已知点F(2,0),直线 I：x=t,曲线：y2=8x(OWxWt,丫20).I 与 x 轴交于点A、与 交于点B.PQ 分别是曲线 与线段AB上的动点.(1)用 t 表示点B 到点F 的距离；(2)设 t=3,FQ|=2,线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；(3)设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E 在 上？若存在,求点P 的坐标；若不存在，说明理由.21.（18.00分）给定无穷数列 aj,若无穷数列 b j满足：对任意n d N*,都有|bn-an|l,则称 b j 与 a j 接近（1）设 a#是首项为1，公比为上的等比数列，bn=an，i+l,n G N*,判断数列 b j2是否与 an接近，并说明理由；（2）设数列 a j的前四项为：a i=l,a2=2,a3=4,a4=8,b j是一个与 a j接近的数列，记集合M=x x=bi，i=l,2,3,4）,求M中元素的个数m；（3）已知 a j是公差为d的等差数列，若存在数列 b j满足：砧力与 a j接近，且在b2-b i，b3-b2,.b20i-b2Oo中至少有100个为正数，求d的取值范围.2018年上海市高考数学试卷参考答案与试题解析一、填 空 题（本大题共有12题，满 分54分，第 广6题每题4分，第712题每题5分）考生应在答题纸的相应位置直接填写结果.1.（4.00分）行 列 式4 1的 值 为 18.2 5【分析】直接利用行列式的定义，计算求解即可.【解答】解：行 列 式 4 1=4X5-2X1=18.2 5故答案为：18.【点评】本题考查行列式的定义，运算法则的应用，是基本知识的考查.22.（4.00分）双曲线 J-y 2=l 的渐近线方程为 土 工 文.【分析】先确定双曲线的焦点所在坐标轴，再确定双曲线的实轴长和虚轴长，最后确定双曲线的渐近线方程.2 6【解答】解：.双曲线2_ 2的 a=2,b=l,焦点在x轴上4 丫2 2,而双曲线ZJ-的渐近线方程为y=kxa2 b2 a双曲线子2 _ 了门 12=1的渐近线方程为y=lx故答案为：y=lx【点评】本题考察了双曲线的标准方程，双曲线的几何意义，特别是双曲线的渐近线方程，解题时要注意先定位，再定量的解题思想3.（4.00分）在（1+x）7的二项展开式中，X2项 的 系 数 为 21（结果用数值表示）.【分析】利用二项式展开式的通项公式求得展开式中X2的系数.【解答】解：二 项 式(1+X)7展开式的通项公式为Tr l=cr.xr,令 r=2,得展开式中x?的系数为C2=21.故答案为：21.【点评】本题考查了二项展开式的通项公式的应用问题，是基础题.4.(4.00分)设 常 数 aR,函数f(x)=log2(x+a).若 f(x)的反函数的图象经 过 点(3,1),则 a=7.【分析】由反函数的性质得函数f(x)=log2(x+a)的图象经过点(1,3),由此能求出a.【解答】解：.常数a R,函数f(x)=log2(x+a).f(x)的反函数的图象经过点(3,1),二函数f(x)=log2(x+a)的图象经过点(1,3),Iog2(1+a)=3,解 得 a=7.故答案为：7.【点评】本题考查实数值的求法，考查函数的性质等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.5.(4.00分)已 知 复 数 z满 足(l+i)z=l-7 i(i 是虚数单位)，则 I z I =5.【分析】把已知等式变形，然后利用复数代数形式的乘除运算化简，再由复数求模公式计算得答案.【解答】解：由(l+i)z=l-7i,得 zJ-7 i=(l-7i)(1-i),2 6 2 8 1 ,l+i (l+i)(1-i)2则 寸(_ 3)2+1)2=5.故答案为：5.【点评】本题考查了复数代数形式的乘除运算，考查了复数模的求法，是基础题.6.（4.00分）记等差数列an的前n项和为Sn,若a3=0,a6+a7=14,则S7=14【分析】利用等差数列通项公式列出方程组，求出ai=-4,d=2,由此能求出S.【解答】解：:等 差数列国 的前n项和为Sn，83=0,a6+a7=14,.71+2d=0a1+5d+a 1+6d=14解得 3i=-4,d=2,，S7=7ai+221A 于-28+42=14.2故答案为:14.【点评】本题考查等差数列的前7项和的求法,考查等差数列的性质等基础知识,考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.7.