2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数学.pdf

2019年普通高等学校招生全国统一考试(江苏卷)数 学参考公式：2(1)样本数据,X 的方差s =(七-X),其中x =.M n l=1(2)直棱柱的侧面积S=ch,其中c 为底面周长，h为高。(3)棱柱的休憩积V=S h,其中S为底面积，h为高.一、填空题：本大题共1 4 小题，每小题5分，共计70分。请把答案填写在答题卡相应位置上。1 .已知集合人=-1,1,2,4 ,8 =-1,0,2 ,则 Ac 8 =2 .函数/(x)=lo g5(2 x +l)的单调增区间是3 .设复数z 满足i(z +l)=3 +2 i(i是虚数单位)，则 z的实部是4 .根据如图所示的伪代码，当输入a,b分别为2,3时，最后输出的m 的值是5 .从 1,2,3,4这四个数中一次随机取两个数，则其中一个数是另一个的两倍的概率为6 .某老师从星期一到星期五收到信件数分别是1 0,6,8,5,6,则该组数据的方差$2=_7 .已知t a n(x +工)=2,则 网 上 的 值 为 _ _ _ _ _ _ _ _4 t a n 2x28.在平面直角坐标系x O y 中，过坐标原点的一条直线与函数/(x)=的图象交于P、Q 两点，则x线段P Q 长的最小值是9.函数/(x)=A s in(w x +0),(A w,0是常数，A 0,w 0)的部分图象如图所示，则#0)=2 -1 0.已知6,是夹角为5了的两个单位向量，a=et-2 e2,b=ke1+e2,若。=0,则k的值为.2x+a,x 1 2 .在平面直角坐标系x O y中，已知P是函数/(x)=(x 0)的图象上的动点，该图象在P处的切线/交y轴于点M,过 点P作/的垂线交y轴于点N,设线段M N的中点的纵坐标为t,则l的最大值是_ _ _ _ _ _ _ _ _1 3 .设W其中,a 3 M5 M 7成公比为q的等比数列，a 2 M4，。6成公差为1的等差数列，则q的最小值是1 4 .设集合 A =(x,y)|W(X-2)2 +y2 m2,x,yR,B (x,y)2mx+y 中，平面P A D _ L平面A B C D,A B=A D,Z B A D=6 0,E、F分别是A P、AD的中点求证：(1)直线E F平面P C D；(2)平面B E F _ L平面P A D1 7.请你设计一个包装盒，如图所示，A B C D是边长为6 0 c m的正方形硬纸片，切去阴影部分所示的四个全等的等腰直角三角形，再沿虚线折起，使得A 8 C O四个点重合于图中的点P,正好形成一个正四棱柱形状的包装盒，E、F在A B上是被切去的等腰直角三角形斜边的两个端点，设A E=F B=x c m(1)某广告商要求包装盒侧面积S (c m2)最大，试问X应取何值？(2)某广告商要求包装盒容积V (c m3)最大，试问X应取何值？并求出此时包装盒的高与底1 8.如图,i呼 长 的 比值。1的顶点，过坐标原点的直线交椭圆于P、A两点，其中P在第一象限，过P作x轴的垂线，垂足为C,连接A C,并延长交椭圆于点B,设直线P A的斜率为k(1)当直线P A平分线段MN,求k的值；(2)当k=2时，求点P到直线AB的距离d；(3)对任意k 0,求证：P A P B1 9 .已知 a,I 是 实 数,I k f(x)=x3+ax,g(x)=x2+bx,/(x)和 g (x)是/(x),g(x)的导函数，若/(x)g (x)2 0在区间/上恒成立，则称/(%)和g(x)在区间I上单调性一致(1)设a 0 ,若/(x)和g(x)在区间-l,+o o)上单调性一致，求b的取值范围；(2)设a 如寸,Sn+k+Sn_k=2(S+Sk)都成立(1)设“=必=2,初5的值；(2)设=3,4 ,求 数 列 4的通项公式参考答案一、填空题:本题考查基础知识、基本运算和基本思想方法，每小题5分，共计7 0分。1.1,2 2.3.1 4.31 4 J 65.-6.3.2 7.-8.4 9.3 9 2541 0.1 1.-1 2.(e+e-)1 3.3 1 4.-,2 +V2 4 2 2二、解答题:1 5.本题主要考查三角函数的基本关系式、两角和的正弦公式、解三角形，考查运算求解能力。