激光原理第二章光学谐振腔理论.ppt

激光原理与技术激光原理与技术党学明党学明仪器科学与光电工程学院仪器科学与光电工程学院合肥工业大学合肥工业大学第二章 光学谐振腔理论概述概述第一节第一节 光学谐振腔的基本知识光学谐振腔的基本知识第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 第三节光学谐振腔的稳定性条件第三节光学谐振腔的稳定性条件 主要内容：主要内容：主要内容：主要内容：第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征第八节第八节 高斯光束高斯光束第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论概述光学谐振腔是常用激光器的三个主要组成部分光学谐振腔是常用激光器的三个主要组成部分之一。之一。与微波腔相比,光频腔的主要特点是n侧面敞开以抑制振荡模式,n轴向尺寸远大于光波长和腔的横向尺寸。从理论上分析时,通常认为其侧面没有边界,因此,将其称为开放式光学谐振腔。本章主要针对这类开放开放式光学谐振腔。本章主要针对这类开放式光腔进行讨论。式光腔进行讨论。概述光学谐振腔理论研究的基本问题是:n光频电磁场在腔内的传输规律光频电磁场在腔内的传输规律n从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和从数学上讲是求解电磁场方程的本征函数和本征值。本征值。由于开放式光腔侧面不具有确定的边界,一般情况下不能在给定边界条件下对经典电磁场理论中的波动方程严格求解。因此,常采用一些近似方法来处理光腔问题。概述常用的近似研究方法包括:1.几何光学分析方法几何光学分析方法在几何光学近似下,光的波动性不起主要作用,可将光看成光线用几何光学方法来处理。对于光学谐振腔来说,当腔的菲涅耳数远大于1时,光在其中往返传播时横向逸出腔外的几何损耗远大于由于腔镜的有限尺寸引起的衍射损耗。此时可用几何光学的方法来处理腔的模式问题。这种方法的优点是简便、直观简便、直观,主要缺点在于不能得主要缺点在于不能得到腔的衍射损耗和腔模特性的深入分析到腔的衍射损耗和腔模特性的深入分析。概述2.矩阵光学分析方法矩阵光学分析方法矩阵光学使用矩阵代数的方法研究光学问题,将几何光线和激光束在光腔内的往返传播行为用一个变换矩阵来描写,从而推导出谐振腔从而推导出谐振腔的稳定性条件的稳定性条件。此外,利用高斯光束的利用高斯光束的ABCD定律和模的自再现定律和模的自再现条件能够推导出用矩阵元形式表示的光腔本条件能够推导出用矩阵元形式表示的光腔本征方程的模参数公式征方程的模参数公式,便于光腔的设计和计算。便于光腔的设计和计算。这种方法的优点在于处理问题简明、规范这种方法的优点在于处理问题简明、规范,易易于用计算机于用计算机 概述3.波动光学分析方法波动光学分析方法 从波动光学的菲涅耳菲涅耳-基尔霍夫衍射积分理论基尔霍夫衍射积分理论出发,可以建立一个描述光学谐振腔模式特性的本征积分方程。利用该方程原则上可以求得任意光腔的模式任意光腔的模式,从而得到场的从而得到场的振幅、相位分布振幅、相位分布,谐振频率以及衍射损耗等腔模特性谐振频率以及衍射损耗等腔模特性。虽然数学上已严格证明了本征积分方程解的存在性,但只有在腔镜几何尺寸趋于无穷大的情况下,该积分方程的解析求解才是可能的。对于腔镜几何尺寸有限的情况,迄今只对对称共焦腔对称共焦腔求出了解析解。多数情况下,需要使用近似方法求数值解。虽然衍射积分方程理论使用了标量场近似,也不涉及电磁波的偏振特性,但与其他理论相比,仍可认为是一种比较普遍和严格的理论。概述n本章中采用矩阵光学方法来讨论谐振腔的稳矩阵光学方法来讨论谐振腔的稳定性定性,用衍射积分方程理论处理谐振腔的模式用衍射积分方程理论处理谐振腔的模式问题。问题。光学谐振腔中的光场分布以及输出到腔外的光束都是高斯光束形式是高斯光束形式,其特性和谐振其特性和谐振腔密切相关腔密切相关,因此,也在本章中讨论。n本章的最后采用几何光学分析方法对非稳腔本章的最后采用几何光学分析方法对非稳腔进行简单讨论。进行简单讨论。概述n本章中只研究无源谐振腔只研究无源谐振腔,又称非激活腔或被动腔又称非激活腔或被动腔,即无激活介质存在的腔即无激活介质存在的腔。n虽然处于运转状态的激光器的谐振腔都是存在增益介质的有源腔有源腔(又称激活腔或主动腔又称激活腔或主动腔),但理论和实践表明,对于中、低增益的激光器,无源腔的模式理论可以作为有源腔模式的良好近似。对于高增益激光器,适当加以修正也是适用的。n这是由于激活介质的主要作用在于补偿腔内本征模主要作用在于补偿腔内本征模在振荡过程中能量的损耗在振荡过程中能量的损耗,使之满足谐振条件使之满足谐振条件,形成形成和维持自激振荡和维持自激振荡。