2021新高考Ⅰ卷数学真题及答案.pdf

2 0 2 1 年普通高等学校招生全国统一考试数学本试卷共4页，2 2 小题，满 分 1 5 0 分，考试用时1 2 0 分钟。注意事项：1.答卷前，考生务必将自己的姓名、考生号、考场号和座位号填写在答题卡上。用2B 铅笔将试卷类型(B)填涂在答题卡相应位置上，将条形码横贴在答题卡右上角“条形码粘贴处”。2 .作答选择题时，选出每小题答案后，用 2 8 铅笔在答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑：如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案，答案不能答在试卷上，3 .非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案：不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4 .考生必须保持答题卡的整洁，考试结束后，将试卷和答题卡一井交回。一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共 4 0 分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1A设集合 A=x|-2 x 4 .B=2,3,4,5 ,贝！|A CB=2 B.2,3 C.3,4,D.2,3,4 2A已知 z=2-i,则(z(z +i)=6-2 i B.4-2 i C.6+2 i D.4+2 i3A已知圆锥的底面半径为或，其侧面展开图为一个半圆，则该圆锥的母线长为2 B.2 V 2 C.4 D.4 7 24 .下列区间中，函数f (x)=7 s i n(x -写单调递增的区间是6A.(0,”B.(4 n)A (n ,争 D.(y,2 n )5.已 知 是 椭 圆C：+的两个焦点，点M在C上，则IMF 的最大值为9 4A.1 3 B.1 2 C.9 D.66.若 t a n 0 =-2,则:sin o(i+sin 2。)sin +cos 0A.Yc IB-I7.若过点(a,b)可以作曲线y=e 的两条切线，则A.eb aB.e 0 bC.0 a ebD.0 b 7O D.OA7OK=11.已知点 P 在圆(x-5尸+(y-5)2=16 上，点 A (4,0),B (0,2),则A.点P到直线A B的距离小于10B.点P到直线A B的距离大于2C.当/P B A最小时，P B|=3企D.当/P B A 最大时，P B|=3 12.在正三棱柱中，A B=A 4 =1，点P满 足 两=4而+西，其中入6 0,1,林e O,l ,则A.当入=1 时，ZUB i P 的周长为定值B.当 U=1时，三棱锥P-4 B C 的体积为定值C.当入=1时，有且仅有一个点P,使得4 P _ LB PD.当U 时，有且仅有一个点P,使得4 B _ L平面A&P三.选择题：本题共4 小题，每小题5 分，共 2 0分13 .已知函数f(x)=X3(a-2 工一2-)是偶函数，则 a=14 .已知0为坐标原点，抛物线C:y 2 =2 px(p 0)的焦点为F,P 为C上一点，P F 与x轴垂直，Q 为x轴上一点，且P Q LO P,若|F Q 1=6,贝 IJC的准线方程为一15 .函数f(x)=|2 x-l|-2 1nx的最小值为16 .某校学生在研究民间剪纸艺术时，发现此纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.规格为2 0d m X12 d ni 的长方形纸.对折1 次共可以得到10d m X2 d m .2 0d m X6 d m 两种规格的图形，它们的面积之和工=2 4 0 d m；对折2 次共可以得5 d m X12 d m ,10d m X6 d m,2 0d m X3 d m 三种规格的图形,它们的面积之和S 2 =18 0d m2.以此类推.则对折4次共可以得到不同规格图形的种数为一：如果对折n 次，那么二=e=d m2四、解答题：本题共6 小题，共7 0分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17 .(10分)已知数列 册 满足的=1，斯+i f n+l 11为奇数 1 匕+2,n 为偶数(1)记=。2”，写出瓦，b2并求数列%的通项公式；(2)求 册 的前2 0 项和1 8 .(1 2 分)某学校组织一带一路 知识竞赛，有 A,B两类问题每位参加比赛的同学先在两类问题中选择类并从中随机抽U 又一个问题问答，若回答错误则该同学比赛结束；若回答正确则从另一类问题中再随机抽取一个问题回答，无论回答正确与否，该同学比赛结束.A类问题中的每个问题回答正确得2 0 分，否则得0分：B 类问题中的每个问题回答正确得8 0 分，否则得0 分。己知小明能正确回答A 类问题的概率为0.8 ,能正确回答B 类问题的概率为0.6 .且能正确回答问题的概率与回答次序无关。