考点23 圆锥曲线综合应用（核心考点讲与练）-2023年高考数学一轮复习核心考点讲与练（新高考）(教师版）.pdf

考点23圆锥曲线综合应用(核心考点讲与练)1 .求定值问题常见的方法有两种：(1)从特殊入手，求出定值，再证明这个值与变量无关.(2)直接推理、计算，并在计算推理的过程中消去变量，从而得到定值.2.定点的探索与证明问题(1)探索直线过定点时，可设出直线方程为y=f c c+6,然后利用条件建立4 k 等量关系进行消元，借助于直线系的思想找出定点.(2)从特殊情况入手，先探求定点，再证明与变量无关.3 .求解范围问题的方法求范围问题的关键是建立求解关于某个变量的目标函数，通过求这个函数的值域确定目标的范围，要特别注意变量的取值范围.4 .圆锥曲线中常见最值的解题方法(1)几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；(2)代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用均值不等式法、配方法及导数法求解.5 .圆锥曲线的弦长设斜率为3t/0)的直线/与圆锥曲线C相交于A,8两点，A(xt,yt),B g,yi),贝 U-8|=寸1+/仅 1 一 丁|=7 I +(X1+X2)2=7 1 (丫 1+丫 2)2-.历 法 技 工)1.圆锥曲线中的定值问题的常见类型及解题策略(1)求代数式为定值：依题意设条件，得出与代数式参数有关的等式，代入代数式、化简即可得出定值.(2)求点到直线的距离为定值：利用点到直线的距离公式得出距离的解析式，再利用题设条件化简、变形求得.（3）求某线段长度为定值：利用长度公式求得解析式，再依据条件对解析式进行化简、变形即可求得.2.圆锥曲线中定点问题的两种解法（1）引进参数法：引进动点的坐标或动线中系数为参数表示变化量，再研究变化的量与参数何时没有关系,找到定点.（2）特殊到一般法：根据动点或动线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.3.圆锥曲线中常见的最值问题及其解法（1）两类最值问题：涉及距离、面积的最值以及与之相关的一些问题；求直线或圆锥曲线中几何元素的最值以及这些元素存在最值时确定与之有关的一些问题.（2）两种常见解法：几何法，若题目的条件和结论能明显体现几何特征及意义，则考虑利用图形性质来解决；代数法，若题目的条件和结论能体现一种明确的函数关系，则可先建立起目标函数，再求这个函数的最值，最值常用基本不等式法、配方法及导数法求解.4.存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在.解决存在性问题应注意以下几点：（1）当条件和结论不唯一时要分类讨论；（2）当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；（3）当条件和结论都不知，按常规方法解题很难时，要思维开放，采取另外的途径.5.解决直线与圆锥曲线的综合问题时，要注意：（1）注意观察应用题设中的每一个条件，明确确定直线、圆锥曲线的条件；（2）强化有关直线与圆锥曲线联立得出一元二次方程后的运算能力，重视根与系数之间的关系、弦长、斜率、三角形的面积等问题.6.解答圆锥曲线问题的策略：1、参数法：参数解决定点问题的思路：引进动点的坐标或动直线中的参数表示变化量，即确定题目中核心变量（通常为变量上）；利用条件找到左过定点的曲线/（入/）=0之间的关系，得到关于左与乂丁的等式，再研究变化量与参数何时没有关系，得出定点的坐标；2、由特殊到一般发：由特殊到一般法求解定点问题时，常根据动点或动直线的特殊情况探索出定点，再证明该定点与变量无关.7.圆锥曲线中的证明问题常见的 有：（1）位 置 关 系 方 面 的：如 证 明 直 线 与 曲 线 相 切，直 线 间 的 平 行、垂 直，直线过定点等.（2）数 量 关 系 方 面 的：如 存 在 定 值、恒 成 立、相等等.在熟悉圆锥曲线的定义与性质的前提下，一般采用直接法，通过相关的代数运算证明，但有时也会用反证法证明.8.有关弦的三个问题（1）涉及弦长的问题，应熟练地利用根与系数的关系，设而不求计算弦长；（2）涉及垂直关系往往也是利用根与系数的关系设而不求简化运算；（3）涉及过焦点的弦的问题，可考虑利用圆锥曲线的定义求解.9.