2015年数学高考分类汇编——导数及其应用.pdf

专题九导数及其应用1.(15北京理科)已知函数/(x)=l n 3.(I )求曲线y =x)在点(0,/(0)处的切线方程；(I I )求证：当x e(0,l)时，/(x)2 x +)；(I I I)设实数A使得+对x e(0,1)恒成立，求的最大值.【答案】(I )2x y =0 ,(I I)证明见解析，(H D k的最大值为2.【解析】试题分析，利用导数的几何意义，求出函数在x =0处的函数值及导数值，再用直线专程的点斜式写出直线方程；第二步要证明不等式在x e i O,h成立，可用作差法构造函数产(x)=i n匕 二 一20 +),利用导数研究函数F(x)在区间(0,1)上的单调性,由干尸(X)0,1-x 3产G)在(。，1)上为噌函数，则尸(x)7(0)=0,问题得证；第三步与第二步方法类似，构造函数研究函数单调性，但需要对参数N作讨论，首先*e 0,2符合题意，其次当A 2时，不满足题意舍去，得出上的最大值为二试题解析：(I )M=I n -,x e (-1,1),f(x)=-7,r(0)=2,f(0)=0,曲线1 一 x 1-丫 =尤)在点(0,0)处的切线方程为2x -y =0；(r3 v3(I I)当10,1)时，力 2卜即不等式f(x)2(x+彳)0,对Yx e (0,1)成立，设1+X X3 X3F(x)=I n-2(x H-)=l n(l +x)-l n(l 一 x)-2(x H-),则1-x 3 32%4尸(x)=2,当x e(O,1)时，F(x)0,故/(X)在(0,1)上为增函数，则F(x)F(0)=0,因此对Vx e (0,1),JH x)2(x H-)成立；3(I I I)使/(x)攵 x +成立，X G(0,1),等价于 0 ,x e(0,1)；1-x 3尸(X)=-H l +/)=-,1-%2 _ /当k G 0,2时，F(x)0,函 数 在(0,1)上位增函数，F(x)F(0)=0,符合题意；k-9当k 2 时，令/(x)=0,x 0 4=-e(0,1),kX(0,*0)X。(才0,1)FTx)-0+尸（矛）极小值尸（x）0.（I ）求 x）的单调区间和极值；（I I）证明：若“X）存在零点，则“X）在 区 间 上 仅 有 一 个 零 点.【答案】（1）单调递减区间是（o,J T）,单调递增区间是（J T,+o o）；极小值);(2)证明详见解析.【解析】试题分析：本题主要考查导致的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题等基础知识，考查学生的分析问题解决问题的能力、转化能力、计算能力.第一间，先对丁，R 求导，令/(x)=0解 出x,将函数的定义域断开，列表，分析函数的单调性，所以由表格知当 尤=现 时，函数取得极小值，同时也是最小值；第二间，利用第一间的表，知了(、保)为函数的最人值，如里加数有枣士、,只需最小值竺 二 也M 0,从而解出小N e,下面再分情况分析函数有几个零点2试题解析：(I)由/1 x =万 一kin x,(k 0 )得由/(6=0解得X=/(X)与/(X)在区间(0,+M)上的情况如下:X9病尿(7,+x)/(X)-+/(X)/c(l-ln k)/所以，/(X)的单调递减区间是(0,、久)，单调递增区间是(,+8)：/1)在=4 k处取得极小值/(Vfc)=*1丁).(I I)由(I)知，/(x)在区间(0,+oo)上的最小值为/(五)=处3地.因为/(x)存在零点，所以XlnA)o,从而火?e.当攵=e时，/(x)在区间(1,&)上单调递减，且/()=0,所以x=是/(外 在区间(1,上的唯一零点.当k e时，/(x)在区间(0,)上单调递减，且/=；。，/(J 7)=0,所以/(x)在区间(1,&上仅有一个零点.综上可知，若/(x)存在零点，则/(x)在区间(1,&上仅有一个零点.考点：导数的运算、利用导数判断函数的单调性、利用导数求函数的极值和最值、函数零点问题.3.(15年安徽理科)设函数/(x)=x 2-a x +b.(1)讨 论 函 数/(s i n x)在*,个内的单调性并判断有无极值，有极值时求出极值；(2)记人(x)=%2-即工+%,求 函 数|/(s i n x)-/s i n x,在(-多、)上的最大值D；(3)在(2)中，取%=%=0,求z =-会 满 足D W 1时 的 最 大 值。