2018年数学中考第一轮复习讲义：2018年数学中考第一轮复习讲义：第21讲相似形.pdf

第二十一讲相似形(-)1.成比例线段在四条线段中，如果其中两条线段的比 另外两条线段的比，那么这四条线段叫做成比例线段.2.比例线段的基本性质端=则；当6=c时，,那 么6是a,d的比例中项.3.线段的黄金分割AC点C把线段45分成两条线段 和B C S O B 0,如果1是线段48和的比例中项，且其=AD然 迪 三 比0.6 1 8,则。点 叫 做 线 段 的.4.平行线分线段成比例定理，三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例。(-)1.相似图形定义：形状相同的图形称为相似图形.相似图形的性质：对应角，对 应 边 的 比.2.相似三角形的判定(1)如果一个三角形的两角分别与另一个三角形的两角对应，那么这两个三角形相似；(2)如果一个三角形的两条边与另一个三角形的两条边对应,且夹角,那么这两个三角形相似；(3)如果一个三角形的三条边和另一个三角形的三条边对应,那么这两个三角形相似；(4)平行于三角形一边的直线和其他两边(或延长线)相交,所构成的三角形与原三角形3.相似三角形的性质(1)相 似 三 角 形 周 长 的 比 等 于,(2)相 似 三 角 形 面 积 的 比 等 于,(3)相似三角形对应高、对应角平分线、对应中线的比等于4.相似多边形的性质(1)相 似 多 边 形 周 长 的 比 等 于,(2)相 似 多 边 形 面 积 的 比 等 于,5.位似图形(1)定义两个多边形不仅相似，而且每组对应顶点所在直线相交于一点，这个点叫做对 应 边 的 比 叫 做.位 似 是 一 种 特 殊 的 相 似.(2)性质(1)位似图形上的任意一对对应点到位似中心的距离的比等于;(2)位似图形对应点的连线或延长线相交于 点；(3)位 似 图 形 对 应 边；(4)位 似 图 形 对 应 角,1.(2 0 1 7 湖北随州)在A A B C 在，A B=6,A C=5,点 D 在边A B 上，且 A D=2,点 E在边A C 上，当 A E=时，以A、D、E为顶点的三角形与a A B C 相似.2.(2 0 1 7 甘肃天水)如图，路灯距离地面8 米，身 高 1.6米的小明站在距离灯的底部(点0)2 0 米的A处，则小明的影子A M 长为 米.3.(2 0 1 7 山东烟台)如图，在直角坐标系中，每个小方格的边长均为1,A A O B 与O B 是以原点0为位似中心的位似图形，且相似比为3：2,点 A,B 都在格点上，则点B的坐4.（2 0 1 6巴 中）如 图，点D、E分 别 为4 A B C的 边A B、A C上 的 中 点，则4 A D E的 面 积 与 四 边 形B C E D的 面 积 的 比 为（）5.（2 0 1 6烟 台）如 图，在 平 面 直 角 坐 标 中，正 方 形A B C D与 正 方 形B E F G是以原 点。为 位 似 中 心 的 位 似 图 形，且 相 似 比 为 工，点A,B,E在x轴 上，若正36.（2 0 1 7.湖南怀化）如图，已知B C是。0的直径，点D为B C延长线上的一点，点A为圆上一点，且 A B=A D,A C=C D.（1）求证：A C DS/B A D；（2）求证：A D是。的切线.BD7.(2 0 1 7.江苏宿迁)如图，在a A B C 中，A B=A C,点 E在 边 B C 上 移 动(点 E不与点B,C重合)，满足N D E F=N B,且点D、F分别在边A B、A C .(1)求证：A B D E A C E F；(2)当点E移动到B C 的中点时，求证：F E 平分N D F C.析知识点一、平行线分线段成比例【例 1】（2 0 1 6 山东省济宁市 3分）如图，A B C D E F,A F 与 B E 相交于点G,且 A G=2,【考点】平行线分线段成比例.【分析】首先求出A D 的长度，然后根据平行线分线段成比例定理，列 出 比 例 式.编 即 可C E D F得到结论.【解答】解：V A G=2,G D=1,；.A D=3,；A B C D E F,故答案为：0.6.【变式】（2 0 1 5 浙 江 舟（2 0 1 5 福建宁德）如图，已知直线a b c,直线m,n与 a,b,c分别交于点 A,C,E,B,D,F,若 A C=4,C E=6,B D=3,则 D F 的 值 是（）【答案】B.