高等数学北大第二版33有理式的不定积分与有理化方法.ppt

1.有理式的不定积分有理式的不定积分 3-3 有理式的不定积分与有理化方法有理式的不定积分与有理化方法有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解若干部分分式之和其中部分分式的形式为部分分式部分分式:有理函数积分法有理函数积分法如果如果 有一个有一个 重实根重实根 ,则则 的部分分式中一定包含下列形式的的部分分式中一定包含下列形式的 项部分分式项部分分式之和之和:如果如果 中包含因子中包含因子 时时,则则 的部分分式中一定包的部分分式中一定包含下列形式的含下列形式的 项部分分式之和项部分分式之和:例如例如 将真分式 分解成部分分式部分分式.四种典型部分分式的积分四种典型部分分式的积分:变分子为 再分项积分 而最后一个积分可以用上上一节例6中的递推公式.说明说明:递推公式已知利用递推公式可求得例如,例例1 求解解第一种方法第一种方法:待定系数法，可以用如下的方法求出待定系数.上式通分后得比较恒等式两端同次幂的系数，得一方程组：从而解得故有 于是 化简并约去两端的公因子 后为得例例 2 求第二种方法第二种方法(赋值法)两端去分母,得或比较两端的各同次幂的系数及常数项，有解之得解解补例补例解解例例 3 求解解即有即用递推公式求用递推公式求或或 总之总之,有理函数分解为多项式及部分分式之和以后有理函数分解为多项式及部分分式之和以后,各个部分各个部分都能积出都能积出,且原函数都是初等函数且原函数都是初等函数.此外此外,由代数学知道由代数学知道,从理论上说从理论上说,多项式多项式Q(x)总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的总可以在实数范围内分解成为一次因式及二次因式的乘积乘积,从而把有理函数从而把有理函数 分解为多项式与部分分式之和分解为多项式与部分分式之和.因此因此,有理函数的原函数都是初等函数有理函数的原函数都是初等函数.但是但是,用部分分式法求有理函数的积分用部分分式法求有理函数的积分,一般说来计算比较繁一般说来计算比较繁,只是在没有其它方法的情况下只是在没有其它方法的情况下,才用此方法才用此方法.例例4 求解解补例补例 求求解解 原式注意本题技巧注意本题技巧按常规方法较繁按常规方法较繁(1)(1)三角有理式：三角有理式：由三角函数和常数经过有限次四则运算构成由三角函数和常数经过有限次四则运算构成的函数三角函数有理式可记为的函数三角函数有理式可记为 2.三角函数有理式的不定积分三角函数有理式的不定积分(2)(2)三角有理式的积分法：三角有理式的积分法：令令万能替换公式：万能替换公式：例例 4 求解解 令，则注注（1）用万能代换用万能代换一定能一定能将三角函数有理式的积分将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分；化为有理函数的积分；（2）万能代换不一定是最好的；万能代换不一定是最好的；（3）常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数常用的将三角函数有理式的积分化为有理函数的积分的代换方法（非的积分的代换方法（非“万能的万能的”）：）：1）若）若 R(-sinx,cosx)=-R(sinx,cosx)，可取，可取 u=cosx 为为积分变量；积分变量；2）若）若 R(sinx,-cosx)=-R(sinx,cosx)，可取，可取 u=sinx 为为积分变量；积分变量；3）若）若 R(-sinx,-cosx)=R(sinx,cosx)，可取，可取 u=tanx 为为积分变量积分变量.例例 5 求解解例例 6 求解解例例 7 求解解注注 3.某些根式的不定积分某些根式的不定积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:令例例 8 求解解 令则原式例例 9 求解解 令则原式原式 补例补例 求解解 为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令内容小结内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.简便,习题习题 3-3 7,9,13,19,21,25,31,33.