2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第20讲锐角三角函数.pdf

第二十讲锐角三角函数1 .锐角三角函数L定义在 R t Z X AB C 中，Z C=90 ,AB=c,B C=a,AC=b,则 NA 的正弦：s i nA=（喘 产工N A 的余设 A N A 的邻边弦：S A 二 斜 边的正切：t a nA=/；*=j它们统称为N A 的锐角三角函数2 .特殊角的三角函数值s i n30 0 =,c o s 30 =t a n30 =s i n45 =,c o s 45 0 =t a n45 =s i n6 0 =,c o s 6 0 0 =t a n6 0 =3.解直角三角形(1)解直角三角形的定义在直角三角形中，除直角外，共有5 个元素，即 3 条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形(2)解直角三角形的常用关系在 R t A A B C 中，Z C=90 ,则：(1)三边关系：a2+b2=；(2)两锐角关系：ZA+ZB=；(3)边与角关系：sin A=cosB=，c o s A=s i nB=2 _ t a nA=；(4)s i n2A+c o s2A=4.解直角三角形的应用常用知识(1)仰角和俯角在视线与水平线所成的角中，视线在水平线上方的叫，视线在水平线下方的叫(2)坡度和坡角坡度：坡面的铅直高度h和水平宽度1的比叫做坡面的(或),记 作 i=坡角：坡面与水平面的夹角叫做坡角，记作a.i=t a na,坡度越大，a角越大，坡面（3）方向角（或方位角）：指北或指南方向线与目标方向线所成的小于一的水平角叫做方向角1.（2 0 1 7 哈尔滨）在 R t Z X AB C 中，Z C=90 ,AB M,AC=1,则 c o s B 的 值 为（）ITD.4VT717（2 0 1 7浙江湖州）如图，已知在R t AB C 中,Z C=90 ,AB=5,B C=3,则 c o s B 的值是3.（2 0 1 7 日照）在 R t Z AB C 中，Z C=90 ,AB=1 3,AC=5,则 s i nA 的 值 为（）4.（2 0 1 7甘肃天水）在正方形网格中，A B C 的位置如图所示，则 c o s B 的 值 为（）A.B.返 C.叵 D.恒2 2 2 35.在 R t/X AB C 中，Z C=90 ,AB=2,B C=/3 则 s i n猊.6.（2 0 1 7深圳）如图，学校环保社成员想测量斜坡C D 旁一棵树A B 的高度，他们先在点C处测得树顶B的仰角为6 0 ,然后在坡顶D测得树顶B的仰角为30 ,已知斜坡C D 的长度为 2 0 m,D E的长为1 0 c m,则树AB 的高度是（）m.D.407.（2 0 1 7山东烟台）如图，数学实践活动小组要测量学校附近楼房C D 的高度，在水平地面 A 处安置测倾器测得楼房C D 顶部点D的仰角为45 ,向前走2 0 米到达A 处，测得点D的仰角为6 7.5。，已知测倾器AB 的高度为1.6 米，则楼房C D 的高度约为（结果精确到0.1米，7 2 1.41 4)()A.34.1 4 米 B.34.1 米 C.35.7 米 D.35.74 米8.（2 0 1 7张家界）位于张家界核心景区的贺龙铜像，是我国近百年来最大的铜像.铜像由像体AD 和底座C D 两部分组成.如图，在R t A A B C 中，Z AB C=70.5 ,在 R t Z X D B C 中，/D B C=45 ,且 C D=2.3米，求像体A D 的 高 度（最后结果精确到0.1 米，参考数据：si n 7 0.5 0.94 3,c o s7 0.5 2 0.3 3 4,ta n 7 0.5 2.8 2 4）15B析知识点一、锐角三角函数的概念.【例 1】（2 0 1 7.湖南怀化）如图，在平面直角坐标系中，点 A的坐标为（3,4）,那么si n a的 值 是（）【考点】T 7：解直角三角形；D5：坐标与图形性质.【分析】作 A B J_x 轴于B,如图，先利用勾股定理计算出O A=5,然后在R tZA O B 中利用正弦的定义求解.【解答】解：作 A B L x 轴于B,如图，.点A的坐标为（3,4）,.,.0 B=3,A B=4,；.0 A=必+产 5,AB 4在 R tA A O B 中，si n aOA 5故选C.