河北省鹿泉等名校2022年高三下学期第一次联考数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3 .考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知P：叫 l,l og|Xo 3：V x e R,e*x,则下列说法中正确的是（）2 2A.p v g 是假命题 B.八夕是真命题C.是真命题 D.p/（是假命题2.若,一/二、？则cos 2二=（）s i n（E+-y）=-A.B.C.D.J-J 5 23 .已知集合A =1,3,J码，5 =1,加 ,若 AuB=A,则加=（）A.。或 由 B.0 或 3 C.1或 右 D.1或 3y x4 .已知不等式组y2-X 表示的平面区域S 的面积为%若点尸（苍 历 w S,则+y的最大值为（）x,Q,若原点。在以PQ为直径的圆的外部,则直线/的斜率Z的取值范围为（）6.过抛物线 2=4 x 的焦点厂的直线交该抛物线于A ,8 两点，。为坐标原点.若|A 尸|=3,则直线AB的斜率为（）A.72 B.-V2 C.272D.2 07,执行如下的程序框图，则输出的S 是（）A.3 6C.-3 6B.4 5D.-4 58.设函数/(x),g(x)的定义域都为R,且/(x)是奇函数，g(x)是偶函数，则下列结论正确的是()A./(x g(x)是偶函数C.x|g(x)|是奇函数B.|/(x)|-g(x)是奇函数D.|/(x g(x)|是奇函数9 .已知4。0,则下列不等式正确的是()A.1&-目|e*i o.已知向量互=(1,加)，5 =(3,-2),且(+6)_L6,则，=()A.-8C.6B.-6D.811.定义在R上的偶函数/(%)满足/(x +l)=-1“X)(月片0),且在区间(2017,2018)上单调递减，已知a,4是锐角三角形的两个内角，则/(s i n p)j(cos a)的大小关系是()A./(s i n 耳)/(cos a)C./(s i n p)(cos a)D.以上情况均有可能1 2.已知等差数列同,贝!J a 2 a j 是“数列同 为单调递增数列”的()A.充分而不必要条件B.必要而不充分条件C.充分必要条件D.既不充分也不必要条件二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。,/(%,)-/(x2).13.设函数/(x)=x|x-a|,若对于任意的修，x2e2,+s),再r，不等式 _ _ -0恒成立,则实数aX X2的 取 值 范 围 是.4 3 214.甲、乙两人同时参加公务员考试，甲笔试、面试通过的概率分别为一和一；乙笔试、面试通过的概率分别为一和5 4 3若笔试面试都通过才被录取，且甲、乙录取与否相互独立，则 该 次 考 试 只 有 一 人 被 录 取 的 概 率 是.215.如图所示梯子结构的点数依次构成数列 4 ,则qoo=.,.1 6.已知双曲线的一条渐近线为y=2 x,且经过抛物线y2=4x的焦点，则 双 曲 线 的 标 准 方 程 为.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12分)已知数列 q 满足且%=?+击(2 2,*).(1)求证：数列 2%是等差数列，并求出数列%的通项公式；(2)求数列 ,的前项和S“.18.(12分)已知椭圆E:三 +#=l(a bO)的 离 心 率 为 白，且过点,点P在第一象限，A为左顶点,8为下顶点，Q4交y轴于点C,/5交x轴于点O.(1)求椭圆E的标准方程;(2)若C D H A B ,求点P的坐标.19.(12分)诚信是立身之本，道德之基，我校学生会创设了“诚信水站”，既便于学生用水，又推进诚信教育，并用，舞徽等，表示每周，水站诚信度”，为了便于数据分析，以四周为一周期，如表为该水站连续十二周(共三个周期)的诚信数据统计:第一周第二周第三周第四周第一周期95%98%92%88%第二周期94%94%83%80%第三周期85%92%95%96%(I)计算表中十二周“水站诚信度”的平均数，(D)若定义水站诚信度高于90%的为“高诚信度”，90%以下为“一般信度”则从每个周期的前两周中随机抽取两周进行调研，计算恰有两周是“高诚信度”的概率；(山)已知学生会分别在第一个周期的第四周末和第二个周期的第四周末各举行了一次“以诚信为本”的主题教育活动,根据已有数据，说明两次主题教育活动的宣传效果，并根据已有数据陈述理由.2 220.