2016年高考数学真题.pdf

2016年普通高等学校招生全国统一考试理科(新课标卷II)第I卷一.选择题：本大题共1 2小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目耍求的.1.设集合乂=0,1,2,N=X|2_3X+2W 0,则MCN=()A.1 B.2 C.0,1 D.1,2【答案】D把 乂=0,1,2 中的数,代入不等式2-3%+2 4),经检验*=1,2满足。所以选D.2.设复数4,Z2在复平面内的对应点关于虚轴对称，4=2 +i,则Z R 2=()A.-5 B.5 C.-4+i D.-4 -/【答案】BZ|=2+i，4与Z2关 于虚轴对称,.Z2=-2+i,二2/2 =-1-4=-5,故选8.3.设向量 a,b 满足|Q+b|=J H ,a-h-y/6,则 /=()A.1 B.2 C.3 D.5【答案】A.a+b=7 1 0?|-|=眄，；a+b+2ab=1 0,a +b-2ab=6,联立方程解得7=1,故选A.4.钝角三角形A B C的面积是4 ,AB=1,BC=V 2 ,则A C=()A.5B.y/5C.2D.1【答案】B=acsinB=V 2 1 ,s i n B s i n B222 27T Qjr IT.3=?或1.当5=?时，经计算A A B C为 等 腰 直 角 三 角 形，不 符 合 题 意，舍 去。4 4 437r使 用 余 弦 定 理，/=/+0 2-2比8 5 8,解得6=7 故选日5.某地区空气质量监测资料表明，一天的空气质量为优良的概率是0.7 5,连续两为优良的概率是0.6,已知某天的空气质量为优良，则随后一天的空气质量为优良的概率是()A.0.8B.0.75C.0.6D.0.45【答案】A设某天空气质量优良，则随后一个空气质量也优良的概率为p,则据题有0.6=0.75 p,解得p=0.8,故选A6.如图，网格纸上正方形小格的边长为1 （表 示 1cm），图中粗线画出的是某零件的三视图，该零件由一个底面半径为3 c m,高 为 6cm 的圆柱体毛坯切削得到，则切削掉部分的体积与原来毛坏体积的比值为（）A-1-B C D 27 9 27 3【答案】C,/加工前的零件半径为3,高6,.,.体积%=9兀 6=54K.加工后的零件，左半部为小圆柱，半径2,高4,右半部为大圆柱，半径为3,高为2.体积匕=初 4+9兀 2=3471.削掉部分的体积与原体积之比=S47r 芳-347r=詈10.故选c5471 277.执行右图程序框图，如果输入的x,t均为2,则输出的5=()A.4 B.5 C.6 D.7【答案】Cx=2 j=2,变量变化情况如下：M S K1 3 12 5 22 7 3故选C8.设曲线y=ax-ln(x+l)在点(0,0)处的切线方程为y=2 x,则a=A.0 B.1 C.2 D.3【答案】D,./(x)=or-ln(x+l),.-./(x)=a-x+1/./(0)=0,l/0)=2.联立解得。=3.故选 Dx+y-709.设x,y满足约束条件（x-3y+l 0,则z=2xy 的最大值为（）3x-y-5N 0A.10B.8C.3D.2【答案】B画出区域，可知区域为三角形，经比较斜率，可知目标函数z=2 x-y在两条直线x-3 y+1 =0与x+y-7=0的交点（5,2）处，取得最大值z=8.故 选区10.设F 为抛物线C:y 2=3 x 的焦点，过 F 且倾斜角为3 0 的直线交C 于 A,B两点，O 为坐标原点，则4OAB的面积为（）A逋4BQ 63 D 98 3 2 4【答案】D设点A、8分别在第一和第四象限，A F=2 m,B F=2 n,则由抛物线的定义和直角三角形知识可得,2/=2,+y/3m,2n=2*-4 3n,解得m=(2+V3),/?=(2-V3),./+=6.4 4 2 7 21 3 9SAOAB=5 a(加 +)=I故选 DII.