高中数学选择性必修二 4.2.2等差数列的前n 项和公式（1）导学案.pdf
4.2.2等差数列的前n 项和公式（1）导学案学习目标1 .等差数列掌握等差数列前n项和的性质及应用.2.会求等差数列前n项和的最值.重点难点重点：求等差数列前n 项和的最值难点：等差数列前n 项和的性质及应用知识枝理等差数列的前项和公式已知量首项，末项与项数首项，公差与项数选 用 公式S 必1+的）S”=Qi+d功 能 1 ：已知 a,a 和 ，求 S.1 n n功能2：已知 S,。和 a中任意 3个，求第 4个.n I n1 .思考辨析（1）若 S.为等差数列 斯 的前 项和，则数列 寺 也是等差数列.（）若 0 0,衣0,则等差数列中所有正项之和最大.（）在等差数列中，S,是其前 项和，则有S2”T=（2-l）a“.（）2.在项数为2+1 的等差数列中，所有奇数项的和为1 6 5,所有偶数项的和为1 50,则等于（）A.9B.1 0C.1 1D.1 23.等差数列 诙 中，52=4,$4=9,则 S6=.4.已知数列%的通项公式是斯=2-4 8,则 S,取得最小值时，为.学习过程一、典例解析例 8.某校新建一个报告厅，要 求 容 纳 8 0 0 个座位，报 告 厅 共 有 2 0 排座位，从 第 2 排起后一排都比前一排多两个座位.问第1排应安排多少个座位？1 .本题属于与等差数列前”项和有关的应用题，其关键在于构造合适的等差数列.2.遇到与正整数有关的应用题时，可以考虑与数列知识联系，建立数列模型，具体解决要注意以下两点：(1)抓住实际问题的特征，明确是什么类型的数列模型.(2)深入分析题意，确定是求通项公式”，或是求前项和S,还是求项数几n n跟踪训练1.某抗洪指挥部接到预报，2 4 小时后有一洪峰到达，为确保安全，指挥部决定在洪峰到来之前临时筑一道堤坝作为第二道防线.经计算，除现有的参战军民连续奋战外，还需调用2 0 台同型号翻斗车，平均每辆车工作24小时.从各地紧急抽调的同型号翻斗车目前只有一辆投入使用，每隔 20分钟能有一辆翻斗车到达，一共可调集25辆，那么在24小时内能否构筑成第二道防线？例 9.已知等差数列 的前 n项和为 S,若。=1 0,公 差d=-2,S是否存在最大n n I n值？若存在，求S 的最大值及取得最大值时n的值；若不存在，请说明理由.1 .在等差数列中，求 S的最小(大)值的方法:(1)利用通项公式寻求正、负项的分界点，则从第一项起到分界点该项的各项和为最大(小).(2)借助二次函数的图象及性质求最值.2 .寻求正、负项分界点的方法：(1)寻找正、负项的分界点来寻找.2(2)利 用 到 y=o x +云色刈)的对称轴距离最近的左侧的一个正数或离对称轴最近且关于对称轴对称的两个整数对应项即为正、负项的分界点.跟踪训练2.数列 斯 的前n项和S=33n-n2,(1)求 小 的通项公式；(2)问 处 的前多少项和最大；(3)设bn=M，求数列 仇 的前n项和S：达商检涮1 .(多选题)已知S,是等差数列 为 的前项和，且 S 6 S 7 S 5,有下列四个命题正确的是()A.J o；C.5,2 0；D.数列&中的最大项为 S”2 .已知等差数列 斯 中,|“5|=|嗣，公差Q 0,则使得前项和S”取得最小值的正整数的值是3 .已知数列 斯 的前n项和公式为S“=/-3 0”.(1)求 数 列 斯 的通项公式斯;(2)求S的最小值及对应的n值.课堂4,结等差数列前项和S,的最值（1）若 0 0,d0,则 S是 S J 的最小值;若的 0,d 2=800.解得 a=2 1.因此，第 1 排应安排2 1 个座位.跟踪训练1.分析：因为每隔2 0 分钟到达一辆车，所以每辆车的工作量构成一个等差数列.