高等数学D 第2章极限与连续.ppt

12.4 无穷小量与无穷大量2.6 左极限和右极限2.7 函数的连续性 2.3 极限存在的定理和计算极限的法则2.2 函数极限的思想和描述性定义第二章 极限和连续2.1 数列极限的描述性定义2.5 曲线的渐近线2.8 闭区间连续函数的性质 22.1 数列极限的描述性定义 极限概念是从常量到变量,从有限到无限,即从初等数学过渡到高等数学的关键.极限的思想源远流长.庄子(约公元前355275年)在天下篇中“一尺之棰,日取其半,万世不竭”.写道:即数列表达物质无限可分，含有极限思想3正六边形的面积正十二边形的面积正 形的面积刘徽(三世纪)在其九章算术注的“割圆术”中说:“割之弥细,所失弥少.割之又割,以至不可割,则与圆周合体,而无所失矣.”4 古希腊物理学家、数学家阿基米德(Archimedes，约公元前287前212年)在劈锥曲面与旋转椭圆体中，他创立了“穷竭法”，即用边数越来越多的正多边形逐步逼近圆的面积的方法，因而被公认为微积分计算的鼻祖。6例1.数列判断下列数列是否存在极限：发散发散极限为0极限为17定义2.1 数列 有极限 记为 与 若不存在这样的数 或没有极限.，则称此数列的极限不存在，称存在极限的数列是收敛数列.数列极限的描述性定义时，是指当无限接近，不存在极限的数列是发散数列.8收敛数列的有界性如,有界;无界.定义若存在正数M,数n,恒有称为无界.则称数列 有界;否则,使得一切自然结论 收敛的数列必定有界.但反之不成立.9定理2.1 数列极限存在之-单调有界准则单调增加单调减少单调数列几何解释:单调有界数列必有极限.单调有界有极限 有界10现证明数列xn单调增加按牛顿二项公式,有且有界.例211类似地,显然 是单调增加的;12无理数单调有界数列必有极限 是有界的;132.1 数列极限小结1.定义2.性质有界性 唯一性3.极限存在的判定条件单调有界原理4.重要极限142.2 函数极限1.定义15足够接近 但不等于 使函数 2.2 函数极限的思想和定义一.函数在一点的极限定义 设函数 有定义.在点a的某去心邻域内记作或如果接近数 的值可以任意地，注 f(x)有没有极限与f(x)在点a是否有定义并无关系!16(1)练习 利用极限的定义计算下列函数的极限:答案:1答案:117并不无限接近一个常数,则称此时函数的极限不存在.例5 不无限接近一个常数.因此，极限不存在.说明 例6的取值在之间振动，因此不存在.但常记为1819二、函数在无穷远点的极限定义如果随着x的绝对值的无限增大相应的函数无限接近某一常数 A.或记作在具体问题中，还可能出现另两种情形：20和虽然都存在,但它们不相等.故 不存在.例问:极限 是否存在?212.2 函数极限小结1.定义2.特殊极限不存在不存在.222.3 极限存在的定理和计算法则定理1 极限的唯一性有极限,若在自变量的某种变化趋势下,则极限值必唯一.定理2 夹逼准则如果则且注oh(x)g(x)f(x)xyaA23定理3 保号定理24证明证同样有(自己证).例1由夹逼准则有25 补充 和差化积公式：26例2考察解：通过用计算器代入几个较小的数值计算，猜测其趋势为1下证明如图，即27夹逼定理该极限的特点:28 一般有例3解：计算注 这是一个非常重要的极限，很多含三角函数的型未定式的极限都转化为此极限来处理.第一个重要极限=sinlim129例4例5例630例7.解：当 时，所以 利用这个结果，可以得到 计算刘徽割圆 设蕴含了重要的无理数 31函数极限的四则运算法则32补充则33 求极限的公式和方法则有则有34解例9例8例10 求解35当x实数趋向 或 时,因此或的极限都存在且等于函数第二个重要极限注意361.性质唯一性2.极限存在的判定条件夹逼准则2.3 极限存在及计算小结保号性3.重要极限4.函数极限的四则运算法则5.求极限的公式和方法37 求极限的公式和方法则有则有（3）38 补充例解极限运算法则39求 例11 41例12例13例1442例16例1543极限存在准则 两个重要极限推论则证明:441.选择题DC46一.无穷小量 如,无穷小是指函数变化的趋势.在某个过程中2.4 无穷小量与无穷大量1.定义2.3简称无穷小.482.函数的极限与无穷小的关系:为当 时的无穷小.这个式子把极限式变成一个普通的等式 两边可以进行四则运算，而极限式是办不到的，这就给处理极限式带来很大方便.49例 设 证明 证明：得到 得到其中 是 时的无穷小，因此,由503.无穷小的运算性质：(1)在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的和仍是无穷小.(2)在自变量的同一变化过程中,有限个无穷小的积仍是无穷小.(3)有界函数与无穷小的乘积是无穷小.(4)常数与无穷小的乘积是无穷小.51例的极限不存在，是无穷小，即 解所以但它是有界函数，52如,是无穷小.4.无穷小的比较:不存在.