2020年数学（理）高考模拟卷新课标卷2含答案.pdf

2 0 2 0 年数学（理）高考模拟卷新课标卷（2）（本试卷满分150分，考试用时120分钟）注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用 2B铅笔将试卷类 型（B）填涂在答题卡的相应位置上。2.作答选择题时，选出每小题答案后，用 2B铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案。答案不能答在试卷上。3.非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，将试卷和答题卡一并交回。第I卷（选择题）一、单选题：本大题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知全集 U=R,A=x|x l,B=x|x 2 2 ,则集合（A u B）等于（）A.x|x l B.x|x 2 C.x|l x 2 D.x|l x 2【答案】D【解析】【分析】求出A 与 B 的并集，根据全集 U=R,求出并集的补集即可.【详解】全集U=R,A=x|x l,B=x|x N 2,.A uB =x|x l或 x N 2 ,贝 ijQJ（AUB）=X1WX 是纯虚数，故B正确，z2 l-i 2上：卜|(1 +i)4 卜 卜(1 +i)2 2 卜 (万)2 卜 4 ,2 1 z 2 2 卜 2 1(1 -i)2 卜 2 1-2 4=4 ,故 C 正确，Z12+Z22=(1+Z)2+(1-Z)2=2Z-2Z=0,所以 D 项不正确，故选 D.点睛：该题考查的是复数的有关概念和运算，在做题的时候，需要对选项中的问题一一检 验，从而找到正确的结果.3.己知l o g：l o g：,则 下 列 结 论 中 不 正 确 的 是()A.m n 1 B.机 0 C.1 n m 0 D.1 m n 0【答 案】c【解析】【分 析】1 1先 化 简 原 不 等 式 为,再 对 机,分四种情况讨论即得解.l g n igm【详 解】由题得I g 5j g 51 g/?gm1 1所 以 嬴 防当机 1,1 时，l g m 1 gn,所 以 加 ,加 :1,所 以 选 项A正确;当0m 1,0力 1g n,所 以1帆 0,所 以 选 项D正确；当 1,0m log：,显然成立，所 以 选 项B正确;当0 1时，不 等 式log：log：,显然不成立.所以选项C不正确.故 选：C【点 睛】本题主要考查对数的运算和对数函数的图像和性质，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.4.某单位去年的开支分布的折线图如图1所 示，在这一年中的水、电、交 通 开 支（单 位：万元）如图2所 示，则该单位去年的水费开支占总开支的百分比为（）国1 *一 国2A.6.25%B.7.5%C.10.25%D.31.25%【答 案】A【解 析】【分 析】由折线图找出水、电、交通开支占总开支的比例，再计算出水费开支占水、电、交通开支的比例,相乘即可求出水费开支占总开支的百分比.【详 解】250水 费 开 支 占 总 开 支 的 百 分 比 为-x 20%=6.25%.250+450+100故选：A【点睛】本题考查折线图与柱形图，属于基础题.5.已知/（工）是定义在R上的奇函数，满足/（+x）=/（1 _ 若f（1）=则/(1)+/(2)+/(3)+.+/(2019)=()A.I B.0 C.1 D.2019【答案】B【解析】【分析】根据题意，由函数满足f(l-x)=/(x+l),分 析 可 得/(-无)=/(x+2),结合函数为奇函数可得/(x)(x+2),则函数/(x)为周期为4 的周期函数，又由/(I)、/(-1)与/(2)及/(0)的值分析可得/(I)=/(5)=f(2017)=1,/(3)=f(7)=/(2019)=-1,f(2)=f(4)=f(6)=f(8)=.