2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明【含答案】.pdf

2023年九年级中考数学高频考点突破-圆的切线的证明1 .如图，直线AD经过。O 上的点A,AAB C为。O 的内接三角形，并且N C A D=N B.(1)判断直线AD与。O 的位置关系，并说明理由；(2)若N C A D=3 0。，。的半径为1,求图中阴影部分的面积.(结果保留兀)2 .已知：如图，4是。上一点，半 径O C的延长线与过点A的直线交于B点，OC=BC,1AC=OB.(1)求证：AB 是。的切线；(2)若 乙 4 C D =4 5。，OC=2,求弦 CD 的长.3 .如图，Z BC 内接于圆O,AB 为直径，C D J L4 B与点D,E为圆外一点，E0 1A B,与 B C交于点G,与圆O 交于点F,连接E C,且 E G =E C.(1)求证：E C 是圆O 的切线；(2)当/A BC =2 2.5。时，连接 C F,求证：AC=C F；若 4 D =1,求线段F G 的长.4.如图，点A 是。0 直径BD延长线上的一点，C 在。0 上，AC=BC,AD=CD(1)求证：AC是。0 的切线；(2)若0 0 的半径为4,求aA B C 的面积.5.如图，在AABC中，NC=90。，点0 在 AC上，以0 A 为半径的。0 交 AB于点D,BD的垂直平分线交BC于点E,交BD于点F,连接DEB.(1)求证:直线DE是。0 的切线(2)若 BE=当 g，AC=6,0 A=2,求图中阴影部分的面积6.如图，在AABC中，ZC=90,NABC的平分线交AC于点E,过点E 作 BE的垂线交AB于点F,。0 是4B E F的外接圆.(2)过点E 作 EHJ_AB,垂足为H,求证：CD=HF；(3)若 CD=1,EF=V10,求 AF 长.7.如图，在/B C 中，以力8 为直径的。交ZC于点弦MNBC交AB于点、E,且ME=1,AM=2,AE=V3.(2)求。的半径.8.如图，AB是O O 的直径，点P 在。O 上，且 PA=PB,点 M 是。O 外一点，MB与0 0 相切于点B,连接0 M,过点A 作4cli 0M 交。0 于点C,连接BC交0 M 于点D.(1)求证：MC是。O 的切线；(2)若 08=竽，BC=1 2,连接P C,求 PC的长.9.如图，四边形ABCD是平行四边形，以AB为直径的圆0 经过点D,E 是。0 上一点，且/AED=45。.(2)若。0 半径为6cm,AE=10cm,求/A D E 的正弦值.10.如图，以Rt/XABC的直角边AB为直径的半圆O,与斜边AC交于D,E 是 BC边上的中点，连结DE.(1)DE与半圆0 相切吗？若相切，请给出证明；若不相切，请说明理由；(2)若 AD、AB的长是方程x 2-10 x+24=0的两个根，求直角边BC的长.11.如图，AB为。O 的直径，C 为。O 上一点，NABC的平分线交。O 于点D,DELBC于点E.(1)试判断DE与。O 的位置关系，并说明理由；(2)过点D 作 DFLAB于点F,若 BE=3 V3,D F=3,求图中阴影部分的面积.12.如图，在 RtZABC中，ZC=90,AD平分NBAC交 BC于点D,0 为 AB上一点，经过点A,D 的。O 分别交AB,AC于点E,F,连接DF.(1)求证：BC是。0 的切线；(2)连接D E,求证：4BDE aBAD(3)若 B E=|,s in B=|,求 AD 的长.13.如图，已知R A B C内接干。0,A B 是。0 的直径，乙 C A B的平分线交B C于 点。，交O 0于 点E,连 接EB,作乙 BEF=LCAE，交A B的延长线于点F.(1)求证：E F 是。0 的切线；(2)若 B F=10,EF=20,求。0 的半径和A D的长.14.如图，在4BC中，AC=A B,以AC为直径的。