观察下列极限注无穷小与无穷小的比值是不确定的.53(1)记作是同一过程中的两个无穷小,高阶的无穷小;b a,设.0 a且如,则 是比 高阶的无穷小.一般,比高阶的无穷小记作 记作 例 所以当 54(2)是同一过程中的两个无穷小,低阶的无穷小.b a,设.0 a且a b是比 就说如,则 是比 低阶的无穷小.高阶的无穷小.是比 显然，这时55同阶无穷小;如,例(3)56若两个无穷小的比值的极限为1，则称它们为等价无穷小.即若则称 与 是当 时的等价无穷小，记做：读作如,57例58补充定理证(等价无穷小替换定理)无穷小量与无穷大量等价无穷小替换定理说明,两个无穷小之比的极限,可由它们的等价无穷小之比的极限代替.给 型未定式的极限运算带来方便.59例 求极限 把分子或分母中的无穷小因子用其等价无穷小代替.在极限运算中，可以解60例解 加、减项的无穷小不要用等价无穷小代换.注61例解解错无穷小的比较62常用等价无穷小推广：63例则65二.无穷大量是一个无穷小量时，简称无穷大.是无穷大量，是无穷小时，是无穷大，称极限是“无穷大”，也说极限不存在.例，即 时，是无穷大.即 时，是无穷小.如称它的倒数记作66例671.无穷小2.4 无穷小量与无穷大量小结2.无穷大性质 有界函数与无穷小的乘积是无穷小.无穷小的比较:等价无穷小定理68例的图形的铅（垂）直渐近线.2.5 曲线的渐近线 渐近线是通过函数的极限来定义的.例题中 x=1是一条铅直渐近线。69的图形的水平渐近线.则直线y=0是上述函数 的水平渐近线.70-1 1 2 3 4-112345yxy=x 3.斜渐近线:说明当 时，曲线与直线 的垂直距离越来越小并趋于零.由图形知直线 是函数 的一条斜渐近线.因为711.铅（垂）直渐近线.2.5 曲线的渐近线小结2.水平渐近线 3.斜渐近线:722.6 左极限和右极限这确定了一个分段函数：例 西瓜的价格 一家水果商店西瓜的价格是：每斤0.6元，10斤和10斤以上的，每斤0.7元.10斤以下的，y10076xxx称 为“左极限”，为“右极限”.称 73解：，求a 的值，使函数在 x=1 例 设 处的极限存在.所以当 函数在 x=1处的极限存在.极限值是2.定理：函数在点a 处极限存在在 a处左右极限存在且相等.74思考题1.如果函数 在 没有定义，是否存在？2.如果函数 是否存在？3.如果函数 那么 吗？4.如果 是否存在？75极限存在充要条件 2.6 左极限、右极限小结 连续存在充要条件762.7 函数的连续性引例在 出现了间断.11 0yx11 0yx如图:77连续,连续的定义定义1 设函数 f(x)在内有定义,若则称函数f(x)在x0处 并称x0为函数f(x)的连续点.定义2 若则称函数f(x)在x0处连续.把极限与连续性联系起来了,且提供了连续函数求极限的简便方法只需求出该点函数特定值.自变量在x0点的增量为无穷小时,函数的增量也为无穷小.形象地表示了连续性的特征.采用了无穷小定义法充分必要条件78f(x)在内有定义;(1)(2)(3)三个要素:存在;函数的连续性与间断点80间断点类型：（1）在 没有定义；（2）（3）西瓜价格问题中函数在 有定义，但极限不存在；“无穷间断点”“跳跃间断点”函数 在 极限存在，但是极限值不等于处的函数值“可去间断点”2.7 函数的连续性81可去型 跳跃型无穷型无穷次振荡型 函数的连续性与间断点 2.7 函数的连续性82一个函数如果在定义域每个点都连续，则称该函数是其定义域上的连续函数，简称连续函数.定义2.5 连续函数连续函数性质：（1）两个连续函数在共同区间上的和、差、积、商（分母不 为零）是连续函数.（2）连续函数的反函数是对应区间上的连续函数.（3）两个连续函数复合而成的函数是连续函数.（4）基本初等函数在其定义域内是连续的.2.7 函数的连续性定理2.5 初等函数在其定义区间连续.84例解由所以定理则有.sine=2.7 函数的连续性852.8 闭区间连续函数的性质函数 在一个闭区间 连续，是指在 连续，而且在边界点满足，分别称为在左端点右连续、在右端点左连续.2.8 闭区间连续函数的性质86闭区间连续函数的性质 设 在闭区间 连续，则 在1.存在最大值M 和最小值m.称为“最大值最小值定理”.2.对介于最大值M 和最小值m 之间的任意值c，一定存在 中的值 使 称为“介值定理”.2.8 闭区间连续函数的性质872.8 闭区间连续函数的性质3.如果 和 符号相反，则存在 中的值 使 称为“零点定理”，称为“零点”.x88例45.证明：函数 在 存在零点.证明：是闭区间 上的连续函数，因为根据闭区间上连续函数的零点定理，存在 使 即 在 存在零点.零点定理又称为方程根的存在定理.2.8 闭区间连续函数的性质891.函数点连续定义 2.7-2.8 函数的连续性小结 4.连续存在充要条件2.间断点的类型 可去型 跳跃型 无穷型3.初等函数在其定义区间连续.5.闭区间连续函数的性质 最值定理、界值定理、零点定理