2021年高考【热点·重点·难点】专练：热点08立体几何（解析版）.pdf

热点0 8 立体几何【命题趋势】立体几何一直在高中数学中占有很大的分值，未来的高考中立体几何也会持续成为高考的一个热点，理科高考中立体几何主要考查三视图的相关性质利用，简单几何体的体积，表面积以及外接圆问题.另外选择部分主要考查在点线面位置关系，简单儿何体三视图.选择题主要还是以几何体的基本性质为主，解答题部分主要考查平行，垂直关系以及二面角问题.本专题针对高考高频知识点以及题型进行总结，希望通过本专题的学习，能够掌握高考数学中的立体几何的题型，将高考有关的立体几何所有分数拿到.【满分技巧】基础知识点考查：一般来说遵循三短一长选最长.要学会抽象问题具体会，将题目中的直线转化成显示中的具体事务，例如立体坐标系可以看做是一个教室的墙角有关外接圆问题：-般图形可以采用补形法，将几何体补成正方体或者是长方体，再利用不在同一个平面的四点确定一个立体平面原理，从而去求.内切圆问题：转化成正方体的内切圆去求.求点到平面的距离问题：采用等体积法.求几何体的表面积体积问题：应注意巧妙选取底面积与高.对于二面角问题应采用建立立体坐标系去求.但是坐标系要注意采用左手系务必要标记准确对应点以及法向量对应的坐标.【考查题型】选择，填空，解答题【限时检测】（建议用时：45分钟）1.（2 0 2 0湖北高三月考）己知。涉 是两条不同的直线，a,分,7是三个不同的平面，则下列命题中正确的是（）A.若 a c 0 =a,/3 y=b,al l b,则a/B.若 a/,a :0 ,则”/C.若a _ L ,a c/3 =a,）j _力，则D.若 a J _ a,0 J _ p,a _ L/7,则。_ _ 力【答案】D【分析】：对于A：若a c/3 =a,p y=b,a!l b,则。/少 或a与/相交，故A错误；对于B：若a H b，a l a,a l j 3 ,则匕与夕平行或力u,故B错误；对于C：若a，尸，a c/3 =a,J,则6 ua或力与a相交或平行，故C错误；对于D：若。_1。力_1 _ ,。_1 _/7,如图设 b 0 =B ,过 3作 4=/),因为 B C u/3 ,所以 3c_ L a,所以B C H a，因为b _ L B C,所以。_ L a,故D正确:故选：D2.（2021.全国高三专题练习（理）祖晒是我国南北朝时代的伟大科学家.他提出的“幕势既同，则积不容易”称为祖随原理，利用该原理可以得到柱体体积公式匕主体=5，其中S 是柱体的底面积，是柱体的高，若某柱体的三视图如图所示，则该柱体的体积是（）正视图侧视图俯视图A.158C.182B.162D.32【答案】B由三视图得该棱柱的高为6,底面可以看作是由两个直角梯形组合而成的，其中一个上底为4,下底为6,高为3,另一个的上底为2,下底为6,高为3,则该棱柱的体积为2+6 4+6-x3+-x3 x6=162.223.（2020.全国高三其他模拟）如图所示，在直三棱柱A B C-A Q C i中，4c且BC=3,AC=4,CG=3,点 p 在棱A A 上，且三棱锥A-P B C 的体积为4,则直线BG与平面P B C 所成角的正弦值等于（）【答案】c一 而 n V 15-JL/.-5 5由已知得A 4,，底面ABC,且A C L 3 C,所以匕-P B C =V p-A 8 C =；xS a A B c X P 4 =；xg x3 x4 xP A =4,解 得%=2.如图所示，以点C为坐标原点，CB、C4、C&所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，则。（0,0,0）、尸（0,4,2）、3（3,0,0）、Q（0,0,3）,则CB=(3,0,0),CP=(0,4,2),BC,=(-3,0,3).设平面3 c p的法向量为=(x,y,z),n-C B=0 3x=0 x=0则由 可得c c，即L 八，得x=0,令y=l,得Z=2,n-C P -0 4y+2 z=0 2 y+z=0所以=(0,1,-2)为平面B C P的一个法向量.设直线BC与平面P3C所成的角为。，则 sin 0=|cos|=J；,=半.I I H-|BC,|庖 F 庖 了 5故选：c.4.（2020全国高三专题练习（理）已知四面体O ABC，G是 ABC的重心，且ULUl ULI 11UU UUUIO P =3 P G 若 OP=x04+yOB+zOC，则（*，z）为（）1 1 1A-c.