河北省衡水2021-2022学年高考数学倒计时模拟卷含解析.pdf

2021-2022高考数学模拟试卷注意事项1 .考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回.2.答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0.5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置.3,请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符.4.作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案.作答非选择题，必须用0 5毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效.5 .如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗.一、选择题：本题共1 2小题，每小题5分，共6 0分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1 .复 数 磬 =（）.2-1A.i B.1 +i C.-i D.1-i2.已知集合A=x I y =，-2人+x+3 ，3 =|1 0 8 2%1 则全集。=1 1则下列结论正确的是（）A.A B A B.A u B=B C.（A）QB=0 D.3 .下图中的图案是我国古代建筑中的一种装饰图案，形若铜钱，寓意富贵吉祥.在圆内随机取一点，则该点取自阴影区 域 内（阴影部分由四条四分之一圆弧围成）的概率是（）_ 134C.一兀D.2-7C4 .如图，正方体的底面与正四面体的底面在同一平面a上，且A B/C D,若正方体的六个面所在的平面与直线C E,七户相交的平面个数分别记为相，则下列结论正确的是（）5 .由曲线y=*2与曲线y 2=x所围成的平面图形的面积为（）&%a”16 .已知数列为,一，二，工 是 首 项 为8,公比为一得等比数列，则心等 于（）a,a,a _,2A.64 B.32 C.2 D.47 .设复数二满足z i z =2+i （i 为虚数单位），贝 i j z 在复平面内对应的点位于（）A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限8 .设 S“为等差数列%的前项和，若 生=-3,57=-7,则 S “的最小值为（）A.-1 2 B.-1 5 C.-1 6 D.-1 89 .已知随机变量X服从正态分布N（4,9）,且 P（X 2）=P（X2 a）,则。=（）A.3 B.5 C.6 D.71 0.已知甲、乙两人独立出行，各租用共享单车一次（假定费用只可能为1、2、3 元）.甲、乙租车费用为1 元的概率分别是0.5、0.2,甲、乙租车费用为2 元的概率分别是0.2、0.4,则甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为（）A.0.1 8 B.0.3 C.0.24 D.0.3 6(.兀1 1.计算/o g?卜，a等于（）_ 23 2 2A.B.-C.D.-22 3 31 2.已知集合A=0,1 ,B=0,1,2,则满足A UC=B 的集合C的个数为（A.4 B.3 C.2 D.1二、填空题：本题共4小题，每小题5 分，共 20 分。%1 +7 7 +1 3.已知x，y 满 足 x+yK4 且目标函数Z =2 x+），的最大值为7,最小值为1,则-=.aax+by+c 2=2外（0）的焦点和椭圆?+方=1 的右焦点重合，直线过抛物线的焦点/与抛物线交于P、。两点和椭圆交于A、B两 点,M 为抛物线准线上一动点，满足|尸目+|儿阳=8,Z A/F P=1,当&W FP 面积最大时，直线A 3的方程为.1 6 .设 S“为数列 风 的前项和，若 2s“=5。“-7,则 4=一三、解答题：共 7 0 分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。