2020届高考二轮复习热点重点难点专题透析数学理科专题5概率与统计.pdf

施L 专 题5 概率与统计Z整知合识ZHISHI ZHENGHE一、计数原理与二项式定理1.求解排列、组合问题的基本原则是什么？(1)以元素为主体，即先满足特殊元素的要求，再考虑其他元素.(2)以位置为主体，即先满足特殊位置的要求，再考虑其他位置.(3)先不考虑附加条件,计算出排列或组合数，再减去不符合要求的排列或组合数.2.排列数与组合数的性质有哪些区别？名称关系排列组合怨=！；0!=1C=1m,/m-lGn 乜n-Gn+1备注n,mNrS.mn3.函数4用=仇+26+为/+.+己川的各项、奇数项、偶数项的系数之和分别是什么?若仆)二a+&x+力*+力/,则4M展开式中各项系数之和为仙)，奇数项系数之和为为+a i +a.+.吟 氏2偶数项系数之和为仇+由+a s +.3产24.怎样确定二项式系数的最大值？二项式 当 为偶数时，中间的一项/后_ 取得最大值系数的n-1 n+1最 大 值 当n为奇数时，中间的两项C j与 取 最 大 值5.怎样区别二项式系数与项的系数？(a+卧)的展开式中，二项式系数是指Cg,最，,就,它们是组合数，只与各项的项数有关，而与a力的值无关;而项的系数是指该项中除变量外的常数部分，它不仅与各项的项数有关，还 与a力的值有关.如第r+1项的二项式系数是最,而该项的系数是以/匕.当然，在某些特殊的二项展开式(如(1+M)中，各项的系数与二项式系数是相等的.二、概率1.频率等于概率吗？频率反映了一个随机事件出现的频繁程度，频率是随机的，而概率是一个确定的值，通常用概率来反映随机事件发生的可能性的大小.通过大量的重复试验，事件发生的频率会逐渐趋近于某一个常数(概率)，因此有时也用频率来作为随机事件的概率的估计值.2.如何求互斥事件、相互独立事件之间至少一个发生的概率？Q)若事件4、力2、4、力彼此互斥,它们至少有一个发生的概率P A +A 2 +.+A n)=P(,A i)+P A 2)+.+P A n).(2)若事件41、力2、4、4 相互独立,它们至少有一个发生的概率+A i +.+A n)=1 -R A A2A3 An).3.古典概型与几何概型有何不同点？不同点是基本事件数，一个是有限的,一个是无限的.基本事件可以抽象为点,对于几何概型，这些点尽管是无限的，但它们所占据的区域是有限的,根据等可能性，这个点落在区域的概率与该区域的几何度量成正比，而与该区域的位置和形状无关.4.怎样求与相互独立事件4 8有关的概率？事件4 8相互独立 概率计算公式4 8 同时发生 F A B=P A F B 4 8至少有一个发-2 P=1-1 =fA +P B -fA j fB)生4 夕恰有一发生 P=F A Q +KB =fA P )5.概率R A B)与H Z阳的关系是什么？W/向：已知8发生的条件下/发生的概率，当巴&*0时,田/向=_ 需(2)若8和 U是两个互斥事件，则RBU C/A)=fB lA)+fClA.6.事件力与8相互独立的性质有哪些？湃 事 件 4 与 6相互独立，则 R B网=fB).劭口果事件力与8相互独立，那么力与6,公与民与A也相互独立.三、随机变量及其应用L服从超几何分布的随机变量取值的概率形式是什么?数学期望是什么？在含有例件次品的/V件产品中，任取件，其中恰有X件次品,(1田 =同=笛 迄,公0,1,2,.,以其中 zn=m in M ,且 n N,M0时,表明两个变量正 相 关；当 r 0.98（六）考查用样本估计总体以及统计数据的分析，试题难度中等，综合考查对条形图，频率分布直方图，扇形统计图，折线统计图，茎叶图,统计数表的识别与数据的数字特征分析.8.（2018年 全 国/卷 理T3改编）某地区经过一年的新农村建设，农村的经济收入增加了T 书实现翻番.为更好地了解该地区农村的经济收入变化情况，统计了该地区新农村建设前后农村的经济收入构成比例彳导到如下饼图：种 植 收 入 第 三 产 业 收 入飒其他收入仲植收.37%养殖收入养殖收人建设前经济收入构成比例建设后经济收入构成比例有下面结论：新农村建设后，种植收入减少；新农村建设后，其他收入增加了一倍以上；新农村建设后，养殖收入未变；新农村建设后，养殖收入与第三产业收入的总和超过了经济收入的一半.其中结论不正确的是（）.A.C.D.8）假设新农村建设前总收入为a,则新农村建设后总收入为2 a,所以种植收入在新农村建设前为60%a,新农村建设后为37%2劣其他收入在新农村建设前为4%-a,新农村建设后为5%-2a,养殖收入在新农村建设前为30%自新农村建设后为30%-2a.