0 分别交AB、BC于点M、N,点 P 在 AB的延长线上，2乙BCP=4 BAC.(1)求证：CP是。的切线；(2)若 BC=6,tanBCP=求点B 到线段AC的距离.15.如图，AB是。O 的直径，AC是弦，P 为 AB延长线上一点，NBCP=NBAC,NACB的平分线(1)求证：PC是。O 的切线；(2)求证：4PE C 是等腰三角形；(3)若AC+BC=2时，求 CD的长.16.如图，BD 为。0 的直径，AB=AC,AD 交 BC 于点 E,AE=1,ED=2.(3)延长DB到 F,使得BF=BO,连接F A,试判断直线FA与。0 的位置关系，并说明理由.答案解析部分1.【答案】（1）解：直线AD与。0 的位置关系是相切,理由是：作直径A E,连接CE,；./A C E=90。，.NE+NEAC=90。，VZB=ZDAC,ZB=ZE,/.ZE=ZD A C,.ZEAC+ZDAC=90,即 OALAD,.OA 过 O,直线AD与。O 的位置关系是相切；(2)解：连接O C,过。作 OFLAC于 F,VZCAD=30,ZDAO=90,AZO AC=60,VOC=OA=1,.OAC是等边三角形，.,.AC=OA=1,ZAOC=60,VOA=OC,OFAC,.AF=FC=1,由勾股定理得：0F=J 1 2 _(分2=孚,阴影部分的面积为：鳖穿_；x l x =看苧【知识点】等边三角形的判定与性质；圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算【解析】【分析】(1)作直径A E,连 接C E,求出/OAD=90。，根据切线的判定得出即可；(2)求出OAC是等边三角形，再分别求出aO A C和扇形OCA的面积，即可得出答案.2.【答案】(1)证明：如图，连 接OA；1|OB,：.OC=BC=AC=OA.ACO 是 等 边 三 角 形.:.乙0=Z.OCA=60。，：AC=BC,ZCAB=ZB,又NOCA 为AACB的外角，A Z OC A=Z C AB+Z B=2 Z B,/.Z.B=3 0 ,又 z04C=60,A Z.OAB=90,，AB是。的切线(2)解:作AE_LCD 于点E,VzO=60,/.=30.VZ.ACD=45,AC=OC=2,.在 RtaACE中，CE=/lE=a；VzD=30,，4。=2VL.,.DE=3AE=V6,CD=DE+CE=6+.【知识点】圆周角定理；切线的判定【解析】【分析】如图，连 接0 4,植 陋 意 寿 出OC=8C=/C=O4根据三边相等的三角形是等边 三 角 形 得 出/口?是 等 边 三 角 形，根据等边三角形的性质得出/O=NOCA=60。,根据等边对等角得 出Z C A B=Z B,根据三角形外角的定理得出ZOCA=ZCAB+ZB=2ZB,故NB=30。,根据角的和差得出NOAB=90。，故是。0的 切 线；(2)作/E_LCO于 点E,根据同弧所对的圆周角等于圆心角的一半得出ND=30。,然后根据等腰直角三角形的性质及含30。直角三角形的边之间的关系得出CE,DE的长，进而根据线段的和差即可算出答案。3.【答案】(1)证明：如图，连 接OC,E：0C=OB,J.Z-OCB=乙B,VE0 1715,工乙 OGB+乙B=90,：EG=EC,:(ECG=LEGC,:乙 EGC=LOGB,：.Z-OCB+乙 ECG=ZB+Z.OGB=90,:.OC 1 CE,EC是圆0 的切线；(2)解：证明：乙4BC=22.5。，乙OCB=LB,乙 4OC=45。，EO LAB,C O F=45。，：.AC=CF9：.AC=CF；作 CM_LOE于 M,.4B为直径，乙 4cB=90。，9：Z.ABC=22.5,乙GOB=90,乙 4=NOGB=67.5。，AzFGC=67.5,VzCOF=45,OC=OF,AzOFC=ZOCF=67.5,:.乙 GFC=AFGC,:,CF=CG,：.FM=GM,.44。