高中数学课件精选-随机变量的均值.ppt
离散型随机变量的分布列离散型随机变量的分布列 X 对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确对于离散型随机变量，可以由它的概率分布列确定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，定与该随机变量相关事件的概率。但在实际问题中，有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征如均有时我们更感兴趣的是随机变量的某些数字特征如均值，方差等。值，方差等。性质：性质：(1)p(1)pi i00，i i1 1，2 2，；(2)p(2)p1 1p p2 21 11 1、某射手射击所得环数、某射手射击所得环数X X的分布列如下的分布列如下：能否估计出该射手能否估计出该射手n n次射击的平均环数？次射击的平均环数？X45678910p0.02 0.04 0.05 0.10 0.25 0.30 0.24 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？2 2，商场促销决策问题，商场促销决策问题教学过程教学过程加加权权平平均均权数权数思考：某商场要将单价分别为思考：某商场要将单价分别为18元元/kg，24元元/kg，36元元/kg的的3种糖果按种糖果按3：2：1的比例混合的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？销售，如何对混合糖果定价才合理？18P（=18）+24P（=24）+36P（=36）XP思考：某商场要将单价分别为思考：某商场要将单价分别为18元元/kg，24元元/kg，36元元/kg的的3种糖果按种糖果按3：2：1的比例混合的比例混合销售，如何对混合糖果定价才合理？销售，如何对混合糖果定价才合理？如果混合糖果中每一颗糖如果混合糖果中每一颗糖果的质量和形状都相同，果的质量和形状都相同，从混合糖果中任取一颗糖，从混合糖果中任取一颗糖，用用X表示这颗糖的价格，表示这颗糖的价格，X的分布列怎样？的分布列怎样？182436一、离散型随机变量取值的均值一、离散型随机变量取值的均值(数学期望数学期望)一般地，若离散型随机变量一般地，若离散型随机变量X的概率分布为：的概率分布为：则称则称为随机变量为随机变量X的均值或数学期望。的均值或数学期望。它反映了离散型随机变量取值的它反映了离散型随机变量取值的平均水平平均水平。1 1、某射手射击所得环数、某射手射击所得环数X X的分布列如下的分布列如下：能否估计出该射手能否估计出该射手n n次射击的平均环数？次射击的平均环数？X45678910p0.020.040.050.100.250.300.24分析：分析：随机变量随机变量X 的均值等于：的均值等于：EX=4EX=40.020.025 50.040.0410100.240.248.388.38环环思考：若该射手在一次练习中射击了思考：若该射手在一次练习中射击了n次，次，这次练习他所得的平均环数一定是这次练习他所得的平均环数一定是8.38环吗环吗？n次练习所得的平均环数与次练习所得的平均环数与x的均值的均值8.38环环有何区别和联系？有何区别和联系？该射手该射手n次射击的平均环数约为次射击的平均环数约为8.38环环随机变量的均值与样本平均值有何区别和联系？区别：随机变量的均值是一个常数，而样本平均值随着样本的不同而变化的，是一个随机变量。联系：随着样本容量的增加，样本平均值越来越接近于总体均值（随机变量的均值）。设设YaXb，其中其中a，b为常数，则为常数，则Y也是也是随机变量随机变量（1）Y的分布列是什么？的分布列是什么？（2）EY=？思考：思考：YaXb一、离散型随机变量取值的均值一、离散型随机变量取值的均值数学期望数学期望二、随机变量数学期望的性质（线性性质）二、随机变量数学期望的性质（线性性质）即时训练：即时训练：1 1、随机变量、随机变量X X的分布列是的分布列是X135P0.50.30.2(1)则则EX=.2、随机变量、随机变量的分布列是的分布列是2.4(2)若若Y=2X+1，则则EY=.5.847910P0.3ab0.2E=7.5,则则a=b=.0.40.1例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他罚球，则他罚球1次的得分次的得分X的均值是多少？的均值是多少？