2023年九年级数学中考复习四边形综合压轴题解答题专题训练.pdf

2022-2023学年九年级数学中考复习 四边形综合压轴题解答题专题训练(附答案)1.如图，在a A B C中，。是 边 上 一 点，E是AO的中点，过A作8 c的平行线交C E的延长线F,且4 F=B ),连接B F.(1)求证：B D=C D；(2)如果A B=A C,试判断四边形A F B O的形状，并证明你的结论；(3)当A B C满 足 时，四边形A F B。为正方形.2.如图，在正方形A B C Z)中，E 为边B C 上 一 点,连接A E,过点。作。N L A E交A E、A B分别于点R N.(1)求证：(2)若 E 为 B C 中点，如图，连接4 c交ON于点M,求C M：4M的值；如图，连接C凡 求t an/C F E的值.图 图 图3 .如图，四边形A B C D是菱形，乙4=120 .(1)如 图1,以点C为顶点作顶角为120 的等腰C E F,C E=C F,且8、E、F在同一条直线上，连接B E、D F,求证：B C E m A D C F；(2)如图2,点N是边C Z)上一点，点M是菱形外一点，且C M=C N,Z MCD=120 ,连接。M,延长B N交。例于点尸，连接F C.求N B F C的度数；如图3,把F C绕点F顺时针旋转120 得至 尸，连接C P,求证：BF=CP+DF.图1图2图34.【问题情境】：如 图 1,点 为正方形ABC。内一点，A E=2,直角三角形ABE绕点A 逆时针方向旋转a 度（0WaW180B E=4,NA EB=9 0 ,将）点 B、E 的对应点分别为点、B、E.【问题解决工（1）如图2,在旋转的过程中，点 B 落在了 4 c 上，求此时C B 的长；（2）若 a=90,如图3,得到A O E（此时8,与 Z）重合），延长BE交 B E 于点 F,试判断四边形A E F E 的形状，并说明理由；连接C E,求 CE的长；（3）在直角三角形ABE绕点A 逆时针方向旋转过程中，直接写出线段C E 长度的取值范围.图1图2图35.【操作与发现】如图，在正方形A8CO中，点 N,M 分别在边8C、C D .连接AM、A N、MN.ZMA N=4 5 ,将AM 绕点A 顺时针旋转90,点。与点8 重合，得至UA4BE.易证：AAN M AAN E,从而可得：D M+B N=M N.（1）【实践探究】在图条件下，若C N=6,CM=8,则正方形ABC。的边长是.（2）如图，在正方形ABC。中，点 M、N 分别在边。C、BC上,连接AM、A N、MN,NMA N=4 5 ,若 tan/BAN=工，求证：仞 是 CD的中点.3（3）【拓展】如图，在矩形A8C。中，A B=2,AZ）=1 6,点、N 分别在边。C、B C上，连接4例、AN,己知NMAN=45,BN=4,则 DW的长是.图图6.如图，在矩形ABCQ中，A B=2 B C,F、G分别为AB、Z)C边上的动点，连 接G F,沿GB将四边形4尸G。翻折至四边形EFGP,点E落在8 c上，E P 交 CD于点、H,连接AE交 GF于点0.(1)写出G尸与AE之间的位置关系是：；(2)求证：A E=2 G F；(3)连接 C P,若 sin/C G P=2,G F=J I5,求 CE 的长.57.天府新区某校数学活动小组在一次活动中，对一个数学问题作如下探究：(1)问题发现：如 图1,在等边AABC中，点P是边8 c上任意一点，连接A P,以AP为边作等边A PQ,连接C Q.求证：B P=C Q；(2)变式探究：如图2,在等腰ABC中，A B=BC,点P是边BC上任意一点，以AP为腰作等腰APQ,使AP=PQ,Z A P Q=Z ABC,连接C Q.判断NABC和/A CQ的数量关系，并说明理由；(3)解决问题：如图3,在正方形AO8C中，点尸是边BC上一点，以AP为边作正方形A PEF,Q是正方形A P E F的中心，连 接CQ.若正方形A P E F的边长为6,C Q=2 y2,求正方形AOBC的边长.D8.【问题情境】(1)如 图 1,在正方形ABCO中，E,F,G 分别是BC,AB,C)上的点，FGLAE于点Q.求证：AE=FG.【尝试应用】(2)如图2,正方形网格中，点 A,B,C,为格点，AB交 C 于点。求 tan/AOC的值；【拓展提升】(3)如图3,点 P 是线段AB上的动点，分别以AP,B P为边在AB的同侧作正方形APCZ)与正方形P8E/，连接OE分别交线段BC,PC 于点M,N.