三角形的内角和定理的证明.ppt
八年级数学（下册）第六章 证明(一)胜者的“钥匙”w证明命题的一般步骤:w与同伴交流你在探索思路的过程中的具体做法.w(1)理解题意:分清命题的条件(已知),结论(求证);回顾与思考w(2)根据题意,画出图形;w(3)结合图形,用符号语言写出“已知”和“求证”;w(4)分析题意,探索证明思路;w(5)依据思路,运用数学符号和数学语言条理清晰地写出证明过程;w(6)检查表达过程是否正确,完善.驶向胜利的彼岸一、复习“三角形内角和定理”我们已经知道：三角形的三个内角之和等于180。即：在ABC中，有A+B+C=180 ACBABC二、论证“三角形内角和定理”怎样验证三角形的三个角的和等于180呢？即把A撕下来放在1的位置上，把B撕下来放在2的位置上。这时就可得ACB和1和2组成了一条直线，得到ACB+1+2=180，就可说明A+B+C=180了。你试过了吗？.在前面我们是采用拼接的方法来说明的。但是组成的BC和CD真的就是一条直线吗？很明显，这是无法确定的 如果ABC是画在一块不能分割的平面上，如在黑板上，这时就不可能做到把A、B撕下来再分别放在1、2的位置上，那么又如何论证A+B+C=180呢？三角形内角和定理的证明言必有“据”回顾与思考w 我们知道三角形三个内角的和等于1800.你还记得这个结论的探索过程吗?112ABD23C(1)如图,当时我们是把A移到了1的位置,B移到了2的位置.如果不实际移动A和B,那么你还有其它方法可以 达到同样的效果?(2)根据前面的公理和定理,你能用自己的语言说说这一结论的证明思路吗?你能用比较简捷的语言写出这一证明过程吗?与同伴交流.三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.“行家”看“门道”w已知:如图,A、B、C 是ABC的三内角.求证:A+B+C=1800.w证明:作BC的延长线CD,过点C作CE AB,则 例题欣赏P207w 你还有其它方法来证明三角形内角和定理吗?.w 1=A(两直线平行,内错角相等),w 2=B(两直线平行,同位角相等).w 又1+2+3=1800(平角的定义),w A+B+ACB=1800(等量代换).w分析:延长BC到D,过点C作射线CEAB,这样,就相当于把A移到了1的位置,把B移到了2的位置.这里的CD,CE称为辅助线,辅助线通常画成虚线.ABCE213D一题 多解w在证明三角形内角和定理时,小明的想法是把三个角“凑”到A处,他过点A作直线PQ BC(如图),他的想法可以吗?议一议P208w请你帮小明把想法化为实际行动.w小明的想法已经变为现实,由此你受到什么启发?你有新的证法吗?w证明:过点A作PQ BC,则ABCw 1=B(两直线平行,内错角相等),w 2=C(两直线平行,内错角相等),w 又1+2+3=1800(平角的定义),w BAC+B+C=1800(等量代换).所作的辅助线是证明的一个重要组成部分,要在证明时首先叙述出来.P Q231ABC已知：如图，A B C.求证：A+B+C=180开启 智慧还有其他证明方法吗？“行家”看“门道”w根据下面的图形,写出相应的证明.试一试P211w 你还能想出其它证法吗?(1)AB CPQRTSN(3)AB CP QRMTSN(2)AB CP QRMABC证明：过A作AE BC，EB=BAE(两直线平行,内错角相等)EAB+BAC+C=180(两直线平行,同旁内角互补)B+C+BAC=180(等量代换)开启 智慧ABCPQR证明：过点P作PQ AC交AB于Q点，作PR AB交AC于R点。