【分析】根据平行线分线段成比例即可得.【解析 1 直线 a b c,A C-4 C E=6 B D-3,-=-即一=-，解得 D F=4.5.故CE DF 6 DF选 B.【点评】考查平行线分线段成比例，能够从图中找到对应线段是解题的关键。知识点二、相似三角形及其判定【例 2】(2 01 7山东聊城)如图，。是A A B C 的外接圆，。点在B C 边上，N B A C 的平分线交于点D,连接B D、C D,过点D作 B C 的平行线，与 A B 的延长线相交于点P.(1)求证：PD 是。的切线；(2)求证：A P B D A D C A；(3)当 A B=6,A C=8 时，求线段PB 的长.【考点】S 9：相似三角形的判定与性质；ME：切线的判定与性质.【分析】(1)由直径所对的圆周角为直角得到N B A C 为直角，再由A D 为角平分线，得到一对角相等，根据同弧所对的圆心角等于圆周角的2倍及等量代换确定出N D 0 C 为直角，与平行线中的一条垂直，与另一条也垂直得到0D 与 PD 垂直，即可得证；(2)由 PD 与 B C 平行，得到一对同位角相等，再由同弧所对的圆周角相等及等量代换得到N P=N A C D,根据同角的补角相等得到一对角相等,利用两对角相等的三角形相似即可得证；(3)由三角形A B C 为直角三角形，利用勾股定理求出B C 的长，再由0D 垂直平分B C,得到D B=D C,根 据(2)的相似，得比例，求出所求即可.【解答】(1)证明：.圆心0 在 B C 上，A B C 是圆0 的直径，A ZB A C=9 0,连接0D,：A D 平分N B A C,.,.ZB A C=2 ZD A C,VZD 0C=2 ZD A C,N D 0C=N B A C=9 0,即 OD J _ B C,.,PDBC,OD_LPD,0D为圆。的半径，；PD是圆0的切线;(2)证明：VPD/7BC,/.ZP=ZABC,VZABC=ZADC,NP=NADC,VZPBD+ZABD=180,ZACD+ZABD=180,NPBD=NACD,.,.PBD-ADCA；(3)解：:ABC为直角三角形，.BC2=AB2+AC2=62+82=100,.BC=10,.0D垂直平分BC,ADB=DC,BC为圆0的直径，A ZBDC=90,在 RtZXDBC 中，DB?+DC2=BC?,BP 2DC2=BC2=100,DC=DB=5 方VAPBDADCA,.PB_BD 记 一 记JPB=DC-BD-W2X5_25I、前 8 T f6.(2 01 7四川眉山)如图，点E是正方形A B C D的边B C延长线上一点，连 结D E,过顶点B作B F_ LD E,垂足为F,B F分别交A C于H,交B C于G.(1)求 证:B G=D E；(2)若点G为C D的中点，求笑的值.【考点】S 9：相似三角形的判定与性质；K D：全等三角形的判定与性质；LE：正方形的性质.【分析】(1)由于B F L D E,所以N G FD=9 0,从而可知N C B G=/C D E,根据全等三角形的判定即可证明4 B C G丝ADCE,从而可知B G=D E；(2)设C G=1,从 而 知C G=C E=1,由勾股定理可知：D E=B G=V5 由易证 ABHS/C G H,所以 粤=2,从而可求出H G的长度，进而求出黑的值B G GF【解答】解：VB F1 D E,A ZG FD=9 0 ,V ZB C G=9 0,ZB G C=ZD G F,.,.ZC B G=ZC D E,在ABCG与ADCE中，r2CBG=ZCDE BC=CDZBCG=ZDCE.,.B C G A D C E(A S A),；.B G=D E,(2)设 C G=1,：G为 C D 的中点，；.G D=C G=L由 可 知:A B C G A D C E(A S A),.,.C G=C E=1,由勾股定理可知：D E=B G=V5 Vs i n ZC D E=CE GFDE GD)5VA B/C G,.A B H A C G H,.AB _BH_ 2,CG=GiTT,G H=代，J J.HG 5*GF3知识点三、相似三角形的性质【例 3】(2 01 7山东泰安)如图，四边形A B C D 中，A B=A C=A D,A C 平分N B A D,点 P 是 A C 延长线上一点，且 PD LA D.(1)证明：ZB D C=ZPD C；(2)若 A C 与 B D 相交于点E,A B=1,C E：C P=2：3,求 A E的长.