(2,2,23 3 3,3 3 3、立（了1 1 I【答案】A【分析】连接 AG交8 c 丁点E，则E为5 c中点，A E =-(A B+A C)=-(O B-2O A+O C),2 22 1 3则=2OA+OC),OP=3PG=3(OG OP),.OP=wOG，3 3 3 1 2 1 111.O P =-O G =-(O A +AG)=-(O A +-O B一一O A +-O C)=-O A+-O B+-O C,4 4 4 3 3 3 4 4 4故以 x=y=z=_1故选：A.5.（2021全国高三专题练习）如图四面体A-BCD中，AO=8C=2,AD_L8C,截面四边形EFGH满足EF/BC;FG/A。，则下列结论正确的个数为（）四边形E F G H的周长为定值四边形E F G H的面积为定值四边形EFG”为矩形四边形E F G H的面积有最大值1【答案】D【分析】因为E F H B C,瓦 Z平面B C D.所以E F H平面B C D，乂平面E F G H 平面B D C =G H,所以 E F/G H.同理F G/E H，所以四边形E F G H为平行四边形,又A D L B C,所以四边形EFG”为矩形.所以是正确的;由相似三角形的性质得一EF上=BCAF FCACACFGAD所 以 黄+祭=+第BC=AD=2 所 以 防+依=2所以四边形EFG”的周长为定值4,所以是正确的;SEFGH=EF X FG W =,所以四边形E F G H 的面积有最大值1,所以是正确的.因为正确.故选：D6.（2021全国高三专题 练 习（理）已知直三棱柱ABC-AB|C|中，NABC=120，AB=2，BC=CC,=1,则异面直线AB|与B Q所成角的余弦值为（）A 百 口 屈 而 n V32 5 5 3【答案】C【解析】如图所示，补成直四棱柱A B C O-A 4 G A，则所求角为NBCQ,BC】=0,B D =722+l-2x2xlxcos60=百,G。=Ag=6,易得 CD =BD2 +BC：,因此Mg。嚼浅吗故选C.7.（2020黑龙江大庆实验中学高三期中（理）如图，棱长为2的正方体ABCD A/iG。中，P在线段6 a （含端点）上运动，则下列判断不正确的是（）QA.A,PYBD B.三棱锥。APC的体积不变，为:TTc.A P平面ACR D.A f与0 c所成角的范围是0,y【答案】B【分析】对于A选项，连接A B、A G、A/、B.D.,因为四边形A 4C|A为正方形，则A G，Q DD _L 平面 4片。|A,4 G u平面 A 4 C 2,A&i DDBD D D=D,:.A G，平面 B B Q Q ,B Q u 平面B B Q D ,B Q 工A G，同理可证用AC,4 8 =4，.g o_L平面ABC一A|P u平面A IG，因此，P L B.D,A选项正确；对于B选项，在正方体ABCD-ABCIR中，A B HCD且AB=C.D,所以，四边形A B GA为平行四边形，.5C J/A 9，8cl Z 平面 ACD,A R u 平面 A C D,，,BCJI 平面 A C D,.p B G ,所以，点 尸、3到平面AC。的距离相等，1 1-。4所以，幺-APC=%仲=LACD,=5-板x2 =,B选项错误;对丁 C 选项，在正方体 A8QD A81cl2 中，A4,CC且 AA,=C G，所以，四边形A 4C C为平行四边形，AC/4C1，4 6 2平面4。2，4。在正方体A B C D _ A B R中，B C g D 且8C=A已，所以，四边形ABCQ为平行四边形，O G A 8,所以，A P与 C所成角等于NBA，当P在线段BC1（含端点）上运动时，OW/BAPWNBAG=工，D选项正确.故选：B.8.（2020全国高三专题练习（理）已知空间向量a,4 c两两的夹角均为6 0，且|d|=|d=,|c|=2.若向量x,y满足xx+a）=x/,yAC=立,M N=-B C=2 2 2 2 2 2所以卜_ 乂=,_A=+M N +NE,所以当,M,N,E四点共线旦按此顺序排列时，J。目 的最大值为:1 6 G-1-1-2 2 2-F V3 2故选：C.9.(2020 福建高三学业考试)如图，已 知 长 方 体 中，A3=2,B C =3,M =5,则该长方体截去三棱锥4后，剩 余 部 分 几 何 体 的 体 积 为.【答案】2 5【分析】在长方体A B C。4 4 GA中，A B =2，BC=3,4 4=5,所以长方体的体积为匕BCD/CQ,=A 5 x 5 C x A 4|=2 x 3 x 5 =3 0,三棱锥A-A4A的体积为匕_ 4孙=；-5招 才 伍=32、3*5 =5,所以剩余部分几何体的体积为7 =3 0-5 =2 5.