求解与弦有关问题的两种方法（1）方程组法：联立直线方程和圆锥曲线方程，消元（x或y）成为二次方程之后，结合根与系数的关系，建立等式关系或不等式关系.（2）点差法：在求解圆锥曲线且题目中已有直线与圆锥曲线相交和被截线段的中点坐标时，设出直线和圆锥曲线的两个交点坐标，代入圆锥曲线的方程并作差，从而求出直线的斜率，然后利用中点求出直线方程.“点差法”的常见题型有：求中点弦方程、求（过定点、平行弦）弦中点轨迹、垂直平分线问题.必须提醒的是“点差法”具有不等价性，即要考虑判别式,是否为正数.1考 点 彖）定值问题1.（2 0 2 2河南二模（文）已知点尸（0,1）,直线/：产4,P为曲线C上 的 任 意 一 点,且 是河到/的距离的（1）求曲线C的方程；（2）若经过点尸且斜率为可欠w0）的直线交曲线C于点MN,线段的垂直平分线交y轴于点H,求证：扁为定值.【答案】（1）工+=1 见解析3 4【分析】（1）设尸（x,y）,根据题意列出方程整理即得；（2）直线的方程为y =+l,与曲线C方程联立消去了 整理得：（4 +3有V+6日9 =0,检验判别式并利用弦长公式求得|N k12（1 +产）4+3 左 2 利用韦达定理和中点坐标公式及直线垂直时的斜率关系得到中垂线的方程，进而求得打的坐标，得到|相|=3。+）,从而证得结论.1 1 4+3公 设 P（x，y），由已知得J f+（y _ l）2 =；|y-4|,整 理 得:+=1,此即为曲线C 的方程;（2）经过点F且 斜 率 为*0）的直线的方程为y=丘+1,与曲线C 方程联立得：y=fc c +l/，消去y 整理得：（4+3/）/+6 履一9=0,-1-=13 4=3 6/+4 乂 9乂（4+3用=144（1 +/）0 恒成立，设”（石,凶）,77（孙必），则=/l +k2 x-x2 =1 +k?又=J 3/X+X）=一6k4+3公设线段MN的中点为T（%）,则通=三 产=J/,%=线+1 =/,乙 q 十3 k 4 J K线段MN的 中 垂 线 的 斜 率 为 方 程 为=K,f 十 3 K K DK J令x=0,解得丫 =k，即为点H 的纵坐标，4+3公.1 3（1 +%2）,附=|-布?=不3（1 +阴.F H _ 4+3Z:2 _1（力左值）I阿-研P J*（为定值）4+3公2.（2021广东省深圳市第七高级中学高三第二次月考）抛物线E：_/=2 p x（p 0）的焦点为凡 过点尸的直线与抛物线交于M,N 两点，弦|M N|的最小值为2.（1）求抛物线E 的标准方程；（2）设点Q 是直线x=-1（丁。0）上的任意一点，过点P（l,0）的直线/与抛物线E 交于A,B 两点，记直线 AQ,B Q,PQ 的斜率分别为怎,kBQ,kP Q,证明：。；一0为定值.K p c【答案】（I）2=2X；（2）证明见解析.【分析】（1）利用焦点弦的性质可知|M N|=2 =2,即求：（2）设直线方程，联立抛物线方程，利用韦达定理法即证.【详解】（1）对于y 2=2 p x（p 0）,过焦点的弦最短时，弦垂直于x轴,此时M,N两点的横坐标均为K,2代入可求得纵坐标分别为土P，则此时|M N|=2 P =2,所以=1，即抛物线方程为V=2 x.（2）证明：设。（一1,%），A（X，y），3（%2，%），因为直线/的斜率显然不为0,故可设直线/的方程为X =）+1,联立方程x =r y +ly2=2 x消去 X 得 y 2 _ 2）_ 2 =0.所以X+%=2/7 1 2=-211 1 kL n Q-2,-4 k _二 一/,当 一/_（一 一%）（一+1）+（%一%）（百+1）乂 4。+一不?石厂（一+1）（%+1）:（y -%）（。2 +2）+（%-%）（以+2）=2 3 +（2-%）（凹 +%）-4）0（。1+2）（y+2）/y%+2 r（y+%）+4_ 2 f.（_ 2）+（2 00）2_4）0 _ _%（4 +2）_ _ ,（-2）+2 d 2/+4 7 r+2 一 一）。k g+即 _ 一%_ o所以kp Q 一工一（定值）23.（2 02 1四川省双流中学高三上学期1 0月月考）已知耳，鸟 分别是椭图E：+=1（。人0）的左，右焦点，4 B C的顶点都在椭圆E上，且边AB，4c分别经过点耳，鸟.当点A在丁轴上时，耳心为直角三角形且面积为1.(1)求E的方程；1 1(2)设8、C两点的横坐标分别为王、，求证：-为 定 值.2 X 1+3 2X2-3r2【答案】(1)+y2=l(2)证明见解析2【分析】(1)由题意可得*鸟为等腰直角三角形，且点A为椭圆的上顶点，b =c,再结合人耳鸟的面积 为1,可求出c的值，从而可求出。