【变 式】（2 0 1 7 山东聊城）在 RSA B C 中，cos A*那么si n A 的值是（）A.返 B.退 C.区 D.2 2 3 2【考点】T 3：同角三角函数的关系；T 5：特殊角的三角函数值.【分析】利用同角三角函数间的基本关系求出si n A 的值即可.【解答】解：V R tA A B C 41,c o sA=-1-,s i n A=V 1-C O S2A=亨，故选B知识点二、特殊角的三角函数值【例 2】（2 0 1 7 湖北宜昌）A A B C 在网格中的位置如图所示（每个小正方形边长为1）,A D1 B C于 D,下列选项中，错误的是（）A.si n a =c o s a B.ta n C=2 C.si n B=c o sB D.ta n a =1【考点】T l：锐角三角函数的定义.【分析】观察图象可知,A A D B 是等腰直角三角形,B D=A D=2,A B 二 2&,A D=2,C D=1 析C=,利用锐角三角函数一一计算即可判断.【解答】解：观察图象可知，A A D B 是等腰直角三角形，B D=A D=2,A B=2 A D=2,C D=1,A C=5,.,.si n a 二 c o s a =乂2,故正确，2ta n C=,2,故正确,ta n a =1,故 D 正确，；s inB=*,c o s B=,AC 5 5A si n 0/c o s B ,故 C 错误.故选C.【变式】（2 0 1 6 玉 林）si n 3 0 =（）A.返 B.工 C.返 D.返2 2 2 3【分 析】根 据 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 进 行 解 答 即 可.【解 答】解：si n 3 0 .2故 选：B.【点 评】本 题 考 查 了 特 殊 角 的 三 角 函 数 值，熟 记 特 殊 角 的 三 角 函 数 值 即 可 解答该题.知识点三、解直角三角形【例 3】1.（2 0 1 7 益阳）如图，电线杆C D 的高度为h,两根拉线A C 与 B C 相互垂直，ZC A B-a ,则拉线B C 的长度为（A、D、B 在同一条直线上）（）A.-B.-C.-D.hec o s asina cosa tana【考点】T 8：解直角三角形的应用.【分析】根据同角的余角相等得N C A D=N B C D,由。s/B C D=I l BC=八BC cos/BCD cosa【解答】解：V ZC A D+ZA C D=90 ,ZA C D+ZB C D=90 ,r.ZC A D=ZB C D,在 R t 4 B C D 中，：c o s/B C D上，BCA B C=,cosBCD cosa故选：B.【点评】本题主要考查解直角三角形的应用，熟练掌握同角的余角相等和三角函数的定义是解题的关键.【变式】（2 0 1 7 山东滨州）如图，在A B C 中，A C B C,ZA B C=3 0 ,点 D 是 C B 延长线上的一点，且 B D=B A,则 ta n N DA C 的 值 为()A.2+V 3 B.26 c.3+V 3 D.3-7 3【考点】T 7：解直角三角形.【分析】通过解直角A A B C 得到A C 与 BC、A B 间的数量关系，然后利用锐角三角函数的定义求 ta n N DA C 的值.【解答】解：如图，.,在a A B C 中，A C.LB C,/A B C=3 0 ,.A B=2 A C,B C=ACtan300倔c.V B D=B A,.DC=B D+B C=(2+73)A C,.t/n A r DC(2+V3)C 9+r-.ta n ZDA C=-=2+v 3.AC AC知识点四、方位角【例 4】（2 0 1 7 玉林）如图，一艘轮船在A处测得灯塔P 位于其北偏东6 0 方向上，轮船沿正东方向航行3 0 海里到达B处后，此时测得灯塔P 位于其北偏东3 0 方向上，此时轮船与灯塔P的距离是（）A.1 5，福 里 B.3 0 海里 C.4 5 海里 D.3 0 J 希 里【考点】T B：解直角三角形的应用-方向角问题；K U：勾股定理的应用.【分析】作 C D L A B,垂足为D.构建直角三角形后，根 据 3 0。的角对的直角边是斜边的一半，求出BP.【解答】解：作 B D L A P,垂足为D根据题意，得N BAD=3 0,BD=1 5海里，A Z P BD=60 ,则 N D P B=3 0,BP=1 5X 2=3 0（海里），故 选:B.