求/O M C 的度数；连接AC交 OE于点，直接写出E 旦的值.9.如 图 1,正方形A8C 和正方形A E FG,连接 G,BE.(1)发现:当正方形A E F G绕点A旋转，如图2,线段Q G与3 E之间的数量关系是位置关系是:(2)探究:如图3,若四边形A B C D与四边形A E F G都为矩形，且AD=2AB,AG=2AE,猜想。G与B E的数量关系与位置关系，并说明理由；(3)应用:在(2)情况下，连接G E (点E在A 8上方)，若G E A B,且A 8=7后，A E=1,求线段。G的长.10 .如 图1,四边形A B C。是正方形，点E在边A B上任意一点(点E不与点A,点B重合)，点F在AO的延长线上，BE=DF.(1)求证：C E=C F；(2)如图2,作点D关于C F的对称点G,连接B G、C G、DG,D G与C F交于点P,B G 与 C F 交于点、H,与C E交于点Q.(i )若N 8 C E=20 ,求N C H B 的度数；(i i )用 等 式 表 示 线 段C D ,G H ,8 之 间 的 数 量 关 系，并 说 明 理G由.图1 图211.已知正方形A 3 C Z)的边长为8,点E在边AO上，点尸在边D C的延长线上，且A E=CF.(1)如 图1,分别连接B E、BF、E F,则B E/的形状是；(2)如图2,连接E F交对角线A C于点M,若A E=2,求。M的长；(3)如图3,若点G、，分别在A B、8 上，且G H=4遍，连接E尸交G”于点0,当E尸与G”的夹角为4 5 时，求A E的长.12.如 图1,在矩形A B C O中，E,F,G分别为边B C,AB,AO的中点，连接。尸，EF,H为。F中点，连接G”，将B E F绕点8旋转.(1)当 即 旋 转 到 如 图2位置，且A B=3 C时，猜想GH与C E之间的关系，并证明你的猜想；(2)已知 A 8=6,B C=8.当A B E F旋转到如图3位置时，猜想G H与C E之间的数量关系，并说明理由.射线G H,C E相交于点Q,连接B Q,在B E F旋转过程中，B Q有最小值，请直接写出B Q的最小值.13 .矩形A B C。的边长A 8=18 c m 点E在B C上，把A A B E沿A E折叠，使点8落 在C 边的点尸处，N B A E=3 0 .(1)如 图1,求。尸的长度;(2)如图2,点 N 从点尸出发沿尸。以每秒lew 的速度向点。运动，同时点P 从点A出发沿A F 以每秒2cro的速度向点尸运动，运动时间为，秒(0 fV 9),过点2 作 知，A D,于点请证明在N、P 运动的过程中，四边形HVMP是平行四边形；连接N P,当，为何值时，可尸为直角三角形？图21 4.如图，在 RlZABC中，/AC8=90,AC=3,B C=4.动点P 从点A 出发，以每秒3个单位长度的速度沿A C-C B-B A方向绕行4BC 一周，动直线/从A C开始，以每秒1个单位长度的速度向右平移，分别交AB、B C 于 D、E 两 点.当点尸运动到点A 时，直线/也停止运动.(1)求点P 到 A 8 的最大距离；(2)当点P 在 AC上运动时，求tanZPDE的值；把绕点E 顺时针方向旋转，当点P 的对应点P 落在EZ)上时，距的对应线段E。恰好与AB垂直，求此时f 的值.(3)当点P 关于直线。E 的对称点为尸时，四边形PEFO能否成为菱形？若能，直接写出/的值；若不能，请说明理由.15.【探究】（1）如 图 1,四边形48CD是矩形，以对角线AC 为直角边作等腰直角三角形E A C,且NEAC=90。.请证明：Ca=2AB2+2BC2；【应用】（2）如图2,在矩形ABCZ）中，AB=2,B C=6,点 P 是 A。上一点，且 0AP中，点 E 为射线8 c 上一动点，连接AE.（1）当点E 在 3C 边上时，将ABE沿A E翻折，使点8 恰好落在对角线B D上点尸处，A E交B D于点G.如图1,若B C=4 A B,求NAFZ）的度数；如图2,当A B=4,且 EF=EC时，求 3 c 的长.（2）在所得矩形48C。中，将矩形ABC。沿 AE进行翻折，点 C 的对应点为C,当点E,C,O 三点共线时，求 8E 的长.图1图2 备用图17.