力，进而可求出椭圆方程，(2)先讨论直线A 3或4C的斜率不存在的情况，再设直线A 3为y =A(x+l),代入椭圆方程中消去y,再由根与系数的关系可得芯+与=-一 方，再结合为2=1-2”表示出F，从而可得1 +2 k 2-3 x-4 3 x -4 1 1再=；。公，同理可得=彳，代入 7-一 中 化简可得结论2 x0+3 2x0-3 2 x14-3 -3(1)山题意可得A A耳行为等腰直角二角形，且点A为椭圆的上顶点，b =c,因为A A K乙的面积为1,所以gx2c-c=l,解得c=l,则力=1,a2=b2-2所以椭圆方程为 三+y 2=12(2)若直线A 3的斜率不存在，则直线A 5为=-1,将x=T代入椭圆方程得g+y 2=l,y-不妨设 A(-1,则8,即西=一1此时直线AC的斜率为 当 二 也，直线AC的方程为y =也(x 1)，-1-1-4 42 75x2 2x 7=0，所以-1+%=，得巧=,-5 51 _ _ _ _ _ _1 _ _ _ J _ _ _ _ _ _ _ 1_ _ _ _$所以 2%+3 2%-3-一2+3 ,51=2，代入椭圆方程得1 1 ,同理可得直线AC的斜率不存在时，可 得-=6,2%+3 2X2-3若直线A5的斜率存在，设 4,),直线AB为 y =&(x+l),代入椭圆方程得(1 +2女 2)x2+4炉 x-2()l2-1)=0,Ak2所以+x产-中因为点4%,%)在椭圆上，所 以 亨+为2=1,所以为2=1一31,2-/22 伉+1)2所以石+x04.2f4 k2 _ 2(x0+l)1 +2r +2.2-%22(x+l)-4-2/22Ao+3所以不42%2 x =3x 42x0+3 2尤 0 +3同理可得了23%-42XQ 31 _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 1 _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ 所以 2内+3 2X2-3 2=3 一4 +3 2 32x0+3 2x0-32x()+3 2xo 32(-3%-4)+3(2/+3)-2(3%-4)-3(2/-3)12%+312/3所以为定值个受 定点问题1.(20 21“四省八校”高三上学期期中质量检测)已知椭圆。的方程为:部+记C a b 0),离心率为 工，椭圆上的动点尸到右焦点尸距离的最大值为3.2（1）求椭圆。的标准方程；（2）过右焦点尸作不平行于轴的直线/交椭圆于A、B两点，点A关于8轴对称点为4,求证：直线5 4 过定点.2 2【答案】（1）+-=1 （2）证明见解析4 3C _ 1【分析】（1）由题意知，=5 ，再 由 得 到 各 个 参 数 值，进而得到方程；（2）将直线和椭Q +C =3圆方程联立，直线84 方程为：y+y,=L（x-x1）,化简得到y =红x）2+,再由直当 一%工2一演（X+y 2 J线方程化简得到%+X z X=2kXX Mx +工2)X +必&(X +)-2k代入韦达定理即可得到结果.a=2 广 x2 V2(1)由题意知，i a 2,：.，:.b=5:.一+工=1 c=4 3(2)v F(l,O),设/：y =2 2k(x 1 1,4 +1 ,v 7 4 3联立得（3+4公一8左21+4左2-1 2=0设A(X，y),6(%,%),4 (和%),r,r.8M西+一 帝 心中 2=4公 1 23+4公直线a r方程为：y+x=互4一%）,*2一%即广山j里3+yX Z 一X 工2 一%玉1 y+%4公 _1 2 8k%玉+ZX=%(%-1)%+攵(石-1)%2=24%-%(.+%)=%3 +4公 3 +4公yt+y2 Z(X 1-1)+攵(-1)2(xi+x2)-2k Sk23 +4/-.1：-；./过定点（4,0）.X2 X（四川省成都市石室中学20 21-20 22学年高三上学期期中）2.设抛物线C:：/=4x的焦点为尸，过焦点/作直线/交抛物线C于A,5两点.(1)若A B =8,求直线/的方程；(n r (2)设P ,m为抛物线C上异于A,8的任意一点，直线P4,尸3分别与抛物线C的准线相交于4 )E两点，求证：以线段OE为直径的圆经过x轴上的定点.【答案】(1)x=y +l (2)证明见解析【分析】(1)设出过焦点的直线，再和抛物线联立，最后运用抛物线的定义及韦达定理可求出直线方程；(2)求出直线2 4，依 分 别与抛物线。