1 7 .（1 2分）已知 叫是递增的等差数列，2,为 是 方 程/_5+6 =0的根.（1）求%的通项公式;(2)求数列 墨 的前项和.1 8.(1 2分)/(x)=l n x-o x有最大值，且最大值大于0.(1)求。的取值范围；(2)当a =g时，/(x)有两个零点七,%2(4 马)，证明：XlX2 (),证明 l n(x +D/“).X%=+C O S (D20.(1 2分)在平面直角坐标系x Q y中，曲线。的参数方程为,(夕为参数).在以坐标原点为极点，工轴y 二|s i n(p 的正半轴为极轴的极坐标系中，直线/的极坐标方程为夕s i n 。-看 =3.(1)求曲线C的普通方程及直线/的直角坐标方程；(2)求曲线。上的点到直线/的距离的最大值与最小值.21.(1 2 分)已知函数/(x)=|x-向-|x+2|不等式“一2)20 的解集为(7,4 .(1)求团的值；(2)若 a 0,b0,c 3,且 a+2b+c =2z,求卜，+1)伍+中，-3)的最大值.22.(1 0分)已 知 函 数/(力=k一1|一2|x+3|.(1)求 不 等 式 的 解 集；(2)若存在实数x,使得不等式m 2一3机-/(x)由 l o g 2%l 知，8 =(2,+o o),因此 A n8=0,3A uB=5 2,+8),(A)n B =(2,-H),(2,+o o)c (-o o,-l)o-,+o o J,故选:D【点 睛】本题考查集合运算以及集合间的关系，求解不等式是解题的关键，属于基础题.3.C【解 析】令 圆 的 半 径 为1,则 二 老 二万一？一 2)=百故选c.S 兀 兀4.A【解 析】根据题意，画出几何位置图形，由图形的位置关系分别求得相，的值，即可比较各选项.【详 解】如下图所示，C u平面A 3 P Q,从而CE/平面A g，。，易知C E与正方体的其余四个面所在平面均相交,2 =4,:E F 平面B P A B-跖/平面A Q 24,且E E与正方体的其余四个面所在平面均相交,J =4，,结合四个选项可知，只有加=正确.故选：A.【点睛】本题考查了空间几何体中直线与平面位置关系的判断与综合应用，对空间想象能力要求较高，属于中档题.5.B【解析】首先求得两曲线的交点坐标，据此可确定积分区间，然后利用定积分的几何意义求解面积值即可.【详解】联立方程：。y=x可得:%!=01 X =0=1%=1结合定积分的几何意义可知曲线y=*2与曲线产=所围成的平面图形的面积为:/c S -S=J；(4 *2)=-X2-X3 I o =23本题选择B选项.【点睛】本题主要考查定积分的概念与计算，属于中等题.6.A【解析】根据题意依次计算得到答案.【详解】根 据 题 意 知：4=8,4,故“3 2,1=2,生=6 4.故选：A.【点 睛】本题考查了数列值的计算，意在考查学生的计算能力.7.A【解 析】由复数的除法运算可整理得到z,由此得到对应的点的坐标，从而确定所处象限.【详 解】由 z-i z =2 +i得:2+i(2 +/)(l +z)1 +3/1 3 .1-z (l-z)(l +O 2 2 2位于第一象限.故选：A.【点 睛】本题考查复数对应的点所在象限的求解，涉及到复数的除法运算，属于基础题.8.C【解 析】根据已知条件求得等差数列%的通项公式，判 断 出S“最小时的值，由此求得S“的最小值.【详 解】Ui+2,d=-39依 题 意 ，解 得 =-7 =2,所 以。“=2-9.由。“=2 -9 4 0解得4二，所以前项和中，前7 ,+2 1 J =-7 24项的和最小，且=4q+6d=-2 8 +1 2 =-1 6.故选：C【点 睛】本小题主要考查等差数列通项公式和前项和公式的基本量计 算，考查等差数列前项和最值的求法，属于基础题.9.C【解 析】根 据 在 关 于X=4对称的区间上概率相等的性质求解.【详 解】-./=4,cr=3,.P(XW2)=P(XW4-2)=P(XN4+2)=P(XN6)=P(X 2 a),.a=6.故选：C.【点睛】本题考查正态分布的应用.掌握正态曲线的性质是解题基础.