非齐次线性方程组有解的条件.ppt

3.5 非齐次线性方程组有解的条件 及解的结构设有非齐次线性方程组若记（1）一.非齐次线性方程组有解的条件则上述方程组（1）可写成矩阵形式(2)若令则有(3)非齐次组的向量形式(1)(2)(3)为非齐次组的三种表示形式非齐次组的一般形式非齐次组的矩阵形式.定理3.15 非齐次线性方程组(2)有解非齐次线性方程组有解线性表示于是有下面的定理因此可由以下讨论非齐次线性方程组(1)解的情况.最后得到如下阶梯形矩阵，不妨设对增广矩阵 做初等行变换.其相应的同解的阶梯形方程组为（2）r 初等变换后阶梯形方程组的非0方程的个数.讨论方程组（1）的解的情况：则方程组（1）无解.则方程组（1）有唯一解.则方程组(1)有无穷多解.推论.矩阵形式二、非齐次线性方程组解的结构取b=0，得到的齐次线性方程组称为非齐次线性方程组Ax=b的导出组.方程组（1）与其导出组（2）的解有下列关系：这是因为若的两个解,但的解.这是因为定理3.16 若的两个解,则的解.这是因为若的一个解,的解.定理3.17则的解.注意.求解关键：1、方程组（1）的一个特解；2、导出组（2）的一个基础解系.(也称有解,的一个特解(某一个解);而定理3.17-2其中进一步地有:的导出组)若 则其一般解为的一般解.求非齐次线性方程组的步骤：2、写出与原方程组同解的非齐次方程组，用零代替自由未知量，求出一个特解3、写出与原方程组的导出组同解的方程组，求出一个基础解系:4、得到非齐次线性方程组(1)的全部解（通解）为：数.试求例1 设非齐次线性方程组的一般解.解的增广矩阵变换.取自由未知量并取值代入 求得 的一个特解.(1,0,0),(0,1,0),(0,0,1)取自由未知量的3组值代入 求得 的基础解系.(不要代入.的一般解为于是为任意常数.【例】.得【解】.=可得一般解或 给取值.取值.代入原方程组得特解取值.代入原方程组导出组,得到基础解系所以一般解为.的基础解系有4-2个解组成,矩阵,的一个解.例4 设A是是对应齐次组与的两个解.解是线性方程组试求Ax=b的一般解.构成一个基础解系是对应齐次组的两个线性无关解.所以的一般解为为任意常数.