直三棱柱 ABC-A.BiCi 中,ZBCA=90,M,N 分别是 A B，A Q 的中点，BC=CA=CCP则 BM与 AN所成的角的余弦值为（）AX1 0屈c-Io-【答案】C如图，分别以G4，G4，为x,y,z轴，建立坐标系。令A C=B C=c(=2,则A(0,2,2),8(2,0,2),M(1,1,0),N(0,l,0).丽=(-1,1,-2)，而=(0,-1,-2)。COS0=0-l +4_ V3 0+后、生-T=f=.故选 C.B M A N J 6 J 5 1 0B M A N12.设函数/（尤）=G s in 管.若存在f（x）的极值点/满足x02+/（x0）2 加2,则 m 的取值范围是（）A.6)u(6,8)B,4)u(4,oo)C.(-00,-2)kJ(2,0)D.(-8,-1)u(4,8)【答案】C f(x)=Vi si n巴的极值为士 6,即(Xo)=3,1/辰 粤，m22 2-1-V+/Uo)2 5-+3,.,.-+3 0,则x的取值范围是 答案 (-g-l)U(3,+8).偶 函 数 =/(%)在 0,+8)上 单 增，一 目/(2)=0/()0的 解 集 为|冲2./(%-1)0的解集为|x-1 1 2,解得XC(-8,-1)U(3,+O O).故解集为 I X-I P 2,解得X W (-8，一D U(3,+8).1 6.设点M (天/)，若在圆O:x 2 +y 2=l上存在点N,使得/O M N=45,则尤0的取值范围是.【答案】山 在 坐 标 系中画出圆O和直线y=I,其 中MJ。)在直线上.由 圆的切线相等及三角形外角知识，可得.故三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.(本小题满分12分)已知数列 4 满足 tz,=l,an+=3a“+1.(I)证明 4+3 是等比数列，并求 4 的通项公式;(I I)证明：J-4-J-+-+-L=7L L L Un J-1112 11+_11=(i-J-)1(0,0,0),(73,0,0),E(-,0,-),C(V3,m,0).-AD=(73,0,0),4E=(y ,0,1),AC=(百，机,().设平面A。础向量为I =(玉,y”z)则I 诟=0,1 族=0,解得一个 I =(0,1,0).同理设平面 A C E 法 向量为 2 =(X2，)2，Z 2)，则 2%C=0,2 A E=0,解得一个%=(m,-V3,-V3 rn).i t .,I n,I VJ 1 A”出 3c os c os v n?,n?-/,解 侍.3 2 2|丐|/1/疗 +3+3 ，25 2EF 1设尸为AO 的中点,则P A/EF,且PA =-,EFlffi A C D,即为三棱锥E-A C Q 的高 .1 6 =(5.6 所=；彳 百；=.所以，三棱锥E-A C。的体积为 春。1 9.（本小题满分1 2 分）某地区2 0 0 7年至2 0 1 3 年农村居民家庭纯收入y （单位：千元）的数据如下表:年份2 0 0 72 0 0 82 0 0 92 0 1 02 0 1 12 0 1 22 0 1 3年份代号r1234567人均纯收入），2.93.33.64.44.85.25.9（I ）求 y关于t 的线性回归方程；（H）利 用（I ）中的回归方程，分析2 0 0 7年至2 0 1 3 年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况，并预测该地区2 0 1 5年农村居民家庭人均纯收入.附：回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为：AZ(5 f)(y，一切 A_b=-,a-y-l)tZ(C-F)2i=l【答案】(1)y=0.5 t+2.3.