(1)若小明先回答A 类问题，记 X 为小明的累计得分，求 X的分布列：(2)为使累计得分的期望最大，小明应选择先回答哪类问题？并说明理由。1 9 .(1 2 分)记A A B C 的内角A,B,C的对边分别为a.,b.,c,已知庐=3点 D 在边A C 上，B D si nZ A B C =a si n C.(1)证 明:B D =b：若 A D =2 D C .求 c o s Z A B C.2 0.（1 2 分）如图，在三棱锥A-B C D中.平面A B D _ L平面B C D,A B=A D.0为B D的中点.(1)证明：0 A 1 C D：(2)若 是 边 长 为1的等边三角形.点E在 棱A D上.D E =2 E A .且二面角E-B C-D的大小D为4 5 ,求三棱锥A-B C D的体积.2 1.(1 2 分)在平面直角坐标系x O y中，己知点F 2(/1 7,0),点M满足|M F，H M E|=2.记M的轨迹为C.(1)求C的方程；(2)设 点T在 直 线 上，过T的两条直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，且|T A|-|T B|=|T P|-|T Q|,求直线A B的斜率与直线P Q的斜率之和2 2.(1 2 分)已知函数 f(x)=x (1-l n x)(1)讨论f(x)的单调性(2)设a,b为两个不相等的正数，且bl n a-a l n b=a-b证明：2 1+：bz=-c+-a+-c a-9 9 92acn1 U 7 3c2+6a2)=6a2-Uac+3c2=0=QC)3 T 1=a=-c 或 a=-c2 3(a=-c,J 3 2 a2+c2-b22=b2=-c2=cosABC-二,222aclb”=ac2CC 12a 3C=炉=-c2=c o s/48c=+1 3。=Z(x)U2=a c 3 2,c 6综上cosABC20.(1)证明：由已知，AABD中AB=AD且0为BD中点 .A0_LBD又平面ABD_L平面BCD平面 B C D 且 C D u平面 B C D.-.A O C D(2)由于AOCD为正三角形，边长为1.-.O B=O D=O C=C DZ B C D=9 0 取O D中点H,连结C H,则C H _ L O D以H为原点，H C,H D,H Z为x,y,z轴建立空间直角坐标系由可知，平面B C D的法向量布=(0,0,1)设 C哼,0,0),B(0,-1,0),D(0,1,0)则 彳=(0,1,4)/D E=2EA一 2 一 2 2 DE=-D A =(0,一小大 力)3、3 3,.-.BE=DE-DB=且 近=(y,|,o)设元，平面B EC记=(x,y,z)邛 史=。,即=0(-y+-/5 z =0t l 2 n (V 3,1,)h由于二面角E-B C-D为45 2 V 2 L一|八 cos 45 =I cos(n m)|=-|3+l+4J hA h=1:-V 三棱锥A-BCDSABCD X 桔 xjx2 xl=21.(1)c A/T7,2a=2,a=l,b=4C表示双曲线的右支方程：x2-=l(x 1)1 6（2）设T&m）,设直线A B的方程为丫=七（-1）+4（%”。以孙乃）y=自(一 2 +zn16x2-y2=16,得 1 6/1 2%+)+2klm 一 3)+m 2=16(16 fcf)%2+(fcj-2klm)x：盥+k/i -m2-16=0g iiT B i=(i+好)m)m=(1+般)卜62 1(1+X2)+-=（i+幅）=(1+好)(1+好)K m-k l-m2-1 6 12klm一好16 fcj2 16-蜉1-4+-m2-1216一烂m2+12烂 一 16设凝。=七，同理可得|TP|TQ|=(1+抬)费K.2-10所以(1+黑=(1+好)会K 1,0 -I v得另16fcj=蜉-16fcfki=好,*k H k，2*k k?即自+七=022.(1)f(x)=x-xlnxf(x)=1-Inx-1=lnx(x0)令 f(x)0,则 OVxVl,令 f(x)l f(x)的单调增区间为(0,1),单调减区间为(1,+8).(2)ln a _ ln d =1 _ 1a b b a即匕w =l1空，gp f(l)=f(l)a b a b令 p，q j 不妨设O V pV IV q,下面证明2Vp+qVe.先证p+q 2,当p 2 2 时结论显然成立.当 q (l,2)时，p+q2,则 p 2-q,.2-qVL 只需设 f(p)f(2-q).即证当 q(1,2)时，由 f(p)f(2-q)令 g(x)=f(x)-f(2-x).g,(x)=f(x)+f(2-x)=-lnx-ln(2-x)=-ln-(x-l)2+l当 x(1,2)时，-(XT T+I V I,所以 g(X)0,g(x)在(1,2)上单调递增，*g(Q)g(l)=O,B P f(q)f(2-q)再设p+q 0,当x (e,+q时，/(%)o:q eVO P e-l l要证q f(e-p)即证当PW(0,1)时,/(e-p)设 h(x)=f(x)f(e x),x E(0,1)，h(x)=f(x)+f(e k)=In x ln(e x)=lnx(e-%)设=i 小于i 的根为%,则力(均在CO,%。)