一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X X服从两点分布，服从两点分布，X10Pp1p则则三、例题讲解三、例题讲解两点分布的期望两点分布的期望例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他，则他罚球罚球1次次的得分的得分X的均值是多少？的均值是多少？三、例题讲解三、例题讲解变式变式1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他，则他连续罚球连续罚球3次次的得分的得分X的均值是多少的均值是多少？X0123P分析：分析：XB（3，0.7）为什么为什么呢？呢？Ex=二项分布的期望二项分布的期望例例1.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为0.7，则他，则他罚球罚球1次次的得分的得分X的均值是多少？的均值是多少？三、例题讲解三、例题讲解变式变式2.篮球运动员在比赛中每次罚球命中得篮球运动员在比赛中每次罚球命中得1分，分，罚不中得罚不中得0分已知某运动员罚球命中的概率为分已知某运动员罚球命中的概率为p，则他，则他连续罚球连续罚球n次次的得分的得分X的均值是多少？的均值是多少？x x01knpx的概率分布如下：的概率分布如下：XB(n,p)EX=0kn？为什么为什么呢？能呢？能证明它证明它吗？吗？npEX2；一般地，如果随机变量X服从二项分布，即XB（n,p），则EX=np结论：结论：1 1；一般地，如果随机变量；一般地，如果随机变量X X服从服从 两点分布（两点分布（1 1，p)p)，则，则EXEXp p3，一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的3 个红球和个红球和2个黄球，从中有放回地取个黄球，从中有放回地取5次，则取到红球次，则取到红球次数的数学期望是次数的数学期望是 .3即时训练：即时训练：4，随机变量，随机变量XB（8，p），已知），已知X的均值的均值EX=2，则则P（x=3)=（保留（保留2位有效数字）。位有效数字）。0.21例例2 2 一个袋子里装有大小相同的一个袋子里装有大小相同的5 5个白球个白球和和5 5个黑球，从中任取个黑球，从中任取4 4个，求其中所含白个，求其中所含白球个数的期望。球个数的期望。变式训练：变式训练：某课外活动小组有某课外活动小组有4名男生和名男生和6名女生，名女生，现现 要从中选要从中选3人组成一个调查小组，设其中人组成一个调查小组，设其中 男生人数男生人数为为X (1)求求X的分布列；的分布列；(2)求求X的期望的期望.一般地，如果随机变量一般地，如果随机变量X服从超几何分布，服从超几何分布，即即XH(n，M，N)，则，则超几何分布的数学期望超几何分布的数学期望三、例题讲解三、例题讲解例例3.根据气象预报，某地区近期有小洪水的概根据气象预报，某地区近期有小洪水的概率为率为0.25,有大洪水的概率为有大洪水的概率为0.01该地区某工该地区某工地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失地上有一台大型设备，遇到大洪水时要损失60 000元，遇到小洪水时要损失元，遇到小洪水时要损失10000元为保护元为保护设备，有以下设备，有以下3 种方案：种方案：方案方案1：运走设备，搬运费为：运走设备，搬运费为3 800 元元 方案方案2：建保护围墙，建设费为：建保护围墙，建设费为2 000 元但围元但围墙只能防小洪水墙只能防小洪水方案方案3：不采取措施，希望不发生洪水：不采取措施，希望不发生洪水 假如你 是一位商场经理，在五一那天想举行促销活动，根据统计资料显示，若在商场内举行促销活动，可获利2万元；若在商场外举行促销活动，则要看天气情况:不下雨可获利10万元，下雨则要损失4万元。气象台预报五一那天有雨的概率是40%，你应选择哪种促销方式？2 2，商场促销决策问题，商场促销决策问题解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为解：设商场在商场外的促销活动中获得经济效益为X X万元，万元，则则X X的分布列为的分布列为0.40.6410PXE X=100.6(4)0.4=4.4万元万元2万元万元,故应选择在商场外搞促销活动。故应选择在商场外搞促销活动。反思：反思：1 1、用定义求随机变量均值的一般步骤：、用定义求随机变量均值的一般步骤：1 1）找出随机变量的可能取值找出随机变量的可能取值；反思：反思：2 2、求随机变量均值的一般方法：、求随机变量均值的一般方法：1 1）利用定义求均值利用定义求均值；2）求出分布列）求出分布列3）利用定义（公式）求均值。）利用定义（公式）求均值。2）利用线性性质求均值。）