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2017年学年数学九上期中考试模拟试卷昂立教育吕四分校命题人：大海之音选 择 题（共 10小题）1.（2015安徽）如图，一次函数yi=x与二次函数y2=ax?+bx+c图象相交于P、Q 两点，则函数y=ax?+（b-1）x+c的图象可能是（）2.（2015咸宁）如图是二次函数 y=ax2+bx+c的图象，下列结论:二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；（2）4a+2b+c0；一元二次方程ax2+bx+c=l的两根之和为-1；使 y0.其中正确的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个3.（2015 宁波）二次函数y=a（x-4）2-4 （a#0）的图象在2Vx 3 这一段位于x 轴的下方，在 6Vx 0 时，y 0；若 a=-1 则 b=4；抛物线上有两点 P（xi，yi）和 Q（X2，y2），若 xil 2,则 yiy2；点 C 关于抛物线对称轴的对称点为E,点 G,F 分别在x 轴和y 轴上，当 m=2时，四边形 EDFG周长的最小值为672.其中真命题的序号是（）A.B.C.D.5.（2015吴兴区一模）如图，O 为坐标原点，边 长 为&的 正 方 形 OABC的顶点A 在 x 轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75。，使点B 落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式可能为（）8.（2015内江）如图，在。O 的内接四边形ABCD中，AB是直径，ZBCD=120,过 D点的切线PD与直线AB交于点P,则NADP的度数为（）A.40 B.35 C.30 D.459.（2015河池）我们将在直角坐标系中圆心坐标和半径均为整数的圆称为 整圆如图，直线1：y=kx+4j褥x 轴、y 轴分别交于A、B,ZO AB=30,点 P 在 x 轴上，0 P 与 1相切，当 P 在线段OA上运动时，使得。P 成为整圆的点P 个 数 是（）A.6 B.8 C.10 D.1210.（2015金华）如图，正方形ABCD和正A E F都内接于。O,EF与 BC、CD分别相交于点G、H,则旦E的 值 是（）A.退B二.填 空 题（共 8 小题）11.（2015长沙）如图，AB是。O 的直径，点 C 是。O 上的一点，若 BC=6,AB=10,ODBC于点D,则 O D的长为.12.（2015莱芜）如图，在扇形OAB中，ZAOB=60,扇形半径为r,点 C 在篇上，CDOA,垂足为D,当OCD的面积最大时，筋的长为.13.（2015广元）如图，在。O 中，AB是直径，点 D 是。上一点，点 C 是 AD的中点，C E 1A B于点E,过点D 的切线交EC 的延长线于点G,连接A D,分别交CE、CB于点P、Q,连接A C,关于下歹U 结论：NBAD=NABC；GP=GD；点 P 是NACQ的外心,其中正确结论是（只需填写序号）.14.（2015五通桥区一模）如图，在边长为2 的正六边形ABCDEF中，点 P 是其对角线15.（2015威海模拟）如图，正方形ABCD内接于。O,E 为 DC的中点，直线BE交。O于点F,若。的 半 径 为 则 B F的长为.16.（2015长春）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线y=x?-2x+2上运动.过点A作 AC_Lx轴于点C,以 AC为对角线作矩形A B C D,连 结 B D,则对角线B D 的最小值为.17.（2015衢州）如图，已知直线y=-1+3 分别交x 轴、y 轴于点A、B,P 是抛物线y=4-1?+2x+5的一个动点，其横坐标为a,过点P 且平行于y 轴的直线交直线丫=-&+3于24点 Q,则当PQ=BQ时，a 的值是.VA18.（2015北京）在平面直角坐标系xOy中，过 点（0,2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x-l交于点A,点 A 关于直线x=l的对称点为B,抛物线Ci：y=x?+bx+c经过点A,B.（1）求点A,B 的坐标；（2）求抛物线C i的表达式及顶点坐标；（3）若抛物线C2：y=ax2（a*0）与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围.19.(2015 宁波)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m 是常数.(1)求证；不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；(2)若该抛物线的对称轴为直线x=上.