四边形AQPR是平行四边形（平行四边形的定义）QPR=A（平行四边形的对角相等）RPC=B（两直线平行，同位角相等）QPB=C（两直线平行，同位角相等）QPB+QPR+RPC=180（1平角=180）A+B+C=180（等量代换）EBC+FCB=180（两直线平行，同旁内角互补）即1+ABC+ACB+4=180 又 BAC=2+3 BAC+ABC+ACB=180（等量代换）ABCEDF（123证明：过A点作射线AD，过点作BE AD，过C点作CFAD（两直线平行，内错角相等).4（则BE CF（平行与同一条直线的两直线平行）1=2，3=4）A证明：E作BC的延长线CD，在ABC的外部，以CA为一边，CE为另一边作1=A，则CE BA(内错角相等，两直线平行).B=2(两直线平行，同位角相等).）12又1+2+ACB=180(平角的定义)A+B+ACB=180(等量代换)BCDABCO 在ABC内任找一点O，连 接 AO、BO、CO，即把ABC分成三个三 角形，即AOB、AOC、BOC，由于每个三角形的内角和相等，故可得等量关系AOB、AOC、BOC 三个的内角和减去360就是ABC 的内角和。解：设ABC的内角和 为 X，于是有方程3X 360=X解得 X=180 即三角形的内角和为180 O三角形内角和定理w三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.w ABC中,A+B+C=1800.wA+B+C=1800的几种变形:wA=1800(B+C).wB=1800(A+C).wC=1800(A+B).wA+B=1800-C.wB+C=1800-A.wA+C=1800-B.w这里的结论,以后可以直接运用.三种语言AB C我是最棒的w1.直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.w已知:如图在ABC中，DEBC,A=600,C=700.w求证：ADE=500.随堂练习P208DC BAEABCAB Cw结论:直角三角形的两个锐角互余.以后可以直接运用.1、直角三角形的两锐角之和是多少度?等边三角形的一个内角是多少度?请证明你的结论.随堂练习AB C结论:直角三角形的两个锐角互余；等边三角形每个内角60以后可以直接运用.ABC证明：在ABC中 A+B+C=180(三角形内角和定理）C=90（已知）A+B+90=180（等量代换）A+B=18090=90（等式性质）即A+B=90ABC已知：在ABC中，C 90 求证：AB90 随堂练习证明：DE BC（已知）AED=C（两直线平行，同位角相等）C=700（已知）AED=700（等量代换）A+AED+ADE=1800（三角形的内角和定理）A=600（已知）ADE=1800600700=500（等量代换）即 ADE=500DCBAE（第2题）2、已知:如图在ABC中，DEBC,A=600,C=700.求证：ADE=500 随堂练习3、如图，直线ABCD,在AB、CD外有一点P，连结 PB、PD，交CD于E点。则 B、D、P 之间是否存在一定的大小关系？随堂练习ABCPDE他们是怎样的，并加以证明？用运动变化的观点理解和认识数学w在ABC中,如果BC不动,把点A“压”向BC,那么当点A越来越接近BC时,A就越来越大(越来越接近1800),而B和 C,越来越小(越来越接近00).由此你能想到什么?w如果BC不动,把点A“拉离”BC,那么当A越来越远离BC时,A就越来越小(越来越接近00),而B和C则越来越大,它们的和越来越接近1800,当把点A拉到无穷远时,便有ABAC,B和C成为同旁内角,它们的和等于1800.由此你能想到什么?读一读P207C BAC BA回味无穷w掌握几何命题证明的方法,步骤,格式及注意事项.w三角形内角和定理.w结论:直角三角形的两个锐角互余.w探索证明的思路的方法:由“因”导“果”,执“果”索“因”.w与同伴交流,你是如何提高证明命题能力的.小结 拓展 我们证明了三角形内角和定理。证明的基本思想是：运用辅助线将原三角形中处于不同位置的三个内角集中在一起，拼成一个平角，辅助线是联系命题的条件和结论的桥梁。小结 拓展小结：本节课你有什么收获？三角形内角和定理w三角形内角和定理 三角形三个内角的和等于1800.w ABC中,A+B+C=1800.wA+B+C=1800的几种变形:wA=1800(B+C).wB=1800(A+C).wC=1800(A+B).wA+B=1800-C.wB+C=1800-A.wA+C=1800-B.w这里的结论,以后可以直接运用.三种语言AB C
