考点03 函数及其性质（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考）(教师版）.pdf

考点03函数及其性质(核心考点讲与练)考 点 考 环i.函数的概念设 4 8 是两个非空数集,如果按照确定的法则f对 4 中的任意数x,都有唯二确定的数y 与它对应，那么就称/：4-8 为从集合A到集合B的一个函数，记作y-/V),A.2.函数的定义域、值域(1)函 数 v=F(x)自变量取值的范围(数集/)叫做这个函数的定义域；所有函数值构成的集合3尸/Xx),正山叫做这个函数的值域.(2)如果两个函数的定义域相同,并且对应法则完全一致,则这两个函数为相等函数.3.函数的表示法表示函数的常用方法有解析法、图象法和列表法.4.分段函数(1)在函数的定义域内，对于自变量x 的不同取值区间，有着不同的对应法则,这种函数称为分段函数.(2)分段函数是一个函数，分段函数的定义域是各段定义域的史集，值域是各段值域的并集.5.函数的单调性(1)单调函数的定义(2)如果一个函数在某个区间M上是增函数或是减函数,就说这个函数在这个区间材上具有单调性，区 间 称为单调区间.增函数减函数定义设 函 数 尸 f(x)的定义域为A,区间J也凡如果取区间”中任意两个值汨，物 改 变 量 A x=加一%0,则当尸/U)f(汨)时,就称函数7=F(x)在区间M上是增函数A y=一/小)0时,就称函数y=F(x)在区间材上是减函数图象描述y=f(x)自左向右看图象是上丑的Q)1 修)1曲)-O|*自左向右看图象是下降的6.函数的最值前提设函数y=f x)的定义域为I,如果存在实数材满足条件(1)对于任意x G I,都 有 f(x)W寸(2)存在施6/,使得f(x 0)=材(3)对于任意x e/,都 有 f(x)训；(4)存在刘d/,使 得 F(加)结论材为最大值材为最小值7 .函数的奇偶性奇偶性定义图象特点奇函数设函数y=f(x)的定义域为，如果对内的任意一个必 都有一且 八一%)=一八X),则这个函数叫做奇函数关于原点对称偶函数设函数y=g(x)的定义域为如果对内的任意一个K 都有一且 g(x)=g(x),则这个函数叫做偶函数关于y 轴对称8 .函数的周期性(1)周期函数：对 于 函 数 尸/(x),如果存在一个非零常数T,使得当x取定义域内的任何值时，都 有 丝+7)=/(x),那么就称函数尸f(x)为周期函数，称 7 为这个函数的周期.(2)最小正周期：如果在周期函数/t v)的所有周期中存在一个最小的正数,那么这个最小正数就叫做f(x)1 .利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：(1)“一正”就是各项必须为正数；(2)“二定”就是要求和的最小值，必须把构成和的二项之积转化成定值；要求积的最大值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；(3)“三相等”是利用基本不等式求最值时，必须验证等号成立的条件，若不能取等号则这个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方.2 .已知函数零点(方程根)的个数求参数值(取值范围)常用的方法：(1)直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解.3 .函数的对称性与单调性，指数式、对数式的大小比较.比较指数式大小时，常常化为同底数的幕，利用指数函数性质比较，或化为同指数的幕，利用幕函数性质比较，比较对数式大小，常常化为同底数的对数，利用对数函数性质比较，如果不能化为同底数或同指数,或不同类型的数常常借助中间值如0 或 1 比较大小.4.导数是研究函数的单调性、极值(最值)最有效的工具，而函数是高中数学中重要的知识点，对导数的应用的考查主要从以下几个角度进行：(1)考查导数的几何意义，往往与解析几何、微积分相联系.(2)利用导数求函数的单调区间，判断单调性；已知单调性，求参数.(3)利用导数求函数的最值(极值)，解决生活中的优化问题.一、单选题(4)考查数形结合思想的应用.1.(2 0 2 2 天津市第四十七中学模拟预测)已知函数/)=2)存在个不同的数,使 得/墟=/=/9 力成立，则”的取值集合是%X A.2,3,4,5 B.2,3 C.2,3,5)D.2,3,4【答案】D【分析】由题意，可知为方程尤)=辰的解的个数，判断/(x)的单调性，作出丫 =/(幻与、=丘 的 函数图象，根据图象交点个数即可求解.