=NCOF,CD 1 O?l,CM 1 OF,：.CD=CM,在 RtZkACD 和 RMFCM 中，.(AC=GF(CD=C M9：.Rt ACD=Rt FCM(HL),：.FM=A D=1,；FG=2FM=2.【知识点】切线的判定；圆的综合题【解析】【分析】(1)先求出40GB+4B=90。，再求出O C 工C E,最后证明即可;(2)先求出LAOC=4 5 ,再求出A C=C F,最后证明即可；根据题意求出乙 FGC=6 7.5 ,再利用全等三角形的判定与性质求解即可。4.【答案】(1)证明：如图,连接0 案VAC=BC,AD=CD,OB=OC,ZA=ZB=Z1=Z2.又,BD是直径，ZBCD=90,VZACO=ZDCO+Z2,ZACO=ZDCO+Z1=ZBCD,A ZACO=90,B P ACOC,又c 在。o 上，JA C 是。O 的切线(2)解：由题意可得aD C O 是等腰三角形，VZCDO=ZA+Z2,ZDOC=ZB+Z1,J ZCDO=ZDOC,即DCO是等边三角形./A=NB=Nl=N2=30。，CD=AD=OD=4,在直角4B C D 中，3。=，劭。一 2，前一下=4 色作 CEJ_AB于点E.在直角B E C 中，NB=30。,，CE=1 BC=2 J3,.SAABC=I ABCE=1 xi2x2 上=12 上.【知识点】切线的判定【解析】【分析】（1）连接0 C,根据等腰三角形的性质：等边对等角，以及直径所对的圆周角是直角,利用等量代换证得NACO=90。，据此即可证得；（2）易证NA=NB=N1=N2=3O。，即可求得AC的长,作CEJ_AB于点E,求得CE的长，利用三角形面积公式求解.5.【答案】（1）证明：连接OD,：EF垂直平分BD,.BE=EDZB=ZEDBVOD=OAZA=ZODAVZC=90,.NA+NB=90。，ZODA+ZEDB=90./ODE=90唧 ODLDE,直线DE是圆O 的切线.(2)解：连接O E,过点O 作 OHLAB于点H,OCE和aO D E是直角三角形，.CE2+OC2=OD2+DE2/2CE2+42=22+()解之：CE=-,r)r r r ox7 103 8点 二 反 BC=CE+BE=-F 飞 一=6V3在 RtAABC 中，,*tanzC/lB=前:=V3，ZCAB=60,.,OA=OD.AOD是等边三角形,.ZAOD=60,.,.ZCOD=180o-60=120OH=OAsmz.A=2 x sin600=V3 C _ R,R _ 12OTTX22,1、,/3、，c2 _ 4_,B阴影部分=、扇形+、MOD=-360-+2 T N =3TT+V 5【知识点】线段垂直平分线的性质；切线的判定；解直角三角形【解析】【分析】(1)连接O D,利用线段垂直平分线的性质可证得BE=ED,再利用等腰三角形的性质可得到NB=/EDB,ZA=ZODA；再根据直角三角形的两锐角互余去证明/ODA+NEDB=90。，然后利用切线的判定定理可证得结论。(2)连接O E,过点O 作 OHLAB于点H,利用勾股定理建立关于CE的方程，解方程求出CE的长,从而可求出BC的长；在 RtzABC中，利用解直角三角形求出NCAB的度数，可证得aA O D 是等边三角形，然后求出/C O D 的度数，解直角三角形求出OH的长，由此可求出阴影部分的面积。6.【答案】(1)证明：如 图1,连 接0E.R O H F A图1VBE1EF,J ZBEF=90,B F是 圆0的直径.BE 平分NABC,AZCBE=ZOBE,VOB=OE,AZOBE=ZOEB,NOEB=NCBE,.OE/BC,J ZAEO=ZC=90,JA C是。O的切线；(2)解：如 图2,连 结DE.图2VZCBE=ZOBE,EC_LBC 于 C,EHJ_AB 于 H,EC=EH./ZCDE+ZBDE=180,ZHFE+ZBDE=180,AZCDE=ZHFE.Z-CDE=Z.HFE在4CDE 与aHFE 中，zC=zW F=90。