问题情境：数学活动课上，同学们开展了以“矩形纸片折叠”为主题的探究活动（每个小组的矩形纸片规格相同），已知矩形纸片宽AZ=6.动手实践：（1）如 图 1,腾飞小组将矩形纸片ABC。折叠，点 A 落 在。C 边上的点A 处，折痕为D E,连接A E,然后将纸片展平，得到四边形A E 4 D.试判断四边形A E 4 D的形状，并加以证明.(2)如图2,永攀小组在矩形纸片A 8 C。的边B C上取一点F,连接O F,使/C D尸=3 0 ,将C。尸沿线段。尸折叠，使点C正好落在A B边上的点G处.连接O G,G F,将纸片展平，求 O F G的面积；连接C G,线段C G与线段。F交于点M,则CG=.深度探究：(3)如图3,探究小组将图1的四边形A E A 7)剪下，在 边 上 取 一 点N,使O N：A N=1：2,将 A N O沿线段A N折叠得到 A M 7,连接A。，探究并直接写出4。，的长度.D 4 c _O EA E B A图11 8.【感知模型】“一线三等角_.c D:Y_A G B A E图2图3模型是平面几何图形中的重要模型之一，请根据以下问题,D B B D 0图1图2上y 工B图4图5如图1,A 8 C是等腰直角三角形，/C=9 0 ,如图2,Z V I B C为正三角形，B D=C F,ZEDE B F 1图3点。为A B中点，则 A s_ _ _ _ _ _尸=6 0 ,则3 D E丝；如 图3,正 方 形ABC。的 顶 点8在 直 线/上，分 别 过 点A、C作于E,CF_U于F.若 AE=1,CF=2,则 EF 的长为.【模 型 应 用】(2)如 图4,将 正 方 形OABC放在平面直角坐标系中，点0为原点，点A的 坐 标 为(1,代)，则 点C的坐标为.【模 型 变 式】(3)如图 5 所 示，在ABC 中，NACB=90,4C=3C,BE_LCE于 E,A_LC 于。，D E=4 c m,AD=6c m,求 BE 的长.19.阅 读 材 料：小明喜欢探究数学问题，一天杨老师给他这样一个几何问题：如 图1,ABC和8OE都是等边三角形，点A在QE上.求 证：以AE、A D,AC为边的三角形是钝角三角形.【探 究 发 现】(1)小明通过探究发现：连 接。C，根据已知条件，可 以 证 明。C=AE,ZA D C=2 0 ,从而得出AOC为钝角三角形，故 以AE、A D,AC为边的三角形是钝角三 角形.请你根据小明的思路，写出完整的证明过程.【拓展迁 移】(2)如 图2,四 边 形ABC。和 四 边 形8GFE都是正方形，点A在EG上.试猜想：以AE、AG、AC为边的三角形的形状，并说明理由.若AE2+AG2=10,试 求出正方形A8CO的面积.2 0.某数学兴趣小组在数学课外活动中，对多边形内两条互相垂直的线段做了如下探究：【观 察与猜想】(1)如 图1,在 正 方 形A8CC中，点E,尸分 别 是A8,AO上的两点，连 接。E,C F,DE LCF,则 度 的 值 为 ；CF【类比探究】(2)如图2,在矩形ABC。中，AD=1,C=4,点E是4 0上的一点，连接CE,BD,且CE_LB,求生的值；B D【拓展延伸】(3)如图，在四边形ABCD中，/A=NB=90,点E为AB上一点，连接。E,过点C作。E的垂线交E C的延长线于点G,交AO的延长线于点凡 且A=2,DE=3,CF参考答案1.(1)证明：AF/BC,：.ZAFE=ZECD.是 的 中 点，：.DE=AE,在4EF与OEC中，Z A F E=Z E C D N A E F=/D E C，A E=E DA AAEFADEC CAAS),J.AFDC,：AF=BD,:.BD=CD；(2)解：四边形AFBO为矩形，证明如下：AF=BD,AF/BD,二四边形AFBO为平行四边形，：AB=AC,BD=DC,：.ADBC,A Z B D A=9 0 ,.四边形A F B O为矩形；(3)解：A 8=A C,且N B A C=9 0 ；理由如下：A B=A C,且N B A C=9 0 ,A ZABC=45,：AD1BC,：.ZBAD=45,：.AD=DB,四边形A F B O为正方形.2.(1)证明：四边形A B C。