【详解】解：设孚=竽=%,则方程/鱼=%有 个 根，即/(x)=区有“个根，fM =%1,儿，2 X+2,万 23所以x)在 伺)上单调递增，在W3 ，2)上单调递减，且 不3 )=1当X2时，f(x)=ex-2(-x2+8 x-1 2)+et-2(-2 x +8)=et-2(-x2+6 x-4),设 g(x)=x2+6 x 4(x 2),令 g(x)=0 彳 吓 x =3 +所以当2 c x 0,即以(x)0,当x 3 +百 时，g(x)0,即/(x)；,作出冷与丫=依的大致函数图象，如图所示：由图象可知/(*)=的 交 点个数可能为1,2,3,4,又”.2,所 以 的值为2,3,4.故选：D.2.(2 0 2 2 天津市第四十七中学模拟预测)已知函数f(x)=-|如，则实数2x-x2,x 0。的取值范围是()B.(2,7)5 1,2)C.(-2,O)I J(O,2)D.(-l,0)U(0,l)【答案】A【分析】由题意，画出图形，结合分2-扁0和 进 行 讨 论,解 得 的 范 围，从而即可得实数。的取值范围.-Y X 02 ”的图象如图，2X-X2,X0因为T a|,O,若2-次,0,由八幻在（f,0上单调递增，且/（2-/）-|硝,则2-片-|。|,解 得 戊，|a|2；若2-o,则-3（2-4）_2|0 _0 2,解得驾 工Va|血;综上，警的2.解得-2 一 里或亚 g.33西-2)u(V1 0-2所以实数。的取值范围是-2,-，2 .33 J故选：A.3.（2 0 2 2 河 北 模拟预测）设函数/（力=(:+1)+2,x0的解集为-2x,x 1,)A.(T1)C.(-7,7)B.(-oo,-l)u(l,+oo)D.(,-7)O(7,-H)【答案】A【分析】由函数解析式可 得*3）=-6,-3）=6,画出函数图象，则原不等式等价于/（凶-4）6 =/（-3）,结合函数的单调性，即可得到凶-4 -3,解得即可;【详解】解：因为/）=(x+l)+2,x 1则 f（3）+f （国-4）0,g|J f（|x|-4）-/（3）=6 =/（-3）,/（x）的函数图象如下所示：由函数图象可知当x -3时 f(x)/(-3)等价于国4 3,即凶-、（。0,且。w l）在区间（x+1）+4。，x-F,+8)上为单调函数，若函数8(耳=|耳卜,-2|有三个不同的零点，则实数a的取值范围为）A.34_4B.C.1 3T6D._4lu在ua【答案】I)【分析】山函数在x)在(口,”)上为单调函数，且当x-l 时“X)单调递减，则满足0 。+l o g.1 得到。的范围；再将g(x)有三个不同的零点问题转化为函数y =|/(x)|和 y=|x-2|有三个交点问题，画出两个函数的图象，可先判断当工2-1 时存在两个交点，则只需满足X V-1 时有且仅有一个交点即可，进而求解,综合得到的范围.【详解】由题，因为，(同在(F,”)上为单调函数，且xv-1 时，/(x)=(x+i y+4 单调递减,所以0 tz 1 4-l o gr t 1解得净，在同一坐标系中画出y =I/(X)|和y=卜-2|的图象，如图所示：%由图象可知当x N-1 时，y =|f(x)|和 y=|x 2|的图象有两个交点，故只需当X -1 时，|力|和尸打一2|的图象有且只有一个交点，当-1 +1)2+4 目-1 一 2|,即4K3,即时，满足题意；3 7当4 3,即 7时，只需y =(x+l)+4 与y =2 一 1 相切，联立可得f+3 x+4 a 1 =0,则 =9 4(4。1)=0,解得。=1 6综上，”的 取 值 范 围 是 胃 4 4 1 6 故选：D6.(2 0 2 2 浙江省义乌中学模拟预 测)已知函数/(x)=x,g(x)=si n r,r(x)=c o sx,则图象为下图的函数可 能 是()A y =S B y =L c y=-D 尸 x)2 +g(x).2 +/(x)-2 +g(x),2 +|g(x)|【答案】C【分析】A 选项，利用当x。排除A 选项，B 选项，利用x =0 时，y =智=：2 +g(x)2 +s in x 2 +0 2排除B 选项，I)选项，利用奇偶性排除D 选项，C 选项，满足图象要求.