故不正确的是包答 案-C9.（2019年全国卷，理T5改编）演讲比赛共有9位评委分别给出某选手的原始评分，评定该选手的成绩时，从9个原始评分中去掉1个最高分、1个最低分彳导到7个有效评分.7个有效评分与9个原始评分相比，一定不变的数字特征是（）.A.中 位 数B.平均数C.方差D.众数 设9位评委的评分按从小到大的顺序排列为X1的 旭.C&的.则原始中位数为应去掉最低分M和最高分的后廉!1余X2 X3.物中位数仍为治故选 A（七）考查统计及统计案例，试题难度中等，综合考查概率与抽样方法的综合应用，回归分析，独立性检验等统计案例的数据分析及应用.10.（2019年 全 国 原，理T3改编）西游记 三国演义 水浒传和 红楼梦是中国古典文学瑰宝，并称为中国古典小说四大名著.某中学为了解本校学生阅读四大名著的情况,随机调查了 100位学生，其中阅读过 西游记或 红楼梦的学生共有90位,阅读过 红楼梦的学生共有80位 阅 读 过 西游记且阅读过 红楼梦的学生共有60位,若从该校学生中抽取10人进行座谈,则其中阅读过 西游记的学生数的估计值为（）.A.5 B.6 C.7 D.8由题意得,100位学生中阅读过 西游记的学生人数为90-80,60=70,70-100=0 7故抽取的10人中阅读过 西游记的学生数的估计值为0.7x10-7.故 选C.C11.（2017年山东卷，理T5改编）为了研究某班学生的脚长M单位:厘米）和身高乂单位:厘米）的关系，从该班随机抽取10名学生，根据测量数据的散点图可以看出y与x之间有线性相关关系，设其人人A I。1 0 A回归直线方程为丫=bx+a.已知为二225，X%=1600,a=70该班某学生的脚长为24据此估计i=l i=l其身高为（）.A.160 B.163 C.166 D.170AA A A.乂 =22.5,y=160,.：a=160-22.5b=70,.b-4,.,.y=4*24+70=166.故选 C.C二、解答题的命题特点（一）用定义法求解离散型随机变量的分布列，试题难度中等，综合考查排列组合知识和与互斥事件、对立事件以及相互独立事件的有关应用.1.（2017年天津卷,T16改编）从甲地到乙地要经过3个十字路口，设各路口信号灯工作相互独立，且在各路口遇到红灯的概率分别为心；.（1）若有4辆车独立地经过第三个十字路口，求这4辆车中至少3辆车遇到红灯的概率.（2）设X表示一辆车从甲地到乙地遇到红灯的个数，求随机变量X的分布列和数学期望.这4辆车中至少3辆车遇到红灯的概率为C:嗯 丫 *+：陪）4=短（2）随机变量X的所有可能取值为0,1,2,3.a%=o）=（i-1）x（i-1）K1-5）4矛（wX】削（琦）李MM环）加有=2）=（啕亭*（吗）亚亭（词 号r-y 1/1 1 1 1P（X=3）=-x-x-=.、,2 3 4 24所以随机变量X的分布列为X0123P11 111424424随机变量X的数学期望&R H)x5 l号+2 x i+3 X：毛.(二)概型法求解随机变量的分布列的应用问题，试题难度中等,综合考查二项分布、正态分布、超几何分布等特殊分布和概率、统计知识的应用.2.(201 7年全国/卷，理T 1 9改编)为了监控某种零件的一条生产线的生产过程，检验员每天从该生产线上随机抽取1 6个零件，并测量其尺寸(单位:c m).根据长期生产经验,可以认为这条生产线正常状态下生产的零件的尺寸服从正态分布Mg(1)假设生产状态正常，记X表示一天内抽取的1 6个零件中尺寸在(-3 功之外的零件数，求巴/1)及”的数学期望.气内抽检的零件中，如果出现了尺寸在(-3。串+3 0之外的零件,就认为这条生产线在这一天的生产过程可能出现了异常情况，需对当天的生产过程进行检查.试说明上述监控生产过程方法的合理性；(i i)下面是检验员在一天内抽取的1 6个零件的尺寸：9.95 10.12 9.96 9.9610.019.92 9.9810.0410.26 9.9110.010.139.2210.0 10.09.95若从上述1 6个零件的尺寸在(-3 0；)的零件中任选2个，求这2个零件尺寸相同的概率.附:若随机变量Z服 从 正 态 分 布 则巴匕3 c Z (1)由题可知尺寸落在(-3。,+3 0)之内的概率为0.9974落在(-3 c/+3 o)之外的概率为 0.0026.R X=0)C=%(l O9974)00.99741 6a o.9592,H 检 1)=1 X X力)*1 09592=0.0408,由题可知 XB(16,0.0026),所以 R A)=1 6x 0.0026=0.041 6.