2016年数学文高考真题分类02导数.pdf

导数1.12016高 考 新 课 标1文 数】若 函 数/(幻=尤-；5皿2%+成 足 在(-0。,+8)单调递增,则“的取值范围是()(A)-11(B)1,(C)1 1353(D)1,3【答 案】C【解 析】,、2试题分析：/(x)=1-5 3 2%+0 3冷0对工1恒成立：2 4 5故 1-(2 c o s2 x 1)+o c o s珍0：即 ac o s x c o s 恒成立，即 一 孑+/对f e 恒成立:构造)=一#+,开口向下的二次函额/的最小值仑。1 1的可能值为端点值:故只需保证:：解得-.故选C./(-1)=-+0考 点：三 角变换及导数的应用【名师点 睛】本题把导数与三角函数结合在一起进行考查，有所创新，求解关键是把函数单调性转化为不等式恒成立，再进一步转化为二次函数在闭区间上的最值问题，注意与三角函数值域或最值有关的问题，要注意弦函数的有界性.-l n x.0 x 1,/2垂 直 相 交 于 点 尸，且/i，/2分 别 与y轴 相 交 于 点4,B,则以8的面积的取值范围是()(A)(0,1)(B)(0,2)(C)(0,+8)(D)(1,+o o)【答 案】A【解 析】试 题 分 析:设4(玉，In玉)，鸟(龙2,Tn)(不 妨 设 玉 1,0 /l,：.S Ap AB=1|y A-%H x p|=7 Lvk=l，,S AP AB l，故选 A.11+玉 1+玉 1 2 1+玉 1 +玉考点：1.导数的几何意义；2.两直线垂直关系；3.直线方程的应用；4.三角形面积取值范围.【名师点睛】本题首先考查导数的几何意义，其次考查最值问题，解题时可设出切点坐标，利用切线垂直求出这两点的关系，同时得出切线方程，从而得点A,B 坐标，由两直线相交得出P点坐标，从而求得面积,题中把面积用玉表示后，可得它的取值范围.解决本题可以是根据题意按部就班一步一步解得结论.这也是我们解决问题的一种基本方法，朴实而基础，筒单而实用.3.【2016高考四川文科】已知a函数/()=%3 一I2x 的极小值点，则a=()(A)-4(B)-2(C)4(D)2【答案】D【解析】试题分析：/(力=3-12=3(4+2)(工一2),令/(工)=0得=-2或=2,易得/(力在(一2,2)上单调递减，在(2,+8)上单调递增，故f(x)极小值为/(2),由已知得。=2,故 选D.考点：函数导数与极值.【名师点睛】本题考查函数的极值.在可导函数中函数的极值点不是方程/(x)=0 的解，但毛是极大值点还是极小值点，需要通过这点两边的导数的正负性来判断，在小附近，如果x x 0 时，/,(x)x 0时/(x)0,则尤。是极小值点，如果x 0,尤 /时，/,(x)0 时，一 一2 =2。-1),即 y=2 x.考点：1、函数的奇偶性；2、解析式；3、导数的几何意义.【知识拓展】本题题型可归纳为“已知当无0 时，函数y=/(x),则当x 0 时，求函数的解析式”.有如下结论：若函数/(X)为偶函数，则当x 0 时，函数的解析式为y=-/(x)；若/(x)为奇函数，则函数的解析式为y=-/(-x).学优高考网5.【2 01 6高考新课标1 文数】(本小题满分1 2 分)已知函数 x)=(x 2)e +a(x l)2.讨论 x)的单调性；)若 x)有两个零点，求。的取值范围.【答案】见解析(H)(0,+8)【解析】试题分析：先求得y(x)=(x 1 乂/+2 a).再根据1。勿 的 大 小 进 行 分 类 确 定 的 单 调 性；(I I)借助第一问的结论:通过分类讨论函数单调也确定零点个数，从而可得a的取值范围为(0.-K B).试题解析：(D/(x)=(x-l)c1:+2 a(x-l)=(x-D(/+2 a).(i)设。之0,则当x e(-a U)时当x e(L田)时所以在(y,l)单调递减，在(L y)单调递增.