（5.00 分）已知 ad -2,-1,-工，1,2,3）,若基函数 f（x）=x为2 2奇函数，且 在（0,+）上递减，则a=-1.【分析】由基函数f（x）=x。为奇函数，且 在（0,+8）上递减，得到a是奇数，且a 0,函数f (x)=，！_的图象经过点P (p,2)，Q2x+a x 5(q,若 2P p=3 6p q,则 a=6.5【分析】直接利用函数的关系式，利用恒等变换求出相应的a 值.【解答】解：函数f (x)=上一的图象经过点P (p,1),Q(q,J _).2x+a x 5 5则:上+上442p+a p 2q+a q 5 5整理得：2小+2飞+2付+2 832p+q+2pa q+2qa p+a2p q解得：2P p=a 2p q,由于：2PP=36pq,所以：a=36,由于a 0,故：a=6.故答案为：6【点评】本题考查的知识要点：函数的性质的应用，代数式的变换问题的应用.12.（5.00 分）已知实数 Xi、X?、yi 丫2满足:x j+y/1,X22+y22=l XiX2 yiy2=2则 人1+3-1|+人2+.-1|的 最 大 值 为 _ 亚 _.V2 V2-【分析】设 A（x i，y i）,B（x2,y2）,0A=（x】，yD，QB=（x2,y2）,由圆的方程和向量数量积的定义、坐标表示，可得三角形O A B为等边三角形，AB=1,鼠1+口1 X 2+一 的几何意义为点A,B两点到直线x+y-1=0的距离由V2 V2与d2之和，由两平行线的距离可得所求最大值.【解答】解：设 A（X1，y i）,B（x2,y2）,0A=（x i，y i）,0B=（X2，y2）由 Xi2+yi2=l,X22+y22=l xiX2+yiy2=2可得A,B两点在圆x2+y2=l上，-EL0A*0B=l X IX cosNAOB，2即有 NAOB=60。，即三角形OAB为等边三角形，AB=1,鼠1+口-1%鼠2+.-1 1的几何意义为点AB两点V2 V2到直线x+y-1=0的距离由与ch之和，显然A,B在第三象限，AB所在直线与直线x+y=l平行，可设 AB：x+y+t=O,（t 0）,由圆心0到直线A B的距离d可得a/号1,解 得t=除，声即 有 两 平 行 线 的 距 离 为-遮,V2 2即 除1+口-1|+废2+.-1 1的 最 大 值 为 亚 遥,V2 V2故答案为：V2+V3.【点评】本题考查向量数量积的坐标表示和定义，以及圆的方程和运用，考查点与圆的位置关系，运用点到直线的距离公式是解题的关键，属于难题.二、选 择 题（本大题共有4题，满 分20分，每 题5分）每题有且只有一个正确选项.考生应在答题纸的相应位置，将代表正确选项的小方格涂黑.13.（5.00分）设P是椭圆上的动点，则P到该椭圆的两个焦点的距离 之 和 为（）A.2 a B.2V3C.2辰D.4&【分析】判断椭圆长轴（焦点坐标）所在的轴，求 出a,接利用椭圆的定义，转化求解即可.2 2 _【解答】解：椭圆 匚 工=1的焦点坐标在x轴，a=后,5方2 2P是椭圆2 _上1上的动点，由椭圆的定义可知：则P到该椭圆的两个焦点的5 3距离之和为2a=2爬.故选：C.【点评】本题考查椭圆的简单性质的应用，椭圆的定义的应用，是基本知识的考查.14.（5,00 分）已知 a G R,则“a l是 L v i 的（）aA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件 D.既非充分又非必要条件【分析】或aVO”,由此能求出结果.a a【解答】解:a G R,则a l一工1,a或 aVO,a是 工1”的充分非必要条件.a故选:A.【点评】本题考查充分条件、必要条件的判断，考查不等式的性质等基础知识,考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.15.（5.00分）九章算术中，称底面为矩形而有一侧棱垂直于底面的四棱锥为阳马，设AA是正六棱柱的一条侧棱，如图，若阳马以该正六棱柱的顶点为顶点、以AAi为底面矩形的一边，则这样的阳马的个数是（）【分析】根据新定义和正六边形的性质可得答案.【解答】解：根据正六边形的性质，则DAiABBi，%-AiAFFi满足题意，而Ci，Ei，C,D,E,和 D一样,有 2X6=12,当AiACCi为底面矩形，有2个满足题意，当AiAEEi为底面矩形，有2个满足题意，故有 12+2+2=16故选：D.【点评】本题考查了新定义，以及排除组合的问题，考查了棱柱的特征，属于中档题.1 6.