【考点】S 9：相似三角形的判定与性质.【分析】(1)直接利用等腰三角形的性质结合互余的定义得出/B D C=N PD C；(2)首先过点C作 C MLPD 于点M,进而得出C PMS A P D,求出EC 的长即可得出答案.【解答】(1)证明：YAB二AD,A C平分NBAD,/.ACBD,NACD+NBDC=90,VAC=AD,ZACD=ZADC,.ZADC+ZBDC=90,.ZBD C=ZPDC；(2)解：过点C作CM LPD于点M,V ZB D C=ZPD C,ACE=CM,VZCM P=ZADP=90,Z P=Z P,/.CPM AAPD,设 CM=CE=x,V C E：CP=2：3,3,P O W ,2VAB=AD=AC=1,3万x|x+l解得：x=i,3故 AE=1-【变式】(2 01 7浙江衢州)如图，A B 为半圆。的直径，C为 B A 延长线上一点，C D 切半圆。于点D,连接0 D.作 B ELC D 于点E,交半圆0 于点F.已知C E=1 2,B E=9.(1)求 证:A C OD A C B E.(2)求半圆0 的半径r的长.【考点】S 9：相似三角形的判定与性质；MC：切线的性质.【分析】(1)由切线的性质和垂直的定义得出N E=9 0=Z C D 0,再由N C=N C,得出 C B E.(2)由勾股定理求出B C=7CE2+BE2=15(由相似三角形的性质得出比例式，即可得出答案.【解答】(1)证明：:C D 切半圆0 于点D,.C D OD,A ZC D 0=9 0 ,VB E1 C D,A ZE=9 0=ZC D O,X V Z C=Z C,/.C OD A C B E.(2)解:在 Rt A B EC 中,C E=1 2,B E=9,ABC=7CE2+BE2=15VACODACBE.OD _OC H n r _15-r*BEBC 1 丁 15 解得：厂萼.o知识点四、相似多边形与位似图形【例4】(2016 山东省东营市 3分)如 图，在平面直角坐标系中，已知点1(一3,6)、6(9,-3),以原点0为位似中心，相似比为:，把缩小，则点/的对应点的 坐 标 是()A.(-1,2)B.(-9,18)C.(-9,18)或(9,-18)D.(-1,2)或(1,-2)【知识点】相似三角形一一位似图形、位似变换【答案】D.【解析】方法一：和B,。关于原点位似，.ABOAA B。且%=U/i Af E 0E ,1 一1八 ，/八W=力=？,力 E=qAD=2,0E=-0D=l.：.Ar(-1,2).J AU UU J J o同理可得4 (1,-2).方法二：点4(-3,6)且相似比为;，二点的对应点H 的坐标是(-3 x 1,6x1),：,A(-1,2).:点 和 点(-1,2)关于原点。对称，(1,-2).故选择D【点拨】每对对应点的连线所在的直线都相交于一点的相似图形叫做位似图形.位似图形对应点到位似中心的距离比等于位似比（相似比）；在平面直角坐标系中，如果位似图形是以原点为位似中心，那么位似图形对应点的坐标比等于相似比.注意：本题中，/加以原点。为位似中心的图形有两个，所以本题答案有两解.【变式】（2015四川宜宾）如图，O A B 与OCD是以点0 为位似中心的位似图形，相似比为 1：2,Z0CD=9 0,CO=CD.若 B（1,0）,则点 C 的坐标为（）C.(V2,V2)D,(2,1)【答案】B.【分析】利用位似图形的位似比等于相似比，再利用坐标的特征，进而得出答案.【解析】VZ0AB=Z0CD=9 0o,AO=AB,CO=CD,等腰RtOAB与等腰RtaOCD是位似图形,1 1点 B 的坐标为（1,0）,，BO=1,则 AO=AB=2 一，；.A（，一），；等腰 RtOAB 与等腰2 2 2RtaOCD是位似图形,0 为位似中心,相似比为1：2,.点C 的坐标为：（1,1）.故选B.【点评】此题主要考查了位似图形的性质，利用位似比等于相似比是解题关键.知识点五、相似三角形的应用【例 51（2015贵州黔南州）如图是小明设计用手电来测量都匀南沙州古城墙高度的示意图，点 P 处放一水平的平面镜，光线从点A 出发经过平面镜反射后刚好射到古城墙C D 的顶端C处，已知AB_LBD,CDBD,且测得AB=1.2 米,BP=1.8米,PD=12米,那么该古城墙的高度是 米（平面镜的厚度忽略不计）.【答案】8.