2021年北京人大附中朝阳分校中考数学段考试卷（4月份）（含解析）.pdf

2021年北京人大附中朝阳分校中考数学段考试卷（4 月份）一、选 择 题（共8小题）.1.KN95型口罩可以保护在颗粒物浓度很高的空间中工作的人不被颗粒物侵害，也可以帮助人们预防传染病.“KN95”表示此类型的口罩能过滤空气中95%的粒径约为0.0000003/7/的非油性颗粒.其中，0.0000003用科学记数法表示为（）A.3X10-6 B.3X10-7 c.0.3X106 D.0.3X10-72.函数中，自变量x的取值范围是（）A.xW3 B.x23 C.x3 D.xW33.如图是由4个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（）正面A.-I B.1 C.2 D.35.下列各式由左到右是分解因式的是（）A./+6x-9=（x+3）（x-3）+6xB.（x+2）（x-2）=x2-4C.x2-2xy-y2=（x-y）2D.8x+16=（x-4）26.如图，将一副三角尺按下列位置摆放，使N a和 互 余 的 摆 放 方 式 是（）7.小聪在用直尺和圆规作一个角等于已知角时，具体过程是这样的：己知：ZAOB.求作：Z A1 O B ,使NA O B=ZAOB.作法：（1）如图，以点。为圆心，任意长为半径画弧，分别交0A,0 8 于点C,D；（2）画一条射线O A,以 点 为 圆 心，0 C 长为半径画弧，交4 于点C ；（3）以点。为圆心，CC长为半径画弧，与 第（2）步中所画的弧相交于点。；（4）过点。画射线 O B ,则NA O B=ZA0B.小聪作法正确的理由是()A.由 SSS 可得()C D 丝0 C D,进 而 可 证 O B ZA0BB.由 SAS可得()C D g 0 C Q,进而可证/A O B=/A 0 8C.由 ASA 可得 C D A O C D,进而可证NA O B1=ZA0BD.由“等边对等角“可得/A O B=NA0B8.如图所示，将一根长2机 的铁丝首尾相接围成矩形，则矩形的面积与其一边满足的函数关 系 是（）ABA.正比例函数关系C.二次函数关系B .一次函数关系D.反比例函数关系二、填 空 题（本题共16分，每小题2分）9 .请写出一个比，记 小 的 正 整 数.1 0 .用一个a的值说明命题“如果标1,那 么 是 错 误 的，这个值可以是a=.I I .如图所示的网格是正方形网格，A,B,C,。是网格线的交点，则/ABC与NBCD的大小关系为：Z A B C N B C D（填“”，=”或.1 2 .如图，在平面直角坐标系x O y 中，A （1,1）,B（2,2）,双曲线y=K与线段A B有x公共点，则 4的取值范围是1 3 .如 图（1）是一个长为2 ，宽为2b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形,则 中 间 空 白 部 分 的 面 积 是.（用含。，匕的式子表示）(1)1 4.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；掷一枚硬币，正面朝上；暗箱中有1个红球和2 个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球.l-x 4 415.不等式组|x+1 7，的解集是 1 -216.如 图，一次函数与尸cx+d的图象交于点P.下列结论中，所有正确结论的序号是.b0；ac l 时，ax+bcx+d；(4)a+bc+d；c.三、解答题(本题 共 68分，第 17-25题，每小题5 分，第 26题 7 分，第 27题 8 分，第 28题 8 分)17.计算：(-j-)一 4 2cos45+|血-1|-(3.14-TT)18.如图，AQ是AACE的角平分线，BA=BC,BD/AE.求证：Z C=Z E.19.已知 3/-X-1=0,求代数式(2x+5)(2 x-5)+2x(x-1)的值.20.下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.已知：如 图1,直线/和直线/外一点P.求作：直线P Q,使直线尸。直线/.作法：如图2,在直线/上取一点A,连接P A；作P A的 垂 直 平 分 线 分 别 交 直 线/,线段P A于点8,0；以。为圆心，0 B长为半径作弧，交直线MN于另一点Q；作直线P Q,所以直线P Q为所求作的直线.