是正方形，：.AB=DA,ZB=ZDAN=90,:DNLAE,.ZAFN=90,：.NFAN+NANF=90,V ZADN+ZANF=90,：.ZFAN=ZAND,即/B E A =N A N O,在4 8 E和 D 4 N中，Z B E A=Z A N Da,；NDAN=90,DN1AE,.4cANPAD _ a,2 a _ 2 5 ”Ar-T=-Cl,DN V 5 a 5*：CM1DN,NCMO=90=ND4N,A ZDCM+ZCDM=90,*NCDM+/NDA=90,:/D C M=/N D A,：.4CD M s&D N A,.CM =DM =CD*DA NA DN，gp CM D M 2 a2a a v 5 a解得：C M=-a,DM=凶 且a,5 5:.MF=DN-NF-DM=yf5a-：.tan ZM CF=-C M512,：DN1.AE,CMLDN,：.AE/CM,/CFE=ZMCF,AtanZ CFE=tanZ MCF=A.3.(1)证明：四边形4 8 8 是菱形，/A=120,：.BC=DC,ZBCD=ZA=20,CE尸是顶角为120的等腰三角形，CE=CF,：.ZECF=l20Q,:./BCD=NECF,：.A BCD-NDCE=NECF-NDCE,即 NBCE=NOCR在8CE和OCF中，B C=D C-N B C E=N D C F，C E=C F:ABCE名ADCF(SAS)；(2)解：以点C为顶点作/E C尸=120交BF于E,在ABCN和ADCM中,B C=D C(?/中，/C B E=/C D F B C=D C ，Z B C E=Z D C F:.BCEQ4DCF(ASA),：.CE=CF,:.N C F B=N C E F=LX(180-120)=30；2证明：以点C 为顶点作NEC尸=1 2 0 交BF于E,同得：/B C E/D C F(ASA),：.BE=DF,CE=CF,:把尸C 绕点尸顺时针旋转120得到FP,：.ZCFP=20,CF=PF,：.ZECF=ZCFP,CE=FP,J.CE/FP,：.四边形CEFP是平行四边形，：.EF=CP,图24.解：(1)：AE=2,BE=4,ZAEB=90,；AB=VAE2+BE2=A/22+42=2盗，；四边形AB。是正方形，:.BC=AB=2疾,ZABC=90,:.AC=42AB=2-J-LQ,由旋转的性质得：AB=AB=2y/5,：.CB=AC-AB=2V7O-275;(2)四边形A E F E 是正方形，理由如下：由旋转的性质得：AE=AE,NE4E=a=90,/A E O=/A E B=90,V ZA F=180-90=90,.四边形A E FE 是矩形，又：AE=AE,四边形A E F E 是正方形；过点C 作 CGLBE于点G,如图3 所示：则/8GC=90=NAEB,：.ZCBG+ZBCG=ZCBG+ZABE=90,；.NBCG=NABE,在ABCG和ABE中，ZBGC=ZAEB NBCG=/ABE,BC=AB：./BCG/ABE(AAS),：.CG=BE=4,BG=AE=2,：.EG=BE-BG=4-2=2,；C =VCG2+EG2=7 42+22=2娓；(3).直角三角形ABE绕点A 逆时针方向旋转a 度(0WaW180)点B、E 的对应点分别为点夕、E ,.当a=0 时，E与 E 重合，CE最短=2疾;当 E 落在CA的延长线上时，AE=AE=2,最长=4C+4=2/记+2,线段C E 长度的取值范围是2遥 W CEW 201+2.图35.(1)解：；四边形ABCO是正方形，：.AB=CD=AD,ZBAD=ZC=ZD=90,由旋转的性质得：ZVIBE四ADM,:.BE=DM,NABE=ND=90,AE=AM,ZBAEZDAM,：.ZBAE+ZBAM=ZDAM+ZBAM=ZBAD=90,即 NE4M=90,ZMAN=45,：.ZEAN=90-45=45,：.ZMAN=ZEAN,在AAMN和AEN中，A M=A E0,.x=-2+fl4，正方形 ADBC 的边长=4+x=4-2+V14=2+A/T4.8.(1)证明：方法1,平移线段尸G至8交AE于点K,如图1 -1所示:由平移的性质得：FG/BH,/四边形ABCD是正方形，：.AB/CD,AB=BC,/A B E=/C=9 0 ,四边形BFGH是平行四边形，：.BH=FG,：FGAE,：.BHLAE,：.ZBKE=90,：.NKBE+NBEK=90,：NBEK+NBAE=90,：.NBAE=NCBH,在48E和BCH中，Z B A E=Z C B H A B=B C ，,Z A B E=Z C.ABE四BC”(ASA),：.AE=BH,：.AE=FG-,方法2：平移线段BC至FH交AE于点K,如 图1 -2所示：则四边形BCHF是矩形，ZAKF=NAEB,：.FH=BC,NFHG=90,.,四边形ABC。