=f(2018)=0,将其相加即可得答案.【详解】根据题意，函数/(x)满足/(1-x)=/(x+1),则函数/(x)的图象关于直线x=l 对称，则有/(-x)=f Cx+2),又由函数。(x)为奇函数，则/(-X)=-f(x),则有 f G)=-f(x+2),则 f(x+2)=-f(x+4),可得 f(x)=f(x+4)则函数/(x)为周期为4 的周期函数，又由 f(l)=1,则f=f(5)=.=f(2017)=1,/(-I)=-/(1)=-1,则(3)=f(7)=/(2019)=-1,又/(-2)=f=式(2),则/(2)=0,且/(0)=0,所以/(2)=f(4)=/(6)=/(8)=/(2018)=0,则f +f(2)+f(3)+.+f(2019)=505-505+0=0；故选：B.【点睛】本题考查函数的奇偶性以及函数周期性的应用，注意分析与利用函数的周期，属于基础题.6.若实数x，y满足2%+2丫 =1，则X+y的最大值是()A.-4 B.-2 C.2 D.4【答案】B【解析】【分析】利用基本不等式求x+y的最大值得解.【详解】由题得2%+2y 2,2*2 y =2+匕（当且仅当x=y=-l时取等）所以，1 2 V 2*+y,2x+,2-2 2*+4所以 x+y 0,3 0,阚?(0,h 0,例 v彳j的部分图象，可得A=2,=-.*.(0=2.TT TT TT TT再根据五点法作图可得2二+0)=不，.(p=7 ,f(x)=2sin(2x+).6 2 6 67T令x=,求得/(x)=-2,为函数的最小值，故A错误；7C令工二一二，求得/G)=-1,不是函数的最值，故8错误；6rr 27r 7 i函数f(2x)=2sin(4A-+-)的最小正周期为丁=丁，故C错误：6 4 2TT/TT TT TT 57r 71当二时，-2 x+-ta nB=5/3，.Be (0,n),4 2故 答 案 为B.1 0.如图中共顶点的椭圆与双曲线的离心率分别为约，e 2，e 3，e4,其大小关系为()A.2026364 B.62约 63C.e1 e2e4e3 D.eeee3【答 案】c【解 析】试题分析：先根据椭圆越扁离心率越大判断a i、a 2的大小，再由双曲线开口越大离心率越大判断a 3、他的大小，最后根据椭圆离心率大于0小 于1并且抛物线离 心 率 大 于1可得到最后答案.解：根据椭圆越扁离心率越大可得到0ai Va2l根据双曲线开口越大离心率越大得到la3Va4.可得到 aia2a3a4故选 A.考点：圆锥曲线的共同特征.11.九章算术中将底面为长方形且有一条侧棱与底面垂直的四棱锥称之为阳马，将四个面都为直角三角形的四面体称之为鳌席.在鳌脯P-ABC中，平面ABC,24=4,A B =B C =2,鳌腌P-ABC的四个顶点都在同一个球上，则该球的表面积是()A.16万 B.20万C.247 D.64兀【答案】C【解析】【分析】四个面都是直角三角形，由A8=3C得然后证明这样PC中点0,就是P ABC外接球球心，易求得其半径，得面积.【详解】四棱锥P-A 6 C的四个面都是直角三角形，；A6=8C=2,.又 PA_L 平面 ABC,.AB 是 PB 在平面 ABC 上的射影，P A 1 C A,：.B C A.P B,取PC中点0,则。是P ABC外接球球心.由 AB=BC=2得 AC=2 0，又9=4,则 PC=次 +16=2遥,0P=，所以球表面积为S=44(OP)?=4万x(#了=24%.故选：C.【点睛】本题考查求球的表面积，解题关键是寻找外接球的球心：三棱锥的外接球的球心一定在过各面外心且与此面垂直的直线上.1 2.