其对场的空间分布以及谐振频率的影响是次要的,不会使腔的模式发生本质的改变。第一节 光学谐振腔的基本知识 本节主要讨论光学谐振腔的构成、分类、作用构成、分类、作用,以及以及腔模腔模的概念光学谐振腔的构成和分类光学谐振腔的构成和分类根据结构、性能和机理等方面的不同,谐振腔有不同的分类方式。按能否忽略侧面边界按能否忽略侧面边界,可将其分为n开腔、开腔、n闭腔闭腔n气体波导腔气体波导腔第一节 光学谐振腔的基本知识 开腔而言：开腔而言：1.根据腔内傍轴光线几何逸出损耗的高低,又可分为稳定腔、非稳腔及临界腔稳定腔、非稳腔及临界腔;2.按照腔镜的形状和结构,可分为球面腔球面腔和非球面腔非球面腔;3.就腔内是否插入透镜之类的光学元件,或者是否考虑腔镜以外的反射表面,可分为简单腔简单腔和复合腔复合腔;4.根据腔中辐射场的特点,可分为驻波腔驻波腔和行波腔行波腔;5.从反馈机理的不同,可分为端面反馈腔端面反馈腔和分布反馈分布反馈腔腔;6.根据构成谐振腔反射镜的个数,可分为两镜腔两镜腔和多多镜腔镜腔等。第一节 光学谐振腔的基本知识 2.作用作用光学谐振腔的作用主要有两方面光学谐振腔的作用主要有两方面:提供轴向光波模的光学正反馈提供轴向光波模的光学正反馈;通过谐振腔镜面的反射,轴向光波模可在腔内往返传播,多次通过激活介质而得到受激辐射放大,从而在腔内建立和维持稳定的自激振荡。光腔的这种光学反馈作用主要取决主要取决于腔镜的反射率、几何形状以及之间的组于腔镜的反射率、几何形状以及之间的组合方式。合方式。这些因素的改变将引起光学反馈作用的变化,即引起腔内光波模损耗的变化。第一节 光学谐振腔的基本知识 控制振荡模式的特性控制振荡模式的特性。由于激光模式的特性由光腔结构决定,因此,可通过改变腔参数实现对光波模特性的控制。通过对腔的适当设计以及采取特殊的选模措施,可有效控制腔内实际振荡的模可有效控制腔内实际振荡的模式数目式数目,使大量光子集中在少数几个状态中使大量光子集中在少数几个状态中,从而提高光子简并度,获得单色性和方向性好的相干光。通过调节腔的几何参数可直接控制激光模的横向分布特性、光斑半径、横向分布特性、光斑半径、谐振频率以及远场发散角谐振频率以及远场发散角等。第一节 光学谐振腔的基本知识 3.腔模腔模无论是闭腔或是开腔，都将对腔内的电磁场施以一定的约束。一切被约束在空间有限范围内的电磁场都将只能存在于一系列分立的本征状态之中，场的每一个本征态将具有一，场的每一个本征态将具有一定的振荡频率和一定的空间分布。定的振荡频率和一定的空间分布。在激光技术的术语中，通常将光学谐振腔内可能存在的电磁场的本征态称为腔的模式腔的模式。从光子的观点来看，激光模式也就是腔内可能区分的也就是腔内可能区分的光子的状态光子的状态。同一模式内的光子具有完全相同的状态。每一同一模式内的光子具有完全相同的状态。每一种模式都具有确定的基本特征种模式都具有确定的基本特征,主要包括主要包括 第一节 光学谐振腔的基本知识 电磁场分布电磁场分布,特别是在腔的横截面内的场分布特别是在腔的横截面内的场分布;谐振频率谐振频率;在腔内往返一次所经受的相对功率损耗在腔内往返一次所经受的相对功率损耗;相对应的激光束的发散角相对应的激光束的发散角。由于腔内电磁场的本征态由Maxwell方程组和腔的边界条件决定,因此不同类型和结构的谐振腔的模式也将各不相同。一旦给定了腔的具体结构,其中振荡模的特征也就随之确定下来。光学谐振腔理论就是研究腔模式的基本特征,以及模与腔结构之间的具体依赖关系。原则上说只要知道了腔的参数，就可以唯一原则上说只要知道了腔的参数，就可以唯一地确定模的上述特征。地确定模的上述特征。第一节 光学谐振腔的基本知识n腔内电磁场的空间分布可分解为沿传播方向(腔轴线方向)的分布和在垂直于传播方向的横截面内的分布。其中,腔模沿腔轴线方向的腔模沿腔轴线方向的稳定场分布稳定场分布称为谐振腔的纵模纵模,在垂直于腔轴在垂直于腔轴的横截面内的稳定场分布的横截面内的稳定场分布称为谐振腔的横模横模。1）纵模）纵模nF-P腔：腔：多光束干涉理论可知,发生相长干涉的条件是:波从某一点出发,经腔内往返一周再回到原来位置时,应与初始出发波同相。第一节 光学谐振腔的基本知识对于非均匀介质：所以：平面面腔中沿轴向传播的平面波的谐振条件。q 称为腔的谐振波长,q 称为腔的谐振频率。平面面腔中的谐振频率是分立的。可以将FP腔中满足的平面驻波场称为腔的本征模式腔的本征模式。其特点是其特点是：在腔的横截面内场分布是均匀的，而沿腔的轴线方向(纵向)形成驻波，驻波的波节数由q决定。通常将由整数q所表征的腔内纵向场分布称为腔的纵模腔的纵模。不同的q值相应于不同的纵模。q称为纵模序数称为纵模序数。