(i i)设a 一泉则 ln(-2 a)v L故当xYcn(-2 a)U(L M)时 J(x)0；当 x e(ln(-2 a),l)时/(x)0,所以 x)在(r on(-2 a),(L*o)单 调 递 增 布(ln(-2 a)J)单调递减若 a 1 ,故当 X G(-o o,l)U(ln(-2 a),+o o)时，/,(x)0,当 x e(l,ln(-2 a)时，尸(x)0,则由知,/(x)在(一8,1)单调递减，在(1,+o o)单调递增.又 1)=一 e,2)=a,取 6 满足 X0 且则 4(。-2)+a(。-1)2=。(/一 3)。,所以/(九)有两个零点2V 2 J(i i)设 4=0,贝 I/(x)=(x 2)靖所以/(%)有一个零点.(i i i)设 0,若a -1,则由知,/(x)在(1,+00)单调递增.又当X W 1 时 故/(力 不 存 在 两 个 零 点；若 a-1,则由知,/(力在(l,ln(-2 a)单调递减，在伽(-2),+8)单调递增,又当工1 时/(%)0 ,求a的取值范围.【答案】(I)2 x+y-2 =0；(I I)(-),2 .【解析】试题分析：(I)先求函数的定义域，再求r(x),r(i),/(i),由直线方程得点斜式可求曲线卜=/(力在 处 的 切 线 方 程 为2 x+y 2 =0.(I I)构造新函数g(x)=l n x 里 王?，对实数。分类讨论，x+1用导数法求解.试题解析：(I)/(X)的定义域为(0,+3).当a=4时，/(x)=(x+l)l n x-4(x-l)J/,(x)=l n x+-3 ,/r(l)=-2s/(l)=0.X所以曲线 =/(X)在Q J Q)处的切线方程为2 x+尸2 =0.(I I)当 x e(l,+8)时，/(x)0 等价于I n x-丝 0.x+1/、.x-l)令 g(力=ln x-则 g(x)=-W 2，虱D=，x(x+l)x(x+l)(i)当a 4 2,xe(L田)时，x2+2(l-o)x+lx2-2x+l 0,故 g(x)0,g(x)在 x e(L+oo)上单调递增，因此 g(x)0.(ii)当。2时，令g(x)=0得 再=a _ 巧=a_+J g _ i)2_i,由 巧1和 再 巧=1得 演1,故当xe(Lw)时，g(x)0,g(x)在x e Q巧)单调递减，因此g(x)=/(x)；(3)解不等式，(x)0,解集在定义域内的部分为单调递增区间；(4)解不等式/。)0,解集在定义域内的部分为单调递减区间.学优高考网7.2016高考新课标III文数 设函数/(x)=In x-x+1.(I)讨论/(x)的单调性；Y 1(I I)证明当 X (1,+8)时、1 -l,证明当xe(0,l)时，l+(c l)xc*.【答案】(I)当0 x 0或/(x)0可确定函数/(x)的单调性(I I)左端不等式可利用(I)的结论证明，右端将左端的x换为，即可证明；(III)变形所证不等式，X构造新函数，然后通过利用导数研究函数的单调性来处理.试题解析：(I)由题设，/(X)的定义域为(0,+8),/(x)=-l,令f(x)=0,解得x=l.X当0 尤 0,/(幻 单调递增；当时，/(x)0,/(幻 单调递减.4分(I I)由(I )知，/(X)在X =1处取得最大值，最大值为了=0,所以当x x l时，l n x x-l,1 1 r-1故当时，l n x x-l,I P 1 -1,设g(x)=l+(c-l)x 贝Ug(x)=c-l-c X l n c.c 1I n-令g(x)=0,解得与I n c当x 0,g(x)单调递增；当时，g (x)0,g(x)单调递遍.9分由(I I)知，1/C,故0f1.又g(0)=g(l)=。，故当0 x 0,I n c所以当x e (0,1)时,l+(c-r)xc.12 分考点：1、利用导数研究函数的单调性；2、不等式的证明与解法.