【分析】根据题意得到R t A A B P-R t A C D P,然后利用相似三角形的对应边的比相等列出比例式，求得答案即可【解析】由题意知：光线A P 与光线P C,Z A P B=Z C P D,A R t A A B P R t A C D P,BP PD1 7 x 1 7.-.C D-8 （米）.故答案为：8.1.8【点评】本题考查了相似三角形的应用，解题的关键是从实际问题中整理出相似三角形，难度不大.【变式】如图，某水平地面上建筑物的高度为A B,在点D和点F处分别竖立高是2米 的 C D 和 E F,两标杆相隔5 2 米，并且建筑物A B、标杆 C D 和 E F 在同一竖直平面内，从标杆C D 后退2米到点 G处，在 G处测得建筑物顶端A和标杆顶端C在同一条直线上；从标杆F E 后退4米到点H处，在 H处测得建筑物顶端A和标杆顶端E 在同一条直线上，则建筑物的高是 米.【答案】5 2.【解析】根据题意可得出CDGS/ABG,EFHS A B H,再根据相似三角形的对应边成比例即可得出结论：V A B 1 B H,C D 1 B H,E F B H,A B C D E F ,C D G s A B G ,A E F H s A B H.CD DG EF FHAB-DG+BD AB-FH +DF+BD-2224V C D=D G=E F=2 m,D F=5 0 m,F H=4 m,1 AB _2+BD!AB _4+50+BD-42，解得 B D=5 0.2+BD 54+BD2 2=-，解得A B=5 2 （米）.AB 2+50【典例解析】【例 题 1 （2 0 1 7 呼和浩特）如图,在a A B C D 中，Z B=3 0 ，A B=A C,0是两条对角线的交点,过点0作 A C 的垂线分别交边A D,B C 于点E,F,点 M是边A B 的一个三等分点，则A A O E 与【考点】S 9：相似三角形的判定与性质；L 5：平行四边形的性质.【分析】作 M H _ L B C 于 H,设 A B=A C=m,贝 U B M=,M H 二，根据平行四边形的性质求得 O A=O C=-1 A C=-1 n n,解直角三角形求得F C=争，然后根据A S A 证得A A O E 丝 C O F,证得A E=F C=,进一步求得0 E 二从而求得SAAO E=，作 A N _ L B C 于 N,根据等腰三角形的性质以及解直角三角形求得B C=V（进而求得B F=B C -F C=V 3 n3分别求得A A O E 与B M F 的面积，即可求得结论.【解答】解：设 A B=A C=m,则 B M=/,是两条对角线的交点,.O A=O C=2V Z B=3 0 ,A B=A C,N A C B=N B=3 0 ,V E F 1 A C,.,.c o s Z A C B=y ,即 c o s 3 0 =丁FCV A E/F C,AZEAC=ZFCA,X V ZAOE=ZCOF,AO=CO,.AOEACOF,AE=FC二.OE=.,SAA oE=-)AO E=ix-i-Jx 乌=落2,2 _Z Z_ I 6|24作 ANBC 于 N,VAB=AC,/.BN=CN=BC,2 12 2 I.,.BC=Vjn,.BF=BC-FC=Vn-作 MH _LBC 于 H,V ZB=30，【例题2】（2017内江）如图，正方形ABCD中，B C=2,点M是边AB的中点，连 接DM,DM与AC交于点P,点E在DC上，点F在DP上，且NDFE=45.若P F=Y&,贝U C E=_.【考点】S 9：相似三角形的判定与性质；L E：正方形的性质.DF DF【分析】如图，连 接 E F.首先求出D M、D F 的长，证明 D E F s D P C,可 得 皆 常，求出D E 即可解决问题.；.A B=B C=C D=D A=2,Z D A B=9 0 ,Z D C P=4 5 ,，A M=B M=1,在 R t Z A D M 中，DM=D2+AI华 正+俨 亚,V A M/7 C D,.D P=,V P F=1,3|Z 6 J；.D F=D P=PF=r ,2,/Z E D F=Z PD C,Z D F E=Z D C P,.,D E F AD PC,.DF_DE,或翁返DE 2=诟，T j 7 DAC E=C D -D E=2 -.7故答案为6【例题3】（2 01 7 湖南株洲）如图示，正方形AB C D 的顶点A 在等腰直角三角形D E F 的斜边E F 上，E F 与 B C 相交于点G,连接C F.