求该抛物线的函数解析式；把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.20.(2015南通)某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元.若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1 件，所买的每件服装的售价均降低3 元.已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装X件时，该网店从中获利y 元.(1)求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？21.(2015德州)如图，0 O 的半径为1,A,P,B,C 是。O 上的四个点，ZAPC=ZCPB=60.(1)判断AABC的形状：；(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于定的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.CBCB备用图22.(2015无锡)已知：如图，AB为。O 的直径，点 C、D 在。O 上，且 BC=6cm,AC=8cm,ZABD=45.(1)求 BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积.23.(2015扬州)如图，已知。O 的直径AB=12cm,AC是。O 的弦，过点C 作。O 的切线交BA 的延长线于点P,连接BC.(1)求证：ZPCA=ZB；(2)已知NP=40。，点 Q 在优弧ABC上，从点A 开始逆时针运动到点C 停 止(点 Q 与点C 不重合)，当a A liQ 与A B C 的面积相等时，求动点Q 所经过的弧长.24.(2015常德)已知如图，以 RtZkABC的 AC边为直径作。O 交斜边AB于点E,连接EO并延长交B C 的延长线于点D,点 F 为 BC 的中点，连接EF.(1)求证：EF是。O 的切线；(2)若。O 的半径为3,ZEAC=60,求 A D 的长.25.(2015青岛)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-&2+bx+c表示，且抛物线时的点C 到墙面6O B的水平距离为3 m,到地面O A的 距 离 为 工.2(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？26.(2015宜宾)如图，抛物线y=-lx2+bx+c与 x 轴分别相交于点A(-2,0),B(4,0),2与 y 轴交于点C,顶点为点P.(1)求抛物线的解析式；(2)动点M、N 从点O 同时出发，都以每秒1 个单位长度的速度分别在线段OB、O C 向点B、C 方向运动，过点M 作 x 轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H.当四边形OMHN为矩形时，求点H 的坐标；是否存在这样的点F,使PFB为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.参考答案与试题解析一.选 择 题（共 10小题）1.（2015安徽）如图，一次函数yi=x与二次函数y2=ax?+bx+c图象相交于P、Q 两点，则函数y=ax?+（b-1）x+c的图象可能是（）解答：解：.,一 次函数yi=x与二次函数y2=ax?+bx+c图象相交于P、Q 两点,.方程ax2+（b-1）x+c=0有两个不相等的根，二函数y=ax?+（b-1）x+c与 x 轴有两个交点，,:-A 0,a02aA-b-1=-_L+J_o2a 2a 2a:.函数 y=ax2+（b-1）x+c 的对称轴 x=-0,2aV a 0,开口向上，A 符合条件，故选A.2.（2015咸宁）如图是二次函数 y=ax2+bx+c的图象，下列结论：二次三项式ax2+bx+c的最大值为4；4a+2b+cV0；一元二次方程ax2+bx+c=l的两根之和为-1；使 y0.其中正确的个数有（）A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个解答：解：；抛物线的顶点坐标为（-1,4）,.二次三项式ax2+bx+c的最大值为4,正确；=2 时，y0,A 4a+2b+c0,正确；根据抛物线的对称性可知，一元二次方程ax?+bx+c=l的两根之和为-2,错误；使 y0或-2,错误，故 选:B.3.（2015 宁波）二次函数y=a（x-4）2-4 （aM）的图象在2 x 3 这一段位于x 轴的下方，在 6 x V 7 这一段位于x 轴的上方，则 a 的 值 为（）A.1 B.-1 C.2 D.