(2)(i)尺寸落在(-3 C/+3 0之外的概率为0.0026,故尺寸落在(“-3 C/+3 0之外为小概率事件，因此上述监控生产过程的方法合理.(i i)上 述1 6个 零 件 的 尺 寸 在 的 零 件 共 有6个，尺寸分别为9.95,9.96996,9.92,9.91,9.95,所以尺寸相同的概率为。三 系(三)公式法和比例法求解样本估计总体问题,试题难度中等，综合考查概率、抽样方法、统计图表、样本的数字特征的应用.3.(201 8年北京卷，理T 1 7改编)电影公司随机收集了电影的有关数据，经分类整理得到下表：电影第一类第二类第三类第四类第五类第六类类型电影部数140 50300 200800510好评电影数目56 1045 5016051假设所有电影是否获得好评相互独立.(1)从电影公司收集的电影中随机选取1部，求这部电影是获得好评的第四类电影的概率；(2)从第四类电影和第五类电影中各随机选取1部，估计恰有1部获得好评的概率.由题意知，样本中电影的总部数是140+50/300+200+800+510=2000,故 所 求概 率 为 蒜 印.025.(2)设事件4为 从第四类电影中随机选出的电影获得好评，事 件8为 从第五类电影中随机选出的电影获得好评.故所求概率为 fA 8+KB)=F A +P(B)=W)Q 7创+Q-H/)田”由题意知q4)=0.25以6句.2.故所求概率估计为0.25 x0.8+0.75 x0.2=0.35.(四)模型法求解统计案例的问题，试题难度中等，综合考查概率统计与线性回归、独立性检验知识的应用.4.(2018年全国卷，理T18改编)如图所示的是某地区2010年至2016年环境基础设施投资额K单位:亿元)的折线图.投资额40200080604()200080604020。222111112010 2011 2012 2013 2014 2015 2016 年份为了预测该地区2018年的环境基础设施投资额,建立了 y与时间变量1的线性回归模型根据A A2010年 至2016年的数据(时间变量r的值依次为1,2，,7)建立模型:y=a+17.5 求回归直线方程；(2)求该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值.A A A Q)根据题意,f=4,y=169,RAy=a+17.5 1可得a=99,所以回归直线方程为y=99+l7.5t（2）该地区2018年的环境基础设施投资额的预测值为y=99+17.5 x9=256.5（亿元）.5.（2018年 全 国 砥，理T18改编）某工厂为提高生产效率，开展技术创新活动提出了完成某项生产任务的两种新的生产方式.为比较两种生产方式的效率，选取40名工人，将他们随机分成两组，每 组20人，第一组工人用第一种生产方式，第二组工人用第二种生产方式.根据工人完成生产任务的工作时间（单位:min）绘制了如下茎叶图：第一种生产方式-89 7 6 29 8 7 7 6 5 4 3 3 22 1 1 0 06789第二种生产方式5 5 6 8 9-0 1 2 2 3 4 5 6 6 814 4 50（1）根据茎叶图判断哪种生产方式的效率更高，并说明理由.（2）求40名工人完成生产任务所需时间的中位数小并将完成生产任务所需时间超过和不超过 6的工人数填入下面的列联表：超过m第一种生产方式不超过m第二种生产方式(3)根据(2)中的列联表,能否有99.9%的把握认为两种生产方式的效率有差异?2附.R=-n(ad-bc)-HIJ(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)对空勤 0.050 0.010 0.001k o 3.841 6.635 10.828（1）第二种生产方式效率更高.观察茎叶图可知，第二组数据集中在70 min 80min之间,而第一组数据集中在80 min90 min之间，故第二组生产方式效率更高.（2）由茎叶图数据得到）=80,故列联表为超过m不超过m第一种生产方式155第一种生产方式515 依 二n(ad-bc)2(a+b)(c+d)(a+c)(b+d)_40 x(15xl5-5x5)220 x20 x20 x20=10 10.828,所以没有99.9%的把握认为两种生产方式的效率有差异.