高等数学北大第二版68隐函数存在定.ppt

6-8 隐函数存在定理隐函数存在定理 y=f(x)形式的函数称为显函数.由方程F(x,y)=0所确定的函数y=f(x)称为隐函数.由方程F(x,y,z)=0所确定的二元函数z=f(x,y)称为隐函数由方程组由方程组首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页本节讨论:1)方程在什么条件下才能确定隐函数.例如,方程当 C 0 时,不能确定隐函数;2)在方程能确定隐函数时,研究其连续性、可微性 及求导方法问题.1.一个方程的情况一个方程的情况定理定理1 设设 在一点在一点 的邻域内有的邻域内有定义定义.且满足下列条件且满足下列条件:则在则在 的某个邻域的某个邻域 内存在一内存在一个个函数函数y=f(x),使得使得 且且 并且并且 内有连续的内有连续的导函数导函数首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页定理证明从略，仅就求导公式推导如下：两边对 x 求导在的某邻域内则首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例1.验证方程在点(0,0)某邻域可确定一个单值可导隐函数解解 令连续,由 定理1 可知,导的隐函数 则在 x=0 的某邻域内方程存在单值可且并求定理定理2设设 在点在点 的某邻的某邻域内有连续的偏导数域内有连续的偏导数,且且 且且 有连续偏导数有连续偏导数:则在点则在点 的某个邻域内的某个邻域内,方程方程 唯一确定一个隐函数唯一确定一个隐函数 满足满足定理证明从略,仅就求导公式推导如下:首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页两边对 x 求偏导同样可得则首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例2解法解法1利用公式.令令则则首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解法解法2 利用隐函数求导方程两端关于方程两端关于x求偏导，得求偏导，得方程两端关于方程两端关于y求偏导，得求偏导，得说明：利用公式法求偏导时，将方程说明：利用公式法求偏导时，将方程F(x,y,z)=0中中x,y,z视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将视作独立变量；利用隐函数求偏导时，将z视作视作x,y的的函数：函数：z=z(x,y).首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页例例3 求由方程解解设u=x-y,v=y-z.为了方便起见,引入记号首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页2.方程组的情况方程组的情况可确定隐函数u=u(x),v=v(x)?先介绍线性代数中的克莱姆法则克莱姆法则二元一次方程组首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页克莱姆法则克莱姆法则告诉我们：告诉我们：二元一次方程组有惟一二元一次方程组有惟一解解u=u(x),v=v(x)我们的问题相当于解方程组方程组有惟一解方程组有惟一解首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页当F及G 是一般函数时，需要下列条件行列式称作F,G的雅可比行列式雅可比行列式.方程组有惟一解方程组有惟一解定理定理3在点在点 的一个邻域内存在唯一的一对可微函数的一个邻域内存在唯一的一对可微函数 使得使得 且满足方程组且满足方程组 的导函数的导函数由下列方程组求出由下列方程组求出 证明略首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页定理定理3的推广的推广考虑方程组：首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页有隐函数组则两边对 x 求导得设方程组在点P 的某邻域内故得系数行列式首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页同样可得首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页 例例4 由方程组 能否确定u,v为x与y的函数，在能确定隐函数的条件下，求解解方程组两边对 x 求导，并移项得首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页方程组两边对 x 求导，并移项得用克莱姆法则解方程组方程组两边对 y 求导，并移项得解得首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解以 为未知数的方程组，得补例补例解解 注意：明确哪些是自变量，哪些是因变量，是几元的.首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页内容小结内容小结1.隐函数(组)存在定理2.隐函数(组)求导方法方法1.利用复合函数求导法则直接计算;方法2.利用微分形式不变性;方法3.代公式思考与练习思考与练习设求首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页提示提示:首首 页页下下 页页尾尾 页页上上 页页解法2.利用全微分形式不变性同时求出各偏导数.由d y,d z 的系数即可得习题习题6-8 (2)(4);3.5.7.8.10.11.