的准线相交于/),E两点的坐标，然后根据向量数量积为零建立方程求解即可.【小问1详解】由已知，得下(1,0)设直线/的方程为x =2=4X,得 丁49 4=0.设 4(x,y),8(%,%)，则X+%=4f，X%=-4.则4 8 =%+&+2 =乂+%)+4=4/+4 =8,解得r =l,所以直线/的方程为x =y+L【小问2详解】/2 (2、证明：设A斗，X ，B4 4k=)i _ 4则PA y.2 m2 乂+m，故 直 线 的 方 程 为y-团=-1 y.4 471A (2 A人 .，口 4 1 m m y,-4令x =_ ,得 y=m-1 +=-乂+加1 4)%+机，所以点。一1,(2ITTI 4X-m y1-4y +加同理可得点4T黑设以线段D E为直径的圆与X轴的交点为N(a,()贝u丽，T、I y +m）,E N =(a +l,-I y2+mJ由题意，知D N L E N，则 而.函=0,即（。+1）2 +丝 螫 二3 =0X +m y2+m由(1)可得 y +%=4r,M%=-4所以(a+1)2(m y,-4)(m y2-4)_ m2y,y2-4m(yl+y2)+16 _ 4/n2+16m t-16+m)(y2+m)yty2+m(,+y2)+m2 m2+A m t -4解得a =l或一 3，故以线段D E为直径的圆经过x轴上的两个定点（1,0）和（-3,0）.且可信最值与范围问题21.（2021四川省攀枝花市高三第一次统考）已知双曲线：-y 2=i的两个焦点分别为可，乙，动点尸满足|尸周+归闾=4.（1）求动点尸的轨迹。的方程；（2）若轨迹。上存在两点A,3满足凡M+心8=-1（自“心&分别为直线。4,。8的斜率），求直线A 8的斜率的取值范围.丫2 1 1【答案】（1）-h y 2=l （2）,0）C（,+oo）4 2 2【分析】（D由题设知：|尸耳|+|尸名|耳5结合椭圆的定义写出轨迹C的方程；（2）设AB：y=kx +b,4%，%）,8（尤2，必），联立椭圆方程并应用韦达定理可得%+=37，也=:a?根据上3+左或=-1可得2A=-1，由 （）有即可求直线AB的斜率的取值范围.【小 问1详解】山题设，若耳（-,0）,6（百,0）,.归 耳|+归 用=4|月入|=2 6，即动点P的轨迹是以耳，鸟为焦点，长轴长为4的椭圆,2.动点P的轨迹C的方程 为 工+V =1.4【小问2 详解】由题设，设直线AB：y=kx +b,4（%,%）,3（工 2，%），.1%=乂+%=e x x2 xx2联立轨迹。可得：（1+4公）/+8 助x+4/-4 =0,则 =16（1+4公一/）0,：.尤 1+x28kb4 s2-1)1+4 k 2 1+4,f,b(x,+x9)2 k i工 2弘+%=2 3工 2+力(川+九2)，则2 +x x -=T=_，即2女=一 1，：l-b2-4 k2,且。2=2%+120,1*1，Z（2左 一1）0且k N，可得一三式卜0 或&一.2 2 22.（2021浙江省绍兴市第一中学高三上学期期中）设点耳，2鸟分别是椭圆C：5+/l（a 0）的左、右焦点，闺耳|=2.（1）求椭圆。的方程；（2）如图，动直线/：y =依+机 与椭圆。有且仅有一个公共点，作 M，/,N_u分别交直线/于,N 两 点,求四边形M N鸟面积s的最大值.r2【答案】（1）一+:/=1（2）22【分析】（1）依题意可得c=l,从=1,即可求出“2,从而求出椭圆方程;（2）直线方程与椭圆方程联立得（2公+1）/+4初a+2，后-2=0,根据直线/和椭圆C有且仅有一个公共点得病 =2如+1.设4=I M|=J公+,出=1 6 N|=jq.分当火=0、左HO时，求解得出.（1）解:因 为 忻 用=2,所以c =l，2又因为c：0+y 2=1（。0）,即从=1，所以=0 2+0 2=2,r2所以椭圆方程 为 二+y 2=i；2（2）解:联立y=kx +mX2 2 i+y=1 2得（2攵2 +l）x2+km x+2 m2-2=0,直线l和椭圆C有且仅有一个公共点，J =16k2m2-4（2公+l）（2m2-2）=0,即 ，=2 k2+1,一 -k+m .IL*-k+t n 设 4=1 耳M1=I 2,W =1 FN 1=.-4 k1+1当攵=0时，四边形HgNM为矩形，此时S=2当左。