【思路点拨】求解导数中的不等式证明问题可考虑：(1)苜先通过利用研究函数的单调性，再利用单调性进行证明；(2)根据不等式结构构造新函数，通过求导研究新函数的单调性或最值来证明.学优高考网8.2 0 16高考北京文数】(本小题13分)设函数/(%)=丁+ax2+bx+c.(I)求曲线y =/(x).在点(0,7(0)处的切线方程；(I I)设。=匕=4,若函数/(x)有三个不同零点，求c的取值范围；(I I I)求证：/-3 b 0是/(x).有三个不同零点的必要而不充分条件.【答案】(I )y=bx+c;(I I)c e|0,J;(I I I)见解析.【解析】试题分析：(I)求函数f(x)的导数，根据/()=c,尸(0)=力求切线方程；(I I)根据导函数判断函数f(x)的单调性，由函数/(x)有三个不同零点，求c的取值范围;(I I I)从两方面必要性和不充分性证明，根据函数的单调性判断零点个数.试题解析：(I)由/(x)=x，+OX?+b x+c,得/(x)=3 f+2 o x+b.因为0)=c,广(0)=匕，所以曲线y=/（无）在点（）,/（）处的切线方程为y=bx+c.(II)当 a=Z?=4 时，/(%)=x3+4x2+4 x+c,所以 人 力=3炉+8%+4.令/(无)=0,得3 f+8x+4=0,解得x=2或x=-(.与/(无)在区间(-8,+8)上的情况如下：X(oo,-2)-2NV_23 卜 如6r(x)+00+/、）cD3c2-27所以，当c（）且c|0时，存在与 e（-4,2）,2,-：）使得小）=/伍）=/（七）=0.由“X）的单调性知，当且仅当CG（O,|卜J,函 数/（无）=尤3+4尤2+以+。有三个不同零点.（Ill）当 A=4fl2-126 0,xe（-oo,+oo）,此时函数x）在区间（ro,y）上单调递增，所 以 X）不可能有三个不同零点.当A=4o,“X）在区间（YO多）上单调递增；当x e（由 他）时,/r（x）0,f（x）在区间（2+8）上单调递增.所以f（x）不可能有三个不同零点.综上所述，若函数f（x）有三个不同零点，则必有A=V-1 2 i 0.故-3 6 0是/（X）有三个不同零点的必要条件.当 a=4,c=0 时，a2-3b 0 ,/(x)=;?+4x?+4 尤=x(x+2只有两个不同零点，所以/-3 6 0不是/(x)有三个不同零点的充分条件.因此3匕0是/(x)有三个不同零点的必要而不充分条件.考点：利用导数研究曲线的切线；函数的零点【名师点睛】1.证明不等式问题可通过作差或作商构造函数，然后用导数证明.2 .求参数范围问题的常用方法：(1)分离变量；(2)运用最值.3 .方程根的问题：可化为研究相应函数的图象，而图象又归结为极值点和单调区间的讨论.4 .高考中一些不等式的证明需要通过构造函数，转化为利用导数研究函数的单调性或求最值，从而证得不等式，而如何根据不等式的结构特征构造一个可导函数是用导数证明不等式的关键.学优高考网9.12 0 16高考山东文数】(本小题满分13分)设火x)=x l n x TZ x 2+(2 a-l)x,aR.(I)令g(x)=f(x),求g(x)的单调区间；(11)已知人外在尸1处取得极大值.求实数。的取值范围.【答案】(1)当。40时，函数g(x)单调递增区间为(0,用)；当a ()时，函数g(x)单调递增区间为(0,-L 1,单 调 递 减 区 间 为,+8 1.1(II)a-.2【解析】试题分析：(I )求导数/(x)=lnx-2 ox+2 a可得g(x)=lnx-2 t z x+2 ax e (0：+oo),从而g(x)=L_ 2,=L ,X X讨论当a W O时，当a 0时的两种情况下导函数正负号,(H)分以下情况讨论：当时，当时,2试题解析：(I )由f(x)=lnx-2 G:+2 0,可得 g(x)=lnx-2 o+2,x (0,+oo),nil,/x 1 _ -2cix贝U g(%)=2Q=-，X X2a J确定得到函数的单调区间.