【点评】本题考查了解直角三角形，解一般三角形，求三角形的边或高的问题一般可以转化为解直角三角形的问题，解决的方法就是作高线.（2 01 3 江苏苏州，2 5,7 分）如图，在一笔直的海岸线/上有/、6 两个观测站，/在 6 的正东方向，止 2 （单位：k m）.有一艘小船在点一处，从 1测得小船在北偏西60的方向，从 6 测得小船在北偏东4 5的方向.（1）求点。到海岸线）的距离：（2）小船从点一处沿射线北的方向航行一段时间后，到 点 61 处，此时，从 8 测得小船在北偏 西 1 5的方向.求点C 与点8 之间的距离.（上述两小题的结果都保留根号）【思路分析】（1）过 点。作 如，小 于 点 设 眇 x k m,先解R S P B D,用 含 x的代数式表示 加，再解R t 处 用 含 x的代数式表示4。，然 后 根 据 T氏/员 列出关于x的方程，解方程即可；(2)过点8 作 册 1 然 于 点F,先解R S A B F,得出k m,再解Rt丛BCF,得出B O22 BF=/2 k i n.【解】(1)如图，过点尸作如，4?于 点 设 盼 x k m.在 R tz X/9中，NBD P-9 Q。,/阳 庐 90 -4 5=4 5 ,：.BD=PD=x k m.在 R t必，中，NA D P=9 Q,Z/M Z 90-60=3 0 ,:.AA6 P庐 6 x k m.V BD+AD=AB,4 X2 i,产 G i,.点。到海岸线/的距离为(J i 1)k m：(2)如图，过点6 作 皿 然 于 点 冗在 口/郎 中，/月 除 90 ,NBA 片3 0 ,.睚 L 庐 1 k m.2在4?C 中，Z 1 80-A BA C-A A BC=.在比族 中，4BFC=9 Q,ZC=45,k m,点 C 与点8 之间的距离为J 5 k m.【方法指导】本题考查了解直角三角形的应用一一方位角问题，难度适中.通过作辅助线,构造直角三角形是解题的关键.【易错警示】不会作辅助线，构造直角三角形，无法解决问题.知识点五、俯角和仰角【例 5】（2 01 7呼和浩特）如图，地面上小山的两侧有A,B 两地，为了测量A,B 两地的距离，让一热气球从小山西侧A 地出发沿与AB成 3 0角的方向，以每分钟4 0m 的速度直线飞行，1 0分钟后到达C处，此时热气球上的人测得C B与 AB成 70角，请你用测得的数据求A,B两地的距离AB 长.（结果用含非特殊角的三角函数和根式表示即可）【考点】T8：解直角三角形的应用.【分析】过点C 作 CM AB 交 AB 延长线于点M,通过解直角ACM 得到A M 的长度，通过解直角A B C M 得到B M 的长度，则 AB=AM -B M.【解答】解：过点C 作 CM L AB 交 AB 延长线于点M,由题意得：AC=40 X 1 0=40 0 （米）.在直角ACM 中，V ZA=3 0 ,：.CM=；AC=20 0 米，AM=AC=20 0 .2 2在直角B CM 中，；t an 20 =舞，.,.B M=20 0 t an 20 ,.AB=AM -B M=20 0 /3-20 0 t an 20 =20 0 （百-t an 20 0 ）,因此A,B两地的距离AB 长为20 0 （-t an 20 ）米.【变 式】（20 1 7 山东聊城）耸立在临清市城北大运河东岸的舍利宝塔，是“运河四大名塔”之一（如图 1）.数学兴趣小组的小亮同学在塔上观景点P 处，利用测角仪测得运河两岸上的A,B 两点的俯角分别为1 7.9 ,22 ,并测得塔底点C 到点B的距离为1 42米（A、B、C 在同一直线上，如图2）,求运河两岸上的A、B两点的距离（精确到1 米）.心0.9 3,t an 22 =0.40,s i n l 7.9 0.3 1,c o s l 7.9)(参考数据：s i n 22 =0.3 7,c o s 22【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】在 R t aPB C中，求出B C,在 R t PAC中，求出A C,根据AB=AC-B C 计算即可.【解答】解：根据题意，B C=1 42米，/PB C=22,/PAC=1 7.9 ,在 R t ZX PB C 中，t an NPB C=毁，BCA PC=B Ct an ZPB C=1 42 t an 220 ,在 R t Z PAC 中，t an ZPAC=,ACPC 142tan22 142X 0.4 0 _177,tan/PAC ta n l7.9 0.32.AB=AC-B C=1 7 7.5-1 42=3 6 米.