(12分)已知椭圆：C:=+当=1(。8 0)的四个顶点围成的四边形的面积为2厉，原点到直线二+4=1的矿/ra b距 离 为 粤(1)求椭圆。的方程；(2)已知定点P(0,2),是否存在过户的直线/,使/与椭圆C交于A，B 两 点,且 以 为 直 径 的 圆 过 椭 圆C的左顶点？若存在，求出/的方程：若不存在，请说明理由.21.(12分)如 图，在直三棱柱ABC 中，A B=B C =AA,=1,A C =6 点D E分别为AC和g G的中点.(I)棱A 4上是否存在点P使 得 平 面 平 面M E?若存在，写出物的长并证明你的结论；若不存在，请说明理由.(I I)求二面角A BE。的余弦值.22.(10分)在平面直角坐标系xOy中，已知平行于x轴的动直线/交抛物线C：产=4于点尸，点 尸 为C的焦点.圆心不在y轴上的圆M 与直线/,PF,x轴都相切，设 M 的轨迹为曲线E.(1)求曲线E 的方程；(2)若直线4 与曲线E 相切于点。(SJ),过。且垂直于4 的直线为4,直线4，4分别与y轴相交于点A，B.当线段 48的长度最小时，求 S 的值.参考答案一、选择题：本题共1 2 小题，每小题5 分，共 6 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】举例判断命题p与 g 的真假，再由复合命题的真假判断得答案.【详解】当与 1 时，l gl/(0)=1 0,即故4 命题为真命题；:.p/(F)是假命题故选D【点睛】本题考查复合命题的真假判断，考查全称命题与特称命题的真假，考查指对函数的图象与性质，是基础题.2.B【解析】由三角函数的诱导公式和倍角公式化简即可.【详解】因为,一、7 由诱导公式得-所 以 一S i n(z+)=Y COSL=-y cos?二=2COS7 2故选B【点 睛】本题考查了三角函数的诱导公式和倍角公式，灵活掌握公式是关键，属于基础题.3.B【解 析】因为=A，所 以B q A,所 以 加=3或 根=诟.若m=3,则 A=1,3,百,B=1,3 ,满足 ADB=A.若m =G i,解 得m=0或m=1.若加=0,则 A=1,3,0 ,8 =1,3,0 ,满足 ADB=A.若加=1,A =1,3,1 ,8 =1,1 显然不成立，综 上 加=0或7 =3,选B.4.C【解 析】分 析：先画出满足约束条件对应的平面区域，利 用 平面区域 的 面 积 为9求 出。=3,然后分析平面区域多边形的各个顶点，即求出边界线的交点坐标，代入目标函数求得最大值.详解：作出不等式组对应的平面区域如图所示：则A(a,a),所 以 平 面 区域的面积S=a 2 a=9,2解 得a=3,此 时A(3,3),B(3,-3),由图可得当z =2 x+y过 点A(3,3)时，z =2 x+)，取 得 最 大 值9,故 选C.点睛：该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判 断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型；根据不同的形式，应用相应的方法求解.5.D【解 析】设直线/：y=kx+2,P（x”x）,。（看，必），由原点。在以P Q为直径的圆的外部，可 得 丽 丽 0,联立直线/与椭圆C方程，结合韦达定理，即可求得答案.【详解】显然直线x =0不满足条件，故可设直线/：y=kx+2,4 +2 P（3，X），。（工2，必），由 2 +一，得（1 +2/）炉+8 h+6 =0,y=kx+2A=6 4 -一2 4（1 +2公）0,解 得 人 当 或 坐8k 6.+X-j -9 X,X2-T1 +2女2 1 2 1 +2公n 0 ZPO Q 0,O P O Q=%丹 +，1%=%2+（烟 +2）（5+2）（1 +攵2）%2 +2攵（%+勺）+46 0 +父）16k21+2-1+2公1 0-2 公l +2k2+4 =0,解得Y k#，直线/的斜率Z的取值范围为左e$当 Li 乎.g乃即7:万-尸，所以 cos a cos(；万一6)即0 cosa sin2 1,/(co s)a”则d 0,即数列 a0为单调递增数列，若数列 a”为单调递增数列，则a2a”成立，即“a2ai”是“数列 a j为单调递增数列”充分必要条件，故选C.考点：必要条件、充分条件与充要条件的判断.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.a2时/(x)=x|x-4在团,+8)上单调递增；在 。)