满分14分.解：(1)由题设知 s i n Ac o s 工+c o s As i n 工=2 c o s A 从而 s i n A=J 5 c o s A,所以 c o s A w 0 ,6 6ta n A=因为0 Q 肛所以A=.3(2)由 c o s A=,=3 c及/3-b2+c2-2/?c c o s A 得。2 =h2jr j故A A B C是直角三角形，且8 =一，所 以s i n C=c o s A=.2 31 6 .本题主要考查直线与平面、平面与平面的位置关系，考察空间想象能力和推理论证能力。满分1 4分。证明：(1)在 P A D中，因为E、F分别为 kAP,A D的中点，所以E F/PD./又因为E F Z平面PCD,P D U平面PCD,A J V 所以直线E F 平面PCD.I ；(2)连结 D B,因为 AB=AD,ZBAD=6 0,J t-V所以A A B D为正三角形，因为F是A D的,16a，中点，所以BFJ _ AD.因为平面PADJ _平面ABCD,B F u平面ABCD,平面PAD八平面ABCD=AD,所以BF_ L平面PAD。又因为B F u平面BE F,所以平面BE F_ L平面PAD.1 7 .本小题主要考查函数的概念、导数等基础知识，考查数学建模能力、空间想象力、数学阅读能力及解决实际问题的能力。满 分1 4分.解：设像盒的高为h (c m),底面边长为a (c m),由己知得a=41x,h=一F=V2(3 0-x),0 x 0;当X e (2 0,3 0)时 V 2，%），则玉 0,x2 0,xt x2,A（-xf，-）,C（X 1,0）.设直线PB,A B的斜率分别为占#2因为C在直线A B上，所以女2=0T）=-5.x,-（-xI）2 x,2从而%/+1 =2匕3+1 =2.，2一%力 一（一弘）J%2 （一%）2货-2 y；(k+2负)X；-X 12 X；-X：4-4X；-X：=0.因此匕斤=一1,所以1 9.本小题主要考查函数的概念、性质及导数等基础知识，考查灵活运用数形结合、分类讨论的思想方法进行探索、分析与解决问题的综合能力。满 分1 6分.解：f（x）=3x2+a,g（x）=2x+b.（1）由题意知/（x）g（x）2 0在 l,+8）上恒成立，因为a 0,故3 1+”0,进而2x +b 2 0,即8 2 2x在 区 间 T,+oo）上恒成立，所以匕2 2.因此6的取值范围是 2,+0。）令（幻=0,解得x =若力0,由a 0得0 e(a,b).又因为y(0)g(0)=ab0,所以函数/（x）和g（x）在（a,切上不是单调性一致的，因此匕0.现设人40当xe(8,0)时,g(x)0.因此，当XG(-OO,十 多 时，fx)g(X)0.故由题设得aN-Ji且bN-旧，从而4 a 0故当函数/(x)和g(x)在(-g,0)上单调性一致，因 此 的 最 大 值 为g.2 0.本小题考查数列的通项与前项和的关系、等差数列的基本性质等基础知识，考查考生分析探究及逻辑推理的能力，满 分16分。解：由 题 设 知，当2 20寸,5用一1T=2(S.+E),即(S“M SJ(S“S.T)=2 E，从而 an+l-a”=2q-2,又4 =2,故当 刑,。“-a2+2(-2)=2 一 2.所以火 的值为8。(2)由题设知，当攵eM =3,4,且的，3什 +5,修=2S.+2S且S+i+*+S“+_*=25n+1+25%,两式相减得 4+i+*+1_*=2+1,BP+1+t-an+i_k=an+l-an+i_k所以当之8f时,an_3,an,a“+3,an+(t成等差数列，且a_6,an_2,an+2,an+b也成等差数列从而当2 8时，2%=%+3+4_3=%+6+4-6 (*)且%+6+%-6=4+2+4-2，所 以 当 心 丽,2%=4+2+a,.-2，即4+2-an=an an-2 于是当 之训寸，%-3，%,%+1，%+3成等差数列，从 而%+3+4-3=4+1+%,故 由(*)式知 2a=an+%,即 -a“=an-an_r当“2 9时，设d=a“一4+.当 2 4加 8,从 而 由(*)式知 2am+6=4.+4”+i2故 2am+7 am+am+l3-从而2(。,“+7 -q“+6)=-4”+(4”+1 3 4用2)，于是q“+i _a”,=2 d-d =d.