答：运河两岸上的A、B 两点的距离为3 6 米.知识点六坡度和坡角【例 6】（20 1 6 重 庆）某 数 学 兴 趣 小 组 同 学 进 行 测 量 大 树 C D高 度 的 综 合 实 践活 动，如 图，在 点 A 处 测 得 直 立 于 地 面 的 大 树 顶 端 C 的 仰 角 为 3 6 ,然后沿在 同 一 剖 面 的 斜 坡 A B行 走 1 3 米 至 坡 顶 B处，然 后 再 沿 水 平 方 向 行 走 6米至大 树 脚 底 点 D处，斜 面 A B的 坡 度（或 坡 比）i =l：2.4,那 么 大 树 Cl）的高度约 为（参 考 数 据：s i n 3 6 七0.59,c o s 3 6 弋 0.8 1,t an 3 6 七 0.7 3）（）A.8.1 米 B.1 7.2 米 C.1 9.7 米 D.25.5 米【分 析】作B F J.A E于F,则F E=B D=6米，D E=B F,设B F=x米，则AF=2.4米，在R t a A B F中，由 勾 股 定 理 得 出 方 程，解 方 程 求 出D E=B F=5米，AF=1 2米，得 出A E的 长 度，在R t A C E中，由 三 角 函 数 求 出C E,即可得出结果.【解 答】解：作B F _ L AE于F,如 图 所 示：则 F E=B D=6 米,D E=B F,.,斜 面A B的 坡 度i =l：2.4,AF=2.4B F,设 B F=x 米，则 AF=2.4x 米，在R t a A B F中，由 勾 股 定 理 得：x2+（2.4x）2=1 32,解 得：x=5,D E=B F=5 米，AF=1 2 米，AE=AF+F E=1 8 米，在 R t ZX ACE 中，CE=AE*t an 3 6 =1 8 X 0.7 3=1 3.1 4 米，A CD=CE -D E=1 3.1 4 米-5 米 比8.1 米；故 选：A.【点 评】本 题 考 查 了 解 直 角 三 角 形 的 应 用、勾 股 定 理、三 角 函 数；由勾股定理 得 出 方 程 是 解 决 问 题 的 关 键.【变式】（20 1 6 重庆市B卷 4分）如图所示，某办公大楼正前方有一根高度是1 5米的旗杆E D,从办公楼顶端A测得旗杆顶端E的 俯 角a是45 ,旗杆底端D到大楼前梯坎底边的距离D C是20米，梯坎坡长B C是1 2米，梯坎坡度i=l：J 5，则大楼AB的高度约为（）（精确到0.1米，参考数据：业 以1.41,丁5-1.7 3,7 6 2.45）A.3 0.6 B.3 2.1 C.3 7.9 D.3 9.4【考点】解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】延长AB 交 D C于 H,作 E GAB 于 G,则 GH=D E=1 5米，E G=D H,设 B H=x米，则 CH=6x 米，在 R t B CH中，B C=1 2米，由勾股定理得出方程，解方程求出B H=6 米，CH=6 米，得出 B G、E G 的长度，证明4 A E G 是等腰直角三角形，得出A G=EG=6丘20（米），即可得出大楼A B 的高度.【解答】解：延长A B 交 D C于 H,作 E GLA B 于 G,如图所示：则 GH=D E=15 米,EG=D H,梯坎坡度i=l：如,A B H：CH=1：限设 B H=x 米，则 CH=，5 x 米，在 R S B C H 中,B C=12 米,由勾股定理得：x2+（小）2=122,解得：x=6,，B H=6 米,CH=6，3 米，.B G=GH-B H=15 -6=9（米），EG=D H=CH+CD=6杼20（米），V Z a =4 5 ,.Z EA G=90-4 5 =4 5 ,.A EG是等腰直角三角形，.A G=EG=6杼20（米），.,.A B=A G+B G=6 20+9=3 9.4 （米）；故选：D.H C D【点评】本题考查了解直角三角形的应用-坡度、俯角问题；通过作辅助线运用勾股定理求出 B I I,得出EG是解决问题的关键.【典例解析】【例 题 1】（2017四川眉山）如图，为了测得一棵树的高度A B,小明在D处用高为1 m 的测角仪CD,测得树顶A的仰角为4 5 ,再向树方向前进10m,又测得树顶A的仰角为60 ,求这棵树的高度A B.