W：(1)/(Hili x)=ninJx-flhin x+/*=sin x(sin x-a)4fe,-/(win x),=(2sin x-a)co*x,-因为一y-x0.-22sin x2.aW-2 J w R时，两效;(sin x)总沟递增.无极值.肘.函数/(.in外单潮递减.无极值.对T-2a2./输 左)内存在唯一的小,使得2sin%也-袅 漏 东L函数 in x)单因递减；极 八)函数8inx)单调递增.因 此.-2U NM-4|W|a-nM|4|6-6M|v当 i)3%)o 畴 取父公子.等号成立.当(o-)(6-4)0)(x+个(1)求/(x)的定义域，并讨论/(x)的单调性；(2)若=4 0 0,求 元)在(0,+8)内的极值。r【答案】(1)递增区间是(-r,r);递减区间为(-8，一 Q 和(r,+)；(2)极大值为100；无极小值.【解析】试题分析：(I)由题意可知x+r工0即xw-尸，即可求出/(x)的定义域；又/(X)=a(x +)、_ 2 (x+r)=a(G j),。Oj 0即可求出函数的单调区间；(x+r)4(x+r)4(II)由(I)可知/(x)在(O：+oc)内的极大值为f&)=/r =；=100，/(xV jS(0：4 0,0(x+尸)(x+r)令 fx)0;=xe(r:r)令 fx)xe(Y C：r)或(尸：+oc)/(x)的单调递噌区间为(-/),单调递减区间为(7C尸)和(L+H)(H)由(I)可知/(x)在(0,+8)内的极大值为/)=%=1004r 4r/(x)在(0,+8)内无极小值；所以/(x)在(0,+8)内极大值为100,无极小值.考点：1.导数在函数单调性中的应用；2.函数的极值.5.(15年 福 建 理 科)若 定 义 在R上的函数/(x)满足/(0)=7 ,其导函数/(x)满足/(x)Al,则下列结论中一定错误的是()【答案】C【解析】试题分析：由已知条件，构造函数g(x)=f(x)-H,则g(x)=/(x)-k 0,故函数g(x)在K上单调述噌，且 一 0,故冢_)g(0),所以/(_)-1,/(),所以结论中一定k l k-l k-1 k-1 k-Y k-l错误的是C,选 项D不确定；构造函数贝IJ(x)=/(x)-l 0,所以函数/i(x)在&上单调展噌，且2 0,所以坂，)网0)，即()一(一1，选 项A,B无法判断，故 选C.考点：函数与导数.6.(15 年 福 建 理 科)已知函数f(x)=ln(l+x),g(x)=5(k R),(I)证明：当x0时，f(x)x；(H)证明:当0,使得对任意xi(0,/),恒 有 心)8(外；(III)确定k的所以可能取值，使得存在f 0,对任意的行(0,t),恒有|f(x)-g(x)|/.【答案】(I)详 见 解 析;(II)详 见 解 析;(III)W.【解析】试题分析：(I)构造函数F(x)=f(x)-x=ln(l+x)-x,x?(0,),只需求值域的右端点并和。比较即可;(II)构造函数 G(x)=Rx)-g(x)=ln(l+x)-伍 x?(0,)，即 G(x)0,求导得G x)=，-k-fcc+(l-k)1+x,利用导数研究函数G(x)的形状和最值，证明当上 0,使得 G(x)O 即可；(I I I)由(I)知,当 左1 时，对 于 x 违(0,+),g(x)x f(x),故g(x)f(x),则 不 等 式|f(x)-g(x)|x 2 变 形 为 k x-l n(l+x)x 2,构 造 函 数M(x)=k x-l n(l+x)-2,x祖o,+),只 需 说 明M(x)0,易 发 现 函 数M(x)在x l(oJ-2+的 2)+8(k-D)递 增,而M(O)=O,故不存在；当女 0,使 得 对 任 意 的 任 意 的 灯(0,X。),恒 有f(x)g(x),此时不等式变形为l n(l+x)-k x x2,构 造 N(x)=l n(l+x)-k x-道0,+),易 发 现 函 数 N(x)在x l(0,一 伏+2)+J(k +2)2 +8(1-k)递增,而N(O)=。，不满足题意；当=1时，代入证4明即可.试 题 解 析：解 法 一：(1)令 F(x)=f(x)-x =l n(l+x)-x,x?(0,),则 有1 yFx)=-1 =-1+x 1+x当x?(0,),尸心0 O 0寸，F(x)0时，f(x)0,所以G(x)在 0,+)上单调递增，G(x)G(0)=0故对任意正实数x 0均满足题意.