（5.00分）设D是 含 数1的有限实数集，f（x）是定义在D上的函数，若f（x）的图象绕原点逆时针旋转工后与原图象重合，则在以下各项中，f（1）的6可能取值只能是（）A.B.返 C.返 D.02 3【分析】直接利用定义函数的应用求出结果.【解答】解：由题意得到：问题相当于圆上由12个点为一组，每次绕原点逆时针旋转2 L个单位后与下一个点会重合.6_我们可以通过代入和赋值的方法当f（1）=代，返，0时，此时得到的圆心角为32L,2L,0,然而此时x=0或 者x=l时，都 有2个y与之对应，而我们知道函数3 6_的定义就是要求一个x只能对应一个y,因此只有当x=返，此时旋转变，此时2 6满足一个x只会对应一个y,因此答案就选：B.故选：B.【点评】本题考查的知识要点：定义性函数的应用.三、解 答 题（本大题共有5题，满 分76分）解答下列各题必须在答题纸的相应位置写出必要的步骤.17.（14.00分）已知圆锥的顶点为P,底面圆心为O,半径为2.（1）设圆锥的母线长为4,求圆锥的体积；（2）设PO=4,OA、OB是底面半径,且NAOB=90,M为线段AB的中点，如图.求异面直线PM与 OB所成的角的大小.【分析】(1)由圆锥的顶点为P,底面圆心为0,半径为2,圆锥的母线长为4能求出圆锥的体积.(2)以。为原点，0A 为x 轴，0 B 为y 轴，0 P 为z 轴，建立空间直角坐标系，利用向量法能求出异面直线PM与0B 所成的角.【解答】解：(1)圆锥的顶点为P,底面圆心为0,半径为2,圆锥的母线长为4,.圆锥的体积 v=l-X JI X r2 x h=-X n X 22 x N 42 _22o o_ 队后兀-3(2)VP0=4,OA,OB 是底面半径，且NAOB=90。，M 为线段AB的中点，二以。为原点，0A 为x 轴，0B 为 y 轴，0 P 为 z 轴，建立空间直角坐标系，P(0,0,4),A(2,0,0),B(0,2,0),M(1,1,0),0(0,0,0),而=(1,1,-4),Q&=(0,2,0),设异面直线PM与 0B 所成的角为0,则 3 9=叵硬=返.I P M|O B|V 1 8 2 6-os返.6_.,.异面直线PM与0B 所成的角的为arccos返 .6【点评】本题考查圆锥的体积的求法，考查异面直线所成角的正切值的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题.18.(14.00 分)设常数 a G R,函数 f(x)=asin2x+2cos2x.(1)若f(x)为偶函数，求a的值；(2)若f(工)=75+1,求方程f(x)=1-&在区间-兀，加上的解.4【分析】(1)根据函数的奇偶性和三角形的函数的性质即可求出，(2)先求出a的值，再根据三角形函数的性质即可求出.【解答】解：(1)Vf(x)=asin2x+2cos2x,/.f(-x)=-asin2x+2cos2x,Vf(x)为偶函数，Af(-x)=f(x),，-asin2x+2cos2x=asin2x+2cos2x,2asin2x=0,a=0；(2)v f(2 L)=后 1,4.asin_2L+2cos2(2L.)=a+l=Vsl，2 4 .*.f(x)=A/3sin2x+2cos2x=/in2x+cos2x+l=2sin(2x+-)+1,V f(x)=1-a,A 2sin(2X+2L)+1=1-五,6Asin(2X+2 L)=-返，6 2.2X+2L=-2L+2kR,或 2x+2L+2kn,kGZ,6 4 6 4/.x=-.ZLn+kn,或 x=A+k7i,kez,24 24V x -n,R,/.x=13 兀或 x=19 兀或 x=-x=-I!兀.24 24 24 24【点评】本题考查了三角函数的化简和求值，以及三角函数的性质，属于基础题.19.(14.00分)某群体的人均通勤时间，是指单日内该群体中成员从居住地到工作地的平均用时.某地上班族S中的成员仅以自驾或公交方式通勤.分析显示：当S中x%(0 x 1 0 0)的成员自驾时，自驾群体的人均通勤时间为30,0 x30f(x)=1800/(单位：分钟)，2X+AL-90,30X 4 0时x的取值范围即可；(2)分段求出g(x)的解析式，判断g(x)的单调性，再说明其实际意义.【解答】解；(1)由题意知，当3040,X即 x2-65x+9000,解得xV2O或x45,A xe(45,10 0)时，公交群体的人均通勤时间少于自驾群体的人均通勤时间；(2)当 0VxW 30 时,g(x)=30 x%+40(1-x%)=40一2；10当 30 x 2.在平面直角坐标系xO y中，已知点F（2,0）,直线I：x=t,曲线：y2=8x（OWxWt,y 2 0）.I与x轴交于点A、与 交于点B.P、Q分别是曲线 与线段AB上的动点.