根据上述作图过程，回答问题：（1）用直尺和圆规，补全图2中的图形（保留作图痕迹）；（2）完成下面的证明：证明：；直线M N 是 P A的垂直平分线，：.P0=,NPOQ=/AOB=90 .：O Q=O B,：./XPOQ/AOB.：.PQ/l（）（填推理的依据）.图1图22 1.已知关于x的方程，加-2=0 .（1）求证：当n=m-2时，方程总有两个实数根；（2）若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的?，的值，并求此时方程的根.2 2.2 0 2 0年3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级60 0名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查.将居家减压方式分为A （享受美食）、8（交流谈心）、C （室内体育活动）、。（听音乐）和E （其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式.他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表2和表3.表1：小莹抽取6 0名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式 A B C D E人数 4 6 3 7 8 5表 2：小静随机抽取1 0 名学生居家减压方式统计表(单位：人)减压方式 A B C D E人数 21331表 3：小新随机抽取6 0 名学生居家减压方式统计表(单位：人)减压方式 A B C D E人数 6 5 2 6 1 3 1 0根据以上材料，回答下列问题：(1)小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.(2)根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级6 0 0 名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数.2 3 .截止到2 0 2 0 年 1 1 月 2 3 日，全国8 3 2 个国家级贫困县全部脱贫摘帽.某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗.已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵1 0 元，用 4 8 0 元购买乙种树苗的棵数恰好与用3 6 0 元购买甲种树苗的棵数相同，求甲乙两种树苗每棵的价格.2 4 .如图，在平面直角坐标系x O y 中，直线/：y=f cv+l (A W 0)与函数y=(x0)的图X象 G交于点A (1,2),与 X轴交于点艮(1 )求上7 的值；(2)点 P为图象G上一点，过点P作 X轴的平行线PQ交直线/于点Q,作直线P A 交x轴于点C,若SA A P Q：SMCB=1 ：4,求点P的坐标.2 5 .如图，4 B是00的直径，A C切。0于点A,连接B C交。于点。，点E是面的中点,连接A E交B C于点F.(1)求证：A C=C F；(2)若A B=4,A C=3,求/B A E的正切值.2 6 .平面直角坐标系x O y中，抛物线y=x 2-2,n r+,*2-3与y轴交于点A,过A作A 8 x轴与直线x=4交于B点.(1)抛物线的对称轴为x=(用含，”的代数式表示)：(2)当抛物线经过点A,B时，求此时抛物线的表达式；(3)记抛物线在线段A 8下方的部分图象为G (包含A,B两 点)，点0)是x轴上一动点，过尸作P C x轴于P,交图象G于点。，交A B于点C,若 CD 9,求m的取值范围.2 7 .如图，在等边三角形4 8 c右侧作射线CP,ZAC Pa(0 a 3 D.xW3解：,:Nx-3有意义的条件是:x-3 0.故选：B.3.如图是由4 个相同的小正方体组成的几何体，则它的俯视图是（）正面4.如图，数轴上两点M,N 所对应的实数分别为?，n,则 的 结 果 可 能 是（）0,1 尹A.-1 B.1 C.2 D.3解：N 所对应的实数分别为根，-2n-lOm l,而-2”，=”或.