2021年高考【热点·重点·难点】专练：热点07数列与不等式（解析版）.pdf

热点0 7数列与不等式【命题趋势】在目前高考卷的考点中，数列主要以两小或一大为主的考查形式，在小题中主要以等差数列和等比数列为主，大题与三角函数，解三角形的内容交替考查，早 在2014年和2015年卷中，以数列的通项与求和为主，而近3年的第17题(即解答题的第1题的位置)，完全是考查解三角形.但是数列仍然作为解答题第一题的热点.由于三角函数与数列均属于解答题第一题，考查的内容相对比较简单，这一部分属于必得分，对于小题部分，一般分布为一题简单题一道中等难度题目，对于不等式一般以线性规划以及作为一个工具配合其他知识点出现.主要是以基本不等式作为切入点形式出现，题目难度中等本.专题针对高考中数列，不等式等高频知识点，预测并改编一些题型，通过本专题的学习，能够彻底掌握数列,不等式.请学生务必注意题目答案后面的名师点睛部分，这是对于本类题目的一个总结.【知识点分析以及满分技巧】等差数列如果记住基本的通项公式以及求和公式，所有的等差数列问题都可以解决.数列求和的常用方法：(1)公式法：即直接用等差、等比数列的求和公式求和.(2)错位相减法：若 4 是等差数列，2 是等比数列，求瓦+a2b2+a也,.(3)裂项相消法：把数列的通项拆成两项之差，相消剩下首尾的若干项.常见的裂顶有1 _1_ 1 1(1 _ _n(n+l)n n+1 (+2)n+2)_ U _ j _ i _ y(2 n-l)(2n+l)2 2 n-2 n +产(4)分组求和法：把数列的每一项分成若干项，使其转化为等差或等比数列，再求和.(5)倒序相加法.对于基本不等式类的题目应注意等号成立地条件.【考查题型】选择，填空，解 答 题（数列）【限时检测】（建议用时：50分钟）1.（2 0 2 1全国高三专题练习（理）定义:在数列 4中，若满足%4a=d（M,d为常数），称 叫 为“等差比数列”，已知在“等差比数列”4,中，4 =%=1吗=3 ,则42也.2018等 于（）A.4x201621 B.4x20172-1 C.4x20182-l D.4x20182【答案】C【分析】由题意可得：-=3,&=1 ,-=1,2%。2 a根 据”等差比数列”的定义可知数列也是首先为1,公差为2的等差数列,an J则=l +(”-l)x 2 =2-1,所以 巳 幽=2 x 2 0 1 9-1 =2 x 2 0 1 8 +1,巳 幽=2 x 2 0 1 8-1,%0 1 9 2018所 以 为1 幽=(2 x 2 0 1 8 +1)(2 x 2 0 1 8-1)=4 x 2 0 1 8 2-1.“2018”2019 2019故选：C2.(2 02 1 全国高三专题练习(理)已知数列。“满足%+1 =1-(eN*),且q=2,an则出017=()1 3A.1 B.C.D.22 2【答案】D1*【分析】数列 ,满足q=2,凡+|=1-(n e N ),an可得。2 =；，%=.1,%=21%=5，：.all+3=an,数列的周期为3.a2017=672x3+1=4 =2 故选：D.3.(2 02 1全国高三专题练习(理)已知数列 4,中，q=1,(+1)%=叫,+,则&=()A.1 1 B.1 2 C.1 3 D.1 4【答案】B【分析】.(+1)41=叫 用，；.%=*,；.数列1 4;n H+1 t na“=H，是常数数列，%=幺=1,n 1a2=1 2 .故选：B.4.（2 02 1全国高三专题练习（理）已知数列 a,J满足：q“GN*，则下列说法正确的是（）3 ,(+l)an+l-nan=2 n+l,A.an+anB.an+ianC.数列 a“的最小项为名和%D.数列%的最大项为生和火【答案】C【分析】令=M”，则。“+1-包=2+1,又4 =1 3 ,所以优，bn-bn_l=2n-1,=1 3,b-,t=3,力3 b2=5 ,所以累加得a=1 3+（T）（；+2 1）=2+2,所以”,h,n2+1 2 1 2=-=n+.n n n所以4+1一%=(+1)(一 3)(+4)力(+1)所以当 3时，an+i 3 时，a“+i a”，即4。2 q=4。5 q,则 S0-S的最小值为（）A.-6B.-2C.-1【答案】A2 n-5 2/?-7又一 色=-1,所以数列2-72n-7 是以-1 为首项，公差为2 的等差数列,所以 2 7=_ +2（-1）=2 _ 3,所以=（2”3）（2 一7）,3 7令4=（2-3）（2-7）40,解得/相所以4。,/0,贝 1 4 3+00 B.若 5 2 02 00,则 4 3+M 0C.若 S2 02 l 0,则。2+4 0D.若 S2 02 0 0,则 2+4 4 0【答案】A【分析】等比数列&的前n项和为S,当4 Hl时,小 匕 对20i-q因为1 4 2 与1一4同号,所以q 0,所以 4 +/=4（1 +/）0,当9=1时，$202=2 02 1。0,所以q 0,所以4+4=q+q =2a 0,综上，当S2021 0时，4+4 0,故选：A7.