求证：Z XD AE 丝Z D C F；求证：AB G sa C F G.【考点】S 8：相似三角形的判定；K D：全等三角形的判定与性质；K W：等腰直角三角形；LE：正方形的性质.【分析】由正方形AB C D 与等腰直角三角形D E F,得到两对边相等，一对直角相等，利用S AS 即可得证;由第一问的全等三角形的对应角相等，根据等量代换得到N B AG=N B C F,再由对顶角相等，利用两对角相等的三角形相似即可得证.【解答】证明：正方形AB C D,等腰直角三角形E D F,A Z AD C=Z E D F=9 0,AD=C D,D E=D F,Z AD E+Z AD F=Z AD F+Z C D F,.Z AD E=Z C D F,在4 A D E 和A C D F 中，rDE=DF-/ADE;NCDF，UDA=DC.AD E AC D F；延长B A到 M,交 E D 于点M,VAADEACDF,ZEA D=ZFCD,即 NEAM+NMAD=NBCD+NBCF,VZMAD=ZBCD=90,/.ZEAM=ZBCF,ZEAM=ZBAG,AZBAG=ZBCF,VZAGB=ZCGF,/.ABGACFG.【例题4】(2016广西南宁)如图，在平面直角坐标系中，已知aABC三个顶点的坐标分别是A(2,2),B(4,0),C(4,-4)(1)请画出AABC向左平移6个单位长度后得到的A B G；(2)以点0为位似中心,-AABC缩小为原来的看,得到ABC”请在y轴右侧画出AAzB2c2,并求出NA2C2B2的正弦值.【考点】作图-位似变换；作图-平移变换.【分析】（1）将 A、B、C三点分别向左平移6个单位即可得到的 A B G；（2）连接OA、0C,分别取OA、OB、0C 的中点即可画出A2 B 2 C 2,求出直线A C 与 0 B 的交点,求出/A C B 的正弦值即可解决问题.【解答】解：（1）请画出a A B C 向左平移6个单位长度后得到的 A B C,如 图 1 所示，以 点 0 为位似中心,将a AB C 缩小为原来的之,得到4 A 此C z,请在y 轴右侧画出A A2B2C2,如图2所示，图2V A(2,2),C (4,-4),B (4,0),o，直线AC 解析式为y=-3 x+8,与 x 轴交于点D(*0),V Z C B D=9 0,C D=VBC2+BD=4 V lO,4 ,BD 3 V10AsinZDCB=二，一 一二 一NA2c2B2=/ACB,s in Z A2c282=s in Z DCB=-.10【点评】本题考查位似变换、平移变换等知识，锐角三角函数等知识，解题的关键是理解位似变换、平移变换的概念，记住锐角三角函数的定义，属于中考常考题型.【热 点 1】（2 01 7 齐齐哈尔）经过三边都不相等的三角形的一个顶点的线段把三角形分成两个小三角形，如果其中一个是等腰三角形，另外一个三角形和原三角形相似，那么把这条线段定义为原三角形的“和谐分割线”.如 图，线 段 CD是4 A B C 的“和谐分割线”，4 AC D为等腰三角形，和A A B C 相似，Z A=4 6 ,则/A C B 的 度 数 为 1 1 3 或 9 2 .【考点】S 7：相似三角形的性质；K H：等腰三角形的性质.【分析】由4 A C D 是等腰三角形，Z A D O Z B C D,推出NA DO NA,即 A C r C D,分两种情形讨论当AC=AD 时，当D A=D C 时，分别求解即可.【解答】解：:B C DSAB AC,.,.Z B C D=Z A=4 6 ,.AC D 是等腰三角形，V Z A D O Z B C D,.ZA DO ZA,即 AC W C D,当 AOAD 时，N AC D 二 N AD C=6 7。,A Z AC B=6 7 0+4 6 =1 1 3 ,当 D A=D C 时，Z AC D=Z A=4 6 ,Z AC B=4 6 +4 6 =9 2 ,故答案为1 1 3 或 9 2 .【热点2】（2 01 7 湖北江汉）如图，矩 形 AB C D 中，A E L B D 于点E,C F 平分N B C D,交 E A的延长线于点F,且 B C=4,C D=2,给出下列结论：N B AE=N C AD；N D B C=3 0；人后:春/石；A F=2&,其中正确结论的个数有（A.1 个 B.2 个 C.3 个 I).4 个【考点】S9：相似三角形的判定与性质；L B：矩形的性质.