河北省邢台市2021-2022学年高考压轴卷数学试卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷考生请注意：1.答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2.第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3.考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。2 21.已知椭圆E：:=1 3 8 0)的左、右焦点分别为，a2 b2F2,过鸟的直线2x+y-4=0与y轴交于点A，线段AF2与E交于点8.若|A B|=|8用，则E的方程为()2 2 2 2?2AA 厂 1-y-=11 Bn%1-y-=11 C*X 1 y=1 f D.x 1-y 2=1140 36 20 16 10 6 52.若2+3“=3+2)，则下列关系式正确的个数是()b a 0 a=b b 6”是“2“2”的充要条件；4：*e R,|x+l区x,贝(j()A.(f)v q为真命题B.p v q为真命题c.，人q为真命题D.(F)为假命题4.定义在 R 上的偶函数/(x)满足/(x+2)=/(x),当 xG-3,-2时，/(*)=-*-2,则()B.f (sE3)f(2019)5.过抛物线y2=2px(p 0)的焦点作直线交抛物线于A B两 点,若线段AB中点的横坐标为3,且 同 用=8,则抛 物 线 的 方 程 是()A.y1-2x B.y2-4x C.y=8x D.y1-lOxx6.已知双曲线C：Jb21(。0力 0)的右焦点为。为坐标原点，以OF为直径的圆与双曲线C的一条渐近A。T线交于点。及点A)2=12 2D.工-工=16 27.设y=/（x）是定义域为R的偶函数，且在0,+8）单调递增,a=log0 2 0.3,b=log2 0.3,则()A.f(a+b)f(ab)f(0)B.f(a+h)f(0)f(ah)C.f(ab)于(a+b)f(0)D.f(ab)f(0)f(a+b)8.若tana=，则cos2a=(2)453B.一 -54c.一53D.一59.设过点p（x,y）的直线分别与X轴的正半轴和y轴的正半轴交于A 8两点，点。与点尸关于轴对称，。为坐标原点，若 丽=2百，且 迎通=1，则点P的轨迹方程是（）3A.x2+3)，=l(x0,0)3C.3x2-y1=l(x0,y 0)3B.x2-3y2=l(x0,y 0)3D.3x2+=l(x0,y 0)9y2X10.过双曲线c：Q-=1（。0/0）左焦点/的直线/交C的左支于A 8两点，直线AO（。是坐标原点）交C的右支于点O,若D h A B,且 忸 可=|D F|,则C的离心率是（）A.B.2c.V5D 半11.在AABC中，OA+OB+OCQ,荏=2丽，|同 叫 叫,若 丽*=9标觉，则实数4=（）A.V 3VR6o.-2V/-3-D-T1 2.已知集合4=（乂 刈*2+3；2=4,18=（乂 刈,=2，,则AplB元素个数为（）A.1 B.2 C.3 D.4二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.在数列 4 中，已知q=1,4“/川=2（eN*）,则数列 4 的的前2+1项和为S?=.14.已知向量。=（一2,1）,6=（1,附，若向量。+力与向量。平行，则实数?=.15.某校开展“我身边的榜样”评选活动，现对3名候选人甲、乙、丙进行不记名投票，投票要求详见选票.这3名候选人的得票数(不考虑是否有效)分别为总票数的88%,75%,46%,则本次投票的有效率(有效票数与总票数的比值)最 高 可 能 为 百 分 之.“我身边的榜样”评选选票候选人符号注：1.同意回“。”，不同意2.年 壁 造 票 的 个 教 不 超 过2时才为有效票.