第一节 光学谐振腔的基本知识当整个光腔内充满折射率为n 的均匀物质时，有 由于光频谐振腔的腔长远大于光波波长,整数q通常具有104 106 数量腔的两个相邻纵模频率之差腔的两个相邻纵模频率之差q称为纵模的频率间隔称为纵模的频率间隔,简称纵模间隔简称纵模间隔腔长L越小，纵模间隔越大。有什么用处？有什么用处？什么是频率梳？什么是频率梳？第一节 光学谐振腔的基本知识2）横模）横模这种稳态场经一次往返后,唯一可能的变化仅是,镜面上各点场的振幅按同样的比例衰减,各点的相位发生同样大小的滞后。镜面上各点场的振幅按同样的比例衰减,各点的相位发生同样大小的滞后。这种在腔反射镜面上形成的经过一次往返传播后能自再现的稳定场分布称为自现模或横模。自现模或横模。n对于两个镜面完全相同的对称腔来说对于两个镜面完全相同的对称腔来说,这种稳定这种稳定场分布经单程传播后即可实现自再现。场分布经单程传播后即可实现自再现。综上所述,激光的横模,实际上就是谐振腔所允许的(也就是在腔内往返传播,能保持相对稳定不变的)光场的各种横向稳定分布。第一节 光学谐振腔的基本知识n不同的纵模和横模具有不同的光场分布和振荡频率。但对于纵模来说,其光场分布之间的差异很小,一般只从频率的差异来区分不同的纵模。不同横模之间的光场分布差异较大,很容易从强度花样来区分。需要注意的是,不同的横模之间,也存在频率差异。第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗n光学谐振腔一方面具有光学正反馈作用,另一方面也存在各种损耗。损耗的大小是评价谐振腔质量的一个重要指标,决定了激光振荡的阈值激光振荡的阈值和激光的激光的输出能量输出能量。本节将分析无源开腔的损耗,并讨论表征无源腔质量的品质因数Q值及线宽。一、损耗及其描述一、损耗及其描述(1)几何偏折损耗:光线在腔内往返传播时，可能从腔的侧面偏折出去，我们称这种损耗为几何偏折损耗。其大小首先取决于腔的类型和几何尺寸。第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗（2）衍射损耗 从波动光学观点来看,由于腔反射镜面几何尺寸是有限的,光波在腔内往返传播时必然因腔镜边缘的衍射效应而产生损耗。如果在腔内插入其他光学元件,还应当考虑其边缘或孔径的衍射引起的损耗。通常将这类损耗称为衍射损耗衍射损耗,可由求解腔的衍射积分方程得出,其大小与腔的菲涅耳数、腔的几何参数以及横模阶数等都有关系。第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗(3)腔镜反射不完全引起的损耗。这部分损耗包括镜中的吸收、散射以及镜的透射损耗。通常光腔至少有一个反射镜是部分透射的，有时透射率可能很高(例如，某些固体激光器的输出镜透射率可以50)，另一个反射镜即通常所称的“全反射”镜，其反射率也不可能做到100。(4)材料中的非激活吸收、散射，腔内插入物(如布儒斯特镜，调Q元件、调制器等)所引起的损耗，等等。第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗上述(1)、(2)两种损耗又常称为选择损耗选择损耗，不同模式的几何损耗与衍射损耗各不相同。(3)、(4)两种损耗称为非选择损耗非选择损耗，通常情况下它们对各个模式大体一样。不论损耗的起源如何,均可用“平均单程损耗因子”(简称单程损耗因子)来定量描述。该因子的定义为：如果初始光强为I0，在无源腔内往返一次后，光强衰减为I1则：第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗n 如果损耗是由多种因素引起的，每一种原因引起的损耗以相应的损耗因子i描述，则有n也可用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单也可用单程渡越时光强的平均衰减百分数来定义单程损耗因子程损耗因子：n显然，当损耗很小时，这样定义的单程损耗因子显然，当损耗很小时，这样定义的单程损耗因子与前面与前面定义的指数损耗因子定义的指数损耗因子是一致的是一致的第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗常见损耗举例常见损耗举例:1）由镜反射不完全所引起的损耗）由镜反射不完全所引起的损耗以r1和r2分别表示腔的两个镜面的反射率(即功率反射系数)，则初始强度为Io的光，在腔内经两个镜面反射往返一周后，其强度I1应为按的定义，对由镜面反射不完全所引入的损耗因子1，应有因此当r1r2 1时第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗2）腔镜倾斜时的几何损耗）腔镜倾斜时的几何损耗当平面腔的两个镜面构成小的角度 时，光在两镜面间经有限次m往返后必将逸出腔外。