【分析】根据余角的性质得到N B A E=N A DB,等量代换得到N B A E=N C A D,故正确；根据三角函数的定义得到tan/D BC=W，于是得到N DB C/3 0。，故错误；由勾股定理得到BD=VBC2+CD2=2VS根据相似三角形的性质得到AE=|濯；故正确；根据角平分线的定义得到/B C F=4 5 ,求得N A C F=4 5 -Z A C B,推出N E A C=2/A C F,根据外角的性质得到N E A C=/A C F+N F,得到N A C F=N F,根据等腰三角形的判定得到A F=A C,于是得到A F=2 四，故正确.【解答】解:在 矩 形 A B C D中，N B A D=9 0 ,VA E 1 B D,A ZA E D=9 0 ,/.ZA DE+ZDA E=ZDA E+ZB A E=9 0 ,.ZB A E=ZA DB,ZCAD=ZADB,BD2JAlB2一HAEADAE4NBAE=N C A D,故正确;VBC=4,CD=2,.,.t a n Z D B C=t iBC 2./DBCW 30,故错误;,B D=VBC2+CDJ2VAB=CD=2,AD=BC=4,VAABEAD BA,即.AE二反，0 故正确；TCF 平分NBCD,A ZBCF=45,A ZACF=45-ZACB,VAD/7BC,/.ZDAC=ZBAE=ZACB,A ZEAC=90-2ZACB,AZEAC=2ZACF,V ZE A C=ZA CF+ZF,A Z A C F=Z F,AF=AC,：AC=BD=2 向，；.AF=2巡，故正确;故选C.【热点3】（2 0 1 7 深圳）如图，正方形A B C D的边长是3,B P=C Q,连接A Q,DP 交于点0,并分别与边C D,B C 交于点F,E,连接A E,下列结论：A QL DP；O A O E UP；SA=S四 边形 O E C P；当 B P=1 时,t a n Z0 A E=其中正确结论的个数是（）A.1 B.2 C.3 D.4【考点】S9：相似三角形的判定与性质；K D：全等三角形的判定与性质；L E：正方形的性质；T 7：解直角三角 形 【分析】由四边形A B C D是正方形，得 到 A D=B C,ZDA B=ZA B C=9 0 ,根据全等三角形的性质得到/P=/Q,根据余角的性质得到A Q1 DP；故正确；根据相似三角形的性质得到A O2=O D O P,由 O D K O E,得 到 O A?#O E O P；故错误；根据全等三角形的性质得到C F=B E,DF=C E,于是得到 S&A DF -S&O=SADC E-S DO F,即 SAA=S n i 2 1 0 B C F；故正确；根据相似三角形的性质得到B E=g,求得QE=丝，Q 0=f,0 E=祟，由三角函数的定义即可得到结论.4 4 5 20【解答】解：；四边形A B C D是正方形，.A D=B C,ZDA B=ZA B C=9 0 ,VB P=C Q,A A P=B Q,rAD=AB在4 DA P 与A B Q 中，,/DAP=NABQ，AP=BQ_DA P 空A B Q,N P=N Q,VZQ+ZQA B=9 00,A ZP+ZQA B=9 0 ,A ZA 0 P=9 0 ,A Q_ L DP；故正确；VZD0 A=ZA 0 P=9 0,Z A DO+ZP=Z A DO+Z DA 0=9 00,A ZDA O=ZP,A A DA O A A P O,.A O O P,.二，,O D O A.A O2=ODOP,VA E A B,；.A E A D,.O DW O E,.O AVOEOP;故错误；N F C Q=N E B P在C QF 与 A B P E 中，N Q=/P ,C Q=B P.C Q 厘 B P E,；.C F=B E,；.DF=C E,A D 二 C D在A A DF 与A DC E 中，又 SAD O E：SA C O A=1：2 5,.DE 1AC 5VD E/7 A C,.-B-E-DE 1 ,BC AC 5.BE 1 -,EC 4.SABDE与 SACDE的比是 1:4,故选：B.4.如图，在AAB C中，A B=A C,D E BC,则下列结论中不正确 的 是()A.A D=A E B.D B=E C C.N A D E=N C D.D E=-BC2【答案】D.An A P【解析】：D E BC,/.