甲乙丙1 6.函 数(x)=x co sx+sin j x =兀处的切线方程是.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(12 分)已知函数/(x)=g，Mx2 i)nxO eR).(1)若m=1,求证：/(%)20(2)讨论函数/W的极值；(3)是否存在实数加，使得不等式/(X)，-工 在 )上 恒 成 立？若存在，求出加的最小值；若不存在，请x e说明理由.18.(12分)在平面直角坐标系x中，以坐标原点。为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系。已知曲线C的极坐标方程为夕siM 6=2acos6(a 0),过点P(2,4)的直线I的参数方程为-2+冬2(为参数)，直线/与曲.4+22y线C交于M、N两点。(1)写出直线/的普通方程和曲线C的直角坐标方程:(2)若|P M N P N|成等比数列，求a的值。19.(12分)已知函数/(x)=x+alnx,a e R.(.I)当a=l时，求曲线y=/(x)在x=l处的切线方程；(I I)求函数/(x)在 l,e上的最小值；13(皿)若 函 数/(x)=f/(x),当a=2时，F(X)的最大值为例，求证：M -.x=tcosa 4c o s 820.(12分)已知直线/的参数方程为,.(0 Wa，f 为参数)，曲线。的极坐标方程为夕=一 二?.y=l+z s i n s i n-0(1)将曲线C 的极坐标方程化为直角坐标方程，并说明曲线C 的形状；若直线/经过点(1,0),求直线/被曲线C 截得的线段的长.21.(12分)如 图，四棱锥P A 3C D 中，底面A B C D 是边长为4 的菱形，P A=P C=5 ,点M,N 分别是AB,P C 的中点.(1)求证：平面P A D；(2)若 c o s N P C D =，NOAB=60,求直线A N 与平面P A D 所成角的正弦值.22.(10 分)如图，在四棱锥 P A B C。中，底面 A B C D 是直角梯形，AD/BC,A B Y A D,A D =2 A B =2 B C =2,A P C D 是正三角形，P C L A C,E 是 Q 4 的中点.(1)证明：A C B E；(2)求直线8 P 与平面8 D E 所成角的正弦值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5 分，共 60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.D【解析】由题可得A(0,4),6(2,0),所以c=2,又|AB|=|8周，所以2a=忸耳|+忸闾=|但|=2石,得口=布,故可得椭圆的方程.【详解】由题可得A(0,4),6(2,0),所以c=2,又|4例=忸 用，所以2a=忸 制+忸 闾=|伍|=2右,得。=有，；.b=l，丫2所 以 椭 圆 的 方 程 为 土+/=.5 故选：D【点睛】本题主要考查了椭圆的定义，椭圆标准方程的求解.2.D【解析】a,可看成是y=f与/(x)=2+3x和g(x)=3+2x交点的横坐标，画出图象，数形结合处理.【详解】令/(x)=2V+3x,g(x)=3*+2x,由/(x)=T +3x,g(x)=3+lx 的图象可知,o)=g(o)=l,/=g(l)=5,正确；x e (-00,0),有Z?a g(x),有0a b l,正确；XG(1,+8),有 l b x；当x+l 0,即X 1 时，|x+l|=-x 1,由x 得x =彳，无解，因此命题q是假命题.所以(W)v q为假命题，A错误；p v q为真命题,B正确；/7Aq为假命题，c错误；P A(F)为真命题，D错误.故选：B【点睛】本题考查了命题的逻辑连接词，考查了学生逻辑推理，分类讨论，数学运算的能力，属于中档题.4.B【解析】根据函数的周期性以及x G-3,-2的解析式，可作出函数/(x)在定义域上的图象，由此结合选项判断即可.