当 0 左0.k k取x 0=L-1,对 任 意 灯(0,x。)，恒 有GQ)0，所 以G(x)在 O,xo)上 单 调 递 增,kG(x)G(0)=0,即f(x)g(x).综上，当女 0,使得对任意的x i (0,5),恒有f(x)g(x).(3)当&1 时，由(1)知，对 于 X违(0,+),g(x)xf(x),故 g(x)f(x),|f(x)-g(x)|=g(x)-/(x)=kx-ln(l+x),令 M(x)=kx-ln(l+x)-x2,xi5 0,+),则 有泳.1 c -2x2+(k-2)x+k-1=k-2x=-,+x 1+x故当 x i(o J-2+J(k-2)2+8(k-l)时，乂 匕)o,M(x)在40,Ht V(k-2)+8(+-1)上单调递增，故 M(x)M(0)=0,即|f(x)-g(x)|x2，所以4满足题意的t不存在.当女0,使得对任意的任意的xi(0,与)，恒有幻0 8(口.此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)=ln(l+x)-kx,令 N(x)=ln(l+x)-kx-x2,x 道 0,+),则 有M(x)1 ,c-2x2-(k+2)x-k+1-K -2x=-1+x+xi 时N%c)0,M(x)在0,一 伏+2)+J(k+2)2 +8(1-kj上单调递增,故N(x)N(0)=0和f(x)-g(x)/,记4-(k+2)+J(k+2)2+8(l-k)x0与-中较小的为x,4则当x?(0,叫 时，恒 有 由 尤)g(x)|f,故满足题意的t不存在.当=1,由(1)知，当x遐0,+),|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-ln(l+x),i-2r2-r令H(x)=x-l n(l+x)-祖0,+),则有H*x)=l-2x=-1+x 1+x当x 0时，H)0,所以H(x)在0,+)上单调递减，故H(x)0时，恒有g(x)|1 时，由(1)知，对 于 x违(0,+),g(x)x f(x),故|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=kx-l n(l+x)k x-x =(k-l)x ,令(k-l)x/,解 得o x1时，对于x?(0,左1)恒有g(x)|尤2,所以满足题意的t不存在.k+1当1时，取 占=三，从而占0,使得任意x i (0,.),恒 有f(x)Z X Ax =g(x).此时|f(x)-g(x)|=f(x)-g(x)(K -k)x =1 _ x,令 解得 0 xx2,记X。与 手 中 较 小 的 为 玉，则当x?(0,玉)时，恒 有|f(x)g(x)x2,故满足题意的t不存在.当女=1,由(1)知，当x违(0,+),|f(x)-g(x)|=g(x)-f(x)=x-l n(l+x),i _ _ 7 r2 Y令 M(x)=x-l n(l +x)-x 2,x e 0,+oo),则有 M(x)=l-2x-:-1+x 1+x当x 0时，M丈x)0,所以M(x)在 0,+oo)上单调递减，故M(x)0时,恒 有|f(x)-g(x)|/,此时，任意实数t满足题意综 上,k=.考点：导数的综合应用._ J T7.(15年 福 建 文 科)“对任意x e(0,),Z s i nx c os x vx”是“人 1 ”的()A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充 分 必 要 条 件D.既不充分也不必要条件【答案】Bt解析】试题分析：当 k l 时，ksin x c os x =-s i nZ.v.构造函数 f (x)=：s i n 贝！Jf(x)=/c c os 2 x-l 0.故/1(x)在x w (0.)单调递增，故f(x)f G)=-q v O，则,s i n x c os x X s 当上=1时，不等式k s i nx c os x v x等价于gs i nl x vx,构造函数g(x)=-s i n 2 x-x,贝IJ g(x)=c os 2 x-l v 0,故g(x)在x w Q()递 增,故g(x)g(g)=-v 0,则s i n x c os x x.综上所述，”对任意.v (0=)，ks i n x c os x xv是 k 1 的必要不充分条件，选B.k.