0时，过尸2作6 M的垂线，垂足为P，则丈今用 一|1=5 4一（4一4）2，.1.S=（4+d2）H M N|,则 52=；（4+d2）21 M N 5=；（4+4）,4 （4 4）2，nr-k2k2+病一女22(m-k)2(&+加)2 ,7 磔+4)=HF+K-+2(4+此 2=1 +1 +21 2 F+1 公+1,又zn2=2k2+1 /,45k2+%2+1同理：(4 _ 4)2=1 +._24=里1 2 Jt2+1 k2+i k2+l k2+lcl c r 4 z7 72.1 s=a(4+4)2 44-(4-4)2 =.c2=4/n2 m.=2 公+11,-(+1)2 一%+1)2=1 6(i-j-)21 ,加 十 一mS2e(0,4),即 SW(0,2).综上所述，5 e（0,2 ,即 S的最大值为2.鹿耳脸 圆锥曲线弦长1.（多选）（2022广东潮州 二模）已如斜率为左 的直线/经过抛物线丁=4x的焦点且与此抛物线交于A&,y j,8（孙力）两点，I他|奴=0,根据根与系数的关系可判断A、B 选项.由弦长公式M M r+X j+pq+y,得 产 1,再联立历,N 两点在y 轴的两侧，求得k 4 2 -42+16,继而由已知得 2-44+16=1 3,求解即可判断D 选项.【详解】解：由题意可设/的方程为 =左（一1）（女/0）,联立y2=4x得 心 4=。，则=为定值,故 A 正确.4又乂+必=:，故 B 不正确K%+=+2=*+2,则|4阴=玉+=*+4 i,联 立 2 得f 辰+女 4=0,y=x-4VM,N 两点在y 轴的两侧，=/-4（4）=X-4%+160,且 Z-4V0,4.由公 1及左 4 可得 v 1或 1 6 0）的长轴长是短轴长的2 倍,作倾斜角为45。的直线交7 于 4,B两 点,若|4回=竽，则椭圆7 的方程为.过左焦点F【答案】+-=8 2【分析】本题考查弦长公式的使用，AB=7 i7 F 7（x,+x2）2-4x,x2.2 2【详解】：a=2 b,贝 h =岛.椭圆 T：卡+方=1,左焦点尸（-屉,0）设直线：y=x+也b,A（X1,y）,B（%2，y2）y=x+Kb联立方程：x2 y2 消去y 得：5丁+8疯 zr+8=o一+铲=1.85/3,汕2,X 4-%2=-b,XX9=-椭 圆T：+2-=18 2故答案为：+=1.8 2高岩探究性问题L（安徽省合肥市肥东县第二中学2 0 2 0-2 0 2 1学年高三上学期1 2月第四次检测）已知中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2,且经过点“卜福）：过点尸（2）的直线/与椭圆C相交于不同的两点A,B.（1）求椭圆C的方程;（2）是否存在直线/,满 足 丽.丽=丽2,若存在，求出直线/的方程；若不存在，请说明理由.【答案】（1）工r2+匕y2=1 （2）存在直线/满足条件，其方程为丁=1 一 工4 3 2【分析】（1）设椭圆C的方程为f J7+F=1（。8 0）,根据椭圆C的长半轴长为2,且经过点a=2可得9 1/+诉=1即可得到答案;（2）由题意得直线/的斜率必存在，设直线/的方程为：y=k（x-2）+l,利用韦达定理，代入向量等式可4 +4 5得 竺 竺7 =2,求 出&的值，即可得到答案;3+4/4（1）（1）中心在原点，焦点在x轴上的椭圆C的长半轴长为2,且经过点2 2.设椭圆C的方程 为 事+=1（。人0）,aa=2由题意 得,1 9,匕+赤=1解得从=3,2 2.椭圆C的方程 为 工+匕=1.4 3（2）.过点P（2,l）的直线/与椭圆C相交于不同的两点A,B,.若存在直线/满足题意，则直线/的斜率必存在，设直线/的方程为：=左。-2）+1,y-左（x-2）+1得（3 +4左2）%2一8左（2左一1）%+1 6 4 2 1 6左一8 =0,.直线/与椭圆C相交于不同的两点A、B,设A、B两点的坐标分别为（,乂）,（2，%），.=一8氏（2左一1）2 4（3+4&2）（1 6左2 1 6左一8）0,整理，得3 2（6左+3）0,解得Q-g,8k（2 k-D 1 6左 2 1 6%-8乂玉+“5=3 +4二PA P B=P M2,叩（-2）（-2）+（y-1）（%-1）=|,-2）（一 2乂1 +二）=|PM/.工 工2 -2（玉+尤2 ）+4 （1+k2）=a ,国上一2.幽 如W+/（I+F）=K=23 +4k2 3+4k2、3+4/4解得k=1,-:，,A =,2 2 2.存在直线/满足条件，其方程为y=；x.2.