（五）通过概率统计与函数、数列等知识的综合应用，综合考查概率统计在实际生活中的决策作用，试题难度较大.6.（2017年全国卷，理T18改编）某超市计划按月订购一种酸奶，每天进货量相同,进货成本每瓶4元，售价每瓶6元，未售出的酸奶降价处理,以每瓶2元的价格当天全部处理完.根据往年销售经验,每天需求量与当天最高气温(单位:)有关.如果最高气温不低于25,需求量为500瓶;如果最高气温位于区间20,25),需求量为300瓶;如果最高气温低于20,需求量为200瓶,为了确定六月份的订购计划，统计了前三年六月份共90天的最高气温数据，得到下面的频率分布表：最局110,15 15,20 20,25 25,30 30,35 35,40片：日)频率145845255187 290 45以最高气温位于各区间的频率代替最高气温位于该区间的概率.(1)求六月份这种酸奶一天的需求量不单位:瓶)的平均值.(2)设六月份一天销售这种酸奶的利润为K单位:元).当六月份这种酸奶一天的进货量(单位:瓶)为多少时,的数学期望达到最大值？(1)易知需求量X可取200,300,500,。=20。)系 脸 耳%=300)4缺=500)磊 喘 喘=|.则X的分布列为X200300500122P_555所以&为=200耳+300 x|+500 x|=360.照 n200时,匕(64)=2,此时Lax=400,当77=200时取得最大值.四 200 n300 时,娱2 4 2 0 0乂2+(n-200)-(-2)此 时Knax=520,当=300时取得最大值.酗 300(-2)也300*2+(n-300)-(-2)此 时K520.例 4500时，易 知P一定小于侬勺情况.综上所述，当=300时,V的数学期望达到最大值，最大值为520.15规律方法1.解排列组合的综合应用问题的思路,就是分析题目的条件，辨别题目的类型，如I分 析 有 无 限 制 元 素(或 位 置)，是相邻问题还是插Hi 空问题等环 词 就是对于较复杂的应用题中的元素往往分等L 成互斥的几类，然后逐类解决就是把问题化成几个互相联系的步骤，而每也 卜 一 步 都 是 简 单 的 排 列 组 合 问 题，然后逐步解决2.如何求二项展开式中的特定项？求二项展开式的特定项问题，实 质 是 考 查 通 项 加”出的特点,T 殳需要建立方程求k,再将攵的值代回通项求解，注意的取值范围%=0,L 2，,).Q)第m项:此时Z+l=m,直接代入通项.(2)常数项:即这项中不含 变元，令通项中 变元 的幕指数为0建立方程.(3)有理项:令通项中 变元 的幕指数为整数建立方程.3.赋值法主要在哪些题型上应用？在使用赋值法时，令 等 于 多 少，应视具体情况而定，一 般 取L -1或0”,有时也取其他值.如：Q)形如(a x+6),(a M+b x+G0(a,b e R)的式子，求其展开式的各项系数之和,只需令*=1即可.形如(a x+勿T(a,，GR)的式子，求其展开式的各项系数之和,只需令x=y=l即可.4.求复杂事件的概率的方法有哪些？(1)直接法:将所求事件分解为一些彼此互斥的事件的和.(2)间接法(正难则反):判断事件力的概率计算是否适合用间接法，而判断的标准是正向思考时分类较多,而其对立的分类较少，此时应用间接法.5.求条件概率的基本方法有哪些？Q)定义法先求 力)和H 4 5),再 由 只 物)=镖，求(2)基本事件法先求事件4包含的基本事件数双力),再在事件Z发生的条件下求事件8包含的基本事件数(力纨得8的1)=嘿.6.求解正态总体在某个区间内取值的概率的方法是什么？(1)利用 检+0,/“-2oXp+20,氏-3aXp+32的 接 求.(2)充分利用正态曲线的对称性和正态曲线与x轴之间的面积为1.正态曲线关于直线*=对称，从而在关于*=对称的区间上概率相等.R X/j+d).7.怎样在实际问题中利用样本的均值与方差做决策？均值与方差从整体和全局上刻画了随机变量，是实际生产中用于方案取舍的重要理论依据.一般先比较均值，若均值相同，再用方差来决定.8.进行分层抽样的相关计算时，什么是抽样比？,”+亚 小 样 本 容 量 各层样本数量Q）抽样比=-=-；总体容量各层个体数量（2）总体中某两层的个体数之比=样本中这两层抽取的个体数之比.9.如何根据频率分布直方图估计样本的众数、中位数、平均数？Q）最高的小长方形底边中点的横坐标为众数；（2）中位数左边和右边的小长方形的面积和是相等的；（3）平均数是频率分布直方图的 重心，等于频率分布直方图中每个小长方形的面积与小长方形底边中点的横坐标之积的总和.10.