已知定义域为R的奇函数y =/(x)的导函数为y =/(x),当x0时，#(x)-/(x)0,若。=力=/4,c=止，则。力,c的大小关系正确的是()e ln 2 -3A.a b c B.b c aC.a c b D.c a b【答案】D【解析】【分析】构造函数g(X)=/,由g，(x)=必(X)：/),可得函数g (x)单调递减，再根据函数的x x奇偶性得到g(X)为偶函数，即可判断.【详解】构造函数g(X)=*),Xg(x)=2 X,:xf(x)-f(x)0,W (x)0,.函数g (x)在(0,+o o)单调递减.函数/(X)为奇函数，；.g(X)=13是偶函数，X/(-3)：.c=_L=g(-3)=g(3),-3.e)C,/(/2)c i =-=g (e),h=-=g (妨 2)fe ln2；.g (3)V g (e)g(ln2),.cab,故选O.【点睛】本题考查了构造函数并利用导数研究函数的单调性，进行比较大小，考查了推理能力，属于中档题.第U卷（非选择题）二、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共2 0分。把答案填在题中的横线上。1 3.己 知 向 量 满 足|a|=l，|勿=2,a/的夹角为60，则|a 6【答案】73【解析】【分析】先计算。为，再由|：|=展开计算即可得解.【详解】由|a|=l，I加=2,a,I的夹角为60，得8 s 60 =1.所以|a Z?|=J（；-J）?=4 a -2a-b+b=Jl-2 +4=6 故答案为JJ.【点睛】本题主要考查了利用向量的数量积计算向量的模长，属于基础题.1 4.已知程序框图如图所示，其功能是求一个数列”.的前1 0项和，则数列 6 的一个通项公式。”=【答案】2n【解析】试题分析：程序执行过程中的数据变化如下：s =0,=2次=1,1 1 0,s =L =4,攵=2,2 1 0,5=+-2 2 4 =6,攵=3 1 0 1 0,5=+,=2 2,Z =1 1,1 1 4 1 0 不 成立，输 出2 4 2 05=-+-+,s是数列-的 和，因 此 数 列 通 项 公 式 为 -2 4 2 0 2 4 2 0 2n考点：1.程序框图；2.数列通项公式1 5.已知函数/(x)(x w R)的导函数为/(x),且 3)=7,/(x)2,则/(x)2 x+l的解集为.【答案】(3,+8)【解析】【分析】先构造函数设g(x)=/(x)(2 x+l),再分析得到g(x)在R上是减函数，且g(3)=0,再解不等式得解.【详解】设g(x)=/(x)(2 x+l),因为/(3)=7J(x)2,所以g =/(3)-(2 x 3+l)=0,g (x)=r(x)-2 0,所以g(x)在R 上是减函数，且g(3)=0.所以x)2 x+l的解集即是g(x)3.故答案为：(3,+8)【点睛】(1)本题主要考查利用导数研究函数的单调性，考查单调性的应用，意在考查学生对这些知识的掌握水平和分析推理能力.(2)解答本题的关键是构造函数设g(x)=/(x)-(2 x+l),再分析得到g(x)在R上是减函数，且g(3)=0.X2 V2 尤2 21 6.已知尸是椭圆=+*=1 (4 白 0)和 双 曲 线=一=1 0,a 0)的一个交点,4 b a2 b2T T耳，鸟是椭圆和双曲线的公共焦点，勺，弓分别为椭圆和双曲线的离心率，若 N片尸鸟=，则。的 最小值 为.【答案】2【解析】【分析】根据题意，不妨设点P在第一象限,那么忸制 户 用，根据椭圆与双曲线的定义,得到耳|=4 +%,|P 段=4-/，根据余弦定理，整理得到4 c =4+3出2,化 为 二+3=4,根据基本不等式，即e e2可求出结果.