，EC=EHAACDEAHFE(AAS),CD=HF.(3)解：由(2)得 CD=HF,又 CD=1,AHF=1,VEF1BE,ZBEF=90,J ZEHF=ZBEF=90,VZEFH=ZBFE,AAEHFABEF,.而HFEF,EF即/1 0 _ 1ABF=10,.0E=|BF=5,OH=5-1=4,A.OHE 中，cosZEOA=1,；.RtZEOA 中,cosZEOA=|，5 _ 40 A =5 ,.0A=竽,，AF若一5 T【知识点】全等三角形的判定与性质；切线的判定；相似三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线【解析I分析】(1)连 接OE,由于BE是角平分线，则有NCBE=NOBE；而OB=OE,就有NOBE=NOEB,等量代换有/O EB=N CBE,那么利用内错角相等，两直线平行，可 得OEBC；又/C=90。，所以ZAEO=90,即AC是。O的切线；(2)连 结D E,先根据AAS证明4CDE丝H F E,再由全等三角形的对应边相等即可得出CD=HF；(3)先证得E H F sB E F,根据相似三角形的性质求得BF=10,进而根据直角三角形斜边中线的性质求得0 E=5,进一步求得O H,然后解直角三角形即可求得0A,得 出AF.7.【答案】(1)证明：.在AAME 中，AM=2,ME=1,AE=V3,AAM2=ME2+AE2,.AME是直角三角形,.ZAEM=90,又：MNBC,ZABC=90,.ABBC,而AB为直径,.BC是。0的切线（2）解：连 接O M,如图，设。O的半径是r,在 RtZOEM 中，OE=AE-OA=6 -r,ME=1,OM=r,VOM2=ME2+OE2,.*=1 2+（7 3 -r）2,解 得r=等，即0 0的 半 径 为 学.【知识点】勾股定理；勾股定理的逆定理；切线的判定【解析】【分析】（1）欲证明BC是。0的切线，只需证明AB1BC即可；（2）连 接O M,设。O的半径是厂，在RtAEM中，O E=A E -0 A=V3-r,M E=1,0 M=r,利用勾股定理即可求得.8.【答案】（1）证明：如图所示：连 接0C,：AC|0M,./OAC=NBOM,/A C O=/C O M,V0A=0C,.ZOAC=ZACO,.NBOM=NCOM,（OC=OB.,在OCM 与OBM 中=/BOM,（OM=OMAAOCMAOBM（SAS）,又,rM B是。O的切线，/.ZOCM=ZOBM=90,.MC是。的切线.（2）解：AB是。O的直径，.ZACB=ZAPB=90,；OB=竽，/.AB=15,；.PA=PB=1 型,2VBC=12,：-AC=7AB2-BC2=V152-122=9，过 点A作AHLPC于 点H,：.2LAHC=Z.AHP=90,.Z C H =B P =45。，AH=CH=AC x sin45=9 x 孝=PH=y/PA2-AH2=J（专与-（学）2=6V2PC=PH+CH=2 乎.2【知识点】等腰三角形的性质；圆周角定理；切线的判定；锐角三角函数的定义；三角形全等的判定（SAS）【解析】【分析】（1）连 接O C,由平行线的性质可得NOAC=NBOM,ZA C O=ZC O M,由等腰三角形的性质可得N O A C=/A CO,则/BOM=NCOM,利 用SAS证明OCMgZOBM,得到/OCM=/OBM=90。，据此证明；（2）由圆周角定理可得NACB=NAPB=90。，根 据OB的值可得A B,然后求出PA、P B,利用勾股定理可得A C,过 点A作AH_LPC于 点H,根据三角函数的概念可得A H,利用勾股定理可得P H,然后根据PC=PH+CH进行计算.9.【答案】（1）解：CD与。O相切.理由：连 接OD,VZAED=45,/.ZAOD=2ZAED=90,即 ODLAB,四边形ABCD是平行四边形，/.AB/CD,AODICD,AB为直径的圆O经过点D,：.CD与。