如何求回归直线方程中的系数？A AQ）公式法:利用公式,求出回归系数b,a.待定系数法利用回归直线过样本点中心丘工）求系数1L利用独立性检验的思想,解决实际应用的基本步骤有哪些?根据样本数据制成2 x 2列联表;根据公式解=(a+b)(a+c)(c+d)(b+d)，计算尽的值;（3）查表比较依与临界值的大小关系,做统计判断.微专题1 2排列、组合与二项式定理基础检测JIANCE1.（2019福建厦门二模）从10名大学毕业生中选3人担任村长助理,则甲、乙至少有1人入选，而丙没有入选的不同选法的种数为（）.A.85 B.56C.49D.28 分两类:甲、乙中只有1人入选且丙没有入选，甲、乙均入选且丙没有入选.计算可12 1得不同选法种数为C g,C G募=49.答案A C2.（2019江西新余二模）7人站成两排队列，前排3人 后 排4人，现将甲、乙、丙三人加入队列，前排加一人，后排加两人，其他人保持相对位置不变，则不同的加入方法种数为（）.A.120 B.240 C360 D.480 第一步，从甲、乙、丙三人选一个加到前排，有3种方法;第二步，前排3人形成了 4个空，任选一个空加一人，有4种方法;第三步，后排4人形成了 5个空，任选一个空加一人，有5种方法，此时形成6个空，任选一个空加一人，有6种方法根据分步乘法计数原理，共有3*4*5 x6=360 种方法.C3.(2019河南开封一模)(1-M】的 展 开 式 中 的 系 数 为.(1*1 的展开式中,7；+IC=；O(-AK令/=3厕 石=&。依 则N的系数为g o =-120.-1204.(2019四川达州一模)若(x-2)展开式的二项式系数之和为32,则展开式中各项系数的和为.由已知可得2=32厕 =5.取x=L可得(片2)5展开式的各项系数的和为(1-2)5=-1.-1考能探究KAONENG TANJIU能 力1 简单的排列或组合15典型例题(2019河南洛阳一模)4名大学生到三家企业应聘，每名大学生至多被一家企业录用，则每家企业至少录用一名大学生的情况有().A.24 种 B.36 种C.48 种 D.60 种 分两类:第一类，有3名大学生被录用，有A；=24种情况，第二类,4名大学生都被录用，则有一家录用两名，有C JC-iA-l=36种情况根据分类加法计数原理，共有24 36=60种情况.D解决简单的排列与组合的综合问题的思路(1)根据条件将要完成事件先分类.(2)对每一类型取出符合要求的元素组合，再对取出的元素排列.(3)由分类加法计数原理计算总数.(2019河北沧州模拟)用数字1,2,3,4,5组成没有重复数字的五位数，其中奇数的个数为().A.24B.48C.60D.7214 由分步乘法计数原理得,奇数的个数为CA ,=7 2.答 A D能 力2，有限制条件的排列与组合典型例题（2019:可南郑州一模）中国诗词大会悌三季）亮点颇多，在“人生自有诗意”的主题下，十场比赛每场都有一首特别设计的开场诗词在声光舞美的配合下，百人团齐声朗诵，别有 韵 味 若 沁园春长沙、蜀道难、敕勒歌、游子吟、关山月、清平乐六盘山排在后六场，且 蜀道难排 在 游子吟的前面，沁园春长沙与 清平乐六盘山不相邻且均不排在最后，则六场的排法有 种.将 沁园春长沙、蜀道难、敕勒歌、游子吟、关山月、清平乐六盘山分别记为由已知得8排 在。的 前 面/与 不相邻且不排在最后.第一步，在氏COF中选一个排在最后，共C：=4（种）选法，第二步，将剩余五个节目按Z与尸不相邻排序，共能-Ai-A：=72（种）排法，第三步，在前两步中8排 在。的前面与后面机会相等，则8排 在。的前面，只需除以用=2即故六场的排法有4 x72+2=144（种）.144求解排列、组合问题的思路:排组分清，加乘明确;有序排列，无序组合汾类相加，分步相乘.（2019湖北武汉模拟）有六人排成一排，其中甲只能在排头或排尾，乙、丙两人必须相邻，则满足要求的排法有（）.A.34 种 B.48 种C.96 种 D.144 种特殊元素优先安排,先让甲从头、尾中选取一个位置，有C；种选法，乙、丙相邻，有4种情况，乙、丙可以交换位置，有A:种情况，其 余3人站剩余的3个位置，有A；种情况，由分步乘法 计 数 原 理 知 满 足 要 求 的 排 法 共 有,=96种.C能 力3,二项式展开式中的指定项或指定项的系数15典型例题(2019；幅洛阳一模)(3户 2勿2(*州的展开式中含有炉尸的项的系数为.