【详解】根据椭圆与双曲线的对称性，不妨设点P在第一象限，那么归耳|归闾，因为椭圆与双曲线有公共焦点，设椭圆与双曲线的半焦距为C,根据椭圆与双曲线的定义，有：周+仍闯=阳，|尸用-俨闾=物,解 得 耳 1=4+4,|P E|=q_/,在j pg 中，由余弦定理，可得：忻用2 =|呐 2 +俨用2 -2|明|帆|C O S 0,即 4 c 2 =(q+a2)2+(4 -a2)2-(q+%)(4 -a2),整理得4 c 2=d+3 q,-1cl,所以+3 丁 =4 ,e e2又4!逋，et e2 ee2所以 e,e2 2 -故答案为且2【点睛】本题主要考查椭圆与双曲线的离心率的相关计算，熟记椭圆与双曲线的定义与简单性质，结合基本不等式，即可求解，属于常考题型.三、解答题：本大题共6 小题，共 70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤.第17-21题为必做题,每个考生都必须作答.第22/23题为选考题，考生根据要求作答.(-)必考题：共 60分1 7.记 S”为数列%的前几项和，且满足S“=4%-6.(1)求数列 4 的通项公式；，2 1 1 87(2)记d =l og4，求满足等式工1 +T丁+1工 =菰的正整数的值.八3)她她%么 88【答案】(1)q=2x=；(2)=88【解析】【分析】(1)首先利用数列的递推关系式求出数列的通项公式；(2)先求出=，再利用裂项相消法求出数列的和，解出即可.【详解】(1)由S”为数列 4 的前项和，且满足S.=4a,-6.当=1 时，S=4。-6,得 q=2.当 2 2时，4=5“-5“_1=(甸-6)-(4%-6)=也-4%,得 丁 二可,Un-)所以数列 4 是以2为首项，则数列 ,的通项公式为例 二(2)由2=lo g/|a,J =lo1 1 1得+=,他她 hn-h=1 5m+ti 87由 1一一=,解得=88.n 88以不为公比的等比数列，-2 x _ 二 1 1 1+1 /1x2 2x3(-i-n)n【点睛】本题考查了等比数列的通项公式的求法，裂项相消法求数列的和，属于基础题.18.如图，AB是圆的直径，出 垂直圆所在的平面，C是圆上的点.C 求证：平面B4CL平面 8C；B（2）若 AB=2,AC=l,PA=,求二面角 CPB4 的余弦值.【答案】G）见 解 析（2）?【解析】（1）由AB是圆的直径，得 ACL8C,由 以 _L平面ABC,BCu平面A B C,得 出 _L8C.又 PAQAC=A,%u平面 PAC,ACu平面 PAC,所以BC_L平面PAC.因为BCu平面PBC,所以平面PBC_L平面PAC.（2）过 C 作 CMA P,则 CMJ_平面 ABC.如图，以点C 为坐标原点，分别以直线CB、CA、C例为x 轴，y 轴，z 轴建立空间直角坐标系.在 RtAABC 中，因为 AB=2,A C=1,所以 8C=V1因 为%=1,所以A（O,I,O）,B（V3,0,0）,P（O,I,I）.故 而=Q 3,0,0）,而=（o,i,i）.设平面3 c p 的法向量为的=8，乃，zi）,则卜 巴=所以f%+Z L （nj-CP=0（V3Xi=0,不妨令y i=l，则 i=（0,l,-1）.因为而=（0,0,1）,荏=（V?，-1,0）,r设平面=n k，A B P的法向量为“2 =（X2,*，Z2）,则 小.竺 一 ,所 以 L 一 ，（n2,AB=0不妨令 X2=l，则2 =（1，V3,0）.于是 C O S 3，2=2 =9.2V2 4由题图可判断二面角为锐角，所以二面角CP B-4的余弦值为立.41 9.从某市的高一学生中随机抽取400名同学的体重进行统计，得到如图所示的频率分布直方图.(1)估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60kg的概率；(2)假设该市高一学生的体重X服从正态分布M 57,7).