随机变量X服从正态分布N(,b 2),则PX /a+tri).10.B【解析】甲、乙两人所扣租车费用相同即同为1元，或同为2元，或同为3元，由独立事件的概率公式计算即得.【详解】由题意甲、乙租车费用为3元的概率分别是().3,().4,.甲、乙两人所扣租车费用相同的概率为P=0.5x0.2+0.2x0.4+03x0.4=0.3.故选：B.【点睛】本题考查独立性事件的概率.掌握独立事件的概率乘法公式是解题基础.11.A【解析】利用诱导公式、特殊角的三角函数值，结合对数运算，求得所求表达式的值.【详解】一 壶心吟 四(吟 加1原式=10g2 xcos 2 -=lo g2 XCOS-=10g2 X-乙 J 乙 J y 乙 乙_3=log2 2 232故选：A【点睛】本小题主要考查诱导公式，考查对数运算，属于基础题.12.A【解析】由ADC=3可确定集合。中元素一定有的元素，然后列出满足题意的情况，得到答案.【详解】由A uC =6可知集合C中一定有元素2,所以符合要求的集合C有2,2,0,2,1,2,0,1,共4种情况，所以选A项.【点睛】考查集合并集运算，属于简单题.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13.-2【解析】先根据约束条件画出可行域，再利用几何意义求最值，z=2x+.y表示直线在y轴上的截距，只需求出可行域直线在y轴上的截距最大最小值时所在的顶点即可.【详解】由题意得：目标函数Z=2 x+y在 点B取得最大值为7,在点A处取得最小值为1,A(L-l),3(3,1),二直线AB的方程是：x-y-2=0,【点睛】本题主要考查了简单的线性规划，以及利用几何意义求最值的方法，属于基础题.14.-8【解析】分跑出优秀的人为：甲、乙和甲、丙和乙、丙三种情况分别计算再求和即可.【详解】刚好有2人跑出优秀有三种情况：其一是只有甲、乙 两 人 跑 出 优 秀 的 概 率 为 其 二 是 只 有 甲、丙3 2 1 4J 4两人跑出优 秀的概率为X =;；其三是只有乙、丙两人跑出优秀的概率为1 1乂 乂 二 五，三种情况相 加 得,+-5-+-=1.即刚 好 有2人跑出优秀的概 率 为1.4 1 2 2 4 8 83故答案为：9O【点睛】本题主要考查了分类方法求解事件概率的问题,属于基础题.1 5.y =V5(x-l)【解 析】根据均值不等式得到SA M rp 2ylPF-MF,PF-MF16,SM F P=-PF-M FJ3（当 且 仅当I尸耳=|M典=4,等号成立）,MF=4,F,F=2,71 4/.AFMFX=-9 ZMFF=-直 线AB的倾斜角为三，直 线AB的 方 程 为y =G(x1).故答案为：y =G(xl).【点睛】本题考查了抛物线，椭圆，直线的综合应用，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.【解析】7当”=1 时，由 2 E=5 q-7 =2 q,解得 当 22 时，2s“=5%7,25“”=5q_1-7,两式相减可得2an=5an-5a_,即5 一 =3 4,可得数列%是等比数列再求通项公式.【详解】7当 =1 时，2s=5q-7=2%,即当 2 2 时，2s“=5a“-7,2S,i=5 a一 7,两式相减可得2q,=54-5%,即 5a,i=3an,7 5故数列%是以为首项，不为公比的等比数列，所以。-故答案为：【点睛】本题考查数列的前 项和与通项公式的关系，还考查运算求解能力以及化归与转化思想，属于基础题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)a,=g+l;(2)S,=2一【解析】(1)方 程/一5工+6=0的两根为2,3,由 题 意 得%=3,%=2,在利用等差数列的通项公式即可得出；(2)利用“错位相减法”、等比数列的前项和公式即可求出.【详解】方程x25x+6=()的两根为2,3.由题意得az=2,34=3.1 3设数列 a“的公差为d,则 a 4 a 2=2 d,故(1=不，从而得a i=；p所以 a j 的通项公式为an=n+1.2(2)设 果 的前n 项和为S”，_!