故答案为：2 51 0.（2 0 2 0四川省峨眉第二中学校高三月考（理）已知三棱锥P A B C中,以角A为直角的直角三角形，A 5 =A C =2,P B=P C ,P A =J f W，。为接圆的圆心，cosZPAO,那么三棱锥P-A B C的外接球的体积为一1 7【答案】乂叵兀3【分析】解析：如图，设三棱锥P A B C外接球的球心为。，半径为R，AB C是A3c的外连接 P。，00,po,A O,4由已知得3 c 为圆。的直径，B C =2 叵,则因为cosNPAq=孚，所以在 PA Q 中，由余弦定理得,P O；=P A2+A O2-2 PA-A O COSZ P A Ot=8,所以=2夜.又 A。；+P。；=10 W=7V147r3故答案为：7/.兀31 1.（2 0 2 0全国高三月考（理）已知正方体A B C。AgG，的棱长为5,其中有一半径为2的球。与该正方体的底面A B C D和两个侧面AD D ,A B BA,都相切，另有一球02,既与正方体的另外两侧面8。由，DCCQ以及底面A B C。相切，又与球。相切,则球。2的半径为.【答案】1【分析】以点A为坐标原点，分别以ARAR 为 羽y,z轴建立空间直角坐标系设球。2半径为，则C（2,2,2）,O2（5-r,5-r,r）|。a=2+厂（3-r）2+（3-r）2+（2-r）2=（2 +r）2,即 产 i0 r+9=0,解得r=9（舍）或r =l故答案为：1B1 2.（2 0 2 0四川泸州市高三 一 模（理）如图，棱长为1的正方体A B C Z）-4万 。中,P为线段48上的动点（不含端点），给出下列结论：平面平面4 Ap多面体C D P D,的体积为定值;直线2P与 所 成 的 角 可 能 为?；A P R可能是钝角三角形.其 中 正 确 结 论 的 序 号 是 （填上所有正确结论的序号）.【答案】【分析】对于：因为正方体A 58A 4G0,所以A 2，平面A8 g 4,又p为线段A 8上的动点，所以4a，平面aA P,乂A A u平面4A P,所以平面A A P _ L平面4A P,故正确；对于：因为正方体4 8。一4与 ，所以S cm =gx ix i=g,又p为线段A B上，所以尸到平面C D D 的距离恒等于I,所以多面体COPQ的体积匕7m =；x g x l=,为定值，故正确；对于:因为6 c 4A ,所以与8C所成的角，即为与A。所成的角，即N A。/即为所求，由图可得，当P运动到8的位置时，N A A P最大即为此时 A=i,%B=拒,D、P=6,在M 2A 1中，sin ARB=处=上=旦 立=$皿 三,“DF 百 3 2 3nT T所以所以当P运动时，N A。不可能为不,故错误；对于：分别以“1、DC、DDi为X,y,Z轴正方向建系，如图所示：所以 4(1,0,0),B(l,1,0),A (1,0,1),0,(0,0,1),所以 4 3=(0,1,-1),因为P为线段48上运动，设=/l G 0,l ,p(l,y,z),所以4P=(0,y,z-l),y =2所以 ，所以z-l =-A所以 4P =(0,41 ),D F =(1,A,-2),所以cos=A P D F +公一4网阴 2+(i-I a+储+储2(22-1)722+(l-/l)2Vl+222因为；IG0,1,所以当/le（0,；）时,cos=-/3，AB 3 AB：.ZABD=30,Z BAC=60,ZAEB=90,即 LAC（E 为 AC 与 BD 交点）.又PA AC,；.平面P4C，乂因为B D u平面P8D，所以，平面Q4C_L平面P3D（2）如图，以A 3为x轴，以A。为丁轴，以AP为z轴，建立空间坐标系，如图，设 AP=r,则 8（2道,0,0）,C（2班,6,0）,D（0,2,0）,P（0,0j）,贝1JBQ=（-2J5,2,O）,DP=（O,-2,t）,PC=（2x/3,6,-r）,设平面尸比）法向量为 =（x,y,z）,则 所成角为。，则由 厢 573 53故s in 6 K，3即r =26时，直线PC与平面P B D 所成角最大，此时该角的正弦值为.1 5.（2 0 2 1.全国高三专题练习（理）如图，四棱锥P-A B CD中，底面A 8CO为矩形,P A m AB C D,E 为 PD的中点.（1）证明：F 5 平 面 隹 C；（2）设二面角。A E C为 6 0。，A P=,A O=百，求三棱锥E A C。的体积.【答案】（1）证明见解析；（2）Y38【分析】（1）连 接 交AC于点。，连结E。