、s i n2 x l 时，f(x)1,当x(1,/)时，恒有/(x)Z(x 1).【答案】(I)，乎)；(I I)详见解析：(I I I)(8,1).【解析】一丫2 I V-I 1试题分析：(I)求导函数r(x)=:,解不等 式/(幻0并与定义域求交集，得函数/(力 的单调递增区间；(I I)构造函数F(x)=J(x)-(x-1),x e(l,+oo).欲证明/(x)1满足题意；当&1时，对于xl,有/(x)x -l&(x -1),贝 从而不存在X l满足题意；当Z l,当x e(l,X o)时G(x)0 即可.试题解析：(I)/,(x)=-x +l=,x e(0,+oo).由/(x)0得1,解得0 x 0 2故/(x)的单调递增区间是0,匕F .(I I)令F(x)=/(x)-(x-l),x e(0,+oo).则有 F(x)=i _：x2.当x e(l,+oo)时，F(x)l 时，F(x)F(l)=0,即当xl 时，/(x)1时，对于xl ,有/(%)8一1 女(苫一1),则/(工)1满足题意.当女 1 时，令G(x)=(x-l),x e(0,+oo),，/、1 x +(1 k)x +则有 G(x)=x+-k =-.X X由 G(x)=0 得，公+(1 k)x +i =o-k-J(-k 2+4-k+J(l-k 2+4解得x,=-a/1.当(1,)时.，G(x)0,故G(x)在 L x?)内单调递增.从而当彳(1,)时，G(x)G(l)=0,即/(x)Z(x 1),综上，左的取值范围是(-0 0,1).考点：导数的综合应用.9.(15年 新 课 标1理 科)设 函 数/(x)=e，(2x-l)-ax+a,其 中 若 存 在 唯 一的 整 数x。，使 得/(x 0)0,则。的 取 值 范 围 是()A.-7 1)B.弋，-)C.-)D.2，1)【答 案】D【解 析】设且()=/(2-1),y=ax-a,由 题 知 存 在 唯 一 的 整 数 修，使 得g(Q在 直 线j =ax-a的下方.因为 g(x)=/(2 x+l),所以当 x -g 时，g,(x)-(时，g )0,所以当 x=-=时,一 1g(x)l辿=-2 4，当 x=0 时，g(0)1,g(l)=3e 0,直线 j =ax-a 恒 过(1Q)斜率且 a,故-ag(0)=-l,a且g(1)=3e 2 a a,解 得 一 三故选 D.2e10.(15年 新 课 标2理科)设函数f，(x)是奇函数/(x)(x R)的导函数，f(-D=0,当x0时，xf x)/(x)0成立的x的取值范围是(A)(-OO.-I)U(OJ)(C)(-oc,-l)U(-l,0)(T,o)u a,+8)帚 l)U(1,+8)【答案】A【解析】记函数 g(x)=1,则 g(x)=Ll/G),因为当 x 0 时，xfx)-f(x)0时，g(x)0,所以g(x)在(0,+oo)单调递减；又因为函数/(x)(x w R)是奇函 数,故 函 数g(x)是 偶 函 数,所 以g(x)在(-8,0)单调递减，且g(-l)=g(l)=0 .当0 x 0,则/(x)0；当 x 1 时，g(x)0成立的工的取值范围是(-oo,-l)U(0,l),故选 A.1 1.(1 5年 新 课 标2理 科)设函数 幻=6*+/_蛆。(1)证 明:/(x)在(-8,0)单调递减，在(0,+0 0)单调递增；(2)若 对 于 任 意 为-1,1,都有|/区)-/()生-1 ,求 加 的取值范围。解：(1 )因为/(x)e=-mx,所以/*(x)-2x-加 /-m:e*-2 2 0在火上恒或立，所以/(x)=加。=-2x-阳在及上单调递增/而广(0)0，所以x 0时，r(x)O s所以x 0时，Z(x)0 时，g(刑)0,即/(1)/(T)。所以 a 0 时，g(刑)0 即/(I)0 时，|/(x j)-/(七)%/G)-1 -m 4 0-l=0 m 1 *当m 0时，|/(x j)-/(巧)|/(-I)-1 加，0-*-(-m)$0-1 =一 加 1 =-1 用 a=8.考点：导数的儿何意义.1 3.(1 5年 新 课 标2文 科)已 知/(x)=ln x +a(l-x).(I)讨论/(x)的单调性；(I I)当/(x)有最大值,且最大值大于2。-2时，求a的取值范围.【答案】a WO,x)在(0,+8)是单调递增；。0,耳 在(0,；|单调递增,在(,+8)单调递减；(I I)(0,1).