【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】设 A G=x，分别在R t A A FG和 R t A A CG中，表示出CG和 GF的长度，然后根据D E=10m,列出方程即可解决问题.【解答】解：设 A G=x.在 R t A A FG 中，t a n/A F G=9FG；.FG 求，在 R t Z k A CG 中,V Z GCA=4 5 ,CG=A G=x,V D E=10,.x Lx=i1o八,V3解得：x=15+5 /r3；.A B=15+5 行1=16+5 7 5 （米）.答：电视塔的高度A B 约 为 16+5 J/.10aDB【例题2】（2017贵州）如图，某校教学楼A B 后方有一斜坡，已知斜坡CD 的长为12米，坡 角 a为60 ,根据有关部门的规定，/a W 3 9 时，才能避免滑坡危险，学校为了消除安全隐患,决定对斜坡CD 进行改造，在保持坡脚C 不动的情况下，学校至少要把坡顶D向后水平移动多少米才能保证教学楼的安全？（结果取整数）（参考数据：si n 3 9 0.63,c o s3 9 30.78,t a n 3 9 =0.8 1,血 g 1.4 1,6七 1.73,倨 2.24）【考点】T9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】假设点D移到D 的位置时，恰好N a=3 9。，过点D作 D ELA C于 点 E,作 D EL A C 于点E ,根据锐角三角函数的定义求出D E、CE、C E 的长，进而可得出结论.【解答】解：假设点D移到D 的位置时，恰好N a=3 9。，过点D 作 D ELA C于 点 E,作 D EL A C 于点E ,：CD=12 米，Z D CE=60,；.D E=CD si n 60=12 /3 70 -1 7.3 2=5 2.7(m).答：障碍物B,C两点间的距离约为5 2.7m.口匚口口口口口胃口B【例题4】（2017湖北随州）风电已成为我国继煤电、水电之后的第三大电源，风电机组主要由塔杆和叶片组成（如图1）,图2是从图1引出的平面图.假设你站在A处测得塔杆顶端C的仰角是55。，沿HA方向水平前进43米到达山底G处，在山顶B处发现正好一叶片到达最高位置，此时测得叶片的顶端D（D、C、H在同一直线上）的仰角是45.已知叶片的长度为35米（塔杆与叶片连接处的长度忽略不计），山高BG为10米,BGXHG,CH1AH,求塔杆塔的高.（参考数据：tan55 3 1.4,tan35 g0.7,sin55 g0.8,sin35 g0.6）【考点】TA：解直角三角形的应用-仰角俯角问题.【分析】作 BE_LDH,知 GH=BE、BG=EH=10,设 AH=x,则 BE=GH=43+x,由 CH=AHtanZCAH=tan55x知CE=CH-EH=tan55 x-10,根据BE=DE可得关于x的方程,解之可得.【解答】解：如图，作BEJ_DH于点E,DGH则 G H=B E、B G=E H=1 0,设 A H=x,则 B E=G H=G A+A H=4 3+x,在 R tZ X A C H 中，C H=A H tanZ C A H=tan5 5 0 x,；.C E=C H -E H=tan5 5 x -1 0,V Z D B E=4 5 ,.B E=D E=C E+D C,即 4 3+x=tan5 5 -x -1 0+3 5,解得：x =4 5,C H=tan5 5 x=1.4 X 4 5=63,答：塔杆C H 的高为63 米.【热 点 1】（2 0 1 7乌鲁木齐）一艘渔船位于港口 A的北偏东60 方向，距离港口 2 0 海 里 B处，它沿北偏西3 7方向航行至C处突然出现故障，在 C处等待救援，B,C之间的距离为1 0 海里，救援船从港口 A出发2 0 分钟到达C处，求救援的艇的航行速度.（si n3 7 0.6,c os3 70.8,6 n 1.7 3 2,结果取整数）【考点】T B：解直角三角形的应用-方向角问题.【分析】辅助线如图所示：B D A D,B E C E,C F A F,在 R t A A B D 中，根据勾股定理可求A D,在 R taB C E 中，根据三角函数可求C E,E B,在 R tZ A FC 中，根据勾股定理可求A C,再根据路程+时间=速度求解即可.