高等数学课件D44有理函数积分.ppt
第四节 基本积分法:直接积分法;换元积分法;分部积分法 初等函数求导初等函数积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 一、有理函数的积分二、可化为有理函数的积分举例有理函数的积分本节内容:第四章 5/14/2023 高等数学一、有理函数的积分有理函数:时,为假分式;时,为真分式有理函数相除多项式+真分 式分解其中部分分式的形式为若干部分分式之和机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学例1.将下列真分式分解为部分分式:解:(1)用拼凑法机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学(2)用赋值法故机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学(3)混合法机动 目录 上页 下页 返回 结束 原式=5/14/2023 高等数学四种典型部分分式的积分:机动 目录 上页 下页 返回 结束 变分子为 再分项积分 5/14/2023 高等数学例2.求解:已知例1(3)目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学例3.求解:原式思考:如何求机动 目录 上页 下页 返回 结束 提示:变形方法同例3,并利用 P209 例9.5/14/2023 高等数学例4.求解:机动 目录 上页 下页 返回 结束 说明:将有理函数分解为部分分式进行积分虽可行,但不一定简便,因此要注意根据被积函数的结构寻求简便的方法.5/14/2023 高等数学例5.求解:原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学常规 目录 上页 下页 返回 结束 例6.求解:原式(见P348公式21)注意本题技巧按常规方法较繁5/14/2023 高等数学二、可化为有理函数的积分举例设表示三角函数有理式,令万能代换t 的有理函数的积分机动 目录 上页 下页 返回 结束 1.三角函数有理式的积分则5/14/2023 高等数学例7.求解:令则机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学例8.求解:说明:通常求含的积分时,往往更方便.的有理式用代换机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学例9.求解法 1 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学例9.求解法 2 令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学例10.求解:因被积函数关于 cos x 为奇函数,可令原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学2.简单无理函数的积分令令被积函数为简单根式的有理式,可通过根式代换 化为有理函数的积分.例如:机动 目录 上页 下页 返回 结束 令5/14/2023 高等数学例11.求解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学例12.求解:为去掉被积函数分母中的根式,取根指数 2,3 的最小公倍数 6,则有原式令机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学例13.求解:令则原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学内容小结1.可积函数的特殊类型有理函数分解多项式及部分分式之和三角函数有理式万能代换简单无理函数三角代换根式代换2.特殊类型的积分按上述方法虽然可以积出,但不一定 要注意综合使用基本积分法,简便计算.机动 目录 上页 下页 返回 结束 简便,5/14/2023 高等数学思考与练习如何求下列积分更简便?解:1.2.原式机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学作业P218 3,6,8,9,13,15,17,18,20,21第五节 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学备用题 1.求不定积分解：令 则,故机动 目录 上页 下页 返回 结束 分母次数较高,宜使用倒代换.5/14/2023 高等数学2.求不定积分解：原式=前式令;后式配元机动 目录 上页 下页 返回 结束 5/14/2023 高等数学