【详解】由/(x+2)=/(x),得/(*)是周期函数且周期为2,先作出/(x)在x C-3,-2时的图象，然后根据周期为2依次平移，并结合/(x)是偶函数作出/(x)在H上的图象如下，y.-4-3 -2 T。1 2 3 4Ki t1?4八 兀 1 V 3 TC 1选项 A,0 s i n =c o s I,6 2 2 6所 以 小i吟 卜 了?),选 项A错误；选 项B,因 为 当 3不，所以0s i 3 V，V-c o s 3 V I，4 2所以/(s加3)-sin -cos 0，3 2 3 2 3 3所以/(/(c o s ),即 /(c o 5?),选 项C错误；选项 D,/(2020)=/(0)0)的焦点为居设点4&,凹),3(苍，必)，由抛物线的定义可知+线段A 5中点的横坐标为3,又|AB|=8,，8=6+p,可得=2,所以抛物 线 方 程 为V=4x.故选：B.【点 睛】本题考查抛物线的定义、标准方程，以及简单性质的应用,利用抛物线的定义是解题的关键.6.C【解 析】根据双曲线方程求出渐近线方程：y =/x，再将点代入可得。连 接E 4,根据圆的性质可得-23=,从 而 可 求 出c,再 由。2=储+即 可 求 解.G 3【详 解】，V2由双曲线C:齐=1（。0力 0），b则渐近线方程：y =-X,、2 NL|M|7c2-3 b g 5,口、连 接F A ）则 =，解 得c 2,A0 y/3 a 3所 以C2=/+=4,解 得.2=3,=.2故 双 曲 线 方 程 为 三：/=.3故选：C【点 睛】本题考查了双曲线的几何性质，需掌握双曲线的渐近线求法，属于中档题.7.C【解析】根据偶函数的性质，比较|a+附 助 即 可.【详解】解：a+b=|log02 0.3+log2 0.3|=lgO-3 1 lg0.3ig o l 市lg0.3xlg|lg0.3xlg|-Ig5xlg2 Ig5xlg2ab=|log02 0.3xlog2 0.3|=lg0.3 lg0.3 lgO.3xgO.3 _ lgO.3xlgO,3Ig5xlg2 Ig5xlg2-lgO.3x(-lgO.3)Ig5xlg2,10lg0.3xlgyIg5xlg2显然Iggclg与，所以|a+/3+份/(0)故选：c【点睛】本题考查对数的运算及偶函数的性质，是基础题.8.D【解析】直接利用二倍角余弦公式与弦化切即可得到结果.【详解】V tan6z=,2:.cos2acos2 a-sin2 a _ 1-tan2 a _ 4cos2+sin2 a 1 +tan2 a|+435故 选D【点 睛】本题考查的知识要点：三角函数关系式的恒等变变换，同角三角函数关系式的应用，主要考查学生的运算能力和转化能力，属于基础题型.9.A【解 析】设A,8坐 标，根 据 向 量 坐 标 运 算 表 示 出 丽=2再,从而 可 利 用MN表 示 出。力；由 坐 标 运 算 表 示 出 丽 丽=1,代入a,b整理可得所求的轨迹方程.【详 解】设A（a,0）,8（0,。），其 中a 0,b0-BP=2PA：.x,y-h)=2(a-x,-y),即 x =2、,la-xy-b =-2y3x 八a=02b=3y0P,Q 关于)轴对称-Q(-x,y)OQ-AB=(-x,y)(-a,b=ax+by=故 选：A【点睛】2X3-2+3y=l(xO,y 0)本题考查动点轨迹方程的求解，涉及到平面向量的坐标运算、数量积运算；关键是利用动点坐标表示出变量，根据平面向量数量积的坐标运算可整理得轨迹方程.10.D【解 析】如 图，设 双 曲 线 的 右 焦 点 为 鸟，连 接 力 鸟 并 延 长 交 右 支 于C，连 接FC，设=X,利用双曲线的几何性质可以得到0 b =x+2a,FC=x+4 a,结 合RtAFDC、放/?。玛可求离心率.【详 解】如图，设双曲线的右焦点为鸟，连接F C,连接。