是正方形，：.AB=BC,NABE=90,：.AB=FH,NABE=NFHG,：FGAE,：.NHFG+NAKF=90,V ZAEB+ZBAE=90,：.ZBAE=ZHFG,在AABE和FHG中，Z B A E=Z H F G A B=F H ，Z A B E=Z F H G/./ABE/FHG(ASA),；.AE=FG；(2)解：将线段A8向右平移至尸。处，使得点8与点。重合，连接C F,如图2所示：ZAOC=ZFDC,设正方形网格的边长为单位1,则 AC=2,AF=,CE=2,DE=4,FG=3,DG=4,由勾股定理可得：CF=A C?+A F 2 =4?2 +2 =CD=Q g 2 +pg 2 =+=2娓 DF=VFG2+D G2=V32+42=5,(遥)2+(2代)2=52,：.CF2+CD2=DF2,：.ZFCD=90,二 tan NAOC=tan NFZ)C=空=上；CD 2V5 2(3)解：平移线段BC至OG处，连接G E,如图3 7所示:则ZDMC=ZG D E,四边形DGBC是平行四边形，：.DC=GB,；四边形ADCP与四边形PBEF都是正方形，：.DC=AD=AP,BP=BE,/ZM G=/G8E=90：.DC=AD=AP=GH,：.AG=BP=BE,在AGO和BEG中，AG=BE=90,A ZEGD=90,：.ZGDE=ZGED=45,：.ZDMCZGDE=45Q；如图3-2所示：,：AC为正方形ADCP的对角线，：.AD=CD,ZDAC=APAC=ZDMC=45,.ACC是等腰宜角三角形，：.AC=42AD,:NHCM=NBCA,：.NAHD=NCHM=NABC,AADHAACB,.DH=AD=_AD_=V2_BC AC V2AD 2 D图3-19.解：(1)DG=BE,D G LBE,理由如下：四边形ABCD和四边形AEFG是正方形,：.AE=AG,AB=AD,ZBAD=ZEAG=90,：.ZBAE=ZDAG,：./ABE/ADG(SAS),：.BE=DG；如图2,延长BE 交AD于Q,交,DG于-H,:ABEADAG,：.ZABEZADG,：ZAQB+ZABE=90,A ZAQB+ZADG=9Q,ZAQB=ZDQH,：.ZDQH+ZADG90,:.NDHB=90,：.BELDG,故答案为：DG=BE,DGLBE；(2)DG=2BE,BELD G,理由如下：如图3,延长BE交AD于K,交。G于H,四边形ABCD与四边形AEFG都为矩形，：.ZBAD=ZEAG,：.ZBAE=ZDAG,AD=2AB,AG=2AE,.A B=A E=1而 A G T：./ABE/ADG,.匣=胆=工，ZABE ZADG,DG A D 2：.DG=2BE,V ZAKB+ZABE=90,/.ZAKB+ZADG=90,NAKB=NDKH,：.ZDKH+ZADG=90Q,A ZDHB=90,：.BELDG(3)如图4,(为了说明点B,E,尸在同一条线上，特意画的图形)设EG与 的 交 点 为 M,JEG/AB,：.ZDME=ZDAB=90,在 RtZiAEG 中，AE=,：.AG=2AE=2,根据勾股定理得：属=6 2 +12=遥,：AB=4S,：.EG=AB,:EGa AB,四边形ABEG是平行四边形，：.AG/BE,JAG/EF,.点B,E,尸在同一条直线上，如图5,；.NAEB=90,在 Rt/XABE 中，根据勾股定理得，=VAB2-AE2=V(V 5)2-12=2,由(2)知，AABEAADG,B E=A B =1丽 A D T即2=2，DG 2：.DG=4.CD10.(1)证明：；四边形ABC。是正方形,：.CB=CD,NCBE=NCDF=90,在C8E和CQF中，C B=C D-Z C B E=Z C DF)B E=DF/.CBACDF(SAS),J.CE=CF-,(2)解：(i)点。关于C尸的对称点G,：.CD=CG,DP=GP,在OCP和GCP中，C D=C GWS=90,在RtZYBD”中，由勾股定理得：DH1+BH1=BD1,：.GH1+BH1=BD1,在 Rta8C 中，CB=CD,：.BD2=2CD2,：.GH2+BH2=2CD2.I I.解：(1)；四边形ABC。是正方形，：.AB=BC,ZABC=ZBAD=ZBC=90,.