高等数学第1章第3节.ppt

数列极限收敛数列极限函数极限“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：刘徽一、概念的引入S=正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积2、截丈问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”例如二、数列的定义0数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取0数列是整标函数f(n)具有函数的一些性质：如单调性xn+1 xn、有界性xnM，等。注:三、数列的极限n=19 n=32n=42n=50问题:1)当 n 无限增大时,x n 是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?2)“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻划它.通过演示实验的观察:随着n的增加，1/n会越来越小。例如 我们可用两个数之间的距离来刻化两个数的接近程度.只要n无限增大，xn 就会与1无限靠近。引入符号和N来刻化无限靠近和无限增大。如果数列没有极限,就说数列是发散的.注:几何解释:其中 数列极限的定义未给出求极限的方法，我们可以用定义来证明极限的存在。例1证所以,例2证所以,说明:常数列的极限等于同一常数.注:用定义证明数列极限存在时,关键是从主要不等式出发,由0,找到使主要不等式成立的N(并不在乎N是否最小).例3证例4证Z 思考证明 要使 只要使从而由得 取当 时，必有 成立思考题解答（等价）证明中所采用的实际上就是不等式即证明中没有采用“适当放大”的值从而 时，仅有 成立，但不是 的充分条件反而缩小为定理1（唯一性）每个收敛的数列只有一个极限.证 由定义,故收敛数列极限唯一.1.3.2 收敛数列的性质有界性例如,有界；无界。定理2 收敛的数列必定有界.证 由定义,有界性是数列收敛的必要条件.推论 无界数列必定发散.注:例5证由定义,区间长度为1.不可能同时位于长度为1的区间内.定理3（保号性）定理4 四项基本运算定理5（保不等性）若使得定理6.夹逼准则证上两式同时成立,上述数列极限存在的准则可以推广到函数的极限例1解由夹挤定理得定理7.单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:例2证(舍去)1.3.3 函数极限1、自变量趋向无穷大时函数的极限特例：通过上面演示实验可观察到:问题:如何用数学语言刻划当 x 无限增大，函数 f(x)“无限接近”确定值A.1、定义2.另两种情形3.几何解释例1证2.自变量趋向有限值时函数的极限几何解释注：0 0 例2证例3证例4证函数在点x=1处没有定义.例5证3.单侧极限例如,左极限右极限左右极限存在但不相等,例6证例7解左右极限存在且相等,定理10.局部 有界性定理9.唯一性定理11局部保号性推论定理定理12、极限运算法则推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2定理15.复合函数极限性质定理 设函数u=(x)在x0的某个去心领域U(x0,)内(x)a,但是则复合函数f(x)当xx0时的极限也存在,且例1解小结:解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系得例2解例3(消去零因子法)例4解(无穷小因子分出法)小结:无穷小分出法:以分母中自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.例5解先变形再求极限.例6解1.极限的四则运算法则及其推论;2.极限求法;a.多项式与分式函数代入法求极限;b.消去零因子法求极限;c.无穷小因子分出法求极限;d.利用无穷小运算性质求极限;e.利用左右极限求分段函数极限.三、小结函数极限的统一定义(见下表)四、小结过 程时 刻从此时刻以后 过 程时 刻从此时刻以后 思考题 在某个过程中，若 有极限，无极限，那么 是否有极限？为什么？思考题解答没有极限假设 有极限，有极限，由极限运算法则可知：必有极限，与已知矛盾，故假设错误思考思考题解答左极限存在,右极限存在,不存在.(1)三、两个重要极限例3解3)设 u=arcsinx x0时u0,(2)首先证明类似地,x与n同时趋向+用变量代换可求出例4解例5解思考题求极限思考题解答