，因为A8CD为矩形，所以。为的中点.乂 E为尸。的中点,所以EO PB，又E O u平面4E C P8U平面AEC,所以P 6平 面 向C.（2）因 为 小 1平面ABC。，ABCD为矩形,所以AB，A，AP两两垂直.如图，以A为坐标原点，A3的方向为工轴的正方向，AP为单位长，建立空间直角坐标系A一 型，则 0(0,0,(),(0,孚；),4七=(0岑,().设8(九0,0)0 0),则。(肛6,0),AC=(m,y/3,0).设勺=（x,y,z）为平面AEC的一个法向量,A C =。，肌n1 A E=0,则nvc+/3 y-0,r6 1 *可取=（也,-1,百）y +-z =0,mI 2 7 2又 巧=（1,0,0）为平而D 4 E的一个法向量,由题意知:c o s,）=g,即3+4 m21 3解得加=一.2 2因为E为P O的中点，所 以：.棱锥EA C O的高为2三棱锥E A C D的体积V=x L x百x?x 4=也.3 2 2 2 816.（20 20河南高三月考（理）如图，三棱柱A B C-A与G中，A B C是边长为2的正三角形，A B BB,BBi=2,0,。分别为棱A4,4 G的中点.（1）求证：O。/平面B C C M ；（2）若平面ABC_ L平面A B 4 A，求直线0。与平面A B C所成角的正弦值.【答案】（1）证明见解析；（2）这.7【分析】（1）连接4 B,则4 B与A耳交于点。.如图所示，连接显 然 四 边 形 为 矩 形，。，。分别为楼4 8.A G的中点,所以0。为VA8G的中位线.所以。O/BG.而OD/3)=x+V3z=0y=-x得 Gz=-XI 3令x=3,得平面AB的一个法向量为=(3,-3,)；设直线。与平 面 所 成 角 的 大 小 为。，则sin6=n-ODnOD(3,3,73)-,1,-721x72V42故直线0。与平面ABC所成角的正弦值为 叵.717.（20 20.山西省榆社中学高三月考（理）如 图1,在Rt A ABC中，N A C B =3 O，A B C =90.。为A C中点，A E _ L B D于 瓦 延长A E交B C于尸，将 ABO沿8。折起，使平面平面B C D,如图2所示.图1图2（I）求证：AE _ L平面BCD；（II）求二面角A-O C B的余弦值；【答案】（I）证明见解析；（H）且5【分析】（1）证明：平面平面8 c ,交线为BD,又在 ABO中，A E L B D于E,4上匚平面48力，AE _ L 平面 BCD.（ID 由 知 AE _ L平面 BCD,由题意 知 所，3 D,又A E工B D，如图，以E为坐标原点，分别以E F、E D、E A所在直线为x轴，y轴，z轴，建立空间直角坐标系E xy z ,设A B =5 O =O C =A D =2,则 鸵=ED=1，:A E =5 BC=2A/3,E F*，则 E（0,0,0）,0（0,1,0）,B（0,-l,0）,A（0,0,7 3）,F,0,0 L C（V3,2,0）,Z）C =（G,1,O）,A O =（0,1,-扬,由A _ L平面B C D知平面B C D的一个法向量为EA=(0,0,7 3),设平面4 0 c的一个法向量=(x,y,z),n-D C =!?x+y =0,则1是正三角形，有PO LO C，又.平面 P D C1 底面 A B C D,：.P 01 平面 A B C D,连结。4,则。4是R4在底面上的射影，二/以。就是R 4与底面所成角,V Z A D C =6 0，由 已 知PCD和八4 8是全等的正三角形，从而求得OA=OP=g，,NP4O=4 5，P A与底面A B C D可成角的大小为45；(2)证明：由底面A8CO为菱形且NADC=6。，D C =2,。=1,有O A LO C,建立空间直角坐标系如图，f 石 石 T T*DM=2 PA-(6。-6)，DC-(020)，PA-DM=x G +2xO+*x(百)=0，PAZ)C=0 xV3+2x0+0 x(-V3)=0-:.PA工 DM，PAL DC,且。M DC=D,而 DM,OCu 平面。MC,/.B4_L平面 ZWC；(3)CM=(与0,与,届=(1,0)，令平面B MC的法向量=（x,y,z），则;.&/=0，从而x+z =O；d j=0，从而JJx+y =(),;由，取 x=-l,则 y =Ji,z =l，可取 7 =（_ 1,也,1），由（2）知平面C 3 M的法向量可取以=（G，o,一石）,设二面角。一MC 5的平面角为6,经观察。为钝角,贝！c o s 0-c o s(n,P AVio