解：连接AC,BD,根据勾股定理得到 4C2=BC2=BD2=22+12=5,AB2C iy32+20,：.AC2+BC1=AB2,BCP+BCCD2,：./XABC和BCD都是等腰直角三角形，A ZABC=ZBCD=45.故答案为：.1 2 .如图，在平面直角坐标系x O y 中，A （1,I）,B（2,2）,双曲线y=K与线段A B 有X当（2,2）在 y=K的图象上时，k=4.X则双曲线）=K与线段AS有公共点，则 Z 的取值范围是1 W A W 4.X故答案是：1 3 .如 图（1）是一个长为2m宽为2b 的长方形，用剪刀沿图中虚线（对称轴）剪开，得到四块形状和大小完全相同的小长方形，然后按图（2）所示拼成一个大正方形，则中间空白部分的面积是（4-0）2 .（用含m b的式子表示）解：中间空白部分的面积是:(a+b)2-4ab=a2+2ab+h2-4ab=2-2ab+b2=(a -b)2,故答案为：（a-b）2.1 4.某小组做“用频率估计概率”的试验时，统计了某一事件发生的频率，绘制了如图所示的折线图.频率0.34个0.33 I_U100 200-1-1-:500 800 1000 次数该事件最有可能是（填写一个你认为正确的序号）.掷一个质地均匀的正六面体骰子，向上一面的点数是2；掷一枚硬币，正面朝上；暗箱中有1 个红球和2个黄球，这些球除了颜色外无其他差别，从中任取一球是红球.解：由折线统计图知，随着试验次数的增加，频率逐渐稳定在0.3 3,即J 左右，中向上一面的点数是2的概率为，不符合题意；0中掷一枚硬币，正 面 朝 上 的 概 率 为 不 符 合 题 意；中从中任取一球是红球的概率为羡，符合题意，故答案为：.x41 5 .不等式组J /I 的解集是-3 1.解：解不等式i-x W 4,得：x 2-3,解 不 等 式 号 1,得：X V I,则不等式组的解集为-3 W x l 时，ax+bcx+d；a+b=c+d；cd.解：由图象可知一次函数），=O X+b的图象经过一、二、四象限,.a 0,故错误;由图象可知一次函数），=。,计1的图象经过一、二、三象限,：.c0,J 0,：.ac l时，ax+hd,故正确，且-&-1,c 0,故答案为.三、解 答 题（本题共68分，第 17-25题，每小题5 分，第 26题 7 分，第 27题 8 分，第 28题 8 分）1 7 .计算：（）+2 CO S 4 50+|V 2-1 1-（3.1 4-7 T）。.解：（4）+2 c os4 5 0 +l V 2-I I -（3.1 4-T T）0=2+2 X 当+血-1-1=2+/-2=2&1 8 .如图，A O是 A CE的角平分线，BA=BC,BD/AE.求证：/C=NE.【解答】证明：是A CE的角平分线，：.ZDAC=ZDAE,：BD/AE.：.Z A D B ZDAE,NBDC=NE,：.N B A D=ZADB,：.AB=BD,；B A =B C,：.BC=BD,：.ZC=ZBDC,：.ZC=ZE.1 9 .已知 3 N-x-1=0,求代 数 式(2 x+5)(2 x-5)+2 x (x-1)的值.解：原式=4 N -2 5+2 x2-2x6 x2-lx-2 5,3 X2-x -1 =0,3 X2-x=1.原式=2 (3/-X)-2 5=2 X 1-2 5=-2 3.2 0 .下面是小明同学设计的“过直线外一点作已知直线的平行线”的尺规作图过程.己知：如 图1,直线/和直线/外一点P.求作：直线P。，使直线P。直线/.作法：如图2,在直线/上取一点A,连接P A；作尸A的垂直平分线M N,分别交直线/,线段P A于点8,。；以。为圆心，O B长为半径作弧，交直线M N于另一点Q；作直线P。，所以直线P Q为所求作的直线.根据上述作图过程，回答问题：(1)用直尺和圆规，补全图2中的图形(保留作图痕迹)；(2)完成下面的证明：证明：.直线MN是 PA的垂直平分线,：.P 0=AO,ZPOQ=ZAOB=90Q.,:OQ=OB,:.P O g X A O B.：.ZQPO=乙 BAO.图2(2).直线MN是 PA的垂直平分线，：.PO=AO,/PO Q=/A O B=90,：OQ=OB,.POQg/XAOB,.ZQPO=ZBAO,.P。/(内错角相等，两直线平行).故答案为AO,NQPO,N B A O.内错角相等，两直线平行.21.己知关于x 的方程，/+依-2=0(，*W 0).(1)求证：当”=帆-2 时，方程总有两个实数根；(2)若方程两个相等的实数根都是整数，写出一组满足条件的?，的值，并求此时方程的根.【解答】(1)证明：=(？