(2)约 6800 元(1)-H2+7，-2.9+33+3.6+4.4+4.8+5.2+5.9-t =-=4,y=-=4.37 7设回归方程为y=6+a,代入公式，经计算得h_ 3*14+2+0.7+0+0.5+1.8+4.8 _ 14 _ j_(9+4+1)*2 14*2-25-1a=y-初=4.3-*4 =2.32所以，y关于/的回归方程为y=0.5r+2.3./?=-0,.,.2007年至2013年该区人均纯收入稳步增长，预计到2015年，该区人均纯收入y=0.59+2.3=6.8(千元)所以，预计到2015年，该区人均纯收入约6千8百元左右。2 0.(本小题满分12分)设耳，鸟分别是椭圆今+娟=1(。匕0)的左右焦点,M是C上一点且M F2与x轴垂直,直线M片与C的另一个交点为N.(I)若直线MN的斜率为总，求C的离心率；(I I)若直线MN在y轴上的截距为2,且|MN|=5|耳求 afb.【答案】(1)2。=7乃=2(1).由题知，生=3 Q =3,且/=+,2.联立整理得：2e2+3e-2=0,FF2 4 a 2c 4解得e=.C的离心率为上22(2)由三角形中位线知识可 知，MF2=2-2,即 J=4.a设F、N=/%由题可知MF,=4机.由两直角三角形相似，可得M,N两 点 横 坐 标 分 别 为 由 焦 半 径 公 式 可 得：M F,=a+ec,NF、=a+e(-3 c),r且l M F.:NF,=4 :l9e=C2 aa2=h2+，.联立解得 a=7,b=2/7.所以，a=l,b=2V72 1.（本小题满分1 2 分）已知函数 x）=ex-e-x-2 x(I )讨论/(力的单调性；(II)设g(x)=2 x)-4N(x),当x 0时，g(x)0,求匕的最大值;(III)已知1.4142(正 0,x 0.(x)=e2x-e2x-4 x-4 b(ex-ex-2x),x 0,则(0)=0.hx)=2e2x+2e2x-4-4 b(ex+e -2),/.3x(0,m),m 0,使Y(x)即2 e 2*+2e2x-4-4 b(ex+即-2)9B P e2 0,则加(0)=0.mx)=2e2 x-2e2x-2b(ex-e x),/.3 x (0,t),t 0,使施 N).即 2 e?J 2e2x-2b(ex-ex)与0,即(e*+即)(e e )-b(ex-e)N O 且 e*-即 0,即e，+e f斗，即 +，*2、=2%,所 以。的最大值为2(3)1J 7设x =In V I 0,则/(In V2)0,即/(In V2)=V 2-2 1n V2 =-l n 2 0.解得 In 2 .由(2)知，/(2)8/(防,令%=In V2 0,W i J/(2 In V2 )8/(l n V2),即/（In 2）8/（l n V2）,即2 -g-2 1n 2 8（72 -五-2 In 上）,解得61n 2 4 V 2-,即ln2 2,所 以2行 m2也.2 3 4 3 4 2请考生在第2 2、2 3、2 4题中任选一题做答，如果多做，同按所做的第题计分，做答时请写清题号.2 2.（本小题满分10）选修4 1：几何证明选讲如图，P是口。外一点，P A 是切线，A为切点，割线P B C 与口。相交于点 B,C,P C=2 P A,D为 PC的中点，AD的延长线交口。于点E.证明：BDE(I )B E=E C；(I I )A D D E=2 P B2【答案】无 无（1）PC=2PA,PD=DC,：.PA=PD,PAO为等 腰 三 角 形。连接A8,则 NPAB=ZDEB=S,N BCE=Z BAE=a.Z PAB+Z BCE=Z PAB+Z BAD=/P A D=/PDA=Z DEB+Z DBE,-.p+a=p+ZrBE,B|Ja=Z D B E,即N 8C E=/O B E,所 以BE=EC.（2）/ADDE=BDDC,PA2=PBPC,P=DC=PA,-.BDDC=（PA-PB）PA=PB*PC-PBPA=PB（PC-PA）PB*PA=PB-2PB=PB22 3 .