2017年数学中考新定义运算解题方法及举例.pdf

新定义运算、新概念问题一、中考专题诠释所谓 新概念 型问题，主要是指在问题中概念了中学数学中没有学过的一些概念、新运算、新符号，要求学生读懂题意并结合已有知识、能力进行理解，根据新概念进行运算、推理、迁移的一种题型.新概念 型问题成为近年来中考数学压轴题的新亮点.在复习中应重视学生应用新的知识解决问题的能力.二、解题策略和解法精讲解决此类题的关键是（1）深刻理解“新定义”一一明 确“新定义”的条件、原理、方法、步骤和结论；（2）重视“举例”，利用“举例”检验是否理解和正确运用“新定义”；归纳“举例”提供的做题方法；归纳“举例”提供的分类情况；（3）依据新定义，运用类比、归纳、联想、分类讨论以及数形结合的数学思想方法解决题目中需要解决的问题.2 5.（本 题 12分）如 图 1,点 P 为NMON的平分线上一点，以 P 为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B 两点，如果NAPB绕点P旋转时始终满足。=,我们就把/A P B 叫做NMON的智慧角。（第25题图）（1）如图2,己知NMON=90。，点 P为NMON的平分线上一点，以点P为顶点的角的两边分别与射线OM,ON交于A,B 两点，且NAPB=135。求证：/A P B 是NMON的智慧角；(2)如图 1,已知/M O N=a(00 a 0)图象上的一个动点，过点C 的直线CD分别交x 轴X和 y 轴于点A,B 两点，且满足BC=2CA,请求出NAOB的智慧角NAPB的顶点P 的坐标。【答案】解：(1)证明：/脱 2忙90,点一为/求!的平分线上一点，.ZAOP=ZBOP=-4M oN =45.2ZAOP+ZOAP+ZAPO=180,J AOAP+ZAPO=135.ZAPB=135,J ZAPO+Z.OPB=135.A ZOAP=NOPB.CM OP：.A O P P O B .=,即 OP1=OA OB.OP OB：./力如是乙姒V的智慧角.(2)/是/加(V的智慧角，,arlOA OP:.OP=OA,OB，即-=-.OP OB 点 为 的 平 分 线 上 一 点，ZAOP=ZBOP=-a .2.A O P s O B .ZOAP=NOPB.ZAPB=ZOPB-ZOPA=ZOAP+ZOPA=lS O 0-a.2如答图1,过点力作力，1 仍于点 V111 9=OB AH=OB OA sna=OP sin a.222:OP=2,SMOB=2sin a.（3）设点C（a,b）贝i =3.如答图，过。点 作 公1_小 于 点 i）当点夕在y轴的正半轴时，如答图2,当点力在x轴的负半轴时，8c=2C4不可能.如答图3,当点力在x轴的正半轴时,V BC=2CA,-AB 3 八 CH AH CA,:CH OB,：.ACHABO.=-OB OA AB 33OB=3b,OA=-a29 27OA OB=-ab=.2 2即 是 如 的 智 慧 角，,OP=0）的点的“距离坐标”为（p,0）；在直线A B 上，且到直线CD的距离为q（q0）的点的“距离坐标”为（0,q）;（3）到直线AB、CD的距离分别为p,q（p0,q0）的点的“距离坐标”为（p,q）.设 M 为此平面上的点，其“距离坐标”为（m,n）,根据上述对点的“距离坐标”的规定，解决下列问题：（1）画出图形（保留画图痕迹）：满足m=l,且 n=0的点M 的集合；满足m=n的点M 的集合；（2）若点M 在过点。且与直线CD垂直的直线1上，求 m 与 n 所满足的关系式.（说明：图中01长为一个单位长）思路分析：（1）以 O 为圆心，以 2 为半径作圆，交 CD于两点，则此两点为所求；分别作ZBOC和NBOD的角平分线并且反向延长，即可求出答案；（2）过 M 作 MN_LAB于 N,根据已知得出OM=n,M N=m,求出NNOM=60。