【解答】解：辅助线如图所示：B D A D,B E C E,C FA F,有题意知，Z FA B=60 ,Z C B E=3 7,；./B A D=3 0 ,：A B=2 0 海里，；.B D=1 0 海里，在 R t A B D 中，A DMJA BZ-B D&I O 百 1 7.3 2 海里,在 R tZ X B C E 中，si n3 7=黑,/.C E=B C si n3 7o 20.6X 1 0=6 海里,V c os3 7=丝，B C.,.E B=B C c os3 7-0.8X 1 0=8 海里，E F=A D=1 7.3 2 海里，.FC=E F-C E=1 1.3 2 海里，A F=E D=E B+B D=1 8 海里，在 R tZ X A FC 中，A C=VAF2+FC2=V 1 82+l l.322 1.2 6 海里,2 1.2 6X 3 64 海里/小时.答：救援的艇的航行速度大约是64 海里/小时.【热点2】（2 0 1 7青海西宁）如图，建 设“幸福西宁”，打 造“绿色发展样板城市”.美丽的混水河宛如一条玉带穿城而过，已形成“水清、流畅、岸绿、景美”的生态环境新格局.在数学课外实践活动中，小亮在海湖新区自行车绿道北段A C 上的A,B两点分别对南岸的体育中心D进行测量，分别测得N D A C=3 0 ,Z D B C=60 ,A B=2 0 0 米,求体育中心D到涅水河北岸A C的距离约为多少米（精确到1 米，b-1.7 3 2）?【考点】T 8：解直角三角形的应用.【分析】如图，过点D作 D IU A C 于点H.通过解直角B IID 得到si n 60。=g=黑=乂 3,BD 200 2由此求得D H的长度.【解答】解：过点D 作 D HLA C 于点H.V Z HB D=Z D A C+Z B D A=60 ,而/D A C=3 0 ,A Z B D A=Z D A C=3 0 ,.A B=D B=2 0 0.在直角A B H D 中，si n 60。=需=翳券，.D H=1 0 0 A/5 M00X 1.7 3 2 7 3.答：体育中心D到混水河北岸A C 的距离约为1 7 3 米.【热点3】（2 0 1 7 温州）如图，-一辆小车沿倾斜角为a 的斜坡向上行驶1 3 米，已知c o s a=!|,则小车上升的高度是（)A.5 米 B.6 米 C.6.5 米 D.1 2 米【考点】T 9：解直角三角形的应用-坡度坡角问题.【分析】在 R t A B C 中，先求出A B,再利用勾股定理求出B C 即可.【解答】解：如图A C=1 3,作 C B _LA B,；.A B=1 2,.B C=JAC2-A B2=132-1 2:5,.小车上升的高度是5 m.故选A.【点评】此题主要考查解直角三角形，锐角三角函数，勾股定理等知识，解题的关键是学会构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型.【热点4】（2 0 1 7 内蒙古赤峰）如 图 1,在A A B C 中，设N A、N B、/C的对边分别为a,b,c,过点A作 A D J _B C,垂足为D,会有si n/C=毁，则A CS AABC-B C X A D=X B C X A C si n Z C=L b s i n/C,2 2 2即 S A A n c=-absi n Z C2同理 S A A sc=-bc si n Z AS A A B c=-ac si n Z B通过推理还可以得到另一个表达三角形边角关系的定理-余弦定理：如图2,在A A B C 中，若N A、N B、NC的对边分别为a,b,c,则a2=bJ+c2-2 bc c o sZ Ab-a +cJ-2 ac c o sZ Bc2=a2+b2-2 abc o sZ C用上面的三角形面积公式和余弦定理解决问题：(1)如图3,在Z DE F中,Z F=60,N D、NE的对边分别是3 和 8.求SAMF和 DE?.解：S A DE F*FX DFs in/F=6 百 ；DE EF+DF，-2E FX DFc os N F=4 9.(2)如图 4,在A B C 中，己知 A C B C,Z C=60,A B C 、A B C A A C B 分别是以 A B、B C、A C 为边长的等边三角形,设A B C、A B C 、A B C A ,A C B 的面积分别为，、S2 S 3、S a,求证：S t+S 2=S3+S 4.【考点】KY：三角形综合题.【分析】(1)直接利用正弦定理和余弦定理即可得出结论；(2)方 法 1、利用正弦定理得出三角形的面积公式，再利用等边三角形的性质即可得出结论；方法2、先用正弦定理得出S“S2,S 3,S,最后用余弦定理即可得出结论.