基本不等式常见题型(解析版).pdf

基本不等式常见题型（解析版）题型一：由基本不等式比较大小1 .（多选）若T a b 2 ab B.2 abD.a+b+-a b【详解】A：由重要不等式知：a2+b2 2 a b,而一IvavOvO,.a2+b2 2 a b,正确；B：由IvavhvO,则=0 ,故一丁，错误；a b ab a bC：由一IvavOcO,则a +b 0 /,错误；D：(a+-)-(h+)=a-h+-=a-b+-=(a-b X -)0,故4+，%+：,正确.故选：ADa b a b ab ab a b2 .(多 选)设。0,b 0,则下列不等式中感至的是()A.(a +6)(：+)2 4 B.+b3 2 ab2 C.a2+b2+2 2 a+2 h D./a-fb【答案】AC D【详解】对 A,因为“0/0,所以(”+/)(_1 +1)=2 +2 +4 2 2 +2)2-9=4a b a b N a b当且仅当a =b 时，等号成立，故 A 正确；1 9 R 45 4对 B,取。=不，时，=I=,2 a b=一,故 B 不成立；2 3 8 2 7 2 1 6 9对 C,+/?+2 (2 +2 Z?)=(。-1)+(/?1)之 0,故 C 成立；对 D,若 则 4。一 字|之石一G 成立,若则（7|._q）2 _（&_ 赤）2 =2 /0，yja-b y/a-xhfiL,故 D 正确；故选：AC D.3 .(多选)己知实数。0,b0,a+b=,则下列不等式正确的是()A.2u+2h2 yl2 B.G +限&C,f-+2 fr+2U1 6 D.+。，则泊以C.y=4+3 +一的最小值是2；D.函数y=2 +x+J（x 0）的最大值为0.【答案】B D【详解】对于A,当x 0 知2 0,0,根据均值不等式可得2 +匠=2,故正确；a b a b a b对 于 C,令，=则 y=r+；3）单调递增，故最小值为3+；=墨 故 c 错误；对 于 D,由x （）可知，y=2 +x+=-（-x+）+2 y/ab+/bc+fac.(2)a+b=l,求证：解(1)因为 a,b,c 都是正数，所以Q +b+c=/a+Z?)+(Z?+c、)+(Q +c)N 5仅/+2/+2/)=ab/bc+/ac,当且仅当 Q =b=。时，等号成立，所以 a+b+;八 1 Y i 1 1 1 1 I i1 1 2、1 2 1 2 c1 +-1 +-=1 4-+-+=1 +-4-=1 +1 +-=1 =9(2)I 人 h)a h ah ah ah ah(a+b 1E 4当且仅当a =g 时等号成立.二+题型三：基本不等式求最大值1.当x 0 时，一:的最大值为x+43 力 3/3 3-.=【详解】当x 0 时，召+4%。-x V x当且仅当x=二4 即工=2时等号成立.即3 r 的最大值为34.x 厂+4 42 .实数。北满足+2 =1,则而的最大值为.【详解】因为 实 数 满 足/+劝2 f,所以由基本不等式可得：1 =/+2/2 2 a 伤（当且仅当=2。2=1，即=也,6 =工时等号成立），所以2 2 2,而4 =也.即“6 的最大值为亘.2 V2 4 43 .（1）己知x l,求4X+1H-的最小值；（2）己知0 c x e 1,求x（4 3 x）的最大值.X-1【详解】（1）因为x l,所以工 一 1 0,所以4工 +1 +，=4（1）+-+5 2 2 /4（1-1）.-+5=9 ,x,1 x 1 V x 11 3 1当且仅当4（x-l=、，即x=9时取等号，所以4x+l+t 的最小值为9.x-l 2 x-1（2）因为0 x 0,3 0,故9，+3 =3 优+3 2 2 1 3 2 =2 存 =6，当且仅当 3 2 =3,即，/4一,337=6 =1 时等号成立；所以）9!=1 时取等号，故9 m+3 的最小值为6,故 选:B3.已知4x4+9 y 2+2 y 4=4,贝 l j 5x2+3;/的最小值是（)A.2【答案】D1 2B.75C.