多项式(3x+2力 2(*-肪 7=(9 A2+12+4/)(*-力 7,(X少7展开式的通项公式为令/二力则与=CW(y4=35尺片令/=3,则万X 加(y3=-35犯以令/=2厕 方=2(y2=21刈区.多项式(3x+2 2(x-0 的展开式中含有9项的系数为35x9-35*12+21x4=-21.-21求解形如(a+幼叫c+动 的展开式问题的思路Q)若m,n中有一个匕瞰小，可考虑把它展开，如 旧 )2亿+6=(于+2 a b+%(c+”,然后分别求解.观察(a)(C 9是否可以合并，如(1 0)5,(1*7 =Q+欢1 一 刈 5Q划=Q H)5Q-A)2.分别得到(a”产,(c+亦展开式的通项公式，综合考虑.(2019江西九江一模)若(x+2)(?x)s展开式的常数项等于80,则a=.：(x)5的展开式的通项公式为7;*1=式 廿 尹 升-5,显然2 r-5为 奇 数/=2.故(x+2)C-x)5的展开式的常数项等于皓H=80：a=2.2能力415典型例题(2019广东深圳一模)若停-”的展开式中各项系数之和为32,则展开式中x 的系数为.由已知可得,2=32,即n=5.G 飞时，5-r(。皑 353 尹厂三取|-5=1,得 14.:展开式中X的系数为（-1）4皓3 54=1 5.1 5lE S I二项式定理给出的是一个恒等式，对于的一切值都成立.因此，可 将 设 定 为 一 些 特 殊 的值.在使用赋值法时，令儿/等于多少，应视具体情况而定，一 般 取L-1或0”,有时也取其他值.（201 9山东烟台模拟）若（x-2）5=企炉+a+a3xi+力必比，则出+3 2 +电+3 4 +a s =.令 x=O,则 为？-2）5=-3 2,令*=1,则 a s +a4+c ti+氏+的+诩=（1-2户=-1,所以+仇+3 n+力=-1 -（-3 2）=3 1.答 案-3 1D集对训点DUIDIAN JIXUN一、选择题离（教材改编）现有4种不同颜色要对如图所示的四个部分进行着色，要求有公共边界的两块不能用同一种颜色，则不同的着色方法共有（）.A.24 种 B.3 0 种 C.3 6 种 D.48 种 需要先给U 块着色，有4种结果;再给力块着色，有3种结果;再给6块着色，有2种结果;最后给。块着色，有2种结果，由分步乘法计数原理知不同的着色方法共有4x 3 *2x 2=48（种）.二，.D（201 9陕西西安调研）6把椅子摆成一排,3人随机就座，任何两人不相邻的坐法种数为（）.A.279 B.261 C.252 D.243 用“插 空 法 ，先排3个空位，形成4个空隙供3人选择就座,因此任 两人不相邻的坐法种数为A 4=4 x 3 X2=24.c（201 9衡水调研）用0,1，,9十个数字，可以组成有重复数字的三位数的个数为（）.A.243 B.252 C.261 D.279 0,1,2，,9共能组成9 xlO xlO-900个三位数,其中无重复数字的三位数有9x9x8=648（个），则有重复数字的三位数有900-648=252（个）.答 条 B（原创）高中学生小李计划在高考结束后，和其他小伙伴一块进行旅游,有三个自然风光景点4民0和三个人文历史景点可供选择,由于时间和距离原因，只能从中任取四个景点进行参观，其中景点力不可能第 T 参观，最后参观的一定是人文历史景点，则不同的旅游顺序有（）.A.54 种 B.72 种 C.120 种 D.144 种 当四个景点不含景点/时，旅游顺序有C4:=72种;当四个景点含景点2时，旅游顺序有C C 4 _二72种，所以不同的旅游顺序有144种.%D（2019四J1 1绵阳二诊）在（1+；）（2*+1）3展开式中的常数项为（）.A.l B.2 C.3 D.7、-.（1+5（2x+l）3=（l+；）（8M+12*+6x+l）,.（1+：）（2x+l）3展开式中的常数项为1,6=7.D（2019安徽黄山一模）在（1司6（1-2M展开式中，含*的项的系数是（）.A.-24 B.24C.-36 D.36 （1+那（1 A）=（1+6X+15M+20/+15/+62+M）Q-2A）,:展开式中含2的项的系数为6-30=-24.A7.（2019广东佛山一模）（2x少（X+2M5的展开式中A3/的系数为（）.A.-40 B.120 C.160 D.200 :x+2y）s=*+10A4y，40A3p2+80 A2 +80沙 +32产，.：（2x沙（X+2M5展开式中吊产的系数为16040=120.B8.