式中D为平面腔的横向尺寸（直径）注意到往返时间为t02L/c,即可求得光子的平均寿命及相应的第二节光学谐振腔的损耗第二节光学谐振腔的损耗n倾斜腔的损耗与，L，D均有关,sqrt()，且随L的增大及D的减小而增加例：D=1cm，L=1m计算，为了保证a,cosl，被积函数分母可取近似L，但在指数因子中不能用但在指数因子中不能用L 要根据不同腔形采取合理近似。要根据不同腔形采取合理近似。当光场在腔内经q次渡越后，在渡越后，在镜镜面面M2上的场uq+1(x，y)与镜面M1上的场uq(x，y)之间有类似的关系。第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 二、自再现模所应满足的积分方程式二、自再现模所应满足的积分方程式光场经足够多次往返渡越后(相当q-)，则每次渡越时变化越来越小，最后镜面上的场分布将趋于稳定状态。继续传播时，镜面上的场分布应该自再现。这种特殊的稳定的场分布称为自再现场或腔自再现场或腔的自再现模的自再现模。对于对称腔情况，由“自再现要求自再现要求”，两镜面上的场分布，除了相差一个与位置坐标无关的复常数因子(因而表示为振幅衰减和相位滞后振幅衰减和相位滞后)外，是完全相同的，因此自再现模的数学表达式为第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 并考虑对称腔有SiSiis用V(x,y)表示镜面上这一不受衍射影响的稳定场分布函数，则有式中,K(x,y,x,y)称为积分方程的核称为谐振腔的衍射积分方程衍射积分方程或光腔的本征方程光腔的本征方程。满足方程的任意一个函数v(x，y)称为光腔的本征函数光腔的本征函数，相应的常数为本征值本征值，一个本征函数代表腔内一个自再现模(即横模)，表示在镜面上的一种场分布。一般而言，v(x,y)为复数，它的模|v(x,y)|描述镜面上的振幅分布，而辐角argv(x,y)则描述镜面上场的相位分布。第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 三、三、积分方程解的物理意义积分方程解的物理意义由于积分方程是二维的,故需要两个模参数来区分这些不同的横模。本征函数一般为复函数,其模描述开腔镜面上光场的振幅分布模描述开腔镜面上光场的振幅分布;辐角则描述镜面上光场的相位分布辐角则描述镜面上光场的相位分布。本征值也为复函数,其振幅和相位都具有直接的物理意义自再现模在腔内单程渡越所经受的平均相对功率损耗称为模的平均单程损耗,简称单程损耗。在对称开腔情况下,模的单程损耗模的单程损耗为第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 n表明单程损耗随横模模式的不同而不同,并且|mn|愈大,模的单程损耗愈大。nmn 代表了自再现模在理想开腔中完成一次渡越时的总损耗,此损耗包括光束横向几何偏折损耗,同时也包括了衍射损耗。n以后将这类由谐振腔的几何结构所引起的能量损失(不包括诸如腔内介质的吸收、散射等类型的损失)统称为衍射损耗统称为衍射损耗。第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 n自再现模在腔内经单程渡越的总相移定义为n为使自再现模在腔内形成稳定振荡,必须满足多光束相长干涉条件:n其在腔内往返一次的总相移为2的整数倍。因此,对称开腔自再现模的谐振条件为:n由此式可确定模的谐振频率。n 可见,mn 的模度量自再现模的单程损耗,其辐角度量自再现模的单程相 移,从而也决定了模的谐振频率。第四节第四节 谐振腔的衍射积分理论谐振腔的衍射积分理论 n对称开腔:n自再现模积分方程的本征函数决定了镜面上不同横模光场的振幅和相位分布。n本征值决定了不同横模的单程损耗、单程相移以及谐振频率。n非对称开腔:n按光场在腔内往返一周才能自再现这一条件写出相应的积分方程。n此时,方程的本征函数解只能确定某一个镜面上的稳态场分布,n本征值的模表示自再现模在腔内往返一次的功率损耗,n辐角表示模往返一次的相移。第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模所满足的积分方程至今尚未得到精确的解析解:n本节首先给出矩形平行平面镜腔模式积分方程的具体形式,n然后介绍条形镜平行平面腔自再现模积分方程的数值迭代解法,n并根据计算结果分析条形镜平行平面腔自再现模的特征。第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模一、平行平面腔的模式积一、平行平面腔的模式积分方程分方程设矩形腔镜的边长为2a和2b,且a、b、L、之间满足如下关系:La,b将按(xx)/L,(y-y)/L的幂级数展开为：第五节第五节 平行平面腔的自再现模平行平面腔的自再现模当满足条件a2/L(L/a)2和b2/L0时,z-z00;nz00,表明等相面是凹面向着腔中心的球面。