【解析】试题分析：由r(x)=工一0 :可分a =0 ：a 0两种情况来讨论；(I I)由知当a M 0时f (x)在(0：+8)x无最大值:当 a 0 时 f (x)最大值为 j=I n a +a 1.因此 j 2 a 2 I n a +a 1 0.令g(a)=ln a +a 1 则 8(。在(0：+8)是噌函数当0 a l时:g(a)时g(a)0：因此 a 的取值范围是(0/).试题解析：解：(I)/(x)的定义域为(0*+8)J(x)=工-X若a 4 0则r 0 J(x)在(0,+8)是单调逑噌；X若a 0则 当x ef 时 广(x)0 ：当x e；L+J时x)0时f(x)在x=L取得最大值最大值为af 、=-ln a+a 1.因此/j j 2 a 2 O l n a +a-1 0.令g(a)=ln a +z z 1：则g(o；l在(0：卡)是噌函数:g(l)=0：于是:当0 v a l时:g(a)1时g(a)0：因 此a的取值范围是(0 1).门、门、:P考点：导数的应用.1 4.(1 5年陕西理科)对二次函数/(x)=a x 2+b x +c (a为非零常数)，四位同学分别给出下列结论，其中有且仅有一个结论是错误的，则错误的结论是()A.-1是/(x)的零点 B.1是/(x)的极值点C.3是/(x)的极值 D.点(2,8)在曲线y =/(x)上【答案】A-1试题分析I若选项A错误时，选项B、C、D正确，r(x)=2 a x+4,因为1是/(x)的极值点，3是x)K=3 0 f i 0 fb=2。.、叫，解得+J因为点。在曲2/(x)上叱4 o+2 b+c =8,即4。+2乂(2。)+。+3 =8,解得：a=5,所以b =1 0,c =8,所以/(X)=5X3-10X+8,因为/(-l)=5 x(-lf-1 0 x(-l)+8=2 3 =0,所以-1 不是/(x)的零点，所以选项A错误，选项B、C、D正确，故选A.考点：1、函数的零点；2、利用导数研究函数的极值.1 5.(1 5年 陕 西 理 科)设,(x)是等比数列1,x,2,，/的各项和，其中x 0,H.G N ,n 2.(I)证 明：函 数F,(x)=/“(x)-2在 内 有 且 仅 有 一 个 零 点(记 为x.)，且Xn=；+；X：；(I I)设有一个与上述等比数列的首项、末项、项数分别相同的等差数列，其各项和为g.(x)，比较 0(x)与g.(x)的大小，并加以证明.【答案】(I)证明见解析；(I I)当 X=1 时，f(x)=g(x),当 XW1 时，fn(x)0,2所以工(x)在 内 至 少 存 在 一 个 零 点X”.、2 J又工(X)=1 +2X+WX T o,故 在 内 单 调 递 增，所以工(x)在,1)内有且仅有一个零点x.X 1 1 1因为血是工(X)的零点，所以工(x,J=0,即一-2=0,故x“=+x,+Ll-x.2 2(n+V(+xn(I D解法一：由题设，一 为 L设力(X)=力(X)-g“(x)=1 +x +_?+x-i-L,x 0.当 X=1 时，力(x)=g“(x)n(n+当 x w l 时，h(x)=1 +2 x +-nx-.若0 x -+2-+尸 红-心 =0.2 2 2若x l ,如)尸+2尸+“小一地却尸=止1尸 一 山 辿b=0.2 2 2所以%(x)在(0,1)上递增，在(L+o o)上递减,所以心)九(1)=0,即(x)g“(x).综上所述,当X=1时,以x)=g.(x)；当时力(x)0.当 x =l时,fn(x)=gn(x)当X H 1时，用数学归纳法可以证明f(x)g,(x).当 =2 时，/2(x)-g2(x)=-(l-x)2 0,所以力(幻g 2(x)成匕假设=女(女2 2)时,不 等 式 成 立,即力(x)+1时,+1,+|(k+l(l+xk 2xk+(k+lxk+k+人+1(乃=。*)+0),则h：(x)=k(k+)xk k(k+1)x，=女伙+1)x*-1(x-1)所以当0 x L 4(x)1,h(x)0 ,hk(x)在(l,+o o)上递增.所以 4 (x)%(1)=0 ,从而 g k+i (x)-一 冒-故A+i(X)g z i (x)-即n=k+l,不等式也成立所以，对于一切N 2的整数，都有工,(x)g,(x).