死并延长交右支于C.因为尸0=0月,40=0 0,故四边形E48。为平行四边形，故k 0，。工.又双曲线为中心对称图形，故与C=6F.设。鸟=x,则f=x+2 a,故gC =x+2 a,故FC=x+4a.因为AFDC为直角三角形，故（x+4a）2=（2x+2ay+（x+2a）2,解得x=a.在 RtkFDF中，有 4c2 =+9a2,所以e，a故选：D.【点睛】本题考查双曲线离心率，注意利用双曲线的对称性（中心对称、轴对称）以及双曲线的定义来构造关于d,c的方程,本题属于难题.11.D【解析】将 亚、沅 用 丽、衣 表 示，再 代 入 通衣=9而或中计算即可【详解】由d+。与+方=0，知。为AA3C的重心，2 1 一 一.1 ._.所以AO=X/(A 8 +AC)=(A N+A C),又 不=2丽,_ _ _ _ _ _ 2 _ _ 2 _所以 E C =A C -A E =A C A B,9A O E C=3(A3+AC),(AC Afi)2 1,2A B A C-2 A B +3 A CA B A C 所以2启=3而2,6黑一5一 手|AC|V Z，故选：D【点睛】本题考查平面向量基本定理的应用，涉及到向量的线性运算，是一道中档题.12.B【解析】作出两集合所表示的点的图象，可得选项.【详解】由题意得，集合A 表示以原点为圆心，以 2 为半径的圆，集合8 表示函数y =2 的图象上的点，作出两集合所表示的点的示意图如下图所示，得出两个图象有两个交点:点A 和点8,所以两个集合有两个公共元素，所以A A 3 元素个数为 2,故选：B.【点睛】本题考查集合的交集运算，关键在于作出集合所表示的点的图象，再运用数形结合的思想，属于基础题.二、填空题：本题共4 小题，每小题5 分，共 20分。13.2n+2-3【解析】由已知数列递推式可得数列 q 的所有奇数项与偶数项分别构成以2 为公比的等比数列，求其通项公式，得到52,再由$2“+|=S?“+z2n+i 求解。【详解】解：由 4 =L 可 1 =2(e N*),得%G=2T(.,也=2(.2),%则数列 6 的所有奇数项与偶数项分别构成以2 为公比的等比数列.n-2三，为奇数2。为 偶 数S2n=(4+4 +.+t z2_|)+(a2+a4+.+a2n)=(1+2+22+.+2-)+(2+22+2)1 _ 2=3(1+2+22+.+2 T)=3 _ =3 0,/(x)0/(1,+0。)恒成立，而/(1)=0,由(2)得，加 V0J(x)在(1,+o。)x e为减函数，o(加 l j(x)在(I,这)上 单 调 递 减，在(1,心)都 存 在/*)g(x),当机上1 时，设/(x)=g，(x 2-i)-n x ：+击，且尸=0,只需求出划在(1,+w)单调递增时机的取值范围即可.【详解】(1)m =,/(x)=(x2-1)-In x(x 0),fM=-+x=-,当x w(0,l)时，f(x)0,.,./(x)r a i n=/(l)=0,故/(x R O.(2)由题知，x 0,/(幻=一,+相 氏=%二 1,X X2 当机 0时，f(x)=-，X-0时，/(0=二10,得X=-T=,7 mx当x e时，f(x)0,所以.f(x)在0,上单调递减，在,+8上单调递增./故/(X)在X=J=处取得极小值y/m=-lnm +-m,无极大值.2 2 2(3)不妨令人(%)=x exe T-xxexI 1设“(X)=ex-x,x G(1,+oo),ur(x)=ex-1 0 在(1,+8)恒成立,M(X)在1,+8)单调递增，.1“(x)“=0,-xN O在(1收)恒 成 立,所以，当 xw(l,+8)时，h(x)0,由(2)知，当加 l时，/(x)在(1,+8)上单调递减,/(x)().x e当O v m v l时，4=1,由(1)知/(幻在卜,4=上单调递减，7m ylm)所 以/1,所以/初 2 x,e 1,0 -1,1 -I-X+7x x ex x xX3-X2-X+1-1 =X2即9(龙);二Q0,x所 以F(x)在(1,+8)上单调递增，又尸(1)=0,所以时，/(x)0恒成立，即/(x)-/心)0恒成立，故存在mN 1,使得不等式/(x)，-在 )上 恒 成 立，x e此时机的最小值是1.