_ /、乙凡 +2由 知 寸=尹,3,4,+1 ,+2贝！J Sn=H r +H-I-7-，22 23 T 2 向两式相减得2 S n-23+24+n+1I +2+2”+i十 22 9+击）-n2+2 2考点：等差数列的性质；数列的求和.【方法点晴】本题主要考查了等差数列的通项公式、“错位相减法”、等比数列的前项和公式、一元二次方程的解法等知识点的综合应用，解 答 中 方 程/5工+6=0 的两根为2,3,由题意得%=3,%=2,即可求解数列的通项公式，进而利用错位相减法求和是解答的关键，着重考查了学生的推理能力与运算能力，属于中档试题.(n1 8.(1)0,-；(2)证明见解析.k ej【解析】Q)求出函数y =/(x)的定义域为(0,+纥)，/(力=上 左，分 a w o 和 0 两种情况讨论，分析函数)，=/(%)的单调性，求出函数y =/(x)的最大值，即可得出关于实数。的不等式，进而可求得实数。的取值范围；(2)利用导数分析出函数y =/(x)在(0,3)上递增，在(3,+功上递减，可得出0 玉3 ，由当=/(%)-/当=3 1 nXi-y+-ln 30,构造函数 g(x)=3 1 n x _ g+与 l n 3 0,证明出g(x J 0,进而得出，再由函数y =/(x)在区间(3,+8)上的单调性可证得结论.7【详解】(1)函数/(x)=l nx-公的定义域为(0,+“)，且/(力=匕 竺.当.wo时，对任意的工。，r(x)o,此时函数y =f(x)在(0,+8)上为增函数，函数y =f(x)为最大值；当a0时，令/(力=0,得x =(.当0 x 0,此时函数)=/(x)单调递增；a当x,时，尸(6 0,解得0 a 综上所述，实数。的取值范围是0。,；e(2)当a =g时，/(x)=l nx-；x,定义域为(0,+“)，1 1 4 _ Y/(X)=!-!=，当0 尤 0；当x 3时，_f(x)o.x 3 3 x所以，函数y =/(x)的单调递增区间为(0,3),单调递减区间为(3,+8).由于函数y =/(x)有两个零点网、且X1%2，0 XI 3 X2,c(、/30)J 。3 0 1 0、*X,10 ._.()一/=f M-f =-In r=3 11!-+-j-l n 3 0,(%)7 V J J I%J Ir If)构造函数g(x)=3 1n x -+/l n 3 0,其中0 x 3,，/、3 1 2 0 X3-9X2+6 0g(X)=-r =-;-，x 3 x3 3x34,=X3-9 x2+6 0,/?(x)=3 x2-18 x =3 x(x-6),当0 x 3时，/?(%)=60,则g(x)0.所以，函数y =g(x)在区间(0,3)上单调递减，.0 X 0,9 9即/(A/坐=/(玉)一/当=g(X 1)。，即“%2)/当，.1 0 X,3 0 =10 3o K-V,3 ,而函数 y =/(/x)、在(/3,+0 0、)上为减函数，所以，X2 _T 因此，X；X 2 /(x),化简为 M(x +1)m(e T +l),令h(x)=蚂 叶 12 ,求 ()的单调性，以及*(),g(x)0,g(x)单调递减；当x 0,g(x)单调递增；故 g(x)g(O)=O，XHO,.1./(x)/=(/幻、，即 为l=n(x +1)-x,x x e-1因 为 x _ 1靖1 +1)ex-e-lex-l即讦 l n(x +l)J n(e-1 +1).x exAf/x l n(x +1).-1 几(x +1)令(无)=一，则=，X元 ,11 X令g(x)=-l n(x +l),则g(x)=一 二 K，x +1 (x +1)x +1 (x +1)当x 0时，g(x)0,所以g(x)在(0,+s)上单调递减，则g(x)g(O)=O,0,则(x)0在(0,+8)上恒成立，所以(x)在(0,+8)上单调递减，所以要证原不等式成立，只需证当x0时，x 0对于x0恒成立，即m(x)加(0)=0,即故 fi(x)+,x e”1故原不等式得证.【点睛】本题考查利用导数研究函数的单调性，利用导数证明不等式，函数的最值问题，属于中档题.2 0.