由R(f)=2f=L可知行波场的等相面与共焦腔反射镜面重合。n由R(0),R(),可知共焦腔中心位置以及距中心无限远处的等相位面都是平面。n由R(z0)=0,得z0=f,可见共焦腔反射镜面是曲率最大的等相位面。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模4.远场发射角远场发射角共焦腔的基模光束按双曲线规律从腔中心向外扩展,不同位置处光束的发散角不同。通常,将远场发散角定义为基模高斯光束的发散角:相应高阶模的远场发散角为理论计算表明,共焦腔基模光束的发散角具有毫弧度的数量级,其方向性相当好。由于高阶模的发散角是随模阶次而增大,所以多模振荡时,光束的方向性要比单基模振荡差。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模四、圆形球镜共焦焦腔四、圆形球镜共焦焦腔圆形球面镜共焦腔的处理方法与方形镜相似,只是由于反射镜的孔径为圆形,因此采用极坐标系统(r,)来讨论。其模式积分方程的精确解析解是超椭球函数系,可以证明,当N足够大时,圆形球面镜共焦腔的自再现模为拉盖尔多项式和高斯函数的乘积 式中,Ln m()为拉盖尔多项式第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模 2 其各高阶横模TEMmn的场分布具有圆对称形式,m表示沿辐角()方向的节线数目,n表示沿半径(r)方向的节线圆数目,各节线圆沿r方向不是等距分布的。3.高阶模的光斑随着m,n的增加而增大,但在圆形镜系统中光斑半径随n的增大要比随m的增大来得更快。1.圆形球面镜共焦腔基模在镜面上的振幅分布仍然是高斯型的,与方形球面镜共焦腔情况类似。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模共焦腔TEMmn模在腔内一次渡越的总相移为所以谐振频率:对于纵模对于横模:与Vmn(r,)相应的本证值为：第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模n单程损耗:n即所有自再现模的损耗均为零。这一结果是在N无穷的情况下得到的。可见，当N为有限(但不太小)时，拉盖尔-高斯近似虽然能满意地描述场分布及相移等特征，但却不能用来分析模的损耗。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模n只有精确解才能给出共焦模的损耗与N及横模指标m和n的关系n福克斯和厉鼎毅用迭代法对圆形镜对称共焦腔模进行了数值求解。圆形镜共焦腔几个最低阶模的损耗如图所示。n与方形镜共焦腔模的损耗比较，当菲涅耳数相同时，它的损耗比方形镜腔类似横模的损耗要小几倍。第六节第六节 对称共焦腔的自再现模对称共焦腔的自再现模行波分析:因此，对圆形镜共焦腔行波场特性的分析可按与方形镜同样的方法进行。两者的基模光束的振幅分布、光斑尺寸、等相位面的曲率半径及光束发散角都完全相同。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征n共焦腔模式理论不仅能定量地说明共焦腔振荡模本身的特征，更重要的是，它能被推广到一般稳定球面腔系统，这一推广是谐振腔理论中的一个重大进展。n任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价任何一个共焦腔与无穷多个稳定球面腔等价。而任任何一个稳定球面腔唯一地等价于一个共焦腔何一个稳定球面腔唯一地等价于一个共焦腔。这里所说的“等价”，就是指它们具有相同的行波场。n 这种等价性深刻地揭示出各种稳定腔(共焦腔也是其中的一种)之间的内在联系，可以利用共焦腔模式理论的研究结果来解析地表述一般稳定球面腔模的特征。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征 上述等价性是以共焦腔模式的空间分布，特别是其等相位面的分布规律为依据的。根据式(2612)，与腔的轴线相交于任意一点的等相位面的曲率半径为一、一、等价共焦腔等价共焦腔1）任意一个共焦球面）任意一个共焦球面(或抛物面或抛物面)腔与无穷多个稳定球腔与无穷多个稳定球面腔等价。面腔等价。26节已经指明，如果我们在共焦场的任意两个等相位面上放置两块具有相应曲率半径的球面反射镜，则共焦场将不会受到扰动。但这样，我们就做成了一个新的谐振腔，它的行波场与原共焦腔的行波场相同于任一共焦腔模有无穷多个等相位面，因而我们可以用这种方法构成无穷多个等价球面腔。