-2解答：解：抛物线y=a（x-4）2-4 （a*0）的对称轴为直线x=4,而抛物线在6 x 7 这一段位于x 轴的上方，.抛物线在1VXV2这一段位于x 轴的上方，抛物线在2 V x 0 时，y 0；若 a=-L则 b=4；抛物线上有两点P（xi，yj）和 Q（X2，y2）,若 x i2,则 yiy2；点 C 关于抛物线对称轴的对称点为E,点 G,F 分别在x 轴和y 轴上，当 m=2时，四边形 EDFG周长的最小值为672.其中真命题的序号是（）A.B.C.D.解答：解：当x 0 时，函数图象过一四象限，当 0 0；当 x b 时，yVO,故本选项错误；二次函数对称轴为x=-?当 a=-l 时有二1+1,解得b=3,故2 X （-1）2本选项错误；,.,Xi+X22,X Vxi-11y2，故本选项正确；如图，作 D 关于y 轴的对称点D,E 关于x 轴的对称点E，,连接D E,D E 与 D E的和即为四边形EDFG周长的最小值.当 m=2时，二次函数为y=-x?+2x+3,顶点纵坐标为y=-1+2+3=4,D 为（1,4）,则 为（-L 4）；C 点坐标为 C（0,3）；则 E 为（2,3）,E7 为（2,-3）；则 D E=J（2-1）2+（3一 4）2加；D，E，寸（T-2）2+（4+3）区 倔;，四边形EDFG周 长 的 最 小 值 为 扬 倔，故本选项错误.故选C.5.（2015吴兴区一模）如图，O 为坐标原点，边长为J 额 正 方 形 OABC的顶点A 在 x 轴的正半轴上，将正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75。，使点B 落在某抛物线的图象上，则该抛物线的解析式可能为（）A.y=42 B.y=-x2 C.y=-x2 D.y=-3x23 3 2解答：解：如图，作 BE Lx轴于点E,连接OB,.正方形OABC绕顶点O 顺时针旋转75。，二 ZAOE=75,VZAOB=45,.,.ZBOE=30,；OA=&,.OB=2,.,.BE=1OB=1,2*,O E=7OB2-BE2.点B 坐 标 为(仃，-1),代入 y=ax?(a.*.CNxBE=ECxBC,.CNx 岳2,.CN=Z,55_.*.EN=BE-BN=V5-4=近,5 5,.BD为。O 的直径，:.ZBFD=90,/.CENADEF,/.EF=EN,516.（2015长春）如图，在平面直角坐标系中，点 A 在抛物线y=x2-2x+2上运动.过点A作 ACJ_x轴于点C,以AC为对角线作矩形A B C D,连 结 B D,则对角线B D 的最小值为一解答：解：y=x2-2x+2=（x-1）2+1,抛物线的顶点坐标为（1,1）,V 四边形ABCD为矩形，BD=AC,而 AC_Lx轴，.AC的长等于点A 的纵坐标，当点A 在抛物线的顶点时，点 A 到 x 轴的距离最小，最小值为1,对角线BD 的最小值为1.故答案为1.17.（2015 衢州）如图，已 知 直 线 丫=-&+3 分别交x 轴、y 轴于点A、B,P 是抛物线y=4-1?+2x+5的一个动点，其横坐标为a,过点P 且平行于y 轴的直线交直线y=-&+3 于24则 点 Q 为（a,-雪+3）,点 B 为（0,3）,4当点P 在点Q 上方时，B Q=J/+（当）2=&丫 a 1、产 4PQ=-la2+2a+5-（-A+3）=-U+l a+2,2 4 2 4.,PQ=BQ,.,.昌=-Aa2+-12a+2,4 2 4整理得：a2-3a-4=0,解得：a=-1 或 a=4,当点P 在点Q 下方时，B Q=J/+（当）Z 鸟,ya、4 a，4PQ=-鼻+3-（-la2+2a+5）=-a2-Ha-2,4 2 2 4VPQ=BQ,当=工 2 _ Ala-2,4 2 4整 理 得:a?-8a-4=0,解得：a=4+2/a=4-2反.综上所述，a 的值为：-1,4,4+2 4-2，；故答案为：-1,4,4+2A/5 4-2三.解 答 题（共 H 小题）1 8,（2015北京）在平面直角坐标系xO y中，过 点（0,2）且平行于x 轴的直线，与直线y=x-1 交于点A,点 A 关于直线x=l的对称点为B,抛物线Ci：y=x2+bx+c经过点A,B.（1）求点A,B 的坐标；(2)求抛物线C i的表达式及顶点坐标；(3)若抛物线C2：y=ax2(awO)与线段AB恰有一个公共点，结合函数的图象，求 a 的取值范围.解答：解：(1)当 y=2时，则 2=x-1,解得：x=3,.1A(3,2),V 点 A 关于直线x=l的对称点为B,AB(-1,2).(2)把(3,2),(-2,2)代入抛物线 Ci：y=x2+bx+c 得：(2=9+3b+c(2=1-b+c即 出 化=-2解得：c=-1/.y=x2-2x-1.顶点坐标为(1,-2).(3)如图，当 C2过 A 点，B 点时为临界，代入 A(3,2)贝！J 9a=2,解得：a=Z9代入 B(-1,2),贝 Ua(-1)2=2,解得：a=2,19.