单调递增，在(%,1)单调递减.X x)X D =/(l)-/(e-l)0证毕2021年普通高等学校招生全国统一考试天津卷数学第卷注意事项：1 .每小题选出答案后，用铅笔将答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。2.本卷共9小题，每小题5分，共4 5分参考公式：如果事件力、8互斥,那么P(AU8)=尸(A)+P(8).如果事件力、8相互独立,那么P(AB)=P(A)P(8).球的体积公式丫=:内，其中/?表示球的半径.圆锥的体积公式V =：S/?,其中S表示圆锥的底面面积，表示圆锥的高.一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.设集合A =-1,0 ，8=l,3,5 ,C =0,2,4,则(4(|矶。=()A .0 B .0,1,3,5 C .0,1,2,4 D .0,2,3,42.已知awR,则 6 是 标 3 6”的()A,充分不必要条件 B,必要不充分条件C ,充要条件 D .既不充分也不必要条件3.函数y =孚 毛 的 图 像 大 致 为()JC +24.从某网络平台推荐的影视作品中抽取40 0 部，统计其评分数据，将所得40 0 个评分数据分为8 组：6 6,70),70,74),9 4,9 8,并整理得到如下的频率分布直方图，则评5 .设 a =bg 2 0.3/=l og 1 0.4,c=0.4 3,则 a,b,c 的大小关系为()2A.a b c B.c a b C .b c a D .a c 0 力0)的右焦点与抛物线y 2=2p x(p 0)的焦点重合，抛 物 线 的 准 线 交 双 曲 线 于 4 6 两 点，交 双 曲 钱 的 渐 近 线 于C、。两 点，若|。)|=夜|48 .则双曲线的离心率为()A.V 2 B .V 3C.2D.39 .设 a c R函 数/（幻=cos（2x-2;r。）.犬2（。+1）x +cr+5,xa若/（X）在区间（0,包）内恰有6个零点，则 a的取值范围是（）A.5 1 157B .C .。9 11 11 Q2 q 了 34D .白 卜T3）-1 142021年普通高等学校招生全国统一考试（天津卷）数学第II卷注意事项1 .用黑色墨水的钢笔或签字笔将答案写在答题卡上.2.本卷共11小题，共105分.二、填空题，本大题共6小题，每小题5分，共30分，试题中包含两个空的，答对1个的给3分，全部答对的给5分.1 0 .i是虚数单位，复 数 学 =.1 1 .在（2V +|的展开式中，d 的系数是.1 2.若斜率为G的直线与y轴交于点4与圆V+（y-iy =l 相切于点B,贝“AB|=1 3.若 0 ,b 0,贝 I J I 1+b的最小值为_ _ _ _ _ _ _ _ _.a Z r1 4.甲、乙两人在每次猜谜活动中各猜一个谜语，若一方猜对且另一方猜错，则猜对的一方获胜，否则本次平局.已知每次活动中，甲、乙猜对的概率分别为*和:，且每6 5次活动中甲、乙猜对与否互不影响，各次活动也互不影响，则一次活动中，甲获胜的概率为；3 次活动中，甲至少获胜2 次的概率为.1 5 .在边长为1的等边三角形/8 C 中，。为线段8 C 上的动点，灯，9 且交/1 8于点E.OF/AB 且交力。于 点则|2而+而 j的值为；（尻+而）.方的最小值为.三、解答题，本大题共5小题，共7 5分，解答应写出文字说明，证明过程成演算步骤.1 6 .(本小题满分1 4分)在AABC,角 A,8,C 所对的边分别为,已知s in A:s in 8:s in C =2:1:夜，。=及.(I)求 a的 值；(II)求cos C 的 值；(III)求s i n(2 C-3 的值.1 7.(本小题满分1 5 分)如图，在棱长为2 的正方体A 8 CD-A 4 CQ 中，为棱8。的中点，尸 为棱 8的中点.(I)求 证：R F/平面；(II)求直线4 G 与平面A E G 所成角的正弦值.(III)求二面角A-A C-E 的正弦值.1 8.(本小题满分1 5 分)已知椭圆1+2 =1 (。6 0)的右焦点为上顶点为8,离 心 率 为 挛，且|8尸|=百.a h5(I)求椭圆的方程；(II)直线/与椭圆有唯一的公共点M,与J/轴的正半轴交于点/V,过N 与防垂直的直线交x 轴于点P.若MP/BF,求直线/的方程.1 9 .(本小题满分1 5 分)已知 “是公差为2 的等差数列，其前8 项和为6 4.他,是公比大于0的等比数列，A=4也一仇=48.(I)求%和 ,的通项公式；(II)iEc+-,neN.b(i)证 明 依 一“是等比数列；(ii)证明才k=l 0,函数/(x)=o r-x e”.(I)求曲线y=/(x)在点(0J(0)处的切线方程：(II)证明f。)存在唯一的极值点(III)若存在a,使得/(x)4 a +人对任意x e R 成立，求实数b 的取值范围.