，根据锐角MN m三角函数得出sin6（r=-=,求出即可.OM n解：（1）如图所示:点 M|和 M2为所求;如图所示:直线M N和直线EF(0 除外)为所求;(2)如图:过 M 作 M NAB于 N,M 的“距离坐标”为(m,n),/.OM=n,MN=m,V ZBOD=150,直线 1_LCD,.,.ZMON=150-90=60,.MN m在 RtA MON 中，sin60=-=，OM n即 m 与 n 所满足的关系式是：m=V 3n-2 点评：本题考查了锐角三角函数值，角平分线性质，含 30度角的直角三角形的应用，主要考查学生的动手操作能力和计算能力，注意：角平分线上的点到角两边的距离相等.3.概念：P、Q 分别是两条线段a 和 b 上任意一点，线段PQ 长度的最小值叫做线段a 与线段 b 的距离.已知O(0,0),A(4,0),B(m,n),C(m+4,n)是平面直角坐标系中四点.(1)根据上述概念，当 m=2,n=2时，如 图 1,线 段 B C 与线段O A 的距离是；当 m=5,n=2时，如图2,线段BC与线段O A 的距离(叩线段A B长)为；(2)如图3,若点B 落在圆心为A,半径为2 的圆上，线段BC与线段O A 的距离记为d,求 d 关于m 的函数解析式.(3)当 m 的值变化时，动线段BC与线段O A 的距离始终为2,线段BC的中点为M,求出点M 随线段BC运动所围成的封闭图形的周长；点 D 的坐标为(0,2),m0,n 0,作 M N Lx轴，垂足为H,是否存在m 的值使以A、M、H 为顶点的三角形与 AOD相似？若存在，求出m的值；若不存在，请说明理由.15.解：（1）当 m=2,n=2 时，如题图1,线段B C 与线段OA的距离等于平行线之间的距离，即为2；当 m=5,n-2 时，B 点坐标为（5,2）,线段B C 与线段OA的距离，即为线段AB 的长，如答图1,过点B 作 BN J_ x 轴于点N,则 A N=1,BN=2,在 RS AB N中，由勾股定理得：ABTAN？+BM=正+爱=下.AyB C，-t a I:，-7 T-O A N x答图1（2）如答图2所示，当点B 落在。A上时，m的取值范围为2 W m S 6：当 4 人 6,显然线段B C 与线段OA的距离等于。A半径，即 d=2；当 2 W m V 4 时，作 B N，x 轴于点N,线段B C 与线段OA的距离等于B N长,O N=m,A N=0 A-0 N=4-m,在 R t A A B N 中，由勾股定理得:d=22-(4-m)2=，4-16+8加 一 加=J n?+8m12.（3）依题意画出图形，点M的运动轨迹如答图3中粗体实线所示：由图可见，封闭图形由上下两段长度为8的线段，以及左右两侧半径为2的半圆所组成,其周长为：2 x 8+2 x 7 1 x 2=1 6+47 1,/.点M随线段B C运动所围成的封闭图形的周长为：1 6+4m结论：存在.V m 0,生0,.,.点M位于第一象限.V A (4,0)，D(0,2),；.OA=2 OD.如图4所示，相似三角形有三种情形:(I)A M i H ,此时点M 纵坐标为2,点 H在 A 点左侧.如图，0 H =m+2,M|H i=2,AH|=0 A-0 H|=2-m,由相似关系可知，M|H|=2 AH|,即 2=2 (2-m),m=1 ；(I I)A M 2 H 2，此时点M 纵坐标为2,点 H在 A 点右侧.如图，OH 2=m+2,M2 H 2=2,AH 2=OH 2-OA=m-2,由相似关系可知,M2 H 2=2 AH 2,即 2=2 (m-2),m=3 ；(I I I)AM3 H 3,此时点B 落在。A 上.如图，O H3=m+2,A H3=OH3-OA=m-2,过点 B 作 BN_ L x 轴于点 N,则 BN=M3 H 3=n,AN=m-4,由相似关系可知，AH 3=2 M3 H 3，即 m-2=2 n (1)在 R t A A B N 中，由勾股定理得：*=(m-4)2+n2(2)由(1)、(2)式解得：m i=,m 2=2,当m=2时，点M与点A横坐标相同，点H与点A重合，故舍去，2 6m=.5综上所述，存在m的值使以A、M、H为顶点的三角形与 A O D相似，m的取值为：1、34.2 5.