（2 0 2 1湖南长沙一中、广东深圳实验高三期中联考）设双曲线C：T-z-=1 （a 0,b 0）的左、右a2 h2焦点分别是Q,Fi，渐近线分别为伍1 2,过巳作渐近线的垂线，垂足为P,且 O P Q的面积为4（1）求双曲线C的离心率;(2)动 直 线/分 别 交 直 线/2 于 A,8两 点(A,B分别在第一、四象限)，且 O A B 的面积恒为8,是否存在总与直线/有且只有一个公共点的双曲线C,若存在，求出双曲线C的方程；若不存在，说明理由.【答案】(1)6(2)存在，工一*=14 1 6【分析】(1)山 O P Q 的面枳为幺，可得a,6的比值，再求离心率即可,4(2)先求得4,B的坐标，及 O A 8 的面积恒为8,得直线/的方程，再联立双曲线的方程，得=(),即可求得双曲线的方程.【小 问 1 详解】6(C,0),尺(c,0)，双曲线的渐近线方程为y =+-x,a由双曲线的对称性不妨取渐近线y=-x,则点6(c,0)到其的距离为a则I。尸 1=Jo周 2Tp国 2 =五_/=a，得 S AOPFb 2 a b=So w解得 b 2 a,c =yf a2+Z?=a_2+4 t z =5a ,所以双曲线C的离心率6 =2=迤=逐.a a【小问2详解】2 2由(1)得 渐 近 线 小 y=2 x,l2：y=-2 x,设双曲线得方程为 一 当 =1,a 4a依题意得直线/的斜率不为零，因此设直线/的方程为x =y +f，V/n v L,/0,2 2设直线/交x 轴于点C(6 0),A (x i,y),B(如丫2),联 立 x =m y+t,2 t -2 ty=2X,得“匚 茶 同理 得 =由由0A8 的面积S“M8=g|x _%|=8，“1 2 f It得 一 t-1-8,2-2m 1+2机即尸=4|1-4产|=4(l-4/n2)0,x=my+t,联 立f y2-2 A2-Lla 4a得(4m2-1)2+8I)+4(f(r)=0,因为4m21 0)的焦点是椭圆二+匕=1的一个焦点，则3P PP=A.2B.3C.4 D.8【答案】D【分析】利用抛物线与椭圆有共同的焦点即可列出关于P的方程，即可解出P,或者利用检验排除的方法,如 p =2时，抛物线焦点为（I,0）,椭圆焦点为（2,0）,排除A,同样可排除B,C,故选D.2 2【详解】因为抛物线y 2=2 p x（p0）的焦点（5,0）是椭圆+匕=1的一个焦点，所以3一=（5）2,解得p =8,故选D.【点睛】本题主要考查抛物线与椭圆的几何性质，渗透逻辑推理、运算能力素养.r2 12.（2 01 9年全国统一高考（新课标H I）已知曲线C：尸 二，。为直线厂-一 上的动点，过。作 C的两条2 2切线，切点分别为A,B.（1）证明：直线4 8 过定点：（2）若以E（0,3）为圆心的圆与直线A 8 相切，且切点为线段A 8的中点，求四边形A D 8 E 的面积.2【答案】见详解；（2）3 或4夜.【分析】（1）可 设 4%,X）,8。2，%），。亿 g）然 后 求 出 A,B 两点处的切线方程，比如A。：X+；=X（%-f）,又因为8。也有类似的形式，从而求出带参数直线A8方程，最后求出它所过的定点.（2）由（1）得带参数的直线A8方程和抛物线方程联立，再通过M 为线段A8的中点，两,通 得 出 的值，从而求 出 坐标和画|的值，4,4 分别为点。，后到直线A3的距离，则J,=#+T,d2=-=,结合弦长公式和韦达定理代入求解即可.【详解】（1）证明：设 0。,；），A（xx）,则 =；%2.又因为y=，所以y =%.则切线D A的斜率为4，故 X +g =%一。，整理得2-2+1=0.设 8。2，%），同理得2 比2-2 必+1=0.A（王，y）,8（%,%）都满足直线方程2 比一 2 y+1 =0.于是直线2比2丁 +1=0过点4,8,而两个不同的点确定一条宜线，所以直线A3方程为2 a 2 y+l=0.即 2 t x+(2 y+1)=0,当2 x=0,-2 y+1 =0时等式恒成立.所以宜线A6恒过定点(0),2(2)由(1)得直线A8的方程为丁 =+；.1y=Z x+一2由 彳 2 可得K 2一2氏一1二0，x y=I 2于是 X +/=2/,XJX2=-1,必 +y2=t(x1+x2)+l =2 r+1I AB|=J 1 +*|x-x21=J l +1 +)2)2 -4中2 =2(/+1)._ _ _ _ 2设4,d,分别为点D,E到直线AB的距离，则4 =J/?+1,&=-=.