（2018河南天一大联考）如图，图案共分9个区域，有6种不同颜色的涂料可供涂色，每个区域只能涂一种颜色的涂料，其中2和9同色、3和6同色、4和7同色、5和8同色，且相邻区域的颜色不相同，则不同的涂色方法有（）.A.360 种 B.720 种 C.780 种 D.840 种4 由题意知2,3,4,5的颜色都不相同，先 涂1,有6种方法，再涂2,3,4,5,有A$种方法，故涂色方法一共有6A-t=720种.答 为 B二、填空题（2019广东茂名一模）（x+S的 展 开 式 中 的 常 数 项 是.（%+岁的展开式的通项为7；鼠=&）*令 3-34=0彳 导 Z=l.因此，二项展开式的常数项为最=3.3（2019贵州贵阳一模）若（2+5=%+出户力*+a+与*则a =.（用数字作答）（2+炉的展开式的通项A C工2 ”取 =3,可得为=C22=40.40（2019湖南长沙一模）为培养学生的综合素养，某校准备在高二年级开设4日六门选修课程，学校规定每个学生必须从这6门课程中选3门，且4 8两门课程至少要选1门，则学生甲共有 种不同的选法.12 第一类，从4 6两门课程选1门，再 从C O E F中选2门，共有cc=1 2种选法；44第二类，从4 8两门课程选2门，再 从C O f厂中选1门，共有田最=4种选法.根据分类加法计数原理，可得共有12+4=16种选法.16（2019安徽滁州一模）已知（2片1）4=诩+的（-1）+为（x-l）2遍（x-l）3板4（*-1尸,则32=根据题意,（2x-根4=2（X-1H14,其展开式的通项%c=Z2（x-l）4-U=2 4 （x-1）4-泠/=2,可得 1=C22j（x-l）2=24（x-l）2,则 为=24.24（2018武汉二中模拟）从3名骨科、4名脑外科和5名内科医生中选派5人组成一个抗震救灾医疗小组，则骨科、脑外科和内科医生都至少有1人 的 选 派 方 法 种 数 是.（用数字作答）分 三 类:礴1名骨科医生，则有备（最费+C；熊+C就）=360种选派方法;选2名骨科医生,则有禺（禺髭+第禺）=210种选派方法；选3名骨科医生，则有废禺禺=20种选派方法.所以骨科、脑外科和内科医生都至少有1人的选派方法种数是360+210+20=590.590（2019广州一模）把8个相同的小球全部放入编号为1,2,3,4的四个盒中，则不同的放法种数为.根据题意，分4种情况讨论：曲殳有空盒，将8个相同的小球排成一列，排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选3个，插入隔板，将小球分成4组，顺次对应4个盒子，有值=35种放法；有1个空盒，在4个盒中任选3个，放入小球，有第二4种选法，将8个相同的小球排成一列,排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选2个，插入隔板，将小球分成3组，顺次对应3个盒子，有仔=21种分组方法，则有4 x21=84种放法；有2个空盒，在4个盒中任选2个，放入小球，有第二6种选法，将8个相同的小球排成一列,排好后，各球之间共有7个空位，在7个空位中任选1个，插入隔板，将小球分成2组，顺次对应2个盒子，有G=7种分组方法，则有6 x7=42种放法；有3个空盒，即将8个小球全部放进1个盒子，有4种放法.故 一 监 35+84+42+4=165 种放法.165（2019湖南郴州一模）若（3支 忘 了的展开式中各项系数之和为256,则Q）=；（2）展 开 式 中 妥 的 系 数 是.令x=L可 得 x-七）的展开式中各项系数之和为2=256,所 以=8.（2）因为卜X-宸 丫=侬-宸;它的展开式的通项公式为41=吐（孙386喙，令8全=-2,可 得r=6,则展开式中玄的系数为哈32=252.（1）8（2）252微专题1 3概率基础检测.必 1.（2019陕西宝鸡一模）如图所示，在边长为2 的正方形中有一封闭曲线围成的阻影区域，在正方形中随机扔一粒豆子,它落在阴影区域内的概率是1 则阴影部分的面积是（）.A.|B.2 C.|D.3s-根据几何概型的概率公式,P二 4 w，.阴 影=1X224正 方 形A C2.（2019河南洛阳一模）在区间-1,1 内 随 机 取 两 个 实 数 则 满 足 户 解-1的概率是（）.1-67-9B.2-9A5-6D.由 题 意 可 得:表 示 的 区 域 为 边 长 为 2 的正方形,面积为4,满足y -l的区域为图中阴影部分,面积为2 4；Q H）dx号，.满足悭/-I 的概率是与一4 系 D3.