【详解】A选项,c 周一,其中当x 0恒成立，故A选项错2 +s in x误;B选项片露厂第当X时尸篝不合要求,B错误,f(x)C选 项,产江西=2 Z s in x 当x =0时，y=o,当工0时，y0,当x()时，y 0,且为非奇非偶函数，故符合要求.D选项，依)=241)广2+氤|，定义 域 为 七 且Mr)=-/i(x),故力(力为奇函数，图象关于原点对称，不合题意，D错误.故选：C7.(2 0 2 1 全 国 模 拟 预 测)已 知 函 数 幻=二-1的定义域是 犯 1 5 为整数)，值域是 0,4 ,则x +1满足条件的整数对(?，)的个数是()A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【分析】根据函数的单调性，并画出函数的大致图像即可【详解】由/3 =(),得 x =2 或 x =-2由 f(x)=4,得 x =0易知当x0时，/(x)为减函数，其图像如上图所示若使x)的定义域是 ,(/,为整数)，值域是2,4 ,满足条件的整数数对(见)有(-2,0),(-2,1),(-2,2),(0,2),(一1,2)共 5 个故选：D8.(2 0 2 0 南开中学模拟预 测)下列各组函数中，表示同一函数 的 是()A.y =x +l 与+入 B.x)=2 与 g(x)=xC.x)=l x l 与g(x)=D./(x)=A g(f)=l o g【答案】D【分析】时于A：由定义域不同，即可判断：对于B：由定义域不同，即可判断；对于C：由对应关系不同，即可判断；对于D：对应关系相同，定义域相同，可以判断为同一函数.【详解】对于A：y =x+l 的定义域为此 =二 三的定义域为(r,()5()，”)，定义域不同，所以A 错误:X2对于B：/(司=忘？的定义域为(0,内)，g(x)=x 的定义域为必定义域不同，所以B 错误；对于C：x)=|x l,对于g(x)=4F=M”及%，对应关系不同，故 C错误；X,“为奇数对于D：/(x)=x 定 义 域 为 尺 g =l o g*=f,定义域为此二者对应关系相同，定义域相同，为同一函数.故选：D9.(2 0 2 0 广东中山 模拟预 测)下列各组表示同一函数 的 是()2A./(x)=x-l,(x)=y-l B.y=lg x-2,y =l g 念c.f(x)=E，g(x)=Z?D.y =(；),y =%【答案】B【分析】两个函数若是同一函数，需定义域和对应关系相同，根据定义判断选项.【详解】A.x)=x-1 的定义域为R,g(x)=q_l的定义域是 小*0 ,两个函数的定义域不相同，所以不是同一函数；YXB.y =l g x-2 和 尸 怆 会 的定义域是(0,+o o),且 y =lgW =l g x-2,两个函数的解析式相同，所以是同一函数;C.x)=J 7=W，g(x)=W 7=x,两个函数的定义域都是R,两个函数的对应关系不同，所以不是同一函数；D.f(x)=)的定义域是R,),=)的定义域是 0,+。)，两个函数的定义域不同，所以不是同一函数.故选：B1 0.(2 0 2 0 全国 一模)网购女鞋时，常常会看到一张女鞋尺码对照表如下，第一行是我们习惯称呼的“鞋号”(单位：.号)，第二行是脚长(单位：m m),请根据表中数据，思考：他们家正好有 一 款“32 号”的女鞋在搞打折，那么适合购买这款鞋的脚长的取值范围是()鞋码3 53 63 73 83 9脚长2 2 52 3 02 3 52 4 02 4 5A.2 0 1,2 0 5 B.2 0 6,2 1 0 C.2 1 1,2 1 5 D.2 1 6,2 2 0【答案】B【分析】先建立函数关系y=5 x+5 0,再求解即可.【详解】解：设“脚长”为 y,“鞋号”为X,根据题意发现X 与 y 满足y=5 x+5 0 的函数关系,当x=3 2 时，y=5 x3 2 +5 0 =2 1 0,故选：B.【点睛】本题考查函数关系的建立，是基础题.二、多选题1 1.(2 0 2 2 江苏南通模拟预测)已知定义在R上 的 函 数 的 图 象 连 续 不 间 断，当X 2 0 时,l+x)=2/(l x),且当x 0 时，r(l +x)+r(l-x)0,则下列说法正确的是()A./=0B./(X)在(-8 上单调递减C.若不 ,/(与)/(%2),则%+2f(x)D.若不，电是g(x)=/(x)-c o s;r x的两个零点，且&刍，则1 2=x2 2-xt,所以/伍）/（2-与）n/（%）2 f（x j,所 以 梁 2,即可判断D.