*.NA=NBCF=90,又：AE=CF,:.ABE92CBF(SAS),：.BE=BF,NABE=NCBF,:./ABE+NEBC=/CBF+/EBC=90,二/EB尸=90,.8E F是等腰直角三角形，故答案为：等腰直角三角形；(2)如图2,过点E 作 EN_LAO,交 AC于 M；四边形ABCO是正方形，：.ZDAC=45,AD LCD,JENLAD,：.ZEAN=ZANE=45,EN/CD,:.AE=EN=CF=2,NF=NNEM,ZFCM=ZENM,:A E N M叁4FCM(ASA),：.EM=FM,：DE=AD-AE=S-2=6,=C+CF=8+2=10,f=VDE2+DF2=V100+36=2/34，V ZADF=90,EM=MF,.)M=AEF=V 3 4；2(3)如图3,连接BE,BF,由(1)可知：4BE尸是等腰直角三角形，:.NBFE=NBEF=45,VZEOG=45,：.ZEO G=ZEFB,：.GH/BF,又,：AB/CD,：.四边形GBFH是平行四边形，:.GH=BF=4相,CF=-7BF2-BC2=V80-64=4,；.AE=4.1 2.解：(1)猜想CE=2GH,G H L C E,理由如下,如图2,连接A F,并延长A F交 CE的延长线于N,交 BC于 M,图2*：AB=BC,E,1分别为边BC,A8的中点，:BF=BE,由旋转可知：NABC=/FBE=90,，NABF=NCBE,:ABFQACBE(SAS),:,AF=CE,ZBAF=ZBCE,，点G是A。的中点，点H是DR的中点，：.GH/AF,AF=2GH,:EC=2GH,V ZBAF+ZAMB=90=NBCE+NCMN,：.ZANC=90,AAF1CE,GH/AF,：.GHCE；(2)猜想C E=BG”，GHCE9理由如下，3如图3,连接A F,延长CE交AF于N,交A3于M,图3 A8=6,BC=8,E,尸分别为边BC,AB的中点,:BF=3,BE=4,由旋转可知：ZABC=ZFBE=90,NABF=/CBE,Q A B 6 _ _ 3 B F而 为 丁 丽:.ABFsCBE,，空 总，ZBAF=ZBCE,C E 4设 AF=3x,CE=4x,.点G是AD的中点，点是。尸的中点，J.GH/AF,AF=2GH=3x,2:.CE=G H,3,/BAF+NAMN=NBCE+NBMC=90,./ANC=90,：.AFLCE,.GH/AF,:.GHLCE；如图4,延长GH,CE交于点Q,连接G C,取GC的中点P,过点P作PNBC于N,连接 BP,BQ,QP,图4：AB=6=CD,A D=B C=8,点 G 是 AO 中点,：.GD=AG=4,GCQ GM+DC2=V 3 6+1 6 =2A/1 3,：GQA.CQ,点尸是G C中点，：.Q P=G P=CPG C=y13,2AD/BC,:./D G C=/G C B,又,：NGDC=NPNC=90,：.4DCGs/NPC,DC GD GC _n P N N C P C 2，:.PN=LCD=3,NC=LGD=2,2 2:.BN=6,：.BP=yjg 2+P H2=V 3 6+9 =3 V 5，V Z Ge C=9 0 ,.点。在以G C为直径的圆上，当点8,点P,点Q不共线时，BQBP-Q P,即8 Q 3代-压,当点B,点P,点Q共线时，BQ=BP-QP=3正-底,综上所述：8Q的最小值为3&-J五.1 3.(1)解：；四边形4 B C O是矩形，A ZD=ZBAD=Z B=9 0 ,由折叠的性质得：AF=AB=18cm,ZFAE ZBAE=30a,：.ZDAF=90a-3 0 -3 0 =3 0 ,.O F=JLA尸=9 (cm)；2(2)证明：由题意得：FN=tcm,PA=2tcm,则尸产=(1 8-2 r)cm,:PM工AD,FDLAD,：.PM/FD,N P M A=9 0 ,由(1)得：ZDAF=30,*.PM=PA=t(cm),2:FN=PM,四边形FNMP是平行四边形；解：分三种情况：、当N M P N=9 0 时，PM1.PN,如图 2 所示：9：PMADf AD.LCDfC.PN/AD,PN1CD,：.ZFPN=ZDAF=30,NPNF=9G,:.FN=LPF,2即(18-2r),2解得：t=9；2b、当N PM N=90时，点 N、M 重合，不能构成MNP；c当/P N M=9 0 时，如图3 所示：过尸作尸”_LF7V于”，则四边形 是矩形，/PHF=NPHD=90,PH/AD,：.PH=DMf NHPF=NDAF=30,：FH=LPF=(9-r)cm,2,:ND=DF-FN=(9-r)cm,:.FH=ND,；ND=NPHF=90,PH=MD,:/DMN乌AHPF(SAS),:MN=PF=(18-2Z)cm,NDMN=/HPF=30,/N M P=90-30=60,：4MPN=90-60=30,：PM=2MN=(3 6-4 0 cm,:PM=fem,：.3 6-4 t=t9解得：f=强；5综上所述，当 r 为2 秒或强秒时，为直角三角形.2 51 4.