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征n 现在证明，所有这些球面腔都是稳定腔。等相位面cl，c2为例，注意到关于球面腔曲率半径R的符号规定，对放置在cl，c2处的反射镜，应有不难证明：第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征2）任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某）任一满足稳定性条件的球面腔唯一地等价于某个共焦腔个共焦腔n意思是，如果某一个球面腔满足稳定性条件，必定可以找到一个而且也只能找到一个共焦腔，其行波场的某两个等相位面与给定球面腔的两个反射镜面相重合。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征n由上式可知,当满足稳定性条件0g1 g 2 0,这样就证明了等价共焦腔的存在性。并且此等价共焦腔由式唯一地确定。由于稳定球面腔的行波场与其等价共焦腔的行波场相同,因此,稳定球面腔的模式特征可用等价共焦腔的模式特征来描述。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征二二 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征1）镜面上的光斑半径）镜面上的光斑半径第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征2）模体积）模体积仿照共焦腔模体积的计算公式，一般稳定球面腔的基模模体积可以定义为代入wos一般稳定球面腔中 模的模体积与基模模体积之比为式中，式中，表示共焦腔中表示共焦腔中 模的模体模的模体积与基模模体积之比积与基模模体积之比第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征3）单程损耗）单程损耗即腔的菲涅耳数等于镜面面积与镜面上基模光斑面积即腔的菲涅耳数等于镜面面积与镜面上基模光斑面积之比。根据共焦腔模式理论之比。根据共焦腔模式理论,每一个横模的单程损每一个横模的单程损耗单值地由腔的菲涅耳数决定耗单值地由腔的菲涅耳数决定,也就是单值地由镜也就是单值地由镜面面积与镜面上基模光斑面积的比值决定。面面积与镜面上基模光斑面积的比值决定。波动光学原理表明衍射损耗的大小与孔径的形状和尺波动光学原理表明衍射损耗的大小与孔径的形状和尺寸寸,以及入射光的具体性质有关。由于一般稳定球以及入射光的具体性质有关。由于一般稳定球面腔与其等价共焦腔的行波场结构完全一样面腔与其等价共焦腔的行波场结构完全一样,并且并且反射镜与场的等相位面重合反射镜与场的等相位面重合,因此因此,可认为它们的可认为它们的衍射损耗遵循相同的规律。即当衍射损耗遵循相同的规律。即当第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征时,两个腔的单程损耗应该相等。式中,ai 和a0 分别为稳定球面腔及其等价共焦腔的反射镜线度;wis 和w0s分别为稳定球面腔及其等价共焦腔镜面上的基模光斑半径。将第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征n根据有效菲涅耳数查共焦腔与N的关系曲线,分别得到两个反射镜上的单程损耗1mn 和2mn,一般稳定球面腔的平均单程损耗为对方形孔径稳定球面腔，基模损耗还可以按式 00=10.910-4.94N 计算，只须在其中以Nef替N。第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征4）谐振频率）谐振频率方形镜稳定球面腔方形镜稳定球面腔第七节第七节 一般稳定球面腔的模式特征一般稳定球面腔的模式特征同理同理,圆形镜稳定腔模的谐振频率为圆形镜稳定腔模的谐振频率为5)基模远场发散角基模远场发散角方形方形第八节第八节 高斯光束高斯光束使用稳定腔的激光器所输出的激光将以高斯光束的形式在空间传播。本节主要研究高斯光束本身的特性,介绍高斯光束的q参数及其传输变换规律。这对于与激光束变换有关的光学系统的设计,以及光学谐振腔的工程设计都具有重要意义。一、一、高斯光束的基本性质高斯光束的基本性质1基模的高斯光束基模的高斯光束第八节第八节 高斯光束高斯光束nz R 为高斯光束的瑞利长度,上式可知,因此z R 表示从束腰到光斑半径增加到腰斑半径的1.414倍处的位置。在z=z R 的范围内,高斯光束可近似认为是平行的。实际应用中常称2zR为高斯光束的准直距离。n2.6节中已经对基模高斯光束的性质进行了详细讨论,n高斯光束既不是平面波,也不是一般的球面波,在其传输轴线附近可以近似看作是一种非均匀高斯球面波。