（本小题满分10）选修4-4：坐标系与参数方程在直角坐标系x o y中，以坐标原点为极点，x轴为极轴建立极坐标系，半圆C的极坐标方程为 p =2 c o s 0,（I）求c的参数方程；（H）设 点D在C上，C在D处的切线与直线/:y =JJx +2垂直，根 据（I ）中你得到的参数方程，确定D的坐标.【解析】（I）设点M&J）是C上任意一点，则由Q=2 c o s 6可得：X2+y2=2x,即（彳-1尸=1,所以c的参数方程为=丁户是参数.I”sm（II）设D点坐徐为（l +c o s ,s i n向，则由之.“J切线的性质知，理 且=-立，又因s i n#+c o产=1,c o s 尸 3所以解得$i n =，c o s尸=一 或s i n=-1，c o s f i 2 2 2 2 所以D点坐标为（1-，）或（1 +-，）o2 4.（本小题满分10）选修4-5：不等式选讲设函数 f（x）=x+x-a（a 0）（I ）证明：/（X）巳2：（II）若/（3）5,求a的取值范围.【解析】(I )证明，由绝对值变】等式的几何蚁可知，/(x).to=a+li 2.当且仅当a=l时,a取等号，所以/(x)N2.(H)因为了 5,械|1+3|+|a-3K5=L+3+|a-3|5=|a-3|2-Loa a a-2 a 3 2 解德：a a2016年普通高等学校招生全国统一考试全国理科数学i .本试卷分第I卷(选 择 题)和 第 n卷(非选择题)两部分。答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.2 .回答第I 卷时，选出每个小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮搽干净后，再选涂其他答案标号，写在本试卷上无效.3 .回答第n 卷时，将答案写在答题卡上，答在本试题上无效.4.考试结束，将本试题和答题卡一并交回.第 I 卷选择题：共 12 小题，每小题5分，共 60分。在每个小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的一项。1.已知集合 A=X|X2-2X-3 N 0 ,B=X-2 WX o)的一个焦点，则点尸到。的一条渐近线的距离为A.V3 B.3 C .y/3m D .3m答案：A5.4位同学各自在周六、周日两天中任选一天参加公益活动，则周六、周日都有同学参加公益活动的概率7-8D5-8c3-8DoD1-.8m:A答O M6.如图，圆0的半径为1,A是圆上的定点,P是圆上的动点，角x的始边为射线0 A，终边为射线0尸，过点尸作直线Q 4的垂线，垂 足 为 将 点M到直线0 P的距离表示为x的函数/(x),则y=/*)在0,句上的图像大致为答案：f(x)=|cos xsin x|=|sin 2JC|o 选 C7.执行下图的程序框图，若输入的a ,Z分别为1,2,3,则输出的加=否,2 0 八 16A.B.3 5答案：D*c 15D 8718.设a e （0,y）,TT且 tan a =1 +sin 4,则cos pA B a-B=B.2a-B=C.3a+/=WTT D.2a+/3=TT答案:l+sinTTl+cosq 一夕）cos 6 sin（卜）tan1n B4=tan a,TT 7T 冗 R 冗又因a e(0,j),e(0,-),所以1 +乙 一 巴=代，变形后选B.y 19.不等式组.的解集记为。.有下面四个命题：x-2 y-2,p2：3(x,y)e D,x +2 y 2,3：V(x,y)G D,x+2 y y)G D,x+2y 0,则a的取值范围为A.(2,+8)B.(-8,-2)C.(1.+8)D.(-8,-1)答案：取a=2,研究/(x)的性质后知/)有两个零点不符合题意，故排除C;取a=3,则/(x)有唯一零点，但零点小于0,故排除A；取。=-2时f(x)有两个零点，故排除D。于是选B。12.