【详解】对于A,在/（1 +力=2/（1-力 中令x=0,则/（l +0）=2/（l 0）,所以7（1）=0,故 A正确；对 于 B,当x0 时，/（l +x）=2/（l-x）,对 1+引=2 1-力两边求导，则r（i+x）=2r（i x）（T）=2r（i-x）,所以xo 时，r（i+x）+r（i-x）=-2 r（i-x）+/,（i-x）=-/,（i-A：）o,所以/（i-x）o,令i=，r（）o,所以“X）在（Y,l 上单调递增，所以B 错；对于C,由 B知，/（X）在（川 上单调递增，（1,+8）上单调递减，由王,/（玉）/（）知小弓不可能均大于等于1,否则否士1，则玉）/（），这与条件矛盾，舍去.若为占41,则/（占 卜/）,满足条件，此时，X y+x22；）若%1，贝而/（恐）=2/（2 一务），贝 I/（X2）-/（2-）=/（2-A2）0,所以/）2-）=/。）2 一 4）,而/2-1，所以X 2 x?X +w 2 ,C 正确;对于D,由 x）在（川 上单调递增，（1,内）上单调递减，知“x）4/（l）=0,注意到g(；)=D 0,g(|)=同。，所以占 6若/（%）/（电），则否+超 2,则个=c o s g n c o s g v c o s 联(*),/(x2)=c o s x2所以玉 2=4 大 c o s(2-x2)=c o sTTX2（,.,啊,文（2-）,这与（*）矛盾,舍去.所以 x JX2)n 1，在X N O 时，l+x)=2/(l x)中,令 x=l 一 办 n f(2 石)=2/(一),而由 X +/2 =x?23,所 以/伍)/(2f)n/(w)2/(x j,所 以/R2,故 D 正确.故 选:A C D.1 2.（2 0 2 2 江苏沐阳如东中学模拟预测）华人数学家李天岩和美国数学家约克给出了“混沌”的数学定义，由此发展的混沌理论在生物学、经济学和社会学领域都有重要作用.在混沌理论中，函数的周期点是一个关键概念，定义如下：设“X）是定义在R上的函数，对于x e R,令x“=/（怎T）（=1，2,3 .）,若存在正整2x,x=0、x0=p%=（、/=1 时的函数周期，进而得出结果.【详解】A：%=0时，%=/（0）=0,周期为1,周期为2 也正确，故 A正确;J 2 J 2 2 2B：%=时，=/l -l=-/=/引=5,=-=-所 以;不是/（x）的周期点.故B 错误；2 2C：时，Xj=x2=,周期为1,周期为2也正确.故C正确;D：%=1 时，x=/(1)=0,马=/(0)=0。/，.1不是f(x)周期为2 的周期点，故 D错误.故选：AC.13.(2022 江苏江苏 一 模)下列函数中，最大值是1 的函 数 有()A.y=|sinA|+|cos B.y=sin2x-cos2x4.22 n tan x tan 2xC.y=4sin xcosx D.y=-tan 2x-tanx【答案】BC【分析】化简变形各个选项中的函数解析式，再求其最大值即可判断作答.【详解】对于 A,y=J(|sinx|+|cosx|)2=Jl+|sin 2 x|4 收，当且仅当 sin2x=l,即尤=与+5,&wZ 时取“二”，即当x=?+5,Z Z 时，y1Mx=0,A 不正确；对 于 B,y=-(cos2x-sin2x)=-cos2xl,当且仅当21二22万一乃，即工=攵1 一金2 2 时 取“二”，冗即当x=%r-5 e Z 时，ymax=1,B 正确；k/jr对于 C,=(2sinxcosx)2=sin2 2 x -4,x e Z ,则/(x)的最小值为-3【答案】BCD【分析】将函数转化为/(我=生 史=2(+4)-5=2一 再逐项判断.x+4 x+4 x+4【详解】n拓，2X+3 2(X+4)-5 5函数 f(x)=-=-L =2-，x+4 x+4 x+4A.7*)的值域为(,2)U(2,E),故错误；B.F。)在区间(F,-4)上单调递增，故正确;C.2x+3 2x+13-1-x+4 x+4/(X)4-/(-8-X)=4,故正确;D.因为则/(*)的最小值为-3)=-3,故正确;故选：BCD15.(2021 江 西 模拟预测)下列各组函数中表示同一个函数的是()|2x|,g(x)=2x,x 0-2x,x 0A.f(x)=C./(x)=x+,g(x)=x+；3 3B.f(x)=x2,g(f)=/D.,f(x)=x+4,g(x)=Lx2 _-16x-4【答案】AB【分析】确定函数的定义域与对应法则是否相同即可判断.