(2015宁波)已知抛物线y=(x-m)2-(x-m),其中m 是常数.(1)求证：不 论 m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；(2)若该抛物线的对称轴为直线x=i.2求该抛物线的函数解析式；把该抛物线沿y 轴向上平移多少个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.解答：(1)证明：y=(x-m)2-(x-m)=x2-(2m+l)x+m2+m,V=(2m+l)2-4(m2+m)=l 0,不论m 为何值，该抛物线与x 轴一定有两个公共点；(2)解：x=_ _ 达,2 2,m=2,抛物线解析式为y=x2-5x+6；设抛物线沿y 轴向上平移k 个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点，则平移后抛物线解析式为y=x2-5x+6+k,抛物线y=x2-5x+6+k与 x 轴只有一个公共点，/.=52-4 (6+k)=0,k=-l,4即把该抛物线沿y 轴向上平移工个单位长度后，得到的抛物线与x 轴只有一个公共点.420.(2015南通)某网店打出促销广告：最潮新款服装30件，每件售价300元.若一次性购买不超过10件时，售价不变；若一次性购买超过10件时，每多买1 件，所买的每件服装的售价均降低3 元.已知该服装成本是每件200元，设顾客一次性购买服装x 件时，该网店从中获利y 元.(1)求 y 与 x 的函数关系式，并写出自变量x 的取值范围；(2)顾客一次性购买多少件时，该网店从中获利最多？解答：解：(D_300 x-200 x=100 x(0 x 1 0,且 x为整数)y I 300-3(x-10)-200X=-3X2+130X(10X 3 0,且x为 整 数)(2)在 04x410 时，y=100 x,当 x=10 时，y 有最大值 1000；在 10 x1000,顾客一次购买22件时，该网站从中获利最多.21.(2015德州)如图，O O 的半径为1,A,P,B,C 是。O 上的四个点，ZAPC=ZCPB=60.(1)判断AABC的形状：等 边 三 角 形；(2)试探究线段PA,PB,PC之间的数量关系，并证明你的结论；(3)当点P 位于靠的什么位置时，四边形APBC的面积最大？求出最大面积.解答：证明：(1)ABC是等边三角形.证明如下：在。O 中VZBA C 与NCPB是祕所对的圆周角，ZABC与NAPC是同所对的圆周角，.*.ZBAC=ZCPB,ZABC=ZAPC,又；NAPC=NCPB=60。，二 ZABC=ZBAC=60,/ABC为等边三角形；(2)在 PC上截取PD=AP,如 图 1,又：NAPC=60,/.APD是等边三角形，AD=AP=PD,ZADP=60,即NADC=120.X V ZAPB=ZAPC+ZBPC=120,；.NADC=NAPB,在aA P B 和AADC中，/APD=NADC ZABP=ZACP.,AP=AD/.APBAADC(AAS),，BP=CD,又；PD=AP,.,.CP=BP+AP；(3)当点P 为定的中点时，四边形APBC的面积最大.理由如下，如图2,过点P 作 PEJ_AB,垂足为E.过 点 C 作 CF_LAB,垂足为F.,SAAPB=AB*PE,SAABC=AB*CF,2 2*.S 四边形 APBC=AB*(PE+CF),2当点P 为定的中点时，PE+CF=PC,PC为。O 的直径,此时四边形APBC的面积最大.又丁。的半径为1,_.其内接正三角形的边长AB=V3,S四边形APBC二铲舟风.点评：本题考查了圆周角定理、等边三角形的判定、三角形的面积公式以及三角形的全等的判定与性质，正确作出辅助线，证明AAPB丝4A D C 是关键.22.(2015 无锡)已知：如图，AB为。O 的直径，点 C、D 在。O 上，且 BC=6cm,AC=8cm,ZABD=45.(1)求 BD 的长；(2)求图中阴影部分的面积.解答：解：(1);A B 为。O 的直径,:.ZACB=90,:BC=6cm,AC=8cm,AB=10cm.AOB=5cm.连 OD,VOD=OB,，NODB=NABD=45。.AZBOD=90.B D=V 0 B 2+0 D 2=5 V2cm-小 C c c 90 J 1 u u 25 兀 -50 2(2)s 阴 影=S 扇 形 _ SzsoBD=-n5-x5x5=-cm.360 2 423.(2015扬州)如图，已知。O 的直径AB=12cm,AC是。O 的弦，过 点 C 作。O 的切线 交 BA的延长线于点P,连 接 BC.(1)求证：ZPCA=ZB；(2)已知NP=40。，点 Q 在优弧ABC上，从点A 开始逆时针运动到点C 停 止(点 Q 与点C 不重合)，当aA B Q 与aA B C 的面积相等时，求动点Q 所经过的弧长.PC是。