如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗实线画出的是某多面体的三视图，则该多面体的六条棱中，最长的棱的长度为A.6y/2 BAyfl C.6 D A答案：该多面体是一个三棱锥S A B C,其中底面A B C为等腰三角形，A C=B C=2 V 5,A B=4,侧 棱S A垂直底面A B C,且S A=4.于是可算出最长棱长为S B=S C=6.第n卷本卷包括必考题和选考题两个部分。第(1 3)题-第(2 1)题为必考题，每个考生都必须作答。第(2 2)题-第(2 4)题为选考题，考生根据要求作答。二.填空题：本大题共四小题，每小题5 分。1 3 .(一 y)(x+y)8 的展开式中Y y?的系数为.(用数字填写答案)答案：-2 0.1 4 .甲、乙、丙三位同学被问到是否去过A,B,C 三个城市时，甲说：我去过的城后比乙多，但没去过B城市；乙说：我没去过C 城市；丙说：我们三人去过同一个城市.由 此 可 判 断 乙 去 过 的 城 市 为.答案：三人必定都去过A城，故可判断乙去过A城。1 5 .已知A,B,C 是圆O上的三点，若无力=；(而+/)，则 而 与 衣 的 夹 角 为.答案：9 0 o1 6 .已知a 1,c 分别为AABC 的三个内角A,B,C 的对边，a=2,且(2 +b)(s i n A s i n B)=(c b)s i n C ,则 A 4 8 C 面积的最大值为.答案：o三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。1 7 .(本小题满分1 2 分)已知数列 4 的前项和为5“，q=l,a“/0，anan+l-ASn-1,其中7为常数.(I)证明：。“+2-4,=九(I I)是否存在4,使得%,为等差数列？并说明理由.证 明:(1)anan+l=ASn-1 an+ian+2=4S“+1 由 -得(4+2 一勺)=枇+1:a 户 O,nw N*：.an+l 0 所以。.一 见=九。（I I）假设 凡 为等差数列，公差为d,则a“=d +l-d;S“=#+（1 -因为aall+l=4 5“一 1 对 e N*恒成立，所以(改+1-4)(改+1)=?2 +(_ 1)办.1 对e N*恒成立J 1 1即 d2n2+d(2-d)n+-d=n2 N*恒成立则,2 d 2,a=2J(2-J)=(l-1-)/l 解得.-d=-4 =4d=2所以存在4 =2使得 4 为等差数列。1 8.（木小题满分1 2 分）从某企业的某种产品中抽取5 0 0 件,测量这些产品的一项质量指标值,由测量结果得如下频率分布直方图：（I）求这5 0 0 件产品质量指标值的样本平均数和样本方差5 2（同一组数据用该区间的中点值作代表）；（I I）由频率分布直方图可以认为，这种产品的质量指标值Z 服从正态分布7 7（,必），其 中 近 似 为 样 本 平 均 数*近似为样本方差利用该正态分布，求利（187.8 Z 2 12.2）；（i i）某用户从该企业购买了 10 0 件这种产品，记 X 表示这10 0 件产品中质量指标值为于区间（187.8,2 12.2）的产品件数，利 用（i）的结果，求 EX.附：715012.2.若Z N(2),则 P(3 Z +3)=0.6826,P(4-2 6 Z 4 +26)=0.9544.解：x=170 x0.02+180 x0.09+190 x0.22+200 x0.33+210 x0.24+220 x0.08+230 x0.02=20052=302 X 0.02+202 X 0.09+102 X 0.22+0 X 0.33+102 X 0.24+202 X 0.08+302 X 0.02=150(I I)由(1)知=200,3=Jj而=12.2,所以 P(187.8Z b 0)的离心率为,a b 2F是椭圆的焦点，直线A F的 斜 率 为 毡，O为坐标原点.3(1)求后的方程；(I I )设过点A的直线/与E相交于P,Q两点，当A O P。