【详解】A 中两个函数定义域都是R,对 应法则都是乘以2 后取绝对值，是同-函数：B 中两个函数定义域都是R,对应法则都是取平方，是同一函数；C 中/(x)定义域是x|xO,g(x)的定义域是R,不是同一函数；D 中，(x)的定义域是R,g(x)的定义域是x|x2 4,不是同一函数.故选：AB.16.(2021 全国模拟预测)已知函数“町=三 二/(司=当 二，则“X)和 g(x)满足()A./(-x)=-x),g(x)=g(x)B./(2)/(3),g(2)g(3)C.f(2x)=2f(x)-g(x)D./(x)2-g(x)2=l【答案】ABC【解析】直接代入计算即可判断A；判断/(x)的单调性，可得-2)/(3)成立，计算g(-2),g的值可判断B：分别计算 2 x)以及2 x)g(x)可判断C；直接计算可判断D.【详解】解:选项人：“)=/=-三 二=二/(力 送()=咨 匚=8(力.故力正确；选项B x)为增函数，则-2)g(-2),故 8正确；x _ -x x.-x 2x _ -2 x选项 C:2/(x).g(x)=2 x-=2 x-=2/(2 x),故 C 正确；选项 D:/(x)2-g(x)2=/(x)+g(x)./(x)-g(x)=ex-(-e-x)=-1,故错误.故选：AB C【点睛】本题主要考查了函数解析式以及函数值的计算，考查了学生的计算能力，属于中档题.三、填空题1 7.(2 02 2 福建三模)写出一个同时具有下列性质的函数/(x)=一.定义域为R;值域为(-8,1)；对任意士,仅0,+8)且不N X,均有八，-4)0占一【答案】(*)=1 一,(答案不唯一)【分析】直接按要求写出一个函数即可.【详解】=定义域为R：卷 0,f(x)=l-()故答案为：f(x)=l-(答案不唯一).1 8.(2 02 2 山 东淄博一模)以模型丫=比人化 0)去拟合一组数据时，设 z =】ny,将其变换后得到线性回归方程z =2 x-l,贝!j c=.【答案】-Z e-1e【分析】将回归方程化为了=H 1=6-，./)再与模型比较系数，即可得到答案.【详解】由 z =l n y,得 l n y=2 x-l,y=e2 x-=e-1-e2 所以 c=e i=Le故答案为：.e1 9.(2 02 2 全 国 模拟预测)已知f(e、)=xl g 3,则/(2)+/(5)=.【答案】l n 3【分析】解法一：分别令e，=2,e，=5,解出工，再整体代入求解.解法二：令r =e1解出f)=l n Z g 3后，再代入求解.【详解】解法一：令e*=2,可得x=l n 2,令e*=5,可得x=l n 5,/(2)+/(5)=l n 2 xl g 3 +l n 5 xl g 3 =(l n 2 +l n 5)xl g 3 =l n l O xl g 3 =l g 3Ig e=l n 3解法二：令r =e*,可得x=l n f,则f t)=l n f/g 3,/(2)+/(5)=l n 2 xl g 3 +l n 5 xl g 3 =(l n 2 +l n 5)xl g 3 =l n l O xl g 3 =l g 3Ig e=l n 3故答案为：l n 32 0.(2 02 2 重 庆 模拟预测)已知定义在?上的函数“X)不是常值函数，且同时满足：2 +x)=2-x)；对任意均存在eR使得/(4)=2/()成立；贝I函数/(x)=_ _ _ _ _ _.(写出一个符合条件的答案即可)【答案】(X-2)2(答案不唯一)【分析】由题设函数性质分析知：/“)关于x=2对称且值域为(-00,0或 0,+8),写出一个符合要求的函数即可.【详解】由2 +x)=2-x)知：/(X)关于x=2对称，由对任意办e R ,均存在wR使得/(为)=2)成立知：函数值域为(-8,0或 0,+)或全体实数，.f(x)=(x-2)2 符合要求.故答案为：(x-2(答案不唯一).四、双空题2 1.(2 02 2 浙江嘉兴二模)已知函数f(x)的定义域为?,且满足f(x-l)=/(x+l),当x e T,l 时,.若 3)=A-3),则实数6=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _，/阁=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _.I|x-l|,0 x l.2)3【答案】-1 -#-0.754【分析】先由f(x-D=/(x+l)得到3)=f(l)(3)=f(T),再由解析式分别求出3)J(-3),由/3)=)(3)解出匕即可;直接代入对应解析式计算即可.x+b,1 W x 即 x=b时,/(%),=-1,所以/(-1)的值为0,函数/(X)的最小值为之O9故答案为：0；-O康月函数的基本性质一、函数的单调性一、单选题1.