O相切；(2)解：过 点O作OF_LAE,连 接OE,则 AF=1 AE=1 xio=5(cm),VOA=OE,/.ZAOF=|ZAOE,V ZADE=|ZAOE,ZADE=ZAOF,在 RtAAOF 中，sinZAOF=需=|/.sinZADE=看.【知识点】平行四边形的性质；切线的判定【解析】【分析】(1)首先连接O D,由在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角等于这条弧所对的圆心角的一半，即可证得O D LA B,又由四边形ABCD是平行四边形，即可证得OD_LCD,即可证得CD与。O相切；（2）首先过点O作OFLAE,连接0 E,由垂径定理可得AF=5cm,NAOF=|NAOE,又由圆周角定理可得NADE=|NAOE,继而证得NAOF=NADE,然后在RtAAOF中，求得sin/AOF的值，即可求得答案.10.【答案】（1）证明：DE与半圆O 相切，理由为：连接OD,B D,如图所示：AB为圆O 的直径，.ZADB=90,在 RtZkBDC中，E 为BC的中点，/.DE=BE=1 BC,.ZEBD=ZEDB,VOB=OD,.ZOBD=ZODB,又：ZABC=90,即 ZOBD+ZEBD=90,ZEDB+ZODB=90,即 Z ODE=90,（2）解：方程 x2-10 x+24=0,因式分解得：（x-4）（x-6）=0,解得：xi=4,X2=6,：AD、AB的长是方程x2-10 x+24=0的两个根，且ABAD,；.AD=4,AB=6,：AB是直径，ZADB=90,在 R 3A B D 中，根据勾股定理得：BD=7AB2-A=2 V5,VAABDAACB,.BC _ AB.ri BC 6 前 一 面 即 派 一 4，BC=3 V5.【知识点】因式分解法解一元二次方程；切线的判定【解析】【分析】（1）DE与半圆0 相切，理由为：连接OD,B D,由AB为半圆的直径，根据直径所对的圆周角为直角得到一个角为直角，可得出三角形BDC为直角三角形，又 E 为斜边BC的中点，利用中点的定义及斜边上的中线等于斜边的一半，得到ED=EB,利用等边对等角得到一对角相等，再由OD=OB,利用等边对等角得到一对角相等，根据NEBO为直角，得到NEBD与NOBD和为90,等量代换可得出NODE为直角，即 DE与 OD垂直，可得出DE为圆O 的切线，得证；（2）利用因式分解法求出x2-10 x+24=0的解，再根据AB大于A D,且 AD和 AB为方程的解，确定出AB及AD的长，在直角三角形ABD中，利用勾股定理即可求出BD的长，然后根据三角形相似即可求得BC的长.11.【答案】（1）解：DE与。0 相切，理由：连接DO,：DO=BO,.,.ZODB=ZOBD,/ZABC的平分线交。O 于点D,，NEBD=NDBO,ZEBD=ZBDO,DOBE,VDEBC,.ZDEB=ZEDO=90o,.DE与。O 相切(2)解：/ABC 的平分线交。O 于点 D,DE_LBE,DFAB,DE=DF=3,VBE=3 V3,，BD=J32+2=6,VsinZDBF=|=1,ZDBA=30,ZDOF=60,.,.soiinnA6O00 -OF 3,v”：.DO=2 V3,则 FO=y/3,故图中阴影部分的面积为：607rx(2V3)2_ lxx 3 =2 7 r_3V3 O U L L【知识点】圆周角定理；切线的判定；扇形面积的计算【解析】【分析】(1)连接O D,利用等腰三角形的性质及角平分线的定义，可证得NEBD=NBDO,再利用平行线的判定定理，可 证 DOB E,然后由D E L B C,可证O D L D E,即可证得结论。(2)利用角平分线的性质，可证DE=DF,利用勾股定理求出BD的长，再利用解直角三角形求出NDBA的度数，利用圆周角定理求出NAOD的度数，从而可求出OD、OF的长，然后利用三角形的面积公式及扇形的面积公式求出阴影部分的面积。