【解答】解：(1)在a D E F 中，/F=60,N D、NE的对边分别是3 和 8,；.E F=3,DF=8,*.S A DE F=y E FX DFs inZ F=-X 3X 8 X s in60=6-5/3,DE2=E F2+DF2-2E FX DFC O SZ F=32+82-2 X 3 X 8 X c os 60=4 9,故答案为：65/3,4 9；(2)证明:方法 1,V Z A C B=60o,.,.A B2=A C2+B C2-2A C B C c os 600=A C2+B C2-A C B C,两边同时乘以3s in60。得,A B 2s in60。=-A C2s in600+-U c2s in60-A C B C s in60,4M.A B C ,B C A，,A A C B)是等边三角形，11.1 ,1 ,.S i=A O B C s in60,S2=-A B2s in60，S3=-B CJs in60,S F A C W inG O。，2 2 2 2二 Sz=S4+S3-Si f S1+S2=S 3+S4,方法2、令N A,Z B,NC的对边分别为a,b,c,.*.S1=-a b s inZ C=-7 ra b s in602 2 4,.A B C ,A B C A),A A C B 是等边三角形，.S 2=1c-s in60。=Sc2,S 3=1a-s in60=-a,S=%b s in60。=b2,24 2 4 2 4.,.8 +8 2=(a b+c2),S 3+S k退(a2+b2),4 4Vc2=aJ+b2-2a b c os N C=a,+b -2a b*c os 60,/.a2+b2=c2+a b,S 1+S2=S 3+S t.一、选择题1.（2016无 锡）s in30 的 值 为（）A.J-B.亚 C.返 D.返2 2 2 32.（2016永 州）下 列 式 子 错 误 的 是（）A.c os 4 0=s in50 B.t a nl 5 t a n7 5=1C.s in2250+C O S2250=1 D.s in60=2s in303.（2017 绥化）某楼梯的侧面如图所示，己测得B C 的长约为3.5 米，N B C A 约为29 ,则该楼梯的高度A B 可表示为（)3 5A.3.5s in29 米 B.3.5c os 290 米 C.3.5t a n290 米 D.匚 工 米cos294.（2016金 华）一 座 楼 梯 的 示 意 图 如 图 所 示，B C是 铅 垂 线，CA是 水 平 线，B A与 CA的 夹 角 为 0.现 要 在 楼 梯 上 铺 一 条 地 毯，已 知 C A=4 米，楼 梯 宽 度 1面上），某同学从点C出发，沿同一剖面的斜坡C D行 走 195米至坡顶D 处，斜坡C D的坡度（或坡比）i=l：2.4,在 D 处测得该建筑物顶端A的俯视角为20 ,则建筑物A B 的高度约为（精确到 0.1 米，参考数据：s in20-0.34 2,c os 20 弋0.94 0,t a n20 20.364）（）A.29.1 米 B.31.9 米 C.4 5.9 米 D.95.9 米6.（2016苏 州）如 图，长 4m 的 楼 梯 AB的 倾 斜 角 NABD 为 60,为了改善楼梯 的 安 全 性 能，准 备 重 新 建 造 楼 梯，使 其 倾 斜 角 N A C I）为 4 5,则调整后的楼 梯 AC的 长 为（）7.（2016聊 城）聊 城“水 城 之 眼”摩 天 轮 是 亚 洲 三 大 摩 天 轮 之 一，也是全球首 座 建 筑 与 摩 天 轮 相 结 合 的 城 市 地 标，如 图，点 0 是 摩 天 轮 的 圆 心，长 为 110米 的 AB 是 其 垂 直 地 面 的 直 径，小 莹 在 地 面 C 点 处 利 用 测 角 仪 测 得 摩 天 轮 的 最高 点 A的 仰 角 为 33,测 得 圆 心。的 仰 角 为 21。，则 小 莹 所 在 C 点 到 直 径 A B所 在 直 线 的 距 离 约 为（t an 33 七 0.6 5,t an 21 =0.38）（）A.16 9 米 B.204 米 C.24 0 米 D.4 07 米二、填空题：8.（2017 黑龙江）ZA BC 中，A B=12,A C=V 39 ZB=30,则aA BC 的 面 积 是.9.（2017 黑龙江鹤岗）Z A BC 中，A B=12,A C=J祠，ZB=30,则A A BC 的面积是_.10.