解法三：由已知，记等差数列为 4 ,等比数列为包,k =1,2,+L则6 =仇=1 ,%+1=*=x,所以%=l+(A：-l).l(2 A:n),bk=xk-(2k 0(2 k 0,n-+l l.若0 x l,x-k+l 1,m/(x)l,x-k+1,/n；(x)0,从而mk(x)在(0,1)上递减，4(x)在(1,+o o)上递增.所以mk(x)mk(1)=0,所以当 x 0且x w 1 时,ak bk(2kn),y.ai=b an+=bn+x,故 f(x)gn(x)综上所述,当x =l时,(x)=g.(x);当时力(x)x =-l,/(-!)=-.函数p=在其极值点处的切姨方程为v=-i 4 考点：导数的几何意义.17.(15年 天 津 理 科)已 知 函 数 x)=n x x ,x e R,其中n eN*,n N 2.讨论/(%)的单调性；(I I)设曲线y =/(x)与x轴正半轴的交点为P，曲线在点P处的切线方程为y =g(x),求证：对于任意的正实数x,都有/(x)W g(x)；(川)若关于x的方程x)=a(a为实数)有两个正实根如x2,求证：|%-西|二二+21-n【答案】(】)当为奇数时，/(X)在(一8,-1),(1,+0 0)上单调递减，在(一 1,1)内单调递增；当”为偶数时，/(X)在(一0 0,-1)上单调递增，/(X)在(1,+8)上单调递减.(I I)见解析；(I I I)见解析.【解析】试题分析：二，求导，分%为奇数与偶数讨论其导数的符号及函数单调性即可：设点尸的坐标为(而,0)，求出面的值，构造函数F(x)=/(x)-g(x),讨论函额?(为)=力 -8(外的单调性，可得尸(x)M尸(而)=0,即可证出结论成立；(I I I)设方程g(x)=a的根为勺，可证电工，设曲线y =/(x)在原点处的切券方程为1y =,设方程为(x)=&的根为x1可得4州，由此可得马-X 电-x；=:士一+而，由”的取值恒围，可证1-结论成立.试题解析：由/(x)=x-x,可得，其中 e N*且2 2,下面分两种情况讨论：(1)当“为奇数时：令/(x)=O，解得 x =l 或 x =-l,当x变化时，:(x),/(x)的变化情况如下表：X(-0 0,-1)(-1,1)(l,+8)/(X)+/U)所以，/(X)在(-8,-1),(1,+8)上单调递减，在 内 单 调 递 增.当为偶数时，当/(x)O,即X 1时,函 数f(x)单调递增;当/(x)l时，函数/(X)单调递减.所以，尤)在(-8,-1)上单调递增,f(x)在(l,+oo)上单调递减.1(I I)证明：设点尸的坐标为(/,0),则/=百，/(%)=一2,曲线y=/(x)在点p处的切线方程为 y=/(%)(x-x0),即 g(x)=/(Xo)(x-x 0),令 F(x)=f(x)一 g(x),即 F(x)=f(x)一/(x 0)(x -x。)，贝 ij 尸(x)=f(x)-fx0)由于广(x)=在(o,+8)上单调递减，故F(x)在(0,+8)上单调递减，又因为F(x 0)=0,所以当 x G(O,xo)时，F6)0,当 x w(x0,+oo)时,Fx0)0 ,所以尸(x)在(0,%)内单调递增，在(X0,+0 0)内单调递减，所以对任意的正实数x都有F(x)F(x0)=0 ,即对任意的正实数x,都有g(x).(I l l)证明:不妨设 X1 x2,由(H)知 g(x)=(w-2)(x-Xo),设方程 g(x)=a 的根为，可得犬2 =-2方+拓.，当 22时，g(x)在(一 8,+8)上单调递减，又由(I I)知n-ng*2)2 /(x2)=a=g(x；),u j 得 了2 4 x2-类似的，设曲线y=/(x)在原点处的切线方程为y=/?(x),可得a(x)=x,当X E (0,4-0 0),f(x)-h(x)=-xn 0,即对任意W(0,+oo),f(x)h(x).设方程/(x)=a的根为x；,可得尤|=色，因为(x)=x在(-叫+8)上单调递增，且&(X；)=/(再)%(再)，因此X；和由此可,用1 勺 一=+而*1因为与之 2,所以=(1 +1)*2 1+C；_ =1+%1 =%,故2 之%*-i =x 0,所 以,2 -1|J +2 .考点：1.导数的运算；2.导数的几何意义；3.利用导数研究函数性质、证明不等式.1 8.(1 5年天津文科)已知函数/3 =以1 1 1%,%(0,+8)淇中0,/(x)NO成立，求。的取值范围.