12.【答案】(1)证明：如图1,连接OD.AD 平分NBAC,/.ZBAD=ZCAD,VOA=OD,.NBAD=NODA,.ZCAD=ZODA,.ODAC,./O D B=/C=90,ABC1OD,又0D是圆O 的半径，BC是圆O 的切线；(2)证明：如图2.连接DE,EFB；BC是。O 的切线，ZBDO=90.：AE是。O 的直径，,ZADE=90.Z BDE=ZADO=90-ZEDO.VOD=OA,，ZOAD=ZADO.AZBDE=ZOAD.又.BDEABAD.(3)解：在 RtZXBOD 中，sinB=|,UD 5V 3设圆O 的半径为r,则 薜=5r+2解得 竽.；.AE=2r=竽，AB=AE+BE=10.在 RtZAEF 中，ZAFE=ZACB=90,则 BC EF,AF AF 3NAEF=NB,sin/AEF=sinB=E=T5=5，T.A F=|VZB=ZAEF=ZADF,NCAD=NBAD,AAABDAADF.嚼=祭 即 A D2=A B -AF.-AD=4 A B A F =J10 x|=3V5.【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义【解析】【分析】（1）先证明NODB=NC=90。，可 得BCLO D,再结合0 D是 圆0的半径，可 得BC是 圆O的切线；（2）连 接DE,E F,先利用等边对等角及等量代换可得/BD E=N O A D,再结合/B=N B,可得BDEABAD；（3）先利用解直角三角形的方法求出AF的长,再证明A BDsA D F,可唠=条,即A D2=AB.A F,再求出AD的长即可。13.【答案】（1）证明：连 接0E,VOA=OE,/.ZOAE=ZOEA,VzCAB的平分线交B C 于点、D,交。于 点E,ZCAE=ZOAE,.ZCAE=ZOEA,:乙 BEF=CAE,:.乙B E F=ZOEA,：A B是。的直径，.,.ZAEB=90,A ZOEA+ZBEO=ZBEF+ZBEO=90,即：ZOEF=ZAEB=90,r.OEEF,：.E F是。0的切线；(2)解：由(1)可知：ZBEF=ZEAF,又：夕 二 ，/.BEF,.BE _ B F _ E F pn BE _ 1 0 _ 20EA=EF=AF N ：EA=20=AF，AF=40,EA=2BE,.AB=AF-BF=40-10=30,：.Q O的半径为15,设 B E=x,贝iAE=2x,./+（2x）2=302,解得：乂=6 岳（舍去负值），*-BE=6A/5,AE=12A/5,ZCBE=ZCAE=ZEAB,/.tan Z CBE=tan Z EAB,DE _ B E J E =A E 2 DE=x 675=3V5,A AD=AE-DE=12V5-3A/5=9遥.【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的定义；角平分线的定义【解析】【分析】（1）连 接OE,根据等腰三角形的性质NCAE=NOEA,由4,可得NB =O E A,利用圆周角定理可求出NOEF=NAEB=90。，根据切线的判定定理即证结论；（2）证明B E F 7 E A F,可得 普=嚣=益，据此求出AF=40,EA=2BE,从而求出AB=30,继而得出。的半径为1 5,设B E=x,则AE=2x,在RtaABE中，利用勾股定理建立方程，求 出x值即得 BE、A E,由 NCBE=NCAE=/EAB,可得 tan/CBE=tan/EA B,即 得 器=器=/，据此求出D E,利 用AD=AE-DE计算即得结论.14.【答案】（1）证明：连 接AN,VAC是。0的直径,AAN1BC,VAB=AC,ZCAB=2ZCAN=2ZBAN,VZCAB=2ZBCP,A2ZCAN=2ZBCP,，ZCAN=ZBCP.VZCAN+ZACN=90,NBCP+NACN=90,A CPI AC,0 C是o。