O 的切线,:.ZPCO=90,.Zl+ZPCA=90o,TA B是。O 的直径,:.ZACB=90,AZ2+ZB=90o,VOC=OA,A Z1=Z2,AZPCA=ZB；(2)解：VZP=40,ZAOC=50,VAB=12,.*.AO=6,当NAOQ=/AOC=50。时，ZABQ与ABC的面积相等，点 Q 所 经 过 的 弧 长=%2*旦 L,180 3当NBOQ=NAOC=5()。时，即NAOQ=130。时，ABQ 与aABC 的面积相等，点 Q 所经过的弧长=1306=13n,180 3当NBOQ=50。时，即NAOQ=230。时，ABQ与aA B C 的面积相等，点 Q 所 经 过 的 弧 长=%三 工 经I,180 3/.当AAIiQ与aA B C 的面积相等时，动 点 Q 所 经 过 的 弧 长 为 旦 臣 卫 卫 或 空.3 3 324.(2015常德)已知如图，以 RtaABC的 AC边为直径作。O 交斜边AB于点E,连接EO并延长交BC 的延长线于点D,点 F 为 BC 的中点，连接EF.(1)求证：EF是。O 的切线；(2)若。O 的半径为3,ZEAC=60,求 A D 的长.解答：证明：(1)如 图 1,连接FO,T F 为 B C 的中点，AO=CO,.,.OF/7AB,TA C 是。O 的直径,ACE1AE,VOF/7AB,AOFICE,AOF所在直线垂直平分CE,，FC=FE,OE=OC,/.ZFEC=ZFCE,Z0EC=Z0CE,VZACB=90,即：Z0CE+ZFCE=90,:.Z0EC+ZFEC=90,即：ZFEO=90,，FE为。O 的切线；(2)如图2,:。的半径为3,.AO=CO=EO=3,VZEAC=60,OA=OE,.,.ZEOA=60,.,.ZCOD=ZEOA=60%.在 RtZOCD 中，ZCOD=60,OC=3,；.CD=373-在 RtZkACD 中，ZACD=90,CD=3V3，AC=6,.*.AD=3VV-25.(2015青岛)如图，隧道的截面由抛物线和长方形构成，长方形的长是12m,宽是4m.按照图中所示的直角坐标系，抛物线可以用y=-42+b x+c表示，且抛物线时的点C 到墙面6O B的水平距离为3 m,到地面O A的距离为M n.2(1)求该抛物线的函数关系式，并计算出拱顶D 到地面OA的距离；(2)一辆货运汽车载一长方体集装箱后高为6 m,宽为4 m,如果隧道内设双向行车道，那么这辆货车能否安全通过？(3)在抛物线型拱壁上需要安装两排灯，使它们离地面的高度相等，如果灯离地面的高度不超过8 m,那么两排灯的水平距离最小是多少米？把 B(0,4),C(3,I I)代入 y=2-Ax2+bx+c 得，6c=41 2 17,-3+3b+c=b z解 得 仁所以抛物线解析式为y=-&2+2x+4,6则 y=-(x-6)2+10,6所以 D(6,10),所以拱顶D 到地面OA的距离为10m；(2)由题意得货运汽车最外侧与地面O A的交点为(2,0)或(10,0),当 x=2 或 x=10 时，丫=丝 6,3所以这辆货车能安全通过；(3)令 y=8,贝!2+10=8,解得*户6+2盯，X2=6-2日，6贝!J xi-%2=43所以两排灯的水平距离最小是4A/.26.(2015宜宾)如图，抛物线y=-lx2+bx+c与 x 轴分别相交于点A(-2,0),B(4,0),2与 y 轴交于点C,顶点为点P.(1)求抛物线的解析式；(2)动点M、N 从点O 同时出发，都以每秒1 个单位长度的速度分别在线段OB、O C 向点B、C 方向运动，过 点 M 作 x 轴的垂线交BC于点F,交抛物线于点H.当四边形OMHN为矩形时，求点H 的坐标；是否存在这样的点F,使PFB为直角三角形？若存在，求出点F 的坐标；若不存在，请说明理由.-2-2b+c=0-8+4b+c=0解得：b=L c=4,/.y=-L：+X+4；2(2)点 C 的坐标为(0,4),B(4,0)直 线 BC的解析式为y=-x+4,根据题意，ON=OM=t,MH=-l t2+t+42VON#MH二当ON=MH时，四边形OMHN为矩形,即 t=-At2+t+42 _解得：t=2我 或 t=-2A/2 (不合题意舍去)把 1=2 /入 y=-U+t+4 得：y=2&_ 2A H (2&,2 7 2)；存在，当 P F _ L B C 时，.直线B C的解析式为y=-x+4,.设P F的解析式为y=x+b,又 点P (1,-|)代入求得b=,.根据题意列方程组:y=-x+4 J(1x=41 5尸石解得：.,.F (X 为4 4当 P F _ L B P 时，点 P (1,2),B (4,0),2二直线B P的解析式为：y=-&+6,2.设P F的解析式为y=2 x+b,又 点P (1,2)代入求得b=2 ,326-x+4.根据题意列方程组：2 ,2 3解得：1y r-1 03 9综上所述：4 P F B为直角三角形时，点F的 坐 标 为(，K)或4 4