等差数列前n项和公式课件.ppt

复习回顾(1)等差数列的通项公式:已知首项a1和公差d,则有:an=a1+(n-1)d 已知第m 项am和公差d,则有:an=am+(n-m)d,d=（an-am）/（n-m）(2)等差数列的性质:在等差数列an中,如果m+n=p+q(m,n,p,q N),那么:an+am=ap+aq问题1：1+2+3+100=？这个问题，德国著名数学家高斯（1777年1855年）10岁时曾很快求出它的结果。（你知道应如何算吗？）这个问题，可看成是求等差数列 1，2，3，n，的前100项的和。假设1+2+3+100=x,(1)那么100+99+98+1=x.(2)由(1)+(2)得101+101+101+101=2x,100个101所以x=5050.设等差数列a1,a2,a3,它的前n 项和是 Sn=a1+a2+an-1+an(1)若把次序颠倒是Sn=an+an-1+a2+a1(2)由等差数列的性质 a1+an=a2+an-1=a3+an-2=由(1)+(2)得 2sn=(a1+an）+(a1+an）+(a1+an)+.即 Sn=n(a1+an)/2 因为 an=a1+（n-1）d所以 Sn=na1+n(n-1)d/2下面将对等差数列的前n 项和公式进行推导即前n 项的和与首项末项及项数有关若已知a1，n，d，则如何表示Sn呢？由此得到等差数列的an前n项和的公式即：等差数列前n 项的和等于首末项的和与项数 乘积的一半。上面的公式又可以写成由等差数列的通项公式an=a1+(n-1)d解题时需根据已知条件决定选用哪个公式。知三求二例1 如图，一个堆放铅笔的 V 形架的最下面一层放一支铅笔，往上每一层都比它下面一层多一支，最上面一层放120支。这个V 形架上共放着多少支铅笔？解：由题意可知，这个V 形架上共放着120层铅笔，且自下而上各层的铅笔数成等差数列，记为an,其中 a1=1,a120=120.根据等差数列前n 项和的公式，得答：V 形架上共放着 7 260支铅笔。例2 等差数列-10，-6，-2，2，前多少项的和是54？解：设题中的等差数列为an，前n 项和是 Sn，则a1=-10，d=-6-(-10)=4,设 Sn=54，根据等差数列前 n 项和公式，得 n1=9，n2=-3(舍去)等差数列-10，-6，-2，2，前9项的和是54。已知等差数列an中,已知a6=20,求S11=?例3 已知等差数列an中a2+a5+a12+a15=36.求前16项的和?解:由等差数列的性质可得:a1+a16=a2+a15=a5+a12=36/2=18 sn=（16/2）18=144 答:前16项的和为144。分析：可以由等差数列性质，直接代入前n 项和公式1：在a，b 之间插入10个数，使它们同这两个数成AP,求这10个数的和。巩固练习2/(1).求1000以内能被11 整除的所有自然数之和。3.求一切被7除余1的三位数之和。