n在传播过程中其曲率中心与曲率半径不断改变,其振幅和强度在横截面内始终保持高斯分布特性,强度集中在轴线附近,且等相面始终保持为球面。第八节第八节 高斯光束高斯光束2高阶高斯光束高阶高斯光束 在方形镜稳定腔中高阶高斯光束是厄米-高斯光束,在圆形镜稳定腔中存在拉盖尔-高斯光束。1）厄米）厄米-高斯光束高斯光束其横截面内的场分布由高斯函数与厄米多项式的乘积决定,沿x方向有m条节线,沿y方向有n条节线,光斑半径分别为第八节第八节 高斯光束高斯光束沿传输轴线相对于几何相移的附加相位超前为2）拉盖尔）拉盖尔-高斯光束高斯光束第八节第八节 高斯光束高斯光束n横向场分布由上式中的振幅因子决定横向场分布由上式中的振幅因子决定,沿半径沿半径r方向方向有有n个节线圆个节线圆,沿辐角沿辐角n方向有方向有m根节线根节线,光斑半径光斑半径远场发散角远场发散角附加相移附加相移均随均随m、n的增大而增大，随的增大而增大，随n变化更快变化更快第八节第八节 高斯光束高斯光束二、二、高斯光束的高斯光束的q参数参数 若已知高斯光束w0(或z R)的大小及其位置,则可由式(2.161)确定与束腰相距z处的w(z)以及R(z),从而由式(2.160)得到空间任意一点处场的强度,整个高斯光束的结构也就随之确定下来。同样,若已知坐标z处的w(z)及R(z),则可反过来决定高斯光束腰斑的大小和位置,从而确定整个高斯光束的结构。因此,称这两组参数为高斯光束的特征参数,已知其中任何一组都可确定高斯光束的具体结构 第八节第八节 高斯光束高斯光束振幅相指数相乘上 提出定义一个复参数则上式：第八节第八节 高斯光束高斯光束已知沿z轴传播的球面波在远离源点的近轴区(即满足zx,y)可近似写成比较以上两式可知,参数q(z)相当球面波的曲率半径R,因此称q(z)为高斯光束的复曲率半径,简称q参数。q(z)将w(z)和R(z)统一起来,已知坐标z处的q(z)可求出该位置处的w(z)和R(z)以表示腰斑处（即处）的参数值，则可得上述三组参数都可用来表征高斯光束，但通过下面讨论可知，利用 参数研究高斯光束的传输变换规律将更为简便。第八节第八节 高斯光束高斯光束三、三、高斯光束高斯光束q参数的参数的变换规变换规律律1普通球面波曲率半径R的变换规律 1）：普通球面波在自由空间的传播规律2）普通球面波经过薄透镜的变换规律第八节第八节 高斯光束高斯光束3）.普通球面波的ABCD定律第八节第八节 高斯光束高斯光束上式称为球面波的ABCD定律,描述了球面波通过光学系统时R的变换规律。2 高斯光束高斯光束q参数的参数的ABCD定律定律1）高斯光束在自由空间的传播第八节第八节 高斯光束高斯光束2）高斯光束高斯光束经过经过薄透薄透镜镜的的变换变换w2=w1利用q参数分析高斯光束的传输,其主要优点是形式简洁。对于任意复杂的光学系统,只要知道其光线变换矩阵,就可利用式(2.180)求出通过光学系统后高斯光束的q参数,并进一步根据式(2.173)求出该位置处高斯光束的光斑大小及等相位面曲率半径。第八节第八节 高斯光束高斯光束四、四、ABCD定律在谐振腔中的应用定律在谐振腔中的应用n设光学谐振腔的往返矩阵为n高斯光束从腔内某一参考平面出发时的参数为M则其在腔内往返传播一次后的参数值应为若要成为腔的自再现模,必须满足自再现条件,即 q M=qM因此因此 其解：由此可知高斯模在参考平面上的曲率半径和光斑尺寸分别为第八节第八节 高斯光束高斯光束谐振腔的稳定条件：谐振腔的稳定条件：W不能无穷大，即不能无穷大，即谐振腔的稳定条件：谐振腔的稳定条件：第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论所有满足条件g1g21的腔都称为非稳腔。非稳腔。其中,g1g21的腔称为正支非稳腔正支非稳腔。n由2.3节的讨论可知,非稳腔中存在着傍轴光线的固有发散损耗,因此,其损耗较高,一般不适用于中、小功率的激光器中。n当工作物质的增益较高时,采用非稳腔也可形成稳定的激光振荡。而且与稳定腔相比,非稳腔具有大的模体积和好的横模鉴别力,从而可实现高功率单模运转,获得了良好的激光输出特性。因此,高功率高功率激光器多采用非稳腔激光器多采用非稳腔。第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论非稳腔的模式积分方程没有精确的解析解非稳腔的模式积分方程没有精确的解析解,只能利用只能利用数值迭代法进行计算。而非稳腔的菲涅耳数一般都很数值迭代法进行计算。而非稳腔的菲涅耳数一般都很大大,衍射损耗小衍射损耗小,难于收敛难于收敛,计算工作量很大。因此计算工作量很大。因此,常常采用几何光学方法分析非稳腔的模式问题。采用几何光学方法分析非稳腔的模式问题。由于在非稳腔中由于在非稳腔中,衍射损耗不起主要作用衍射损耗不起主要作用,所以利用所以利用几何光学方法得到的结果有足够好的近似程度几何光学方法得到的结果有足够好的近似程度。