(1)C:(x-i y+/=L(y 0),/:x 6y+6 =0 (2)最 大 值 最 小 值 1【解析】(1)由曲线C的参数方程 ,=协 同，得c o s e =x l,y =k i n同两式平方相加求解，根据直线/的极坐标方程 s i n(e q)=3,展开有p s i n。孚”c o s d g =3,再根据y =外 抽。=外0 5 6求解.(2)因为曲线C是一个半圆，利用数形结合，圆心到直线的距离减半径即为最小值，最大值点由图可知.【详解】X =1 +C O S(P(1)因为曲线C的参数方程为|.,y =|s i n 夕|所以 c o s 0 =x _ l,y =b i n 两式平方相加得：(x i y +y 2=i,(y N0)因为直线/的极坐标方程为s i n(6 -总=3.所以 0 s i n。弓 一 p c o s 6；=3所以y走 一x =3-2 2即 x-百y +6 =0(2)如图所示：圆心C到直线的距离为：d=-=22所以圆上的点到直线的最小值为：dm n=d -r =则点M(2,0)到直线的距离为最大值：4rax =半=不【点睛】本题主要考查参数方程，普通方程及极坐标方程的转化和直线与圆的位置关系，还考查了数形结合的思想和运算求解的能力，属于中档题.21.(1)加=6(2)32【解析】(1)利用绝对值不等式的解法求出不等式的解集，得到关于?的方程，求出，的值即可;(2)由(1)知机=6可得,a +%+c =l 2,利用三个正数的基本不等式a +b +c 2 3痴 注，构造和是定值即可求出(a +l)(b +l)(c-3)的最大直【详解】(1)V f(x)=x-m-x+2,2)=|x z/z 2|x-2 +2|,所以不等式/(x-2)0的解集为(-，4,即为不等式,一加一2|一忖20的解集为(3 4,二卜一 机-2|2凶的解集为(-0 0,4,即不等式(X 根一2)2 NX z的解集为(,4,化简可得,不等式(m+2)(m+2-2 x)0的解集为(,4,所 以 也2=4,即加=6.2(2):m =6,/a+2 Z?+c =12.又 。0,b0,c 3,(a +l)(0+l)(c-3)=(+l)(n；2)(c-3).1 r(a +l)+(2 2)+(c-3)T _ 1 (a+2b+c y _ 1 c =7时，等号成立，(a+l)(6+l)(c-3)的最大值为 3 2.【点睛】本题主要考查含有两个绝对值不等式的解法和三个正数的基本不等式a+b+c 3五无的灵活运用;其中利用a+%+c =12构造出和为定值即(。+1)+(a一 2)+(c 3)为定值是求解本题的关键;基本不等式a +5 2 2而 取 最 值的条件:一正二定三相等是本题的易错点；属于中档题.2 2.(1)(-O O,-6)U(2,+o o)；(2)(1,4).【解析】(1)将函数y =/(x)的解析式表示为分段函数，然后分x V 3、一3%1、无2 1三 段 求 解 不 等 式 综 合可得出不等式/(x)l的解集；(2)求出函数y =/(x)的最大值/(耳,皿，由题意得出m 2 3 m/(力,皿，解此不等式即可得出实数加的取值范围.【详解】x+7,x-3/(尤)=|x -2|x+3|3x 5,3 x 1.x 7,x 2 1(1)当xW-3时，由/(x)=x+7 l,解得x-6,此时x-6；当一3 c x 1 时，由/(x)=-3x-5 -2,此时一2 c x 1；当时，由/(x)=-x-7 -8,此时xNl.综上所述，不 等 式 耳 1的解集(-,-6)0(-2,+8)；(2)当xW-3时，函数/(x)=x+7单调递增，贝i J/(x)W/(-3)=4；当一3 c x 1时，函 数/(力=一3X一5单调递减，则/(I)/(%)-3),即-8 力 4；当x 2 1时，函数/(x)=-x-7单调递减，则 x)W/(T)=-8.综上所述，函数y=/(%)的最大值为/(力厘=/(-3)=4,由题知，nr-3 m/(A：)n)a x=4,解得一 1?4.因此，实数7的取值范围是(T,4).【点睛】本题考查含绝对值不等式的求解，同时也考查了绝对值不等式中的参数问题，考查分类讨论思想的应用，考查运算求解能力，属于中等题.