-2)2-4mX(-2)=w2+4w+4=(m+2)25:0,.方程总有两个实数根；（2）由题意可知，#0 z X=2 -4/X （-2）=2+8?=0,即：ri2-Sm.以下答案不唯一，如：当=4,加=-2时，方程为x 2 -2 x+l=0.解得 X|=X 2=1.2 2.2 0 2 0 年 3月线上授课期间，小莹、小静和小新为了解所在学校九年级6 0 0 名学生居家减压方式情况，对该校九年级部分学生居家减压方式进行抽样调查.将居家减压方式分为 A （享受美食）、B （交流谈心）、C（室内体育活动）、D（听音乐）和 E （其他方式）五类，要求每位被调查者选择一种自己最常用的减压方式.他们将收集的数据进行了整理，绘制的统计表分别为表1、表 2 和表3.表 1：小莹抽取6 0 名男生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式ABCDE人数463 785表 2：小静随机抽取1 0 名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式ABCDE人数21331表 3：小新随机抽取6 0 名学生居家减压方式统计表（单位：人）减压方式ABCDE人数652 61 31 0根据以上材料，回答下列问题：（1）小莹、小静和小新三人中，哪一位同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，并简要说明其他两位同学抽样调查的不足之处.（2）根据三人中能较好地反映出该校九年级居家减压方式的调查结果，估计该校九年级6 0 0 名学生中利用室内体育活动方式进行减压的人数.解：（1）小新同学抽样调查的数据能较好地反映出该校九年级学生居家减压方式情况，小莹同学调查的只是男生，不具有代表性，小静同学调查的人数偏少，具有片面性，对整体情况的反映容易造成偏差.（2）6 0 0 X=2 6 0 （人），60答：该校九年级6 0 0 名学生中利用室内体育活动方式进行减压的大约有2 6 0 人.2 3 .截止到2 0 2 0 年 1 1 月 2 3 日，全国8 3 2 个国家级贫困县全部脱贫摘帽.某单位党支部在“精准扶贫”活动中，给结对帮扶的贫困家庭赠送甲、乙两种树苗.已知每棵乙种树苗的价格比甲种树苗的价格贵1 0 元，用 4 8 0 元购买乙种树苗的棵数恰好与用3 60 元购买甲种树苗的棵数相同，求甲乙两种树苗每棵的价格.解：设每棵甲种树苗的价格为x 元，则每棵乙种树苗的价格为(x+1 0)元.根据题意得，-=,x+10 x解得，x=3 0；经检验x=3 0 为原方程的解，且符合题意，每棵乙种树苗的价格为：3 0+1 0=4 0 (元)，答：每棵甲种树苗的价格为3 0 元，则每棵乙种树苗的价格为4 0 元.2 4 .如图，在平面直角坐标系x O y 中，直线/：y=Ax+l (A W 0)与函数、=蚂(x 0)的图x象 G交于点A(1,2),与 x 轴交于点反(1)求攵，m的值；(2)点 P为图象G上一点，过点P作无轴的平行线尸。交直线/于点。，作直线P A 交X轴于点C,若 S/V1 P Q：SAC B=1 ：4,求点P的坐标.解：(1)将点 A(1,2)代入 y=H+l (k N O)中，得左+1=2,k=1,将点A(1,2)代入丁=旦(x 0)中得力2=2；x(2)当 点 P在点A 下方时，过点A 作 AGJ_K轴，交直线PQ于点.“0平行于x 轴，AP Q sAAC B,./AP x2 _ SAAP Q /AH、2 1（777）=7；-=（7 F）=TAC S/k AC B AG 4 .AH 1 ,AG 2;点 A（1,2）,点 P纵坐标为1.m=2,.y _ 2 X；.P 点坐标为（2,1）.过点4作 A GL c轴，交直线PQ于点”.当 点 P在点A 上方时，/APQ/ACB.：.（空）2=/延 色=（旭）2=工AC S2 k AC B AG 4.AH J,，AG 2.点 A(1,2),点纵坐标为3.代入 y=W，x=,x 3点坐标为 4，3),o；.P点坐标为(2,1)或(-1,3).2 5.如图，A B是。的直径，A C切。于点4,连接B C交。于点。，点E是俞的中点,连接A E交B C于点F.(1)求证：A C=C F；(2)若AB=4,A C=3,求N B A E的正切值.【解答】(1)证明：连接B E,：C A是。的切线，A ZCAB=90,是直径，N AE B=9 0 ,是弧8。