阅读：我们约定，在平面直角坐标系中，经过某点且平行于坐标轴或平行于两坐标轴夹角平分线的直线，叫该点的“特征线”.例如，点M(l,3)的特征线有:x=l,y=3,y=x+2,y=-x+4.问题与探究：如图，在平面直角坐标系中有正方形O A B C,点B在第一象限，A、C分别在X轴和y轴上，抛物线(x-m)2+n经 过B、C两点，顶点D在正方形内部.(1)直接写出点D(m,n)所有的特征线；(2)若点D有一条特征线是y=x+l,求此抛物线的解析式；(3)点P是A B边上除点A外的任意一点，连接0 P,将A O A P沿着0 P折叠，点A落在点A，的位置，当点A，在平行于坐标轴的D点的特征线上时，满 足(2)中条件的抛物线向下平移多少距离，其顶点落在0 P上？【分析】(1)根据特征线直接求出点D的特征线;(2)由点D 的一条特征线和正方形的性质求出点D 的坐标，从而求出抛物线解析式;(2)分平行于x 轴和y 轴两种情况，由折叠的性质计算即可.【解答】解：(1);点 D(m,n),:.点 D(m,n)的特征线是 x=m,y=n,y=x+n-m,y=-x+m+n；(2)点 D 有一条特征线是y=x+.l,n-m=l,.n=m+l 抛物线解析式为y=+(x-m)2+n，1 2y=(x-m)+m+1,4 四边形O ABC是正方形，且 D 点为正方形的对称轴，D(m,n),.,.B(2m,2m),(2m-m)2+n=2m,将 n=m+l 带入得到 m=2,n=3；4AD(2,3),二抛物线解析式为y=L(x-2)2+3(3)如图，当点A，在平行于y 轴的D 点的特征线时,根据题意可得，D(2,3),.0A=0A=4,0M=2,ZA,OM=60,J ZA,OP=ZAOP=30,V3 3抛物线需要向下平移的距离=3-2 逅=”为应.3 3乳头，当点A，在平行于x 轴的D 点的特征线时，：顶点落在0 P 上，.A，与 D 重合，.A，(2,3),设 P(4,c)(c 0),由折叠有，PD=PA,6+(c -3)2=。，；.p(4,A 2)6直线O P解析式为丫=24.抛物线需要向下平移的距离=3-丝=丝，12 12即：抛 物 线 向 下 平 移 上 曳 1或空距离，其顶点落在0P 上.3 12【点评】此题是二次函数综合题，主要考查了折叠的性质，正方形的性质，特征线的理解,解本题的关键是用正方形的性质求出点D 的坐标.27.（9 分）如图，P 为ABC 内一点，连接 P4、PB、P C,在PAB、ZXPBC 和PAC中，如果存在一个三角形与ABC相似，那么就称尸为AABC的自相似点.如图，已知中，ZACB=90,ZACBZA,CQ是 AB上的中线,过点B 作 8E_LC,垂足为E,试说明E 是A8C的自相似点.在ABC 中，Z A Z B Z C.如图，利用尺规作出aABC的自相似点尸（写出作法并保留作图痕迹）；若4BC的内心尸是该三角形的自相似点，求该三角形三个内角的度数.（第 27题）27.解在 Rt 48C 中，/ACB=90。，8 是 AB 上的中线，A CD=-A B ,：.CD=BD.2：.ZBCE=ZABC.：BECD,：.ZBEC=90,：.ZBEC=ZACB.：./BCE/ABC.E是ABC的自相似点.作图略.作法如下：(i)在NA8C内，作NCBQ=NA；(i i)在NACB 内，作NBCE=NA8C；BD 交 CE 于点、P.则 P 为 ABC的自相似点.连接尸3、PC.为zsABC的内心，N P3C =4 N A 5 C,2NPCB=L/ACB.2；P 为4 ABC 的自相似点，/ZXBCPs ABC./PB C=N A,/BC P=N A B C=2/P8C=2N A,ZACB2ZBCP=4ZA.V ZA+ZABC+ZACB=180.，ZA+2ZA+4ZA=180.乙4=幽.该三角形三个内角的度数分别为幽、出7777207