=，/A D E=/B,VA B=A C,/.A D=A E,D B=E C,Z B=Z C,AB ACZ A D E=Z C,而 D E 不一定等于，B C,故选D.25.如图，在方格纸中，A BC 和4 E P D 的顶点均在格点上，要使ABCSAE P D,则点P 所在的格点为（）-A.P 1 B.P 2 C.P 3 D.P i【答案】C.AR 3 pp AR R【解析】V Z BA C=Z P E D=9 0，=-,.当=一=时，A BC s/E P D 时.AC 2 ED AC 2VD E=4,E P=6.点 P 落在 P;i 处.故选C.6.（2 017 深圳）如图,在 R t Z kA BC 中,Z A BC=9 0,A B=3,BC=4,R t A M P N,Z M P N=9 0,点 P在 A C 上，P M 交 A B于点E,P N 交 BC 于点F,当 P E=2 P F 时，A P=3 .【考点】S 9：相似三角形的判定与性质.【分析】如图作P Q L A B于Q,P R _ L BC 于 R.由QPES2RPF,推出导冷，可得 P Q=2 P R=2 BQ,由 P Q BC,可得 A Q：Q P：A P=A B：BC：A C=3：4：5,设 P Q=4 x,则 A Q=3 x,A P=5 x,BQ=2 x,可得2 x+3 x=3,求出x 即可解决问题.【解答】解：如图作P Q L A B于 Q,P R L B C 于 R.四边形P Q BR 是矩形，；.N Q P R=9 0=/M P N,Z Q P E=Z R P F,.,Q P E A R P F,.PQ PE.PR PFA P Q=2 P R=2 BQ,VP Q/BC,A A Q：Q P：A P=A B：BC：A C=3：4：5,设 P Q=4 x,则 A Q=3 x,A P=5 x,BQ=2 x,/.2 x+3 x=3,A P=5 x=3.故答案为3.7.（2016 辽 宁丹东 3 分）如图，在aABC中，AD和 BE是高，ZABE=45,点 F 是 AB的中点，AD与 FE、BE分别交于点G、H,ZCBE=ZBAD.有下列结论：FD=FE；AH=2CD；BCAD=J2AH SA A B C-MSAAW.其中正确的有（）A.1个 B.2 个 C.3 个 D.4 个【考点】相似三角形的判定与性质；全等三角形的判定与性质.【分析】由直角三角形斜边上的中线性质得出FD=/B,证明aABE是等腰直角三角形，得出 AE=BE,证出FE=yA B,延长FD=FE,正确；证出/A B C=/C,得出AB=AC,由等腰三角形的性质得出BC=2CD,ZBAD=ZCAD=ZCBE,由ASA 证明AEH 之!?（：,得出 AH=BC=2CD,正确；证明aABDZBCE,得 出 与 坐，即 BJAD=AB-BE,再由等腰直角三角形的性质和三角形的面积得出BJAD=&AE2；正确；由F 是 AB的中点，BD=CD得出SA A B C-2SA A I）I4SA A D F.正确；即可得出结论.【解答】解：；在aABC中，AD和 BE是高，/.ZADB=ZAEB=ZCEB=90,:点 F 是 AB的中点，.FD=-AB,2VZABE=45,/.ABE是等腰直角三角形，AE=BE,点F 是 AB的中点,，FE=4B,2；.FD=FE,正确；V Z CBE=Z BAD,Z CBE+Z C=90 ,Z BAD+Z ABC=90 ，：.Z ABC=Z C,.AB=AC,V AD1BC,；.BC=2 CD,Z BAD=Z CAD=Z CBE,(Z AEH=Z CEB在a AEH 和 ABEC 中，J AE=BE，Z EAH=Z CBE.,.AEH ABEC(AS A),；.AH=BC=2 CD,正确；V Z BAD=Z CBE,Z ADB=Z CEB,.,.ABD ABCE,冬塔 即 BCAD=ABBE,AB ADV 2 AE=AB AE=AB BE,BJAD=AJBE=ABBE,.,.B CA D=V 2 AE2；正确；：F 是 AB 的中点,BD=CD,.SAABC=2 SAABD=4SAADF.正确；故选：D.二、填空题D E 28.如图，在A A B C 中，DEBC,=,4 A D E 的面积是8,则4 A B C 的面积为B C 3【答案】18.【解析】I 在A A B C 中,DEBC,AAADE AABC.D E _ 2-=一，B C 34-9-SAABC=IO,9.