（1）用t表示点B到点F的距离；（2）设t=3,|F Q|=2,线段OQ的中点在直线FP上，求AQP的面积；（3）设t=8,是否存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在 上？若存在,求点P的坐标；若不存在，说明理由.【分析】（1）方法一：设B点坐标，根据两点之间的距离公式，即可求得|BF|；方法二：根据抛物线的定义，即可求得【BF|；（2）根据抛物线的性质，求得Q点坐标，即可求得O D的中点坐标，即可求得直线PF的方程，代入抛物线方程，即可求得P点坐标，即可求得AQP的面积;（3）设P及E点坐标，根据直线kpFk F Q=-l,求得直线Q F的方程，求得Q点2 2坐标，根 据 是 国 前，求得E点坐标，则（强*-）2=8（二+6）,即可求得P点坐标.【解答】解：（1）方法一：由题意可知：设B（t,2&t）,则 N W(L 2)2+8t=t+2,/.|BF|=t+2；方法二：由题意可知：设B（t-2&D，由抛物线的性质可知：|BF|=t+3t+2,，【BF=t+2；2(2)F (2,0),|FQ|=2,t=3,则|FA|=1,./A Q|=F，.，.Q(3,a),设 OQ 的中点 D,D(芭，亚)，2 2k济。QF=-.=-M，则直线 PF 方程：y=-A/3(x-2),f-2联立（尸二行（x-2）y2=8x整理得:3x2-20 x+12=0,解得：x=,x=6(舍去)，3.AQP 的面积 S=J X 7 3 X 1=2 1；2 3 62 2(3)存在，设 P (二，y),E (m),则 kpF=8 8 乙 y2-1684“2_ 16-y8y2 2 2 2直线 QF 方程为 丫=回工(x-2),.-.yci=l X _(8 -2)=4 8-3 y ,Q(8,4 8-3 y )；8y 8y 4y 4y2 2根 据 命 我 直，则E （二+6,螫 匚），8 4y2 2.（图匕_）2=8（二+6）,解得：y2=W,4y 8 5二存在以FP、FQ为邻边的矩形FPEQ,使得点E在 上，且P （2,生区）.5 5【点评】本题考查抛物线的性质，直线与抛物线的位置关系，考查转化思想，计算能力，属于中档题.2 1.（1 8.0 0分）给定无穷数列 aj,若无穷数列 b j满足：对任意n W N*,都有|6-a n W1,则称 6与国 接近（1）设E 是首项为1,公比为上的等比数列，b n=a n，i+l,n N*,判断数列 b j2是否与 a n 接近，并说明理由；（2）设数列 a j的前四项为:a i=l,a2=2,a3=4,a4=8,b j是一个与 a j接近的数列，记集合M=x|x=b“i=l,2,3,4）,求M中元素的个数m；（3）已知 a n是公差为d的等差数列，若存在数列 bn满足：bn与 a n接近，且在b2-bi，b3-b2，b2 0i -b2 Oo中至少有1 0 0个为正数，求d的取值范围.【分析】（1）运用等比数列的通项公式和新定义 接近，即可判断；（2）由新定义可得a n-l W bnW a n+1,求得bi，i=l,2,3,4的范围，即可得到所求个数；（3）运用等差数列的通项公式可得a。，讨论公差d 0,d=0,-2 d 0,d W-2,结合新定义 接近，推理和运算，即可得到所求范围.【解答】解：（1）数列答J与W接近.理由：a j是首项为1,公比为上的等比数列，2可得 an=-，bn=an-i+l=-+l,2n-1 2n贝H bn-anl=|L+l -1=1-0,取 bn=an，可得 bn+i-bn=an-i-an=d0,则b2-b i，b3-b2，b20i-b2oo中有200个正数，符合题意；若 d=0,取 bn=ai-工，则|bn-an|=|ai-4-a i|=J L v i,nWN*,n n n可得 bn-i-bn=-0,n n+1则b2-b i，b3-b2,b20i-b2oo中有200个正数，符合题意；右-2 d 0,则b2-b i，b3-b2,b20i-b2oo中恰有100个正数，符合题意；若d W-2,若存在数列 b j满足：b j与 a j接近，即为 3n-lW bnan+l,an+1-lWbn-iWan+1+1,可得 bn-l-bnWan+1+1-(an-1)=2+dW0,b2-b i，b3-b2,b20i-b200中无正数，不符合题意.综上可得，d的范围是(-2,+8).【点评】本题考查新定义 接近”的理解和运用，考查等差数列和等比数列的定义和通项公式的运用，考查分类讨论思想方法，以及运算能力和推理能力，属于难题.