解：(1)当点P 与点C 重合时，点尸到4 8 的距离最大，设R t A A B C斜边AB上的高h,：ZA C B=9 0 ,AC=3,B C=4,A B=5/AC2+BC2=V 32+42=5，,?/XA B C的面积=1 4 B =ACBC,2 2 仁 A OB C =3X4=1 2“A B 5 V即点P 到 AB的最大距离是2；5(2)当点P 在 AC上运动时，设运动时间为fs,则有AP=3r,C E=t,直线1/A C,:./P D E=/A P D,如 图 1,过点。作。G,AC于点G,则四边形CEDG是矩形,：.D G=C E=t,P G=A P-A G=3 t-A Gf：t a n A=坨=区，A G A C .t _ 4A G 3，A G=m,4；.PG=3L 当=当，4 4t a n/A P D=；P G 9 9W t即 t a n/P DE ；y./)A 8,:.NBED*NB=9(T,V ZA+ZB=90,：.ZB E D=ZA,；直线 I/AC,二直线/，B C,:.NCEP+/PED=90,N PED*N BE。=90,由旋转的性质，得：ZPED=ZPED,:.NCEP=NBED,：.Z C E P Z A,又；NECP=ZACB,:.IXCEPslXCAB,.C E P C,而荻，即 t 3-3 t ,3 4解得：t=_L；1 3(3)四边形P EFO能成为菱形，理由如下：点 F 是点P 关于直线D E的对称点，.)垂直平分PF,当P尸也垂直平分O E时，四边形P EFD为菱形.直线 1/AC,：./D B E/A B C,DE=B E一 而 B e,即 还_ 4-t,3 4.o,D E q（4-t），当点P 在 AC上时，连接P E 如图2 所示:若P F垂直平分D E,则有2 OE=3-3t,2.旦(4-r)=3-3 f,8解得：七二；1 7当点尸在8 c 上时，P、F、E 三点都在BC轴上，构不成四边形;当点P 在 8A 上时,若点P 在直线/的右侧，连接P F,如图3 所示:类比可得：!（4-t）=4（3 t-7）o D解得：t 一竺；2 9若点P 在直线/的左侧，P、E、F、。四点构不成凸四边形;四边形PEF。为菱形.15.(1)证明：四边形4BC。是矩形，4C是对角线，.ZB=90,/.AC2=AB2+BC2,.,以AC为直角边作等腰直角三角形E 4C,且NE4C=90,：.EC1=2ACi2AB1+2BC1-,(2)解：以PC为直角边作等腰直角三角形EPC,NEPC=90,：.EC2=2PC2=2PD1+2DC2=2(CAD-AP)2+DC2),V 2(6-X)2+22=72X2-24X+80；(3)过点E作EFJ_BC于点F,交A。于点。，EPC是等腰直角三角形，：.EP=PC,/EPC=90,：EFA.BC,BC/AD,：.EFLAD,：.ZEPQ+ZDPC=ZEPQ+ZPEQ=90,:./DPC=NPEQ,：./EPQ/PCD(4AS),AP=x,AD=6,AB=2,A E F=8-x,B产=x+2,CF=4-x,EC=BC时，V2X2-24X+80=6,解得：X=6V H,X2=6+V14(舍去)，BE=BC,(8-x)2+(x+2)2=6 2,无解，不存在，时，点E在8 c的垂直平分线上，作EM_L3C交AZ)于M,则PEM丝(A4S),：.PM=CD=2,AM=3,；.AP=1,综上所述，A P=1或时，ZYEBC是等腰三角形.1 6.解：(1)：四边形ABCD是矩形，：.ADBC,ZBAD=90Q,:BC=MAB,：.AD=y/3AB,tan NA3=挺 _,ABA ZABD=60,由折叠的性质得：AF=AB,.AB尸是等边三角形，/8=60,：.ZAFD=S00-ZAFB=120；由折叠的性质得：BFVAE,EF=EB,：.ZBGE=90,：EF=EC,：.EF=EB=EC,：.BC=2BE,四边形A3C。