【点睛】本题考查导数综合应用，涉及到函数的单调性、极值最值、不等式证明，考查分类讨论思想，意在考查直观想象、逻辑推理、数学计算能力，属于较难题.18.(1)/的普通方程y=x 2；C的直角坐标方程y=2ax；(2)a=l.【解析】(1)利用极坐标与直角坐标的互化公式即可把曲线C的极坐标方程化为直角坐标方程，利用消去参数f即可得到直线/的直角坐标方程；(2)将直线/的参数方程，代入曲线C的方程，利用参数的几何意义即可得出|PM|P N|,从而建立关于。的方程,求解即可.【详解】(1)由直线/的参数方程W乌2也2+-2-4-Xy消去参数，得,y=-4+x+2,即y=x-2为/的普通方程由 psin2 0=2acosO,两边乘以得P2sin2e=2wcosey=24t为C的直角坐标方程.x=-2+(2)将 y=-4+夜一2V22代入抛物线 v2=2ax 得/-2 0(。+4)r+32+8a=0=(2V2(a+4)2-4(32+8a)0A +q =2A/2(0区=3 2 +8 a 0ft 0,t2 0由已知IP M|,|M N ,P N|成等比数列，MN|2=|PM-P N 即,I ，2=|讣卜2 1，(%+2 4能=能，(4+f 2 y=5%，(2&(a +4)2=5(3 2 +8 a)整理得 a2+3 a-4 =0a =-4 (舍 去)或a =l.【点睛】熟练掌握极坐标与直角坐标的互化公式、方程思想、直线/的参数方程中的参数的几何意义是解题的关键.1 9.(I)2 x-y-l=0.(D)见解析；(ID)见解析.【解析】试题分析：(I)由题/(x)=x+l n x,XG(0,+O O).所以尸(x)=l +L故1)=1,/=2.,代入点斜式可得曲线y=/(x)在x =l处的切线方程；X(II)由 题/(=1 +=土吆.X X(1)当a N O时，/(九)在(0,不)上单调递增.则函数/(%)在 l,e 上 的 最 小 值 是/=1.(2)当a 0,即尤 一口,令r(x)0,即2 -a.(i)当0(一aW l,即a N-l时，/(x)在 l,e 上单调递增，所以/(x)在 1,e 上的最小值是1)=1.(i i)当l a 0,g(2)=-41 n 20,所以在(1,2)上存在/,使得g(%)=0,即2-%-41叫=0.讨论可得F(x)在(1,%)上单调递增，在(七,2)上单调递减.所以当x=不时，产(力取得最大值是加=/(无。)=至 学 乜.不因为2-x 41nx=0,所以M=2A=-5-.由此可证M 0)，所以/(尤)=+=x+a.(1)当a 2 0时，f(x)0,所以/(x)在(0,+8)上单调递增.所以函数“X)在 1,e上的最小值是 1)=1.(2)当。0,即x+a 0,所以x -a令/(x)0,即x+a 0,所以x-a.(i)当0 -a W l,即aN-1时，/(x)在 l,e上单调递增，所以“X)在 1,e上 的 最 小 值 是/=1.(ii)当l a 0，g(2)=-41n2 0；当xe(%,2)时,g(x)0；当x e(龙o,2)时，F/(x)0.所以F(x)在(1,%)上单调递增，在(不，2)上单调递减.所以当x=x0时，*x)取得最大值是M=E(%)=笠孚MZ、因为2 x 4hu=0,所以M=学=4+-1-=。亡 2 v 2 v A/4因为不1,2),所以一e20.(1)曲线。表示的是焦点为(1,0),准线为x=l的抛物线;(2)8.【解析】4cos/9试题分析：(1)将曲线。的极坐标方程为夕=二嘤两边同时乘以，利用极坐标与直角坐标之间的关系即可得出其直角坐标方程；(2)由直线/经过点(1,0),可得tana的值，再将直线/的参数方程代入曲线。