（2019江西吉安模拟）袋中有5个白球,3个红球，现从袋中往外取球，每次任取一个记下颜色后放回,直到红球出现10次时停止，设停止时共取了 x次球，则Rx=12）=（）.A G相 汽 丫 B.C?2（|）902y 曾02 D.%（I）】。（1）2 x=12表示第12次取到红球，且 前11次有9次取到红球,2次取到白球，因此”2）耨俄图&曾第.D4.（2019山东滨州模拟）在如图所示的正方形中随机投掷10000个点，则落入阴影部分（曲 线C为正态分布M 0,D的密度曲线）的点的个数的估计值为（）.附:若 厕 P（/j-ax/j+cf）=0.6826,P（p-2ax求随机事件的概率15典型例题（2019湖北武汉模拟）某超市随机选取1000位顾客，记录了他们购买甲、乙、丙、丁四种商品的情况，整理成如下统计表，其 中 表 示 购 买，x 表示未购买.商品顾客人数甲乙丙T100VXVV217XVXV200VVVX300 XX8598V xX X(1)估计顾客同时购买乙和丙的概率；(2)估计顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率；(3)若顾客购买了甲，则该顾客同时购买乙、丙、丁中哪种商品的可能性最大？(1)从统计表可以看出，在 这1000位顾客中有200位顾客同时购买了乙和丙，所以顾客同时购买乙和丙的概率可以估计为端=02(2)从统计表可以看出，在 这1000位顾客也有100位顾客同时购买了甲、丙、丁 另 有200位顾客同时购买了甲、乙、丙,其他顾客最多购买了 2种商品，所以顾客在甲、乙、丙、丁中同时购买3种商品的概率可以估计为耳器4 3(3)顾客同时购买甲和乙的概率可以估计为端=0.2,顾客同时购买甲和丙的概率可以估计为北+需=06顾客同时购买甲和丁的概率可以估计为战-0.1.所以，若顾客购买了甲，则该顾客同时购买丙的可能性最大.调 事 件41、4、4、力彼此互斥,它们至少有一个发生的概率PA+Ai+.+An)=PA+PA2)+.+PAn).端 事 件4、4、4、力 相互独 立,它 们 至 少 有 一 个 发 生 的 概 率+4+.+47)=1-HA】A2A3 A J(2019山东德州模拟)某商场有奖销售活动中，购 满100元商品得1张奖券，多购多得1000张奖券为一个开奖单位，设特等奖1个,一等奖10个,二等奖50个.设1张奖券中特等奖、一等奖、二等奖的事件分别为4 8 c求：(2)1张奖券的中奖概率；(3)1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率.故事件4日C的概率分别为嬴，看 苏(2)1张奖券中奖包含中特等奖、一等奖、二等奖.设1张奖券中奖”这个事件为M则M=AUBUC.：4民。两两互斥，.8U o =m刈+H5)+氏。扁.故1张奖券的中奖概率为赢.（3）设1张奖券不中特等奖且不中一等奖 为事件”则事件/V与1张奖券中特等奖或中一等奖 为对立事件，（嬴+焉）喘 故1张奖券不中特等奖且不中一等奖的概率为翳.能 力21 5典型例题【例2】（2019年全国 卷 理T6）我国古代典籍 周易用 卦 描述万物的变化.每一 重卦 由从下到上排列的6个爻组成，爻分为阳爻 和 阴 爻 ，右图就是一重卦在所有重卦中随机取一重卦,则该重卦恰有3个阳爻的概率是（）.16-32:3 2 16 因为每一 重卦 由从下到上排列的6个爻组成，每个爻是阳爻的概率是故该重卦恰有3个阳爻的概率是c:噜 丫 吗3系答案AII确定基本事件个数的方法：列举法、列表法、树状图法或利用排列、组合.旭君则1.1（2019贵州贵阳一模）甲、乙、丙三名公务员随机分到4 8两个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，则每个村至少有一名公务员的概率为（）.A年 B.|甲、乙、丙三名公务员随机分到4 6两个村参加“脱贫攻坚”帮扶活动，基本事件总数=23=8.每个村至少有一名公务员包含的基本事件个数6 X/XA,=6.每个村至少有一名公务员的概率为。彳 号A能 力3,求几何概型的概率1 5典型例题【例3】4 3D C（2017年 全 国/卷 理T2）如 图,正 方 形 内 的 图 形 来 自 中 国 古 代 的 太 极 图.正 方 形 内 切 圆 中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称.在正方形内随机取一点，则此点取自黑色部分的概率是（）.1A4-2-1Cn一*4 不妨设正方形ABC D的