当a=L时，当时，综合即得.2 2当aW()时，x e(0,+oo)时，g(x)0,函数g(x)单调递增;当a()时，x/o,-时，g(x)0,函数g(x)单调递增,I 2a)12 a)时,g(x)()时，函数g(x)单调递增区间为伍-,单调递减区间为!-,+2a J 2a(H)由(I)知，/(l)=0.当a V O时,/(x)0,/(x)单调递减所以当x e(O.l)时,尸(工)0,x)单调递增.所以/(X)在x =l处取得极小值，不合题意.当0 a 1,由(I)知 尸(x)在：0,()内单调递增，可得当当x e(OJ)时，fx)寸，尸(x)0,所以/(x)在9,1)内单调递遍，在 L)内单调递增，所 以/(可 在x =l处取得极小值，不合题意.当时，即1-=1时，尸(力 在9,1)内单调递增，在(L y)内单调递减,2 2a所以当x e(O.y)时，/(x)W 0,x)单调递减，不合题意.当时，即0 !0,切 单 调 递 曾2 2a 2a J当无武1,物)时，f(x)0时，存在三个单调区间(II)由题意得了5)=3君一。=。即 君=三，再 由/(石)=/&)化 简 可 得 结 论(UI)实质研究函数g(x)最 大 值：主要比较/(D J(T),|八 容|.|八 一 冬)|的 大 小 即 可，分三种情况研究当。之3时，巫W K1W画,当:，a 3时，返w l 返返14冬 昼，当0。之时,3 3 4 3 333 4,2衣 2病,-1 0时，令/（x）=0,解得x-或 X =.3-3当x变化时，/（X）、/（x）的变化情况如下表:X-8-y/3a/V 3 a3 3y/3a(一 ,+)f(x)+00+/(X)单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以/（X）的 单 调 递 减 区 间 为 二），单调递增区间为（8,二），（-&；,+8）.（2）证明：因 为 存 在 极 值 点，所 以 由（1）知a 0且吃工0.由题意得，5）=3%一。=0,即进而/（%）=*-OXQ-b=一个 与 -b，又/（-2与）=_ 8*+2倏 _6=一 与 凝+2诙-6=_ 年 与 _6=/（4），目一2%工。，由题意及3）知，存在唯一实数不满足/（演）=/（%）,且再工与，因 此 玉=-2万，所以毛+2%=0.（3）证明：设g（x）在区间-口 上的最大值为“，max 工y 表示x,y两数的最大值，下面分三种情况讨论:当时，一 率K T|,|-l+o-i|=max|a-l+6IJ 0-1-61)a-l-b,b 0,1 /?,/?0,所以 W=-1+|6但2.,l z 3 c n,2s 3a,yf3a y/3a,2y/3a当一 4 a 3 时，一一-1-1，4 3 3 3 3由 和（2）知 八-1）“（率）=八 与），/（1）&/（弩）=/（一 半），所以/（X）在区间-L 1上的取值范围为/（争 J（一 半 才，所以m ax|/（年|.|八 一 乌）|=max一等病切.|等/6|=max（|三2。技+6|J V2。技 一b|=高2a 技+|b|N2 X 3 x,3j x w =-.当。3时，1一 独2 上 叵 1,由 和 知，4 3 3/（-1）半）=-争，所以了（力在区间-U 上的取值范围为/（1）,/（-1）,因此，=max/（l）1/（-l）=m ax|-l+a-6|J l-a-d|=m a x|l-o +6|J l-a-6|）=1 a+1 Z|i .综上所述，当。0时，g（x）在区间-L1上的最大值不小于:.考点：导数的运算，利用导数研究函数的性质、证明不等式【名师点睛】1.求 可 导 函 数 单 调 区 间 的 般 步 骤（1）确 定 函 数f（x）的 定 义 域（定义域优先）；（2）求 导 函 数/（x）；（3）在 函 数f（x）的 定 义 域 内 求 不 等 式/（）0或/（x）VO的解集.