利用线性性质求均值。3）两点分布，二项分布直接用公式求均值。）两点分布，二项分布直接用公式求均值。例：例：一次单元测验由一次单元测验由20个选择题构成，每个选择题有个选择题构成，每个选择题有4个选项个选项.其中仅有一个选项正确，每题选对得其中仅有一个选项正确，每题选对得5分分.不选不选或选错不得分，满分或选错不得分，满分100分分.学生甲选对任一题的概率为学生甲选对任一题的概率为0.9，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择，学生乙则在测验中对每题都从各选项中随机地选择一个一个.分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均分别求学生甲和学生乙在这次测验中的成绩的均值值.思路分析：思路分析：设设甲、乙选对题数分别为甲、乙选对题数分别为X1、X2，则甲、乙两人的成绩分别为则甲、乙两人的成绩分别为Y1=5X1、Y2=5X2，问题转化为求问题转化为求:E(Y1)=E(5X1)=E(Y2)=E(5X2)=思考：思考：X1、X2服从什么分布？服从什么分布？5E(X1)5E(X2)解解：设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数设学生甲和学生乙在这次单元测验中选对的题数分别是分别是X X1 1和和X X2 2，则则 X X1 1B(20B(20，0.9)0.9)，X X2 2B(20B(20，0.25)0.25)，EXEX1 120200.90.91818，EXEX2 220200.250.255 5由于答对每题得由于答对每题得5 5分，学生甲和学生乙在这次测验中的分，学生甲和学生乙在这次测验中的成绩分别是成绩分别是5X5X1 1和和5X5X2 2。所以，他们在测验中的成绩的期。所以，他们在测验中的成绩的期望分别是望分别是E(5XE(5X1 1)5EX5EX1 15 518189090，E(5XE(5X2 2)5EX5EX2 25 55 52525当堂检测当堂检测1.一袋子里装有大小相同的一袋子里装有大小相同的3个红球和两个个红球和两个黄球，从中同时取出黄球，从中同时取出2个，则其中含红球个个，则其中含红球个数的数学期望是数的数学期望是 （用数字作答）（用数字作答）3.袋中有袋中有4个黑球、个黑球、3个白球、个白球、2个红球，从个红球，从中任取中任取2个球，每取到一个黑球记个球，每取到一个黑球记0分，每取分，每取到一个白球记到一个白球记1分，每取到一个红球记分，每取到一个红球记2分，分，用表示得分数用表示得分数求的概率分布列求的概率分布列求的数学期望求的数学期望2.口袋中有口袋中有5只球，编号为只球，编号为1，2，3，4，5，从中任取，从中任取3球，以表示取出球的最大号码，则（球，以表示取出球的最大号码，则（）A4；B5；C4.5；D4.75应用应用概念概念步骤步骤期望的概念期望的概念期望为我们提供了实际期望为我们提供了实际问题决策的理论依据。问题决策的理论依据。求期望的三个步骤求期望的三个步骤 方法方法求期望的三种方法求期望的三种方法（广东卷17）（本小题满分13分）随机抽取某厂的某种产品随机抽取某厂的某种产品200件，经质检，其中有一件，经质检，其中有一等品等品126件、二等品件、二等品50件、三等品件、三等品20件、次品件、次品4件已件已知生产知生产1件一、二、三等品获得的利润分别为件一、二、三等品获得的利润分别为6万元、万元、2万元、万元、1万元，而万元，而1件次品亏损件次品亏损2万元设万元设1件产品的件产品的利润（单位：万元）为利润（单位：万元）为X（1）求）求X的分布列；的分布列；（2）求）求1件产品的平均利润（即件产品的平均利润（即X的数学期望）；的数学期望）；（3）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品）经技术革新后，仍有四个等级的产品，但次品率降为率降为1%，一等品率提高为，一等品率提高为70%如果此时要求如果此时要求1件件产品的平均利润不小于产品的平均利润不小于4.73万元，则三等品率最多是万元，则三等品率最多是多少？多少？高考链接高考链接：【解析】（1）X的所有可能取值有6，2，1，-2；，,故的分布列为：0.020.10.250.63P-2126X（2）（3）设技术革新后的三等品率为x，则此时1件产品的平均利润为依题意，即 ，解得 所以三等品率最多为3%基础题基础题能力题能力题课后探究题课后探究题必做题书必做题书p64:A2,3选做题选做题p64:B1,2高考链接高考链接09广东广东17证明二项分布证明二项分布均值公式均值公式EX=np