利用(1)的结论估计该高一某个学生体重介于54 57依 之间的概率；从该市高一学生中随机抽取3人，记体重介于54 57版 之 间的人数为匕利用(1)的结论，求丫的分布列.【答案】(1)(2)，.见解析4 4【解析】【分析】(1)根据频率分布直方图中小长方形面积等于对应区间概率得体重超过60炮 的频率为后两个小矩形的面积；(2)P(54X 57)=；P(54X 60)；因为丫,根据二项分布求概率并列分布列.【详解】(1)这400名学生中，体重超过60依 的 频率为(0.04+0.01)x5=；,由此估计从该市高一学生中随机抽取一人，体重超过60依 的概率为上.4(2)：X N(5 7,4)，P(X 6 0)=-,A P(X 54)=-,/4 4A P(54X 60)=l-2 x l =l,p(54X 57)=-x-=-.4 2 2 2 4即高一某个学生体重介于54 57 kg之间的概率为上.4因为该市高一学生总体很大，所以从该市高一学生中随机抽取3人，可以视为独立重复实验，其中体重介于54 57奴 之间的人数丫 I 4、7,叩=呢 冏|3-/，/=0,1,2,3.所以y的分布列为Y0123272791r64646464【点睛】本题考查正态分布，二项分布，意在考查分析问题和解决问题的能力，对于此类考题，要注意认真审题，从数学与实际生活两个角度来理解问题的实质，将问题成功转化为古典概型，独立事件、互斥事件等概率模型求解，因此对概率型应用性问题，理解是基础，转化是关键.2 0.已知动圆尸过点尸(1,0)且和直线/：x=-l相切.(1)求动点P的轨迹E的方程；(2)己知点”(-1,0),若过点尸的直线与轨迹E交于A ,8两点，求证：直线M4,M3的斜率之和为定值.【答案】(1)/=4 x；(2)详见解析.【解析】【分析】(1)由抛物线的定义知，点尸的轨迹为抛物线，由此能求出动圆圆心的轨迹方程；(2)设直线4 8的方程为彳=my+1 ,联立直线与抛物线，利用韦达定理、斜率公式，即可证明结论.【详解】由题意得：圆心P到点F的距离等于它到直线/的距离，二圆心P的轨迹是以尸为焦点，直线/为准线的抛物线，设圆心P的轨迹方程为y2=2 p x (),4 1,2：.p=2.圆心P的轨迹方程为：/=4%；(2)证明：设直线A 8 的方程为=冲+1,AQq，X),8(%,%)，联立直线与抛物线可得V-4/肛一4=0,二X+必=4 M，y1y2=-4,X+%)(%,+l)(x2+l)即直线M4,M 3的斜率之和为定值.【点睛】本题考查轨迹方程的求法以及直线与圆锥曲线的位置关系，求轨迹方程常用的方法有直接法、相关点法等，解决直线与圆锥曲线的位置关系常用代数法，属于常考题.2 1.已知函数 f(x)=x2+(x2-3x)lnx(1)求函数f(x)在 x=e处的切线方程(2)对任意的x e(0,+)都存在正实数a,使得方程f(x)=a至少有2 个实根，求 a 的最小值【答案】(1)(5e-6)x-y-3e2+3e=0(2)1【解析】分析：(1)求出了(X),由/(e)的值可得切点坐标，由/(e)的值，可得切线斜率，利用点斜式可得曲线y=/(x)在点(e,/(e)处的切线方程；(2)首先可得x=l 是方程的根，只需方程另外至少一个根即可，利用导数研究函数的单调性，结合函数图象，可得函数的极值与最值，从而可得a 的最大值.详解：f/(x)=3x-3+(2x-3)lnx 二切线斜率为:k=f/(e)=5e-6 切点为：(e,2e2-3e)切线方程为：y-2 e2+3e=(5e-6)(x-e)(5e-6)x-y-3 e2+3e=0(2)令 f/(x)=0即 3x-3+(2x3)lnx=0显然x=l是方程的根3 1而 f(x)=21nx-+5 易知f(x)在(0,8)上递增，容易验证f(一 )=33e 0,/.