（2 0 2 2 天 津 耀华中学模拟预测）己知函数/（x）=e T ,a =f（I o g e:）,b =/（l o g 3 3,c =3e述关系式正确的是（）A.b a c B.b c aC.c a b D.a b c【答案】AJ）,则下【分析】根据f（x）=e T M,为偶函数，在（0,+8）上单调递减求解.【详解】解：f（x）=e T,f (x)为偶函数，且/(*)在(0,+8)上单调递减，a=/(l o ge；)=/(l o ge 3),b=/(l o g3-)=/(l o g,e),c =/(l o g,1)=/(l o ge9).0 l o g,e 1 l o ge3 a c,故选：A.2.（20 22 广东广州 二模）下列函数中，哨c.y=x-i【答案】c【分析】根据函数奇偶性和单调性的定义,【详解】对 A：容易知y =是偶函数,既是偶函数又在（0,e）上单调递增的是（B.=|x|-x2D.y=x-x对每个选项进行逐一判断，即可选择.且在（0,一）单调递减，故错误；对 B：容易知y =是偶函数，当x o 时，y=x-x2,其在（0,|单调递增，在（g,茁）单调递减，故错误；对C：容易知丫 =国-1是偶函数，当x 0 时，y =x-l 是单调增函数，故正确;对 D：容易知y =是奇函数，故错误；X故选：c.3.(20 22 辽 宁抚顺一模)已知函数/对任意X ER都 有/。+4)=/。)/(2),若 y =/(x+l)的图象关于直线x =-l 对称，且对任意的，%,七(),2,当&N时，都有王)一)0,则下列结论正确的【答案】C是()，(一 UA./(-3)/(4)1 1 1B./(-3)7(4)1 111 1 1-Cd 丁5-/(4)-D./(4)/(-3)【分析】y =/(x+l)分析奇偶性，/(x +4)=f(x)-f(2)分析周期性，由：)-(%)0 分析单调性,结当一士合题意选出答案.【详解】因为y =/(x+l)的图象关于直线x=-l 对称，所以y =/(x)向左平移一个单位关于直线x=-l 对称，所以y =/(x)关于直线x=()(y 轴)对 称，所以y =/(x)是偶函数，所以 f(2)=f(2),又因为 x +4)=/(x)-/(2),令x =-2得：2/(2)=/(-2),所以 22)=f(2)=f(2),所以，(2)=/(-2)=0,所以 f(x+4)=/(x)所以“X)周期为4,e 0,2,当时，都有 /(4)且理)/(5)=f(3)=f(-3)所以 0 /(2)/(-3)/(4)1 1 1-r*-/(-3)/(4)所以选项C正确.故选：C.4.(20 22 全国哈师大附中模拟预测(理)已知 实 数 满 足 a /2 I ny/2=b V 2，c 1 ,c l,n c 1I.n1=c 1 ,则n il z()、2 2 2 2A.c h aB.b c aC.ac bD.a h c【答案】D【分析】令 x)=x l n x-x,利用导数可求得 x)的单调性，可知/(x)=f(-l f 0)有两个不等解玉,并得到。不 1,l&e,根据/(拉)可确定 力,c 的大小关系.心吗)【详解】由题意得：ana-a=21n 2-2=V 21n V 2-V 2；1 11 1 1c l n c-c =I n-2 2 2令/(x)=x l n x-x ,则/f(x)=l n x,.当x e(O,l)时，/，(x)0；/（X）在（0,1）上的单调递减，在（1,+8）上单调递增；，/（）面=1）=一 1;X/（e）=0,当x w（O,l）时,/（x）0；方程 x）=f（-1 U O）有两个不等解和马，.0 x,l,l x2 e；/（）=/（2）/（/?）=/（x/2）,又0 ；1 及 2 e,/=顿0 t z 1,0 /?1,l c/（垃），.（4）”与，m；综上所述：abc.故选：D.二、多选题5.（20 22 广东茂名二模）若对任意的占，（,内），且不 X 2，都有土E土:2.-土 2,则勿的值可 能 是（）（注 e =2.7 18 28 为自然对数的底数）1 1 3A.-B.-C.