+1因此，四边形 A D B E 的面积S=g|4 3|(4+4)=(+3)&7 L设M为线段A B的中点，则由于国7_ L荏,而EM=(/,*2),荏与向量(1 J)平 行,所以 +1 2 2)/=。,解得f=0或，=1.当，=0时，S =3；当，=1 时S=4加因此，四边形A D B E的面积为3或4拒.【点睛】此题第一问是圆锥曲线中的定点问题和第二问是求面积类型，属于常规题型，按部就班的求解就可以.思路较为清晰，但计算量不小._f 23.（2 02 0年全国统一高考（新课标H）已知椭圆G：二+4 =1（。/0）的右焦点尸与抛物线C 2的焦点a b 重合，G的中心与C 2的顶点重合.过F且与x轴垂直的直线交C i于A,B两 点,交C 2于C,。两点，且4CD=A B.（1）求C i的离心率；（2）设M是C i与C 2的公共点，若|M =5,求C i与C 2的标准方程.,2,2【答 案】!；（2）G：J匕=1，G：/=1 2 x.1 3 6 2 7【分 析】（1）求 出|A B|、|C D|,利 用|8|=三 的|可 得 出 关 于。、。的齐次等式，可 解 得 椭 圆G的高心率的值;2 2（2）方法四 山（1）可 得 出G的方程为 J+J =i,联 立 曲 线G与G的方程，求 出 点M的坐标，利4 c2 3 c2用 抛 物 线 的 定 义 结 合=5可 求 得c的值，进 而 可 得 出Ci与C2的标准方程.【详 解】./（G 0）,A3J_X轴 且 与 椭 圆G相 交 于A、I两点,则 直 线AB的方程为=。,解 得 2b2X=C|,.*.Cd=4 c,y=2c 14Q A2 卬|=小 却，即 4 c=一,2b2=3ac 3 3a即 2 c2+3 a c 2 a 2=0，即 2 e 2+3 e 2=0，QO e 2 =4cx的方程并化简得3 co s2 6+8 co s6 3 =0，解得8 5夕=2或8 5。=-3 （舍去），32/7 （2 c 2痴c、所以si n，=丝，即点M的坐标为 3 I3 3 J又|M/|=5,所以由抛物线焦半径公式有X”+c=5,即 与+。=5,解得c=3.2 2故G的标准方程为金+0 =1，。2的标准方程为V=i 2 x.I方法四【最优解】：利用韦达定理2 2由（1）知a=2 c，b=Gc，椭圆G的方程 为 二+二=1，4c2 3 c2y2=4c x联立|x2 y2 j消去并整理得3+1 6 5 1 2,=0,4c2 3 c22解得x =-c或x =-6。（舍去），32由抛物线的定义可得|月=c+c=M=5解得c=3.无2 V2因此，曲线G的标准方程为二+二=1,3 6 2 7曲线G的标准方程为2=12X.【整体点评】（2）方法一：椭圆的第二定义是联系准线与离心率的重要工具，涉及离心率的问题不妨考虑使用第二定义，很多时候会使得问题简单明了.方法二：圆锥曲线统一的极坐标公式充分体现了圆锥曲线的统一特征，同时它也是解决圆锥曲线问题的一个不错的思考方向.方法三：参数方程是一种重要的数学工具，它将圆锥曲线的问题转化为三角函数的问题，使得原来抽象的问题更加具体化.方法四：韦达定理是最常用的处理宜线与圆锥曲线位置关系的方法，联立方程之后充分利用韦达定理可以达到设而不求的效果.2 24.（2 01 9年全国统一高考（新课标H）已知耳，是椭圆C:=+4 =l（a b 0）的两个焦点，P为Ca b 上一点，。为坐标原点.（1）若V P。居为等边三角形，求C的离心率；（2）如果存在点P,使得尸 1 _尸玛，且 片 鸟的面积等于1 6,求b的值和a的取值范围.【答案】（1）e=y/3-;（2）b=4,a的取值范围为 4 0,+8）.【分析】先连结W，由VP。鸟为等边三角形，得到/月?工=9 0，|P6|=C,|P|=6C；再由椭圆定义，即可求出结果；12 2(2)先由题意得到，满足条件的点P(x,y)存在，当且仅当上|y|2c=1 6,匕=-1,0+1=1,2 x+c x-c a b根据三个式子联立，结合题中条件，即可求出结果.【详解】(1)连结P%由VPO f；为等边三角形可知:在耳P乙 中，/耳尸工=90,归 用=c,归 用=小，于是 2a=|/；|+|PE|=c+G c,故椭圆C 的离心率为e=6-1 ：a 1 +V3(2)由题意可知，满足条件的点P(x,y)存在，当且仅 当;阱 2。=16,=一 八 4 +4=1-2-X I C X C b即 c|y|=16%2 +2 =,2 r2 v2LU方 41 2由以及/=/+c2得,2 =不，又由知y 2=r，故b =4：2由得炉=4(。2-62),所以/泊2,从而=。