工作量的总和若大于欲完成的工作量，则说明2 4 小时内可完成第二道防线工程.解:从第一辆车投入工作算起，各车工作时间(单位：小时)依次设为“I,4 2,，”2 5.由题意可知，此数列为等差数列，且 0=24,公差2 5辆翻斗车完成的工作量为：a i+s+4 2 5=2 5 X 2 4+2 5 X 1 2 x()=5 0 0,而需要完成的工作量为 2 4 X 2 0=4 8 0.V 5 0 0 4 8 0,.在2 4 小时内能构筑成第二道防线.例 9.分析：由a 0蒯0,可 以 证 明 、是递减数列,且存隹正整数k,使得GN k 时,a 1 n n0,S递 减,这 样,就 把 求S的 最 大 值 转 化 为 求 的所有正数项的和。n n n另一方面，等差数列的前项和公式可写成S”=(1+-。n,所以当dHO时，S可以看成二次函数y =(一+(%-R),当x=n 时函数值。如图，当d0时，S关于n 的图像是一条开口向下的抛物线上的一些点，因n此，可以利用二次函数求相应的n,S的值。n解法1.由d=-2,得a a=2 0,得 0；当 n=6 时，a=0；当 n6 时，a 0.所 以，S S.1 2 5 6 7也就是说，当=5 或 6时，S最大.n因为S 5=|x 2 x 1 0 +(5-1)x (-2)=3 0所 以 S的最大值为3 0.n解法2：因 为 由a=1 0,d=-2,1因为 S n =：/+(%-9 n =-n2+l l n =-(一)+詈所以，当n取与苫最接近的整数，即5 或6 时，S 最大，最大值为3 0.n跟踪训练2.分析：(1)利用S,与 小的关系求通项，也可由5“的结构特征求内，d,从而求出通项.(2)利用S,的函数特征求最值，也可以用通项公式找到通项的变号点求解(3)利用如判断哪些项是正数，哪些项是负数,再求解，也可以利用S,的函数特征判断项的正负求解.解 法 一：(公式法)当2时，a=S-S-i=3 4-2 n,又当 n=I 时，a i=S i=3 2=3 42 X 1 满足“”=3 4 2”.故 斯 的通项公式为%=3 4 2”.法二：(结构特征法)由S =-n2+3 3 n 知 S,是关于n的缺常数项的二次d-2型函数，所以 是等差数列，由S 1的结构特征知，解得 0=3 2,d=-2,所以=3 42几(2)法一：(公式法)令如20,得3 42 2 0,所以W1 7,故数列 斯 的 前1 7项大于或等于零.又0 7=0,故数列 斯 的 前1 6项 或 前1 7项的和最大.法二：(函数性质法)由y=f+3 3 x的对称轴为 产苧.3 3距离了最近的整数为1 6,1 7油 =一 层+3 3 的图象可知：当W 17时，。20,当时，如 0,故数列 斯 的 前1 6项 或 前1 7项的和最大.(3)由(2)知,当 W 1 7时，斯20；当，1 8 时，anS7,：.aiSs,二恁+山。，.60,.,.d0,B 正确.12Si2=y(ai+ai2)=6(O6+7)0,C 不 正 确.5 中最大项为 6,D 不正确.故正确的是AB2.【答案】6或7 由|的|=|硒|且 d0 得 50,且+俏=0=2a +1 2d=0=i+6 d=0,即。?=0,故 S6=S;且 最 小.3.【答案】(1)=230，当=1 时,0=S i=-29.当 时，小=&-冬-|=(230)一(-1)230(-1)=2-31.V n=l也适合，.恁=2 一31,(2)法一：SW=H2 30/2=(-15)2225.当=1 5 时，S”最 小,且最小值为$5=225.法二：=31,.，.6716/2，,，150.，当=1 5 时,5 最小，且最小值为&5=-225.