-D.13 e e【答案】B C D【分析】根据题意，化简得到电,令,可得/（可 占 0,得3-芭 0,则 n 1 过 1 2 等价于xl n w -xj n%2（/-演），即超7|X j I n x2+2x x2 I n$+2x2,/、/、I n +2 I n x+2所以（l n x2+2）%2（l n%i+2）,则-;-%?，所以f（x）在 上 是 减 函 数，In y 1 1 1所以r（x）=-0 时，/(X)在 10,11)单调递增C.当石-1时，/(x)在 0,4矶GN*)的值域为 炉z,产D.当2 0,且4 切 时，若将函数g(x)=；T 与“X)的图象在 0,2 (eN*)的m 个交点记为(乙,)(，=1,2,3,机)，则 z a +%)=犷+%-1/=1【答案】BC【分析】对丁 A,可推导得到 x+4)=x),山.log2 80)=log2 5)=-lo g 2 可知A错误；对于B,山在 0,1)上的单调性与在 2,2 +1乂)单调性相同可知8 正确：对于C,可推导出/5+4)=万(司，则/(x)在 0 和 4-1,4”+田乂)上单调递增，在 4-3,4 T(eN*)上单调递减，由此确定 4“J UL，知 C正确；对于D,根据图象可确定g(x)与“力有个交点坐标，可求得 七 为等差数列，为等比数列，利用等差和等比数列求和公式知D错误.【详解】对于 A,当;1=一 1 时，/(x)=/(x 2),WiJ/(x+4)=-/(x+2)=/(x),当 x 2 2 时，/(x+4)=/(x),f(x+2)=-f(x),./(Iog2 80)=/(lo g2 80-4)=/(log2 5)=乂 log?：+2)=-/(log。勺=_(2*j =一?+1 =；，A 错误；对于B,当，0 时，/(引在 0,1)卜一的单调性与在 2,2 +1乂 旷)的单调性相同，/(x)在 0,1)上单调递增，.J(x)在 10,11)上单调递增，B正确；对于 C,由 x)=4/(x 2)得：x+4)=4 f(x+2)=无 X),依次类推可得:/(x+8)=A4/(x),/(X+12)=26/(X),，则/(x+4 )=产/(x)：.A 0 恒成立，所以函数f(x)的定义域为R，Q/(x)=log2-J=,/(-%)=log,(4 +1 +x),所以 X)=/(X),为奇函数,又/(X)=log2(J/+一 ”)在(-8,。)单调递减，所以/在(0,y0)单调递减，“幻在x=0 出连续，/(x)=log2(A/X2+1 -X)在(-0 0,。)单调递减，所以/(x)在H上单调递减，Q a)+3 6-1)=0,.%)=/(1-36),:.a=-3 b,即 a+3Z?=l,叱 3 1 f3 1Y 9b a,所以一+：=-+7 a+3b)=+-+6a b a b J a b 2.x +6=6+6=12，N a b当且仅当”=,即4=(,h 时，等号成立，a h 2 6所以巳3+；1的最小值为12.a b故答案为：129.(2022 山东济南市历城第二中学模拟预测)函数 制=r 在。，e)上是减函数，则实数。的范x-a +3围是【答案】(-2,4【分析】转化原函数为，。)=1 +金，利用反比例函数的单调性结合定义域，即得解x-a +3%+5【详解】函数解)=二,定义域为xe(r o,a-3)u(a-3,+8),x-a +3.r.、x-。+3 +2 .a+2又 fM =-=1 +-,x-a+3 x-a+3因 为 函 数=在(I,田)上是减函数，所以只需在(1,e)上是减函数，x-a +3 x-t z +3(Q+2 0因此 解得一24.故答案为：2 t z 0,函数/(x)=xl n a-l n x+(x-e)-,e是自然对数的底数.当a=e时，求函数/(x)的单调区间；(2)求证：/(x)存在极值点方,并求修的最小值.【答案】(1)单调增区间为(e,+8),单调减区间为(0,e)(2)证明见解析,%的最小值是e.【分析】（1）/（x）求导，根据f（x）的正负判定函数的增减即可；（2）根据导数的分母正，需要分子有变号零点，转变为双变量函数的恒成立和有解问题，利用导数再次确定新函数单调性和最值即可求解.(1)当 =e 时，/(x)=x-e l n x+(x-e)2,m n 、1 e,1/、2 x2+(l-2 e)x-e (2 x+l)(x-e)贝 l /(x)=1 +2(x-e)=-=-,(x 0)X X X令广(X)o,得x e；令(x)0,得X 0,所以方程2 x2 +(l n a-2 e)x-a=0,有两个不相等的实根与,毛(与x2),又因为 X 1%2 =-，所以为 0 0 有解，因此需要讨论等式左边的关于。