的面积最大时，求/的方程.解：(I)由椭圆E的 离 心 率 为 立 得 =走2 a 2因为直线A F的斜率为2包,且4 0,2),尸(0,0)得2 =25,所以c=百。3 c 3于是a=2,b=l椭 圆E的方程为工+V =14(I I)设直线/的方程为冗=m(y +2),尸(%1，/),。(工2，%)+4 v 2 A由方程组(一 得(4 +加2)/+4加2 y +4 m 2-4 =0 x=m(y+2)4JTT则 有 乂+必=一 石 六 )办4(3 1)4 +m2于是1,一%=16/16(/?72-1)_ 16(4 +m2)2 4 +机2 (4 +m2)2(4-3 m2)h c 1 ,4 1m l而 SA”2=512M 一%仁衣14 3 /=4 J ，其中/=/+4)2设g(f)=lm,利用判别式法，求出g(f)的最大值是g(;)=,于是工。也的最大值为；2 Fj且此忖 2 =土/，直线1的方程为 =事 2或7一22 1.(本小题满分12 分)设函数/(乃=旭 111+-be,曲线y =/(x)在 点(1,/处的x切线为旷=(工一1)+2.(1)求。,6；(I I)证明：/(x)1.解：(1)由已知得!/=？而/(x)=a e n x+a e、+丝一(无一1)|/U)=e x x于是 b=2a=1(I I)由(I)得/(x)=/lnx+，要证需证 x e U n x+2/T xx2 x需证：x I n x +一e ex2 x设 g(x)=x l n x+,/z(x)=eex利用导数研究两函数性质，知g(x)在(0,+8)上存在最小值g(3=1；e e/z(x)在(0,+8)上存在最大值%(1)=-e于是在(0,+8)上必定有g(x)(x)恒成立于 是/(%)!点评：化复杂函数为简单函数，是我们处理这一问题的关键。请考生 从 第(2 2)、(2 3)、(2 4)三题中任选一题作答。注意：只能做所选定的题目。如果多做，则按所做的第一个题目计分，作答时请用2 B 铅笔在答题卡上将所选题号后的方框涂黑。2 2.(本小题满分1 0 分)选 修 41：儿何证明选讲如图，四边形ABCD是。的内接四边形，AB的延长线与DC的延长线交于点E,且 C B=C E.(I)证明：Z D=Z E；(I I )设AD不是。的直径，AD的中点为M,且M B=M C,证明：ZX A D E为等边三角形.答案：.(【)ZD=ZC B E=ZE(2)利用MMB三 D MC可证/D=/A=N E,从而得出4 A D E为等边三角形.2 3.(本小题满分1 0分)选 修44：坐标系与参数方程已知曲线C：/+片=1,直线/：x=2 +t 为参数).4 9 y=2-2t(1)写出曲线C的参数方程，直线/的普通方程；(H)过曲线C上任一点P作与/夹角为3 0 的直线，交/于点A ,求1 P A i的最大值与最小值.x-2 c o s 0答案：(1)曲线C的参数方程为，其中6为参数。y =3 s i n 6直 线1的普通方程为：2 x+y 6 =0(H)设点P(2 c o s 6,3 s i n。)，点P到直线1的距离为d,则|P A|=2 d=2但空空 回设/=4 c o s 6 +3 s i n 6 -6,6 e 0,2幻2 2 2由 的 值 域 为-i L-i ,于 是|姑|的 最 大 值 为 不，最 小 值 为 正。2 4.(本小题满分1 0分)选 修45：不等式选讲若。0,。0,且疝.a b(I)求/+/的最小值；(I I)是否存在a,b,使得2。+3=6?并说明理由.解：(I)由+=得=而a +,所以。匕2 2a h当且仅当。=人=夜 时 取 等 号。而/+尸？2ab4 ab 4 7 2当且仅当a=b=收 时取等号于是苏+分 的最小值为4 c(II)因为a 0,b 0,所以 2 4G 6于是不能存在。力，使得2a+3=6。