一2D.4 详解】14X4+9X2/+2/=4得（4/+力,+）=4 4（4 3+2y 2=巧,B P1 6 所以5 d+3）/24,+/=x2+2/,即/=,时，等号成立，所以5 f+3 y2 的最小值是4.故选：D.题型五：二次或一次商式的最值4 4-Y 4-Y1 .当x 0 时，函数y=的最小值为（）1 +xA.2下 B.2 石-1C.2 5/3 +1 D.4【答案】B【详解】因为x 0,所以），=3 +）+/=3 +彳=3+1）_ 2 2,上.+1）_ =2 6 _1,1 +X 1 +X 1 +x y 1 +X当且仅当丁L_=x+1 ,即1=百-1 时，等号成立.故选：B.2.已知”，且,力=8,则 1 -2 的最小值是（）a-bA.6 B.8 C.1 4 D.1 6【答案】A【详解】因为a b=8,所 以 +=（：）-+2 叽j+也.因为所以 A 0,所以a-b a-b a-b.1 6 .*/.1 6 c H na +b、ca-h+-2.（a-b）-=8 ,即-8 ,a-b v a h a-b当且仅当。-6 =4时，等号成立，故江1k一 2 的最小值是6.故选：Aa-b3.函数y=+x _ 5（x 2）的最小值为_.x-2.石g Y r ,辛 i t j j 人 c c r+%5 Q +2）+,+2 5 r+5+1 1 _ _【答案】7【详解】令L2=Z,r 0；-=-=-=Z +-+57x-2 t t t（当且仅当，=1,即x=3 时，等号成立），故函数 x）=/+x-5 ,x 2,+8）的最小值为7题型六：条件等式求最值1 .若实数x，y 满足：x,y0,3 冷一x-y-l=O,则孙的最小值为（）A.1 B.2 C.3 D.4【答案】A【详解】因为3 孙-x-y-l=O,所以3 肛-l=x+y,由基本不等式可得3 肛一 l =x+y 2 2 丙,3 xy-2 yxy-Q,解得7 21 或4-g（舍），即 孙 2 1 当且仅当x=y=l时等号成立,故犯的最小值为1,故选：A.2.已知x 0,y 0,且x+4y=4.1 2 求 xy的最大值；（2）求一+一的最小值.x y解（1）因为x 0,y 0,所以4=x+4 y N 2 7 =4 7 ，当且仅当x=4y且x+4y=4 即x=2,y=时取等号，解得孙 0,y 0.且x+4y=4,u，l 2 i f 1 2 ，、l。力 0,若不等式三十；2 一？恒成立，则加的最大值为_ _ _ _ _ _.a b c i +3 b【详解】由一+丁之 才 得“工（。+3）+-=+6.a b a+3 b a b）a b又 丝+：+6 2 2 囱+6=1 2,当且仅当丝=,即当。=36时等号成立，a b a b.mW12,m 的最大值为1 2.故答案为：122.若 V x 0,E）,不等式 x +，恒成立 为真命题，则实数”的 取 值 范 围 是.X【详解】由基本不等式可知V xe（O,e）,x+2 =2（当且仅当x=l 时取=）,因为V xe（0,xo）,不等式a x +：恒成立，故a b）,第一次称出的黄金重为咫，第二次称出的黄金重为yg由杠杠平衡原理可得，5 a=xb,ya=5 b,所以工=2,y=也,x+y=+独 叫 口 e =1。，这样可知称出b a ba b a的黄金大于10g.故选:A2.某大型广场计划进行升级改造.改造的重点工程之一是新建一个矩形音乐喷泉综合体该项目由矩形核心喷泉区A8C。（阴影部分）和四周的绿化带组成.规划核心喷泉区A8CO的面积为1000 绿化带的宽分别为2m 和 5m（如图所示）.当 整 个 项 目 占 地 面 积 最 小 时，核心喷泉区的边BC的长度C.loVlOmD.100 m【详解】设BC=x m,则C=U S m,X所 以S矩 形A4GA/S(IOOO 八 sc/10000=(+10)1-+4l=1040+4X+-1040+2J4X-=1440,I nnnn当且仅当4x=U%,即了 =50时，等号成立，X所以当BC的长度为50m时，整个项目4 月 。占地面积最小.故选：B.