本节首先介绍利用几何光学处理方法得到的一、一、非稳腔的几何自再现波型非稳腔的几何自再现波型稳定腔中的自再现模是高斯光束,其光斑大小由高斯函数决定,这实质上是由于稳定腔的腔镜对光线有会聚作用而产生的。另一面,本征模的球面波阵面是由本征模的球面波阵面是由球面镜所确定的边界条件决定的球面镜所确定的边界条件决定的。第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论n非稳腔来说,式(2.189)表示的模光斑半径趋于无限大,因此傍轴高斯光束的近似解已不适用。由于非稳腔的腔镜对光线有发散作用,其模式的振幅也不可能是高斯分布。n作为一级近似可假定在腔的整个横截面内模的振幅是均匀分布的,其波面仍然是球面。因此,非稳腔本征模式的近似解为均匀球面波,也称为几何自再现几何自再现球面波型球面波型,非稳腔中的激光模式是沿相反方向传播的两个均匀球面波的叠加。第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论n非稳腔中的几何自再现球面波型相当是从轴上的一对发光点非稳腔中的几何自再现球面波型相当是从轴上的一对发光点P1和和P 2 发出的发出的,所谓自再现是指从其中任何一点发出的球所谓自再现是指从其中任何一点发出的球面波在腔内往返一次后其波面形状保持不变。面波在腔内往返一次后其波面形状保持不变。n具体说来,从点P1发出的球面波经谐振腔镜M2反射后将成像于点P 2,这时反射光就像是从点P2 发出的球面波一样。这一球面波再经过镜M1反射,又必成像在最初的源点P1上。因此,对腔的两个反射镜而言,P1 和P2 互为源和像,是一对共轭像点。利用球面镜的成像公式可以求出这对共轭像点的位置。第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论n可见,只有对于非稳腔,l1 和l2 才为实数,轴上才存在这样一对共轭像点。n当腔的参数确定后,其共轭像点的位置也就唯一确定了。解为：第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论nl1,l2正表明共轭像点在反射镜的后方nl1,l2 为负表明共轭像点在反射镜的前方(即反射面的一方)。结论：结论：n非稳腔中存在唯一的一对轴上共轭像点。从每一个像点发出的球面波在腔内往返一次后,其波面形状将实现自再现。n将这样一对发自共轭像点的几何自再现波型定义为非稳腔的共振模。n当不考虑衍射的影响,并且在腔内增益是均匀分布的条件下,可以认为这一对几何自再现波型是具有固定中心的均匀球面波。第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论非稳腔严格的模式理论需建立在波动光学分析方法上非稳腔严格的模式理论需建立在波动光学分析方法上,其研究结果表明其研究结果表明:n非稳腔本征模的等相位面极接近球面,其曲率半径与用几何光学近似方法求得的结果几乎相等;n由于衍射效应输出光束的截面呈环状,中心处存在暗斑,并且强度分布也不均匀。n非稳腔中存在有不同的模式,即存在有不同的自再现空间图样。各模式的差别在于,所显示出的环数以及位置和强度不相同。n非稳定腔的几何光学理论,基本上反映了其最低阶振荡模式的一个粗略的物理形象,但在实践中具有广泛应用。第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论二、非稳腔的几何放大率二、非稳腔的几何放大率可见m1 m2 与腔镜的横向尺寸无关第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论三、三、非稳腔的能量损耗率非稳腔的能量损耗率由于在几何光学分析中由于在几何光学分析中,一般认为几何自再现波型是均匀球面一般认为几何自再现波型是均匀球面波。因此波。因此,能量损耗的份额是由超出镜面的那部分波面的面积能量损耗的份额是由超出镜面的那部分波面的面积与整个波面面积之比所决定的与整个波面面积之比所决定的。而该比值又与几何放大率相关。也就是说,非稳腔的非稳腔的能量损耗率由几何放大率所决定能量损耗率由几何放大率所决定。从点P1 发出的球面波从镜M1 单程传播到M 2 时,其能量的相对损耗的大小。第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论n同理,相当于从点P2 发出的球面波从镜M 2 单程传播到M1 时,其能量的相对损耗为往返一次的总损耗：可见,往返只与非稳腔的往返放大率有关,即只与L、R1 和R 2 有关,而与a1 和 a2无关。平均单程损耗为第九节第九节 非稳腔的模式理论非稳腔的模式理论