的函数,记“=所以=1-&，当0 f%时,/X。时，u(t)0,M 单调递增.所以当 t=X。时 一，w(f)=r-X。In f 的最小值为%-A01n/.所以需要 2x：-2ex=a-X。1 n a 2 x0-/1 n x0,即需要 2年-(2e+l)x0+/In/2 0,艮|需要 2%-(2e+1)+In x(2 0,即需要 2x(,+lnxo-(2e+l)2。因为()=2f+In f-(2e+1)在(0,+oo)上单调递增，且 n(x j 之 v(e)=0,所以需要x(2e,故的最小值是e.12.(2022 山 东青岛一模)已知函数/(x)=e*+sinx-cosx-ax.(1)若函数/(x)在 0,+8)上单调递增，求实数。的取值范围；设函数g(x)=/(x)l n(l-x),若 g(x)2 0,求a 的值.【答案】a=3【分析】(1)由题意f(x)=e+cosx+sinx a N O,利用分离参数法得至Ija4e+cosx+sinx对xw 0,+oo)恒成立.设(x)=e*+cosx+sinx,利用导数判断出函数万(力在 0,+8)上单调递增，求出a w 2；(2)把题意转化为VXGg(x g(O)恒成立.由x=0 为g(x)的一个极小值 点,解得=3.代入原函数验证成立.由题意知/(x)=e*+cosx+sinx-a因为函数/(x)在 0,+8)上单调递增，所以/3=6+8$刀+$皿_-。2。，即 a e1+cosx+sinx对x e 0,+oo)恒成立设(x)=e*+cosx+sinx,则=e*-sinx+cosx=e*当0 4 x 1-1=0JIn _“心 万 时、h(x)趣-6 e-丘0所以函数(x)=e*+cosx+sinx在 0,+8)上单调递增所以 a4/z(xL.=/7()=2(2)由题知 g(x)=/(x)-ln(l-x)=e+sinx cos%-6L ln(l-x)(x 1)所以 g(x)=e，+cosx+sinx-a+一,g(0)=0因为g(x)N。所以V xe(ro,l),g(x)Ng(O)即g(。)为g(x)的最小值，*=。为8(外的一个极小值点，所 以/=e+cos0+sin0-a+-)-=0,解得a=3当”=3 时，g(x)=eA+sin x-co sx-3 x-ln(l-x)(x 1)以 g(x)=e+cos x+sin x 3+-=e*+,2 sin x+J 3+-当0 V x l+l-3+l=0(当且仅当 =0 时等号成立)所以g(x)在 0,1)上单调递增当x 0 时，-1 x 0,g,(x)l+l-3 +l=0；7T =7 1 3?x -,g(x)e 2+V 2-3+-+3+-0),g(x)=xe+aInx(aeR),且，(占)=0X(1)若。=1,且 g(x)=0,试比较拓与的大小关系，并说明理由；若。=-1,且(+1)/(%)=g ),证明：i i书(参考数据：I n 3 =1.09 8,I n5 a 1.6 09;=0.3 6 8 )【答案】(1)%不，理由见解析(2)(i)证明见解析；(i i)证明见解析【分析】(1)由x-*0时，/(x),g(x)-O,/(；)0,8(3)0可得与小(0,3),构造w*)=+|+1 1 1 X*0),1?求导分析单调性，由g(X 1)=机(须)(5)=-l n2 0,故g(X )0),求导分析单调性，结合而夕4)0即得解；9 3 e(i i)构造，(x)=x(l -X)(2-X)-L 可得/(I 一 /)0),H(x)=/i(x)-/i(l-x),e分析即得解对函数A x),g(x)求导得：f x)=(x+2)e*+二 0,g (x)=(x+l)er+0 x x当 x f 0 时，x),g(x)f f.而 宿)=T&-2,g(g)=/_ i n2.由 e 1.5 3 I n2 =j n l6 0,g(；)0因此七,X 1唯一且e(O,g)由(3+1封-工=0 知 e*=1 g(x1)=-+l nx,.X 1%1 (须 +1)X 4-11+J V +1构造/H(X)=-+I n x(x 0),则 W(幻=y 0.X 4-1X(X +ly故加(x)在(0,+o o)单调递增；1 2 1 2 八因此g(X|)=W(X|)知 g(X )。.故g a)%.(2)(i)证明：由题意得1)+/(W+l n%)=0.构造=则尸(%)=/1,r(x)r(O)=O.因止匕-N x+1 .因此 0=(x22+赴 +1)+%(“2 +I nx2)(x2