解：(I)/(x)=l n(x +l)+G(x2-x),定义域为(-1,+0 0).1 .a(2 x l)(x +l)+l 2ax2+ax+-af(x)=-+a(2x-1)=-=-:-,X+l X+l X+1设g(工)=2(7%2+QX+1-Q,当a =0时,g(x)=l,/(x)=-L 0,函数“X)在(1,+8)为增函数，无极值点.X+1当Q 0 时 =a2-Sa(l-a)=9a2 8。,Q若时0,fr(x)0,函数/(x)在(1,+8)为增函数，无极值点.Q若时(),设g(X)=O的两个不相等的实数根玉,超，且玉 0 ,则1 X W 0,r(x)0,f(x)单调递增；当 X (X,x2),g(x)0,/(x)0,r(x)0,/(x)单调递增.因此此时函数/(X)有两个极值点；当。(),但g(1)=1 0,X1 -l 0 J(x)0 J(x)单调递增;当 X (2,+0 0),g(x)0,/(X)0,/(x)单调递减.所以函数只有一个极值点。O O综上可知当0 W。4 时/(x)的无极值点；当a 0,符合题意;Q当一时，(0)0,x2 0 ,符合题意；当。1时，8(0)0,所以函数/(x)在(0,)单调递减，而/(0)=0，则当x e(0)2)时，/(x)0,不符合题意；1 V当。0,x+1 1+xh(x)在(0,+oo)单调递增,因此当x w(0,+oo)时h(x)/i(0)=0,l n(x +1)0,于是/(x)1 -工时 ax2+(1 -a)x 0，a此时/(x)0,不符合题意.综上所述，a的取值范围是0 Wa.另解：(I )f(x)=l n(x +1)+a(x2-x),定义域为(T,+8),/、1 -1、t z(2 x-1)(x 4-1)+1 2ax2+ax+l-af(1)=r +(2 x 1)=-=-，x +1 x +1 x +1当a =0时，r(x)=-l 0,函数/(x)在(一1,+oo)为增函数，无极值点.x +1设g(x)=2ax2+ax+-a,g(-Y)=1,A=t z2-8 a(l-a)=9 a2-8 a，当a w 0时，根据二次函数的图像和性质可知g(x)=0的根的个数就是函数/(x)极值点的个数.Q若 A=Q(9 8)0,即 0。0,/(1)2 0 函数在(1,+8)为增函数，无极值点.Q若=。(9。-8)0,即或。0,而当a 0此时方程g(x)=0在(-1,+8)只有一个实数根，此时函数/(%)只有一个极值点；Q当a 1时方程g(x)=0在(-1,+8)都有两个不相等的实数根，此时函数/(x)有两个极值点；Q综上可知当0 4 a 4 时/(x)的极值点个数为0；当a 时，/(x)的极值点个数为2.9(H )设函数，(x)=l n(x +l)+a(x 2-x),V x 0 ,都有 f(x)NO成立.即 l n(x +l)+a(x 2-x)Z 0当x =l时，I n 2 2 0恒成立；当了1时-，x2-x0,1 n A 1)+.20；x -x当0 x l 时，x2-x 0均有l n(x +l)l时，哗W-e(0,+oo),则只需。2 0；x-x x-1当 O x (-0,-1).则需1 +0,都有/(x)2 0成立，只需O K a W l即可，故所求的取值范围是O W a W L另解：设函数/(x)=l n(x+l)+a(x 2-x),/(0)=0,要使V x 0,都有/(x)2 0成立,只需函数函数/(x)在(0,+8)上单调递增即可,于是只需W x 0,1)2 0成立,x+1当x,时a 2-2(x +l)(2x-l)2，令219。，g(f)=-记eF O),11 1?I则aNO；当x =时/(5)=0；当0 x g(-l)=-=1,r(r+3)-1(-1+3)则 a l,于是 04a l.又当a l时，8(0)0,所以函数/(x)在(0,)单调递减，而 0)=0，则当彳(0,)时，/(x)0,不符合题意；1 Y当 a 0,x+1 1+xh(x)在(0,+o o)单调递增,因此当 x G(0,4-00)时 h(x)/?(0)=0,l n(x +1)0,于是/(x)1 -工时 ax2+(1-a)x 0,a此时/(x)0,不符合题意.综上所述，a的取值范围是0 4。41.评析：求解此类问题往往从三个角度求解：一是直接求解，通过对参数a的讨论来研究函数的单调性，进一步确定参数的取值范围；二是分离参数法，求相应函数的最值或取值范围以达到解决问题的目的；三是凭借函数单调性确定参数的取值范围，然后对参数取值范围以外的部分进行分析验证其不符合题意，即可确定所求.20.