（4）由/（x）0（尸（x）V 0）的 解 集 确 定 函 数/（x）的 单 调 增（减）区 间.若 遇 不 等 式 中 带 有参 数 时，可分类讨论求得单调区间.2.由函数次x）在（a,。）上 的 单 调 性，求 参 数 范 围 问 题，可 转 化 为/（x）2 O（或/（x）W O）恒成立问题，要 注 意“=”是否可以取到.1 1.12016高考浙江文数】(本题满分1 5 分)设 函 数/(x)=/+一，X G0,1.证明：1 +x(I)/(X)1 -X +X2;3 3(I I)-/(x)-.4 2【答案】(I)证明见解析；(I I)证明见解析.【解析】试题分析：本题主要考查函数的单调性与最值、分段函数等基础知识，同时考查推理论证能力、分析问题和解决问题的能力.第一问，利用放缩法，得到 产 3=,从而得到结论.24试题解析：(1)因为1一+苗 一 =：一 尸2=乒 二1(X 1+x丫4 1 1由于有 il-x+x2-(X)N 1-X+Y.(H)由 OWxMl 得 x3 Wx,故 x)=V+-二+3=(x T)(2x+l)+晨 31+x-1+x 2 2 2(x+l)223所以x)苔.由(I)得 x)N l-x+V =卜-；)又因为/(，所以2J 24 4 4综上，7 l 时，g(x)0；(I I I)确定a的所有可能取值，使得/(x)g(x)在 区 间(1,+8)内恒成立.【答案】(1)当 了(0,，=)时，/(x)0,/(x)单yj2a y/2a调递增；(2)证明详见解析；(3)a e l,+o o).2【解析】试题分析：(I)对/(x)求导，对。进行讨论，研究尸(x)的正负，可判断函数的单调性；(I I)要证明g(x)0,只要证g(x)在久田)上的最小值大于0,因此可利用导数求得g(x)在Q,m)上的最小值，就可 完 成 证 明：(n)要 证 明 不 等 式/l-e1-1在(1,-M O)上 恒 成 立，基 本 方 法 是 设X/Q)=/(x)d /r x x 2 1),当x l时，(x)=2 1 +1 e i,(=0的解不易确定，因此结合X X X(I)的结论，缩小。的范围，设g(x)=1 -与二，并设式x)=e i x,通过研究式力的单调性x e xe得x l时，g(x)0,从 而/(x)0,这样得出a w o不合题意，又0 a l,fi/(-j L)x L+4 0,得此时久力单调递增，从而有得出结论.X X X ,1 试题解析：(I)f(x)=2ax -(x 0).X X当a 4 0 0寸，/,(x)0 0寸,由尸(力=0,有x=/=y/2a当（0,时，fx)0,/(x)单调递增.yl2a(I I)令式力=ex-i-x,则s 0)=ei-L当x l时，s Q)0,所以e】x,从而g(x)=L-3 0.x e(iii)由(I I),当x l时，g(x)0.当a WO,x l时，/(x)=a(x2-l)-lnx g(x)在区间(1,+8)内恒成立时，必有a 0.当0a1时,2由(D有/(，=)0,所以此时/(X)g(X)在区间(1,+8)内不恒成立.当。之3时，令风力=/(x)-g(x)(x 1).一,11，/、11 i-x 1 1 1 2x+l x2 _ 2 x+l.当 x 1 时，h(x)=2 dx-F y -e x-F j-0.X X XXX X X因此坂X)在区间(1,+a o)单调递熠.又因为(1)=0,所以当x l时，/i(x)=/(x)-g(x)0,即/X x)g(x)恒成立.综上，a 6,+g(x),一般证明f(x)-g(x)的最小值大于0,为此要研究函数(x)=/(x)-g(x)的单调性.本题中注意由于函数(x)有极小值没法确定，因此要利用已经求得的结论缩小参数取值范围.比较新颖，学生不易想到.有一定的难度.