是矩形，A ZABC=ZBCD=90Q,AB=CD=4,V ZBAE+ZAEB=90,N4EB+NCBD=90,:/BAE=/CBD,.NABE=NBCD,：.LABEs LBCD,.A B.B E 即 4 2 B CB C C D B C 4解得：BC=4如(负值已舍去)，即BC的长为4亚；(2)当点E,C,。三点共线时，分两种情况：心 如图3,由可知，BC=4五,四边形A8C。是矩形，/ABC=NBC=90,AD=BC=4y/2 C=AB=4,AD/BC,./OCE=90,NCED=NBDA,由折叠的性质得：AB=AB=4,NB=N4BC=90,：.ZDCE=ZB,DC=AB,：./CDE/BAD(A4S),：.DE=AD=41J2,C=VDE2-C D2=V(4 V2 )2-42=4,BE=BC+CE=4 如+4；b、如图4,由折叠的性质得：ZAECZAEC,:/BEC=NDEC,：./AEB=NAED,JAD/BC,：.NAEB=/DAE,：.4DAE=NAED,:.DE=AD=4版,在R t C DE中，由勾股定理得：比=6岳2仙2=（4&）2 _4 2=4,:.BE=BC-C E=4 -4；综上所述，B E的长为4亚+4或4后-4.图4图317.解：（1）四边形AE A7）是正方形，理由如下：；四边形A8C。是矩形，.N4=/A C=9 0 ,由折叠的性质得：Z DA E=Z A=9 0 ,AD=AD,：.ZA=Z DAE=Z ADC=90,.四边形A E 4 D是矩形，又.四边形AE A。是正方形；（2）由折叠的性质得：DC=DG,CF=GF,ZCDF=ZGDF=30,:四边形ABC。是矩形，A ZADC=90Q,AB=DC,BC=AD=6,A ZADG=900-ZCDF-ZGDF=30,;.AG=4G,2.AG=4C=LB,2 2：.AG=BG,在Rt/XADG中，由勾股定理得：AG2+AD2=DG2,即(JLQG)2+6 2=)G2,2解得：DG=4如(负值已舍去)，:.AG=2M，在RtZ8GF中，由勾股定理得：BF2+BG2=GF2,BG=AG=2-/3,BF=6-CF=6-GF,：.(6-GF)2+(25/3)2=G产，解得：GF=4,；SADF G=G尸。G=工 X 4 X 4a=8禽；2 2由得：ZGDF=ZCDF=30,CD=DG,：.ZCZ)G=60,.COG是等边三角形，：.CG=DG,:.CG=&M，故答案为：473;(3)过。,作产。A。，交A)于P,交AE于Q,如图3所示:贝ij PQLAD,PQLAE,：.PQ=AD=6,DP=AQ,ZDPN=ZDPA=ZDQA=90,.四边形AE4D是正方形，：.AD=AD=6,:DN：A N=1：2,：.DN=2,AN=4,设 D P=x,则。Q=6-x,由折叠的性质得：DN=DN,NAW=/O=90,.NP3N+/AOQ=90,VZPDN+ZDWP=90,ZADQZDNP,:.DNPSXADQ,.NP=D P=D N 丁 Q AQ AD，即j L=Z _=2=_ 1,6-x AQ 6 3解得：AQ=3x,NP=2-L x,3：DP=AQ,2+2-2 x=3x,3解得：x=g,5.DPAQ=3x-,：.AP=AD-DP=6-5 5_ _：.A D=p2+Dz P2=ij(-y-)2+(-|-)2=.D y P _A乂 Q E图71 8.解：(1)如图1,：ABC是等腰直角三角形，；./A=/B=4 5 ,.点。是 A 3 的中点，：.AD=BD,：NEDB=ZA+ZAED=ZEDF+NFDB,NAED=NEDB,：.丛AEDs丛BDF,故答案为8。尸；.ABC是等边三角形,：.ZB=ZC=6Q,/ZEDC=NB+NBED=ZEDF+ZFDC,：./BED=NFDC,又,：BD=CF,.BDE公ACFD(AAS),故答案为：ACFD；四 边 形 是 正 方 形，：.AB=BC,/ABC=90,：AELEF,CF.LEF,:./AEB=/CFB=90=NABC,：.ZABE+ZBAE=90=/ABE+NCBF,：.ZBAE NCBF,.ABE丝ZXBC尸(SAS),：.AE=BF=,BE=CF=2,:.EF=3,故答案为：3；(2)如图，过点A作轴于尸，过点C作CEJ_x轴于E,图4.点A的坐标为(1,M),:.A F=M，0尸=1,.四边形