的半径 CP是。的切线；(2)解：如图，过 点B作BDJ_AC于 点D.AB=AC,AN1BC,BN=CN-|BC=3,iVtanzFCP=tstnZ-N AC tanz_BCP=；.AN=6,：.AC=y/AN2+CN2=+32=3遮，在aC A N和aC B D中，:乙ANC=4BDC=9 0,乙ACN=BCD,.CANMCBD,BC BD ari 6 _BD-AC=ANr 即 宿=%.BD=I 空【知识点】切线的判定；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）连 接A N,利用等腰三角形的性质、直角三角形的两个锐角互余和圆的切线的判定定理解答即可;(2)过点B作BDAC于点D.在4CAN和4CBD中，证出CANs4CBD,得出笨=犒,即 亳 =警，即可得解。15.【答案】(1)证明：连接0C,DVAB为直径，ZACB=90,ZACO+ZOCB=90,VOA=OC,/.ZBAC=ZACO,VZBCP=ZBAC,AZBCP=ZACOJ NBCP+NOCB=90。，即 NOCP=90。,PC是。O 的切线；(2)证 明:VZBCP=ZBAC,ZACB的平分线交。O 于点D,J ZACD=ZBCD,VZPCE=ZPCB+ZBCD,NPEC=NBAC+NACD,AZPEC=ZPCE,PEC是等腰三角形；(3)解：连接 B D,作 DN 1 C B,垂足为 M,N,：CD 平分CB,DM 1 AC,DN 1 CB,：.DM=DN,AD=BD,：.AD=BD,：zAMD=乙 BND=90,.A MD m A BND(HL),.S M C =乙 MCN=乙 CND=90,.四边形CMDN为矩形，：DM=DN,矩 形CMDN为正方形，:CN=骨 口，：AC+BC=CM+AM+CB=2CN,：.AC+BC=/2CD，：AC+BC=2,CD=V2.【知识点】切线的判定：圆的综合题【解析】【分析】(1)连 接O C,根 据AB为直径，得出NACB=90。，则NACO+NOCB=90。，从而得出NBCP+NOCB=90。，即NOCP=90。，即可得出结论；(2)根据NPCE=NPCB+/BCD,Z PEC=Z BAC+Z ACD,得出N PEC=/PC E,即可得出结论；(3)连接 B D,作 OMJ.AC,DN 1 C B,垂足为 M,N,根据 CD 平分乙4CB,DM A.AC,DN 1 CB,得 出DM=DN,A b B D,推 出AO=B D,再利用HL证明/MD三 BN。，得出四边形CMDN为矩形，再推出矩形CMDN为正方形，则CN=c O,即可得出答案。16.【答案】(1)证 明:VAB=AC,.,.ZABC=ZC,与N D 所对应的弧均为AB,.ZC=ZD,AZABC=ZD(2)解：VZABC=ZD,NBAE=NDAB,/.ABEAADB,.AB _AEAD=AB 即 AB2=AE (AE+ED)=3,解得：AB=V3(3)答：直线FA与。O 相切.理由如下：.BD为。O 的直径，/.ZBAD=90o,在 R17XABD 中，AB=V3,AD=1+2=3,根据勾股定理得：BD=2 V3,；.OB=OA=AB=V3,VBF=OB,；.AB=FB=OB,即 AB=|OF,.ZOAF=90,则直线AF与。O 相切.【知识点】圆周角定理；切线的判定；相似三角形的判定与性质【解析】【分析】（1）由AB=AC,利用等边对等角得到/A B C=/C,再由同弧所对的圆周角相等得到Z C=Z D,等量代换即可得证；（2）由（1）的结论与公共角相等，得到4A B E与aA D B 相似，由相似得比例，即可求出AB的长；（3）直线FA与。O 相切，理由为：连接O A,由BD为直径，得到/B A D 为直角，在 RtaABD中，利用勾股定理求出BD的长，得至U AB=OB=OA,根据BF=BO,得到AB等于F 0 的一半，确定出NOAF为直角，即可得证.