2+o22方=32,故q“夜；C当匕=4,a 4 正 时，存在满足条件的点尸.故匕=4,a 的取值范围为 4 0,+8).【点睛】本题主要考查求楠圆的离心率，以及椭圆中存在定点满足题中条件的问题，熟记椭圆的简单性质即可求解，考查计算能力，属于中档试题.5.(2019年全国统一高考(新课标H)已知点A(-2,0),B(2,0),动点M(x,y)满足直线AM 与 BM的斜率之积为-工.记M的轨迹为曲线C.2(1)求 C 的方程，并说明C 是什么曲线；(2)过坐标原点的直线交C于尸，。两点，点 P在第一象限，PE_Lx轴，垂足为E,连结QE并延长交C于点G.(i)证明：A P Q G是直角三角形；(i i)求APOG面积的最大值.【分析】(D分别求出直线AM与8M的斜率，由已知直线AM与 的 斜 率 之 积 为-g,可以得到等式，化简可以求出曲线C的方程，注意直线AM与8 M有斜率的条件；(2)(i)设出直线P Q的方程，与椭圆方程联立，求出尸，Q两点的坐标，进而求出点E的坐标，求出直线QE的方程，与椭圆方程联立，利用根与系数关系求出G的坐标，再求出直线PG的斜率，计算kpQ kpX2+2/=4,(%*2),所以曲线C是以坐标原点为中心，焦点在x轴上，不包括左x+2 x-2 22 2右两顶点的椭圆，其方程为工+匕=1,(X K2)；4 2 V)(2)(i)设直线PQ的方程为y =辰，由题意可知k 0,直线P Q的方程与椭圆方程V +2丁=4联立，即y=kx,x2+2y2-4.2尤=I=,业 公+12k或)28+1-2x=-i 2 +1 ,点p在第一象限，所以-2k)V 2 F+I 2 2k-?-2k 2kTR)0kM)因此点后的坐标为(RO)k ky=-x 2 V 2 F 7 T直线QE的斜率为晒=:，可得直线QE方程:,与椭圆方程联立,“-一不再T,消去y得，(2+储)一产 了 *+8=0(*),设点G(x y),显然。点,d2k2+1 2 K+1x2+2y2=4.+1-2的横坐标./,和王是 方 程(*)的解,2公+1 112 左 2+8所以有丫 -2 _ _ 2y+1二1 ,代入直线Q E方程中，得 72k2 +1 2 +/1（玄+R 2k2 +12k3（6 k+4 2k3Y=2+2）,2女所以点G的 坐 标 为（/+2）,2/+1 伏2 +2），2r+1，2k3 2k直线PG的斜率为；kpG伏2 +2），2公+1 也 公 +1 _ 2已一2%（公+2）_J _6-+4 F-66+4-2（公+2）一 一（公+2），2r+1。2，+1因为即0即G=人（一：）=一1,所以PQ，P G,因此APQG是直角三角形;7?k-2-7k，由 可 知：P（k而W3）6/+4 _2k3G的 坐 标 为（公+2）J 2公+1 伏2 +2）12k2 +1 ,pQ=禹PG=（-_V （太 +2）。2k2 +1一2 p 2k 7 4k 尿“,2公+1 （F +2）V 2 F+1 V 2 F+I （j t2+2）V 2 F+lJ _ 4 A 2 +I 4 71+/_ 8（1 +3义 *2+2）j2H +1 亚 公+1 2k4+5k2+2S 8（女+1）（%1）（2/+3必+2）（2 X+5/+2）2，因为女0,所以当0左1时，S 0.函数5（幻单调递增，当左 1时，5 0.函数S伏）单调递减，因此当k=1时，函数S（口 有最大值，最大值为S（l）=.【点睛】本题考查了求椭圆的标准方程，以及利用直线与椭圆的位置关系，判断三角形形状以及三角形面积最大值问题，考查了数学运算能力，考查了利用导数求函数最大值问题.J经典变式练）一、单选题1.（2022辽宁丹东一模）直线/过抛物线C:y2=2px（p 0）的焦点，且与C 交于4 B 两点，若使|旗|=2 的直线/有且仅有1 条，则P=（）A.-B.；C.1 D.24 2【答案】C【分析】利用抛物线对称性，即可得出满足条件的焦点弦必须垂直于x 轴，即可得出A B 两点坐标，代入方程解出P【详解】由抛物线的对称性，要使|明=2 的直线/有且仅有1 条，则AB必须垂直于x 轴，故A,8 两点坐标为（5，士 1）,代入抛物线方程可解得。=1,故选：C2.（2022江苏 南京市第一中学三模）已知。0,曲线G：W +4 =4p2（a 0力0）,抛物线G：y2=2px,a b抛物线G：x2=2 p y,且G，C2,C,有且仅有一个公共点，则必的最小值为（）A.2【答案】AB.1C.4 D.p2【分析】求得C2C3的交点并代入的方程，结