的标准方程，由直线参数方程的几何意义可得直线/被曲线C截得的线段C的长.4cos 0试题解析：(1)由夕可得22sin2e=4pcos。，即/=4 x,:,曲 线C表示的是焦点为(1,0),准线为x=-l的抛物线.(2)将(1,0)代入1 =tcosa0=1 +tsina，:.tancr=-137rV()W a乃，.a =,.直线/的参数方程为4V2x=-12心(/为参数).i与2将直线/的参数方程代入丁=4A-得/+6万+2=0,由直线参数方程的几何意义可知，|A同=,一g=&+叶)2_4不2 =7728=8.21.(1)见解析；(2)空.11【解析】(1)取PD的中点H,连接通过证明MNA，即可证得;(2)建立空间直角坐标系，利用向量的坐标表示即可得解.【详解】(1)证明：取PO的中点”，连接NH,AH.Q N是PC的中点，.NH =g,又AM/5=gD C,.此7/=4M,.四边形4 0人归是平行四边形.：.M N/A H ,又 MN a 平面 A”u 平面 PAD，.M V/平面 PAD.(2)PC=5,DC=4,cosNPCD=,/.PD=3,PC2=PD2+CD2,:.P D V D C ,同理可得：P D L A D,又4)八8=。,.尸。，平面/13。.连接AC,8。，设ACnBO=O,则AC_LB。，建立空间直角坐标系O 盯z.z4（2,0,0）,C（-2V3,0,0）,D（0,-2,0）,P（0,-2,3）,Tvf-V 3,-l,1丽=3百,1,通=（2 6,2,0）,而=（0,0,3）设平面PAO的法向量为，=(x,y,z)则A）=0，则一2 G x-2 y=0,3z=0,取 G,0）.sin 0=卜。s（AN,=2*.=2直线A N与平面P A D所成角的正弦值为2 .11【点睛】此题考查证明线面平行，求线面角的大小，关键在于熟练掌握线面平行的证明方法，法向量法求线面角的基本方法，根据公式准确计算.22.(1)见证明；(2)叵13【解析】(1)设 尸 是PD的中点，连 接 /、C F,先证明BCEE是平行四边形，再证明AC J_平面P C O,即AC_L3E(2)以。为坐标原点，配 的 方 向 为1轴的正方向，建空间直角坐标系，分别计算各个点坐标，计算平面比打法向量，利用向量的夹角公式得到直线B P与平面8DE所成角的正弦值.【详解】(D证明：设 尸 是P。的中点，连接EF C F,.后是2 4的中点，；.尸/4 0,E F =-A D,2v A D I IBC,A D =2 B C,：.EF/BC,EF =B C ,BCFE是平行四边形，.3E/CF,v A D!I B C,AB AD,：.Z A B C =Z B A D =90,：A B=B C,ZC4D=45,A C =近,由余弦定理得 C D2=A C2+A D2-2A C-A D c o s Z C A D=2,:.A C2+C D2=4=A D2,:.A C C D,-.PD1AC,A C B E i(2)由(1)得ACJ_平 面PCD,CZ)=J 5，平 面ABC。，平 面PCD,过 点P作PO LCZ),垂 足 为。，平 面ABC。，以。为坐标原点，觉 的 方 向 为x轴的正方向，建立如图的空间直角坐标系。一肛z,贝!J P(O,O,平,。一*,0,0),B V 2,-,OL E1冬 一 冬 咚I 2 J I 2)I 2 J I 4 2 4 J 丽=(-冬倒，L逑.+也y =0设 加=(x,y,z)是 平 面3OE的一个法向量，贝 卜m -B D=0m-B E =Q，_ 逑/且=02244令 x =1,贝!I y 6，.庆=(1,3,此=第=普直 线 即 与 平 面8DE所 成 角 的 正 弦 值 为 羽.1 3【点 睛】本题考查了线面垂直，线 线 垂 直，利用空间直角坐标系解决线面夹角问题，意在考查学生的空间想象能力和计算能力.