存在x e一 使得f(xD=0e；所以当 xd(0.x i)时,f(x)0,f(x)递增且 f(X|)0,故存在 X 2 6(1,X )使得 f(X 2)=0,列出下表:e e eX(0,x2)X 2（X 2 ）1(1,+8)f/(x)+0-0+f(X)增极大值减极小值增所以f（x）在 X=X 2 处取极大值；在 X =1处取得极小值.因f（l）=l ；X f 0 时 f（x）作出f（x）的示意图可知：a的最小值为1点睛：本题主要考查利用导数求曲线切线方程以及利用导数研究函数的单调性与极值，属于难题.求曲线切线方程的一般步骤是：（1）求出丁 =/*）在=七处的导数，即 丁 =/（乃 在点P（%,/（%）出的切线斜率（当曲线y =/（x）在 P 处的切线与）轴平行时，在处导数不存在，切线方程为=%）；（2）由点斜式求得切线方程y%=/（x）（x /）（二）选考题：共 10分.请考生在2 2,2 3题中任选一题作答.如果多做，则按所做的第一题计分.2 2.选修4-4：坐标系与参数方程X =夜 c o s t以坐标原点为极点，以X 轴的非负半轴为极轴建立极坐标系，已知曲线C的参数方程为彳y-V 2 s i n f。为参数乂 X =vL2 cost（2 V 2I-,-71）.7=V 2 s i n z 4 若曲线C在点（1,1）处的切线为I,求/的极坐标方程；（2）若点A的极坐标为（2 加,工），且当参数n 时，过点A的直线用与曲线C有两个不同的交4点，试求直线?的斜率的取值范围.【答案】（1）夕s i n（6+；）=&；（2）（2 6,2行 .【解析】试题分析：（1）根据极坐标与普通方程直角坐标的转化公式即可求出切线的极坐标方程；（2）画出图象，根据数形结合，可以看出切线与割线斜率分别是最小和最大值，利用斜率坐标公式即可求出.x=41 c o s t.试题解析：1,.%2+丁=2,点(1,1)在圆上，故切线方程为x+y =2,y =42 s i n/p s i n 6 +x?c o s 6 =2 ,/的极坐标方程为/?s i n(6+3)=0；4(2)点A的直角坐标为(2,2),设m：y=k(x-2)+2,、|2 Z 2|r“与半圆f+y-=2 （y0）相切时，I =,，1+2 2%2-44+1 =0，二%=2 6或2+6 （舍去）.设点8（及,0）,则左=2 a，故直线，力的斜率的取值范围为（2 6,2 夜 .2 3.选修4-5：不等式选讲已知函数/（%）=卜一2|一打一5|.（I）证明：一3 /（x）3；（I D求不等式/（x）之-8%+1 5的解集.【答案】（1）见解析；（2）1X|5-A/3%6。【解析】【分析】（1）利用绝对值不等式三角不等式一|。一同 同 一 网|。一可可证明出结论成立；分xW2、2Vx 5、x25时三种情况，分别解出不等式/（力 之/-8 x+1 5的解集，再取并集，即可得出答案。【详解】（1）由绝对值三角不等式可知，一|（尤-2）-（x-5）|V/（X）V|（-2）-（一5）|,gp-3/(x)3；(2)当x 4 2时，/(x)=|x-2|-|x-5|=(2-x)+(x-5)=-3,由4 6 2/一8%+15,得8X+1 8 K 0,该不等式的解集为空集；当2 c x 5时,/(x)=|x-2|-|x-5|=(x-2)+(x-5)=2 x-7,由-8%+15,得%2一10%+2240，解得5 6 x 5+百，此时，5-73%5;当x 2 5时;/(%)=,_ 2|_卜 _5|=(%2)_(%_5)=3,由/(x)N x2-8x+15,X2-8X+1 2 0.解得2 XK 6,此时，5V x 6。综上所述，不等式“x%2-8x+15的解集为1|5-gw xW 6。【点睛】本题考查绝对值不等式的证明、绝对值不等式的解法，考查利用绝对值三角不等式证明不等式，利用零点分段法解绝对值不等式，考查分类讨论思想，属于中等题。