（2017 黄石）如图所示，为了测量出一垂直水平地面的某高大建筑物A B的高度，一测量人员在该建筑物附近C 处，测得建筑物顶端A处的仰角大小为4 5 ,随后沿直线BC向前走了 100米后到达D 处，在D处测得A 处的仰角大小为30 ,则建筑物A B的高度约为_米.（注：不计测量人员的身高，结果按四舍五入保留整数，参考数据：V2G1.41,仃 比 1.7 3）11.（2016 重 庆）如 图 所 示，某 办 公 大 楼 正 前 方 有 一 根 高 度 是 1 5 米 的 旗 杆 ED,从 办 公 楼 顶 端 A测 得 旗 杆 顶 端 E 的 俯 角 a是 4 5,旗 杆 底 端 D 到 大 楼 前梯坎底 边 的 距 离 D C 是 2 0 米，梯 坎 坡 长 B C 是 1 2 米，梯 坎 坡 度 i =l：M，则大楼AB 的高度约为。（精 确 到 0.1 米，参 考 数 据：血 口 1.4 1,1.7 3,戊 仁 2.4 5）12.（2016 山东省荷泽市 3 分）如 图,在正方形A BCD外作等腰直角A CDE,DE=CE,连接B E,则 t an N EBC=三、解答题：13.（2017.江苏宿迁）如图所示，飞机在一定高度上沿水平直线飞行，先在点A处测得正前方小岛C 的俯角为30 ,面向小岛方向继续飞行10k m 到达B 处，发现小岛在其正后方，此时测得小岛的俯角为4 5 ,如果小岛高度忽略不计，求飞机飞行的高度（结果保留根号）.14.（2017 湖北荆州）如图，某数学活动小组为测量学校旗杆A B的高度，沿旗杆正前方2仃米处的点C 出发，沿斜面坡度i=l：g 的斜坡CD前进4 米到达点D,在点D 处安置测角仪，测得旗杆顶部A的仰角为37 ,量得仪器的高DE为 1.5米.己 知 A、B、C、D、E 在同一平面内，A BBC,A BDE.求旗杆A B的图度.（参考数据：s i n 37 咎c o s 37 弋高，t an 37 5 5计算结果保留根号）4A15.（2017内江）如图，某人为了测量小山顶上的塔ED的高，他在山下的点A处测得塔尖点 D的仰角为45,再沿AC方向前进60nl到达山脚点B,测得塔尖点D的仰角为60,塔底点E 的仰角为30,求塔ED的 高 度.（结果保留根号）16.（2017甘肃天水）一艘轮船位于灯塔P 南偏西6 0 方向的A处，它向东航行20海里到达灯塔P 南偏西4 5 方向上的B处，若轮船继续沿正东方向航行，求轮船航行途中与灯塔P的最短距离.（结果保留根号）17.(2 016 山东省德州市 4分)2 016 年 2月 1 日，我国在西昌卫星发射中心，用长征三号丙运载火箭成功将第5 颗新一代北斗星送入预定轨道，如图，火箭从地面L处发射，当火箭达到A点时，从位于地面R处雷达站测得A R 的距离是6 k m,仰角为4 2.4 ；1秒后火箭到达B点,此时测得仰角为4 5.5(1)求发射台与雷达站之间的距离L R;(2)求这枚火箭从A到 B的平均速度是多少(结果精确到0.01)?(参考数据：so n 4 2.4 40.6 7,c o s4 2.4 g 0.74,ta n 4 2.4 和0.905,si n 4 5.5 =0.71,c o s4 5.5 0.70,ta n 4 5.5 1.02 )18.(2 017新疆)如图，甲、乙为两座建筑物，它们之间的水平距离B C 为 3 0m,在 A点测得 D点的仰角/E A D 为 4 5 ,在 B点测得D点的仰角/C B D 为 6 0 ,求这两座建筑物的高度（结果保留根号）【知识归纳】1.锐角三角函数1.定义/A的 对 边a 八在 RtAABC 中，ZC=90,AB=c,BC=a,AC=b,则NA 的正弦：sinA=的余弦：MSA-4普普边的正切:tanA-幺黑鲁它们统称为/A的锐角三角函数3-C2.特殊角的三角函数值si n 3 01-2-,c o s3 0=-ta n 3 0-2V3si n 4 5 =V2,c o s4 5 =V2ta n 4 5 =1-2 2 si n 6 0=G,c o s6 0=_ta n 6 0=223 .解直角三角形(1)解直角三角形的定义在直角三角形中，除直角外，共有5 个元素，即 3条边和2个锐角.由这些元素中的一些已知元素，求出所有未知元素的过程叫做解直角三角形(2)解直角三角形的常用关系在A B C 中，Z C=90,则：(1)三边关系：a+b2=c；(2)两锐角关系：Z A+Z B=90 ；(3)边与