非标准分析经典数学的一种延伸.ppt

非标准分析 经典数学的一种延伸逻辑学 12硕 吕相洋第二次数学危机 在17世纪晚期，形成了无穷小演算微积分这门学科。牛顿和莱布尼兹被公认为微积分的奠基者，他们的功绩主要在于：创立了朴素的微分法和积分法；有明确的计算步骤；微分法和积分法互为逆运算由于运算的完整性和应用的广泛性，微积分成为当时解决问题的重要工具。18世纪的数学思想的确是不严密的、直观的，强调形式的计算而不管基础的可靠。其中特别是：没有清楚的无穷小概念，从而导数、微分、积分等概念不清楚；无穷大概念不清楚；发散级数求和的任意性等等；符号的不严格使用；不考虑连续性就进行微分，不考虑导数及积分的存在性以及函数可否展成幂级数等等。在微积分大范围应用的同时，关于微积分基础的问题也越来越严重。关键问题就是无穷小量究竟是不是零？无穷小及其分析是否合理？由此而引起了数学界甚至哲学界长达一个半世纪的争论，造成了第二次数学危机。消失的量的灵魂 直到19世纪20年代，一些数学家才比较关注于微积分的严格基础。波尔查诺给出了连续性的正确定义；阿贝尔指出要严格限制滥用级数展开及求和；柯西在1821年的代数分析教程中从定义变量出发，认识到函数不一定要有解析表达式；他抓住极限的概念，指出无穷小量和无穷大量都不是固定的量而是变量，无穷小量是以零为极限的变量；并且定义了导数和积分；狄里赫利给出了函数的现代定义。在这些工作的基础上，威尔斯特拉斯消除了其中不确切的地方，给出现在通用的极限的定义，连续的定义，并把导数、积分严格地建立在极限的基础上。19世纪70年代初，威尔斯特拉斯、狄德金、康托等人独立地建立了实数理论，而且在实数理论的基础上，建立起极限论的基本定理，从而使数学分析建立在实数理论的严格基础之上。在严格化后的微积分理论中，无穷小不再是一个固定的量，而是以零为极限的变量。但古典极限理论的较为繁复，而在工程师、物理学家、化学家的语言中使用“瞬时”、“微元”这样的不够精确的概念并没有影响的结果的正确性。实无穷的复活逻辑学家的意外发现（一阶逻辑广义完全性定理）（一阶逻辑广义完全性定理）如果形式语言L的一个语句集是一致的，那么这个语句集有一个模型。（紧致性定理）（紧致性定理）如果L的语句集K的任意有穷子集一致，那么K一致。挪威逻辑学家Skolem最先发现描述自然数集的计数公理（如一阶Peano公理）不仅以自然数为其“标准”模型，他由此否定自然数集N，而R.robinson把skolem的思想开拓到实数域，为无穷小演算奠定了严格的逻辑基础，它兼容算术的非标准模型，因此他称这一课题为非标准分析，其开拓性的工作，具有不可磨灭的历史功绩。可以认为，NSA实际上是对标准分析进行“理想元素”的添加，如前所述，无穷大与无穷小并非不可思议，NSA的第一个功绩便是延续数学史上扩张数系的研究。令人奇怪的是，在直线上塞进无理数之后，扩充实数系的工作被忽视了长达百余年。一些失败的尝试非标准模型 NSA的应用应竟可能涵盖经典数学的所有研究对象，而经典数学的定义都是用的集合论语言。所以我们先引入足以包括经典数学所有研究对象的标准结构超结构。超结构。从超结构出发，用纯粹的集合论方法构造其对应的超幂型非标准模型，则得到的非标准模型涵盖经典数学。从而可将经典数学置于NSA体系下研究。超结构的某些性质为实体每个Vn(X)为实体实体的元素为实体实体的子集为实体实体的幂集为实体V(X)的有限子集为实体实体的有序n元组及Cartesian积为实体n元关系和n元函数，其定义域和值域为实体者，它们本身亦为实体。实体的例子常见实体的非标准扩张形式语言及其解释超结构的超幂扩张示意图Los定理转换原理的基本运用上述仅仅是非标准分析NSA的几个最最基础的应用。事实上，NSA可以覆盖经典数学的近乎全部分支，经典数学的很多成果运用NSA方法可以异常简便的得到。除了作为研究标准数学的工具，NSA本身对无穷的引入，亦开辟了数学、哲学研究的广阔新天地。NSA尚未被广泛认可和应用的原因一些人认为，对于经典数学而言，NSA能够得到的结果标准方法应该也都能得到，而大家已经习惯了经典方法。不同于有理数、实数、复数的扩充。非标准数系的扩充本身是不同构的（尽管这不影响我们得到一些很好的结果），而且尚未找到很好的几何、物理模型。一些数学工作者对逻辑领域成果的忽视。算数从整数开始，继而通过添加有理数和负数以及无理数等，逐次扩大了数系，但在实数之后，下一个自然扩张，即添加无穷小，竟被完全忽略了，在微积分发明长达三百年之后，第一个严格的无穷小理论始发起来，我认为，在未来的世纪里，后代将会把这一延误看作一件咄咄怪事。未来的分析学将是某种NSA!哥德尔 thats all,thank you!