因此，a.%=d对任意”2 2都成立，又由Sn+k+Sn_k-2Sk=2Sk(k G 3,4 )可知+-S,)-S_,)=2&,故9 d =2邑且 1 6。=2s4,7 3 d解得。4 =”,从而%=5|=.因此，数列%为等差数列，由q=l知d =2.所以数列%的通项公式为an=2/2-1.数学n （附加题）21.【选做题】本题包括A、B、C、D 四小题，请选定其中两题，并在答题卡指定区域内作答，若多做，则按作答的前两题评分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤.A.选修4-1：几何证明选讲（本小题满分1 0分）如图，圆口 与圆&内切于点A ,其半径分别为4与弓（;；外），圆q 的弦AB交圆仪 于点C 不在AB上），求证：A 3:AC为定值。第2 M 图B.选修4-2：矩阵与变换（本小题满分1 0分）-11 1 ,已知矩阵4=2 ，向 量/=之，求向量a，使得4-。=尸.C.选修4-4：坐标系与参数方程（本小题满分1 0分）x=5 c o s（o f%=4 2 z在 平 面 直 角 坐 标 系 中，求过椭圆 （S为参数）的右焦点且与直线1 （ty=3 s i n y=3-r为参数）平行的直线的普通方程。D.选修4-5：不等式选讲（本小题满分1 0分）解不等式：x+|2 x-l|b(1)记 4 为满足4一人=3的点P的个数，求 人；(2)记纥为满足g(a-3是整数的点P的个数，求纥附加题参考答案2 1 .【选做题】A.选修4-1：几何证明选讲本小题主要考查两圆内切、相似比等基础知识，考查推理论证能力，满 分 1 0分。证明：连 结 A O”并延长分别交两圆于点E和点D连 结 B D、CE,因为圆01 与 圆 O 2 内切于点A,所以点。2 在 AD上，故 A D,AE分别为圆O”圆。2 的直径。所以A B：AC为定值。（第2 1 A mB.选修4-2：矩阵与变换本小题主要考查矩阵运算等基础知识，考查运算求解能力。满 分 1 0分。23xs设。=.由A%=得_y L42 x33x+2y=1,4x+3y=2.12，从而解得x=l,y =2,所 以。=C.选修4-4：坐标系与参数方程本小题主要考查椭圆与直线的参数方程等基础知识，考查转化问题的能力，满 分 1 0分。解：由题设知，椭圆的长半轴长。=5,短半轴长。=3,从而c =I t?廿=4,所以右焦点为（4,0）,将已知直线的参数方程化为普通方程：x-2 y +2=0.故所求直线的斜率为；，因此其方程为y=g （x-4）,即x-2 y-4 =0D.选修4-5：不等式选讲本小题主要考查解绝对值不等式的基础知识，考查分类讨论、运算求解能力，满 分 1 0分。2%1 2 0,解：原不等式可化为4 或x+(2x 1)v 3,x (2x 1)31 4 1解得一工工一或一 2 工一.2 3 2所以原不等式的解集是，x-2x2 2.【必做题】本小题主要考查空间向量的基础知识，考查运用空间向量解决问题的能力，满 分1 0分。解：建立如图所示的空间直角坐标系。一 种，设 CM=，(0 W2),则各点的坐标为 A(l,0,0),A (1,0,2),N(；,1,0),所以 ON=(g,1,0),D M=(0,1,tDA,=(1,0,2).设平面DMN的法向量为i=(5，x，Z ),则4 D N =0,%D M=0.即4 +2 M =0,y +7=0,令z=1,则*=T，X =2 1,所以“=(2 r,-r,l)是平面DMN的一个法向量。从而4n2=一5/+1.(I)因为。=90。，所以 一片2 =-5 r-p 1=O,解得.=(.从而所以 AM=Jl2+12+(1)2=粤.(2)因为|勺|=1 5/+1,|2 1=7 6所以 C O S =二 予+1 =.因为 1的情形，由1 =。-3攵4-3 Z知力(2)=一 3左.且攵3设-1 =3/%+匕其中机 N*/W 0,1,2 1，贝此 ITL所 以 纥=力 =(3左)=/加 _ 3 7(?+D =7(2 -3 二 3)k=l k=l 2 2.n r.,_ u z i A WE r.(1)(2)r(r 1)将m=-代入上式，化简得B=-3 6 631，是整数，所以用=，6 3 匕1)(仁2)不 是整数6 3