上单调递减，因此实数a的取值范围是a 2考点：函数单调性1 4.81 5【解析】分别求得甲、乙被录取的概率，根据独立事件概率公式可求得结果.【详解】4 3 3 2 1 1甲被录取的概率P i=X =4；乙被录取的概率p?=3 2 2 R二只有一人被录取的概率=巧（1 _2）+2（1 _四）=彳*4 +、=记.Q故答案为：【点睛】本题考查独立事件概率的求解问题，属于基础题.1 5.5 2 5 2【解析】根据图像归纳%=2 +3 +4 +.+2,根据等差数列求和公式得到答案.【详解】根据图像：4=2+3,=2+3 +4,故4=2 +3 +4 +.+2,石（2 +1 0 2）x 1 0 1故 4co=2 +3 +4 +1 0 2 =-a-=5 2 5 2.故答案为：5 2 5 2.【点睛】本题考查了等差数列的应用，意在考查学生的计算能力和应用能力.1 6.-工=14【解析】、,2设以直线y =为渐近线的双曲线的方程为-3 =/1（/1*0）,再由双曲线经过抛物线2=4 x焦点 1,0）,能求出双曲线方程.【详解】解：设以直线y =为渐近线的双曲线的方程为一 一上_=a 70）,.双曲线经过抛物线丁=4 x焦点以1,0），:.1 =2,.双曲线方程为无2-2 1 =1,42故答案为：X2 =1 .4【点睛】本题主要考查双曲线方程的求法，考查抛物线、双曲线简单性质的合理运用，属于中档题.三、解答题：共7 0分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7.(1)证明见解析，4=今 史；(2)5“=5-2|号.【解析】(1)将等式/=智+击变形为2 a =2%T+2,进而可证明出 2。是等差数列，确定数列 2%的首项和公差，可求得2 4的表达式，进而可得出数列 q的通项公式；(2)利用错位相减法可求得数列 q的前项和S”.【详解】（1）因为%=首L+F（/N 2,“e N*）,所以2。，=：所以数列 2/是等差数列，且公差d =2,其首项2%c .1所以2%“=3+（l）x 2=2 +l,解 得%=-；,、。3 5 7 2n-l 2n +l 右“2 22 23 2“T 2S 3 5 7 2n-2n+l 人2 22 23 24 2 2向G G 尔 S“3 C.1 1 1、2 +1 3一，1#-=-+2x +-=-2 2 B，可用攵表示。的坐标，再 结 合 七 可 建 立 方 程，从而求出k的值，即可求得点P 的坐标.【详解】(1)由题意得+c?解得7 94?+1 6-/=4b2=1v-2所以椭圆E的方程为工+y 2=i.4 -(2)由 知点 A(2,0),B(0,-1),由题意可设直线AP 的斜率为,则 0 Z C3D=。，所以A/7,平面P8D.因为A F u平 面 所 以 平 面P8DL平面45E.(D)如图所示，以。为坐标原点，以D B,DC,OF分 别 为 汨y，Z轴建立空间直角坐标系.易知 0(0,0,0),BR,0,0所 以 而=吁 空,0,通=,0,DB 7 I /*。，。).设 平 面 的 法 向 量 为 送=(x,y,z),则有_ 一 1 73m BE=+y+z=0,(),根据导数的几何意义和斜率公式,并构造函数，利用导数求出函数的最值.【详解】(1)因为抛物线C的方程为y2=4 X,所以尸的坐标为(1,0),设加(加,“)，因为圆M与x轴、直线/都相切，/平行于x轴,所以圆M的半径为时，点P(2,2“)，则直线P F的 方 程 为 最=芝,即2(x 1)-y(/-1)=0 ,nin1 1)1所以 ：/4 又 如 工0,(2 4+(“2 1)2 1 1所以|2m 川 I卜*+i,即2 一根+i =o，所以E的方程为 2=x-i,(y/0),(2)设Q(/+l,f),A(O,y J,B(0,%),由(i)知，点。处的切线4的斜率存在，由对称性不妨设/0,由上叩)所以3.=t V,赤 吉=1 五怎1 2=号t=一v 2 7rr-=-2-,所以 X =/W，2=2 r+3 r,所 以 阿=2八*+J=2/+|f+J-o.5 1令 f)=2/+t+一2 2tt Q,则尸(。=6/5 1 12r4+5/2-l-=-2 2r 2 尸由 尸 0得”产妻,由/(r)0得所以当/=号时，/取得极小值也是最小值，即A 8取得最小值此 时 产 入1=生运24【点睛】本题考查了直线和抛物线的位置关系，以及利用导数求函数最值的关系，考查了运算能力和转化能力，属于难题.