(15年江苏)某山区外围有两条相互垂直的直线型公路，为进一步改善山区的交通现状，计划修建一条连接两条公路的山区边界的直线型公路，记两条相互垂直的公路为乙，4,山区边界曲线为C,计划修建的公路为/,如图所示，M,N为C的两个端点，测得点M到/,乙的距离分别为5千米和40千米，点N到。/2的距离分别为20千米和2.5千米，以乙，/2所在的直线分别为x,y轴，建立平面直角坐标系X。)，假设曲线C符合函数 =(其x +b中a,b为常数)模型.O i2 x(1)求a,b的值；(2)设公路/与曲线C相切于P点，P的横坐标为r.请 写 出 公 路/长 度 的 函 数 解 析 式，并写出其定义域；当r为何值时，公路/的长度最短？求出最短长度.【答案】(1)a =1000,=0;(2)f)=J军+孑2,定义域为5,20,f =10&J(f)1nM =15 百 阡 米【解析】试题分析：(1)由题意得函数J =过点 40),(20,25),列方程组就可解出a,方的值(2)求公路/长度的函数解析式/)，就是求出直线，与x,y轴交点，再利用两点间距离公式计算即可，关隆是利用导数几何意义求出直线/方程,再根据M,N为C的两个端点的限制条件得定义域为总20而函数解析式f (工)解析式根式内部分单独求导求最值，注意列表说明函数变化趋势.学科随试题解析：由题意知，点M,N的坐标分别为1：5 401,(20,2.5).l y-=40将其分别代入r =，得:$+,x*+b a.400+一7=1000解得Vi =0(2)由 知，丁 =坐(5W2 0),则点P的坐标为j f,詈,x 7设在点P处的切线/交X，y轴分别于A，B j l y =3詈，Xe附、工 口 1000 2000.、./B A3r 八：口 ;3000：贝 的 方 程 为p 2=-(x r)，由此付A .0 1,B 0：,t 厂 -X.J故“T3+*2三尸”刈.设g(l)=J+t当则g，=2-A*.令g，(。=0,解得f =i o诲.当r e(5O 0)时，g (r)0,g(r)是噌函敬.从而，当r =10j 5时，函数g!0有极小值，也是最小值，所以；(%注=300,此时了(。工注:丫退.答：当r =1 0 0时，公路 的长度最短，最短长度为15 4千米.考点：利用导数求函数最值，导数几何意义21.（15年 江 苏）已知函数年（1）试讨论/（X）的单调性；（2）若6=。一。（实数c是a与无关的常数），当函数/（x）有三个不同的零点时，a3 3的取值范围恰好是（-8,-3）U但）%,+8），求c的值.【答案】（1）当4=0时，/（X）在（-8,+8）上单调递增；当4 0时，/（X）在 8,-等），（0,+8）上单调递增，在（一年上单调递减：（2 、,2、当。0,f 这-0-。0以及40,3/-:一。0,0解集情况，令g（a）=*苏-c-a,则当a=-3时g（-3）0且当a=:时g（$2 0,因此确定c=l,然后再利用函数因式分解脸证满足题意试题解析：/（x）=3x2+2 ax,令/（x）=0,解得再=0,x、=一年.6 3当a=0时，因为f（x）=3x：0 （x#0）,所 以 函 数 在（一不+8）上单调递噌；当a 0时，娟 YM；U（0收）时,f（x）0,xe-黑0 ；时，f（x）、.，）所以函数ffx|在一 彳-?；，（。+工）上单调递噌，在 一：0；上单调递减，13 J当a 0,xe 0 丁 ；时，/（x）0,所以函数 XI在I-匕0)，咛+X；上单调递噌，在上单调递减.(2)由(1)知，函 数 x的两个极值为0)=b,f士/+b,则函数：/(x)有三个零点等价于/(0)-fb-a3+b；0,04；A n或-a b027a 00 b0 时，3 a-a+c 0 或当 a 0 时，a:-a+cQ.27 27设g(a)=W/-a +c，因 为 函 数 有 三 个 零 点 时，a的取值范围恰好是(-xs-3)U L，+x,则在1 f-3)上g(a)0均恒成立,从而gf-3)=c-lW0,且g：；=c-12 0,因此c=l.此时，/(x)=x3+ax:+l-a=(x+l)l x:+(a-l)x+l-a I,因函数有三个零点，则x：+(a-1)x+1-a=0有两个异于一 1的不等实根,所以 A=(a-l1-4(l-a)=f+2 a-30,且(-万-(a-l)+l-a H 0,考点：利用导数求函数单调性、极值、函数零点