函数与极限练习题(共17页).doc
精选优质文档-倾情为你奉上第一章 函数与极限 §1 函数一、是非判断题1、在X上有界,在X上无界,则在X上无界。 2、在X上有界的充分必要条件是存在数A与B,使得对任一都有 3、都在区间I上单调增加,则也在I上单调增加。 4、定义在()上的常函数是周期函数。 5、任一周期函数必有最小正周期。 6、为()上的任意函数,则必是奇函数。 7、设是定义在上的函数,则必是偶函数。 8、f(x)=1+x+是初等函数。 二单项选择题1、下面四个函数中,与y=|x|不同的是(A) (B) (C) (D)2、下列函数中 既是奇函数,又是单调增加的。 (A)sin3x (B)x3+1 (C)x3+x (D)x3-x3、设是(A) (B) (C) (D)4、若为奇函数,则 也为奇函数。(A) (B) (C) (D) 三下列函数是由那些简单初等函数复合而成。1、 y=2、 y=3、 y=四设f(x)的定义域D=0,1,求下列函数的定义域。(1) f( (2) f(sinx) (3) f(x+a) (a>0) (3) f(x+a)+f(x-a) (a>0)五设 , ,求及。 六利用的图形作出下列函数的图形: 1 2。 3 4。 5 6。 §2 数列的极限一 是非判断题1、当n充分大后,数列与常数A越来接近,则 2、如果数列发散,则必是无界数列。 3。如果对任意存在正整数N,使得当n>N时总有无穷多个满足|, 则 4、如果对任意数列中只有有限项不满足|,则 5、若数列收敛,列发散,则数列发散。 二单项选择题1、根据 的定义,对任给存在正整数N,使得对n>N的一切xn,不等式都成立这里的N 。(A)是的函数N(),且当减少时N()增大; ( B)是由所唯一确定的(C)与有关,但给定时N并不唯一确定 (D)是一个很大的常数,与无关。2、则 。(A) (B)(C) (D) 3、数列有界是数列收敛的 。(A)充分条件; (B)必要条件;(C)充分必要条件; (D)既非充分又非必要条件。4、下列数列中,收敛的是 。(A)(B)(C)(D)三根据数列极限的定义证明。(1) (2)(3) (4)四、若,又数列有界,则。五、若,证明。反过来成立吗?成立给出证明,不成立举出 反例。§3 函数的极限一 是非判断题1、如果=5,但不存在。 2、存在的充分必要条件是和都存在。 3、如果对某个存在使得当0<时,有那末 4、如果在的某一去心邻域内,且 5、如果且那么必有使在以外时 二单项选择题1、从不能推出 。(A) (B) (C) (D)2、在处有定义是存在的 。(A) 充分条件但非必要条件; (B)必要条件但非充分条件(C) 充分必要条件; (D)既不是充分条件也不是必要条件3、若则 。 (A) (B) (C) (D)以上等式都不成立4、是存在的 。 (A)充分条件但非必要条件; (B)必要条件但非充分条件 (C)充分必要条件; (D)既不是充分条件也不是必要条件四根据函数极限的定义证明(1) (2)(3) (4)五求六设f(x)=求(1) (2) (3)七设函数,求 (1) (2) (3) (4)(5)§4无穷小与无穷大一、 是非题1、零是无穷小。 2、是无穷小。 3、两个无穷小之和仍是无穷小。 4、两个无穷小之积仍是无穷小。 5、两个无穷大之和仍是无穷大。 6、无界变量必是无穷大量。 7、无穷大量必是无界变量。 8、时的无穷小,则对任意常数A、B、C、D、E, 也是时的无穷小。 二单项选择题1、若x是无穷小,下面说法错误的是 。 (A)x2是无穷小;(B)2x是无穷小; (C)x-00001是无穷小;(D)-x是无穷小。2、在X0时,下面说法中错误的是 。(A)xsinx是无穷小(B) (C)sin是无穷大; (D)是无穷大。3、下面命题中正确的是 。 (A)无穷大是一个非常大的数; (B)有限个无穷大的和仍为无穷大;(C)无界变量必为无穷大; (D)无穷大必是无界变量。三下列函数在指定的变化趋势下是无穷小量还是无穷大量(1) lnx 及 (2) (3) 及 (4) 、及四证明函数在内无界,但当时,这函数不是无穷大。§5 极限的运算法则一是非题1、R是有理分式,且是多项式, 那末 2、 3、 4、 若 二计算下列极限(1) (2)(3) (4)5) (6)(7) (8)(9) (10) (11) (12) (13) (14)四已知 ,求常数和。五已知 ,求常数和。§6极限存在准则,两个重要极限一是非题1、且当n>N时有 2、如果数列满足:(1);(2)xn>xn+1(n=1,2).则 xn必有 极限 3、 4、 5 二单项选择题1、下列极限中,极限值不为0的是 。 (A) (B) (C) (D)2、若 。 (A)A>B (B)AB (C)|A|>B (D)|A|B|3、的值是 。 (A)e (B)e1000 (C)e·e1000 (D)其它值4、 。 (A)1 (B) -1 (C)0 (D)5、 。 (A)-1 (B)1 (C)0 (D)不存在三计算下列极限(1) (2) (3) (4) (5) (6)(7) (8) (k为正整数) (9) (10) (11) (12)三利用夹逼准则证明:四设,利用单调有界准则证明:数列收敛,并求其极限。§7无穷小的比较一,是非题1、是同一极限过程中的无穷小,且则必有。 2、时 3、已知,由此可断言,当为等价无穷小。 4当时, 与 是同阶无穷小 。 5当时, 是 的高阶无穷小。 二单项选择题1、x0时,1cosx是x2的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小,但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小2、当x0时,(1cosx)2是sin2x的 。 (A)高阶无穷小 (B)同阶无穷小,但不等价 (C)等价无穷小 (D)低阶无穷小3、如果 。(A) (B) (C) (D) 4、时与无穷小等价的是 。 (A) (B) (C) (D) 5下列极限中,值为1的是 。(A) (B) (C) (D) 三证明:当时,。四确定的值,使 (§8 函数的连续性与间断点一 是非题1、在其定义域(a,b)内一点x0处连续的充分必要条件是在x0既左连续又右 连续。 2、在x0有定义,且存在,则在x0连续。 3、在其定义域(a,b)内一点x0连续,则= 4、在(a,b)内除x0外处处连续,点x0是的可去间断点,则 5、在无定义,则在x0处不连续。 二 单项选择题1、在点处有定义是在点连续的 。(A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件(C) 充分必要条件 (D) 无关条件2、 。(A)必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 无关条件3、的 。 (A)可去间断点 (B)跳跃间断点 (C)振荡间断点 (D)无穷间断点4、 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)无穷间断点5、 。 (A)连续点 (B)可去间断点 (C)跳跃间断点 (D)振荡间断点6、设函数则定义为 时在处连续 (A) (B) e (C) -e (D)无论怎样定义在处也不连续三研究下列函数的连续性,并画出图象。(1) (2)四判断下列函数在指定点处的间断点的类型,如果是可去间断点,则补充或改变函数的 定义使其连续。(1) x=1,x=2(2) x=k (3) x=1五 .讨论函数的连续性,若有间断点判断其类型。§9 连续函数的运算与初等函数的连续性一是非题1、f(x),g(x)在连续,则在也连续。 2、在连续,在不连续,则在x0一定不连续。 3、在x0连续,在x0不连续,则在x0一定不连续。 4、在上连续。 5、不连续函数平方后仍为不连续函数。 三 .求函数的连续区间。四 .求函数的连续区间。四.设函数应当怎样选择数a,使得f(x)成为内的连续函数。五求下列极限 (1) (2) (3) (4) (5) (6)六设函数 问为何值时,在内连续§10 闭区间上连续函数的性质一是非题1、在(a,b)内连续,则在(a,b)内一定有最大值和最小值。 2、设在a,b上连续且无零点,则在上a,b恒为正或恒为负。 3、在a,b上连续且单调,f(a)·f(b)<0,则在(a,b)内有且只有一个零点。 4、若在闭区间a,b有定义,在开区间(a,b)内连续,且f(a)·f(b)<0,则在(a,b)内有零点。 5、在a,b上连续,则在a,b上有界。 6、内必有零点。 二单项选择题1、函数上有最大值和最小值是上连续的 (A) 必要条件而非充分条件 (B) 充分条件而非必要条件 (C) 充分必要条件 (D) 既非充分条件又非必要条件。2、上连续,且则应判断内的零点个数 。 (A) 3 (B) 4 (C) 5 (D) 63、下列命题错误的是 (A) 上连续,则存在 (B) 上连续,则存在常数M,使得对任意 (C) 内连续,则在(a,b)内必定没有最大值; (D) 内连续,则在(a,b)内可能既没有最大值也没有最小值;4对初等函数来说,其连续区间一定是( ) (A)其定义区间 (B) 闭区间 (C) 开区间 (D) (三证明方程至少有一个根介于1和2之间。四若函数在闭区间上连续,。证明:至少有一点 ,使得。五设函数在闭区间上连续,证明:在 上必有点,使得 六若在上连续,则在上至少存在一点,使 专心-专注-专业