的中点，-DE=BE；.NBAE=NDBE,：./C AE=NEFB=ZAFC,；.AC=C F；(2)解：在 R t/X AB C 中，AB=4,AC=3,*-C=VAB2+AC2=5-：AC=CF=3,：.BF=BC-C F=2.T A B是直径，A ZADB=90 ,.BD _ AB _ 4 c o s .A.DC AB BC 5/.?)=J A,5 3加2 也2=率，D F=B D -B F=.DF 1t a n ZBAE-t a n ZD A E=.AD 22 6.平面直角坐标系x O y 中，抛物线y=N -2 a+布-3与 y轴交于点A,过 A 作 4 8 1 轴与直线x=4交于B点.(1)抛物线的对称轴为x=m(用含?的代数式表示)；(2)当抛物线经过点A,8时，求此时抛物线的表达式；(3)记抛物线在线段A B下方的部分图象为G(包含A,B 两 点)，点 P(m,0)是 x轴上一动点，过户作轴于P,交图象G于点。，交 A 3于点C,若 CD W 1,求?的取值范围.解：(1)根据抛物线的对称轴x=-代入得到x=m;2a故答案为加；(2)Vy=x2-2mx+m2-3(x-m)2-3,抛物线顶点坐标为(，-3).:抛物线经过点A,B时，且4 8 x轴，.抛物线对称轴为x=?=2.抛物线的表达式为y=N -4 x+l；(3)丫=炉-2 3+“2 -3与y轴交于点A(0,机2-3),顶 点(相，-3),；P O _ Lx 轴，:.D(in,-3),:C D W1,-3 4源-3 W-2,-IW/nWl,抛物线在线段A B下方的部分图象为G,.O WmWL2 7.如图，在等边三角形AB C右侧作射线C P,N 4 C P=a (0 a 60 )，点A关于射线C P的对称点为点。，B D交C P于点、E,连接A。，AE.(1)依题意补全图形；(2)求/D B C的大小(用含a的代数式表示)；(3)直接写出N A E B的度数；(4)用等式表示线段AE,BD,C E之间的数量关系，并证明.解：(1)依题意补全图形如下:(2)连接CD.线段AC和DC关于射线CP的对称，：.AC=DC,ZACE=ZDCE=a.：A8C是等边三角形，AC=BC,ZACB=60.：.BC=DC,ZBCD=60+2a.ZDBC=ZBDC=y180-(60+2a)=60-a.(3)/AEB=60.理由如下：如图，在BE上取点F,使NFCE=60,连 接C C,设A与CP交于点H,.ABC是等边三角形，：.AC=BC,ZACB=60.：.ZACB-/4C F=ZFCE-ZACF,：.ZBCF=ZACE,:点4和点D关于射线CP的对称，.PC是A的垂直平分线，J.ACDC,AE=DE,/A CE=/O CE=a.：.ZCAD ZCDA,NEAD=NEDA,:.ZCAE=ZCDE99：BC=AC=DCf：.ZCBF=ZCDE,：.ZCBF=ZCAEf在/CBF 和 CA E 中，zZ CB F=Z CA E 0,y 0 时，x+y=1,即 y=-x+l,当 x 0,y 0 时，x-yl,B|J yx-1,当 x 0 时，-x+y=l,即 y=x+l,当 x V O,yV O 时，-x-y=l,即 y=-x-1,如 图1所示,(3)当，=3时，点C的坐标为(3,0),由(2)可得：dCD=1,则点。在正方形E F M N边上，如图2,：.F(2,0),E(3,1),M(3,-1),N (4,0),又：点。在直线y=k x+2,又直线)二区+2过 点(0,2),由图2可知1：当直线 =履+6过点E时，通过观察图2可得：k的最大值是过点E的直线，上的最小值是过F,M的直线，把点 E 的 坐 标(3,1)代入 ykx+2 中，3A+2=I,k-y,把点尸的坐标(2,0)代入y=f cr+2中，2A+2=0,k=-I,故的取值范围是：-i w zw f 当A=-2时，直线的解析式为：y=-2x+2,当 x=0 时，y=2,当 y=0 时，x=l,：.E(1,0),F(0,2),设”(m,-2m+2)(OW/n W l),dcH=t-/?|+l _ 2?+2|=|f -刑-2m+2,；lWdcf/4,即 1 -2?+2W 4,又 OW -2m+2W 2,即-l W|m-/|W 4,当 W m 时，有-1 W m -44W 2,又又加,.-4,当 时，有-1 WLZW4,VO nzl,-1W/W5,又 t m9 1WW5,综上，1的取值范围为：-4W W 5.