（2 0 16贵州毕节5 分）在4 A B C 中，D 为 AB边上一点，且N B C 6 N A.己知BC=2&，AB=3,则 B D=.【考点】相似三角形的判定与性质.【分析】证明ADCB丝a C A B,得 毁=半，由此即可解决问题.BC AB【解答】解：NBCD=/A,Z B=Z B,.,.DCB ACAB,.BD_CBBC AB.BD 2y23故答案为日.10.（2 0 16 湖北武汉 3 分）如图，在四边形相切中，NABC=90,4 4 3,6c=4,CD=10,DA=5 后,则劭的长为【考点】相似三角形，勾股定理【答案】2 历【解析】连接然，过点作6c边上的高，交 隙 延 长 线 于 点 在 R t Z 4?C中，46=3,BC=4,；/C=5,又 切=10,DA=5 加，可知?!缪为直角三角形，且缪=90 ,易证 ABC ACIID,则 C【I=6,DH=8,Z.B D=V（4+6）2+82=2 741.11.（2 0 16 黑龙江龙东 3分）已知：在平行四边形ABCD中，点E在直线A D上，AE=y AD,2 4连接C E交B D于点F,则EF：F C的 值 是 胃 或 工.-W【考点】相似三角形的判定与性质；平行四边形的性质.【分析】分两种情况：当点E在线段A D上时，由四边形ABCD是平行四边形，可证得 E F D A C F B,求出 DE：BC=2：3,即可求得 EF：FC 的值；当当点E在射线D A上时，同得：EFDs/CFB,求出DE：BC=4：3,即可求得EF：FC的值.【解答】解：AE=；AD,分两种情况：当点E在线段A D上时，如图1所示.四边形ABCD是平行四边形，；.ADBC,AD=BC,.EFDs/x CFB,A E F：FC=DE：BC,V AE=4-AD,3.DE=2 AE=-|-AD=-1 C,A D E：BC=2：3,A E F：FC=2：3；当点E在线段D A的延长线上时，如图2所示：同得：EFDs a CFB,.EF：FC=DE：BC,VAE=yAD,.DE=4AE=yAD=-|3C,A D E：B C M：3,A E F：FC=4：3；9 4综上所述：EF：F C的值是半或高J J12.（2016 黑龙江齐齐哈尔 3分）如图，在平面直角坐标系中，矩形A0CB的两边0A、0 C分别在x轴和y轴上，且0A=2,0C=l.在第二象限内，将矩形A0CB以原点0为位似中心放大为原来的I倍，得到矩形A Q C B,再将矩形A 0 C B以原点0为位似中心放大 1倍，得至I J矩形A Q C B，以此类推，得到的矩形A Q C E的对角线交点的坐标为Y工)2n-2卜 一【考点】位似变换；坐标与图形性质；矩形的性质.【分析】根据在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k,那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k,即可求得B“的坐标，然后根据矩形的性质即可求得对角线交点的坐标.【解答】解：.在第二象限内，将矩形AOCB以原点0为位似中心放大为原来的擀倍，矩形AQGBi与矩形AOCB是位似图形，点B与点Bi是对应点，V0A=2,0C=l.:点B的坐标为(-2,1),，点 Bi 的坐标为（-2X3 lX；3y）,3 ,将矩形A QC B 以原点0为位似中心放大，倍，得到矩形A2 0 GB2,.Bz (-2X?X /l X xg,2 2 2 2qn qn/.Bn (-2 X ,1 X-),2n 2n,/矩形A0 CBn的对角线交点(-2 X S-X 1 X2n 2叁如即 T)2 1 故答案为：（-9 一，-A-）.2n 2n+113.如图，在平面直角坐标系中，等腰 0 BC的边0 B 在 x轴上，0 B=CB,0 B 边上的高C A 与0 C边上的高BE相交于点D,连接0 D,AB=V 2 ,Z CB0=45,在直线BE上求点M,使ABMC与a O D C 相似，则点M 的坐标是.【答案】（1,V 2 1）或（，V 2 ）.【解析】V OB=CB,0 B边上的高CA与 0 C 边上的高BE相交于点D,A B=0 ,Z CB0=45,，AB=AC=&,OD=CD,在 R t ABAC 41,BC=1 A B2+A C2=2,.,.0 B=2,.OA=OIB-AB=2-6,在 R t AOAC 中，0 C=J O A：+A f 2 =2&-&,在