（2 02 1全国高三其他 模 拟（理）等比数列%中卬=1,且4 4，2 a 2，生成等差数列，则,（eN*）的最小值为（）1 6 4 1A.B.-C.-D.12 5 9 2【答案】D【分析】在等比数列%中，设公比4（”0）,当q=l时，有4 4,2 a 2，生 成等差数列，所以4 a 2 =4+4，即4 q=4 +q2,解得q=2,所以a“=2-，所以a=2二，n n%-=1.当且仅当=1时取等号，%+1n所以当=1或=2时，取得最小值1,故选：D.8.（2 02 1全国高三专题练习（理）己知。，a2+h2=5-a bf则外的最大值是（）A.1 5B.1 2C.5D.3【答案】C【分析】因 为 析+左=1 5。所以 3ab5,即 ab0,a 0l）1 2的图像恒过定点A,若点A在 直 线 尔+y+l =0上，其中加 0,则一+一的最小值为m n()A.7B.8C.9D.1 0【答案】B【分析】函数y=log(x+3)-1 (a 0,a w 1)的图像恒过定点A,则又点A在直线 如+y+1=0上，可得2m+=1,所以42=0+2 (2,+“)=4+2+%+2、=8，m n ym nJ m n m n当且仅当?=l，=1时取等号，4 2故选：B1 0.(2 02 1 全国高三专题 练 习(理)己知等比数列 飙 的前项和为S”，若S3=7,S6=6 3,则数列nan的前项和为()A.-3+(+1)x2 B.3+(+1)x2”C.1+(+1)x2 D.1+(-1)x2”【答案】D【分析】设等比数列%的公比为q，易知“力，所以由题设得（一2X）2 ,整理得：A-YA 0,x+2y=3,则“一十”的最小值为孙（）A.3-2 0 B.2V2+1 C.V 2-1 D.V2+1【答案】B【分析】已知x 0,y 0,x+2y=3,则/+Q+2 y）y=+孙+2），2/+空阵+=2夜 +1,xy xy xy y x y x当且仅”l d=2 y 2 时，即当龙=3 加一 3,且 =殳芋，等号成立，故三土型的最小值为1+2 0，孙故选：B.14.（2 02 1 全国高三专题练习（理）3 1已知 0,/?0,若不等式一+-2-恒成立,a b。+3。则m的最大值为（）A.9 B.12C.18 D.2 4【答案】B【分析】.3 1、m由一+2-,a b。+3z /3 1、9b a,得 m W(a +3Z?)(一+)=+6 .a b a b又9二b+一Q +6 2 2 次r+6 =12 （当且仅 当9二b=一a，即a =3匕时等号成立），a b a b.壮12,的最大值为12,故选：B.15.（2 02 1 全国高三专题练习（理）若尸是面积为1的AABC 内的一点（不含边界），y+z 1若 A P A B.A P A C 和 APBC 的面积分别为x,y,z,则+的最小值是（）x y+zB.6季 c.-D.20+3 3 3【答案】A【解析】：x+y +z =l,y +z 1 1-x 1 1-x x+l x 1-x x 1-+=+=-+-=-+-+1x-y+z-x-l x-x I-九 x l x2 2、上 三 上+1=3,当且仅当工=!取 等号,N x 1-x 2y+z 1-+的最小值为3,故选A.x y+z二、解答题16.（2 02 0 威远中学校高三 月 考（理）已知数列 4是等差数列，前 项和为S,，且S$3。3,。4 +06 =8 （1）求为；（2）设以=2 n q,求 数 列 也 的 前 项和T.【答案】an=2（n-3）n e N*；（2）7；,=（-4）-2n+2+16.【分析】（1）由题意，数列。”是等差数列，所以 5 =%4；%）=5%,又 S5=3a3,所以。3 =0，由 eq+&=8=2a，解得生=4,所 以%-4=2 =4,解得d=2,所以数列的通项公式为%=%+（-3）d=2（-3）eN”.(2)由 得d=2 功=(一32，7；,=(-2)-22+(-l)-23+0-24+(32T,27；,=(-2)-23+(-l)-24+-4)-2,+1+(-3)2,+2,两式相减得 2(7；=2t2-(23+24+2,+,)+(n-3)-2n+2,郭 8(J2 T)1-2+(n-3)-2+2=(rt-4)-2,+2+16所以2+2+i6.17.（2020四川省绵阳南山中学高三月考（理）设公差不为零的等差数列 a,的前项和为S“，己 知 邑=9,且 出，4，4成等比数歹八（1）求数列 4 的通项公式;（2）对任意的正整数，都有m 2-外0成立，求实数机的取值范围.3【答案】(1)a=2n-l；(2)m.【分析】（1）设等差数列 4 的公差为d,则#0.根据题意，得3q+3d=9,(a,+4c/)=(q+d)(q+13d),解之，得 4=1,d=2.所以，数列的通项公式为。(2)由题意得，根与 对任意正整数都成 立.设“=与 口，一T=二芋，2时，单调递减.当=2时，2=今-取得最大 值%=，,?1.18.(2 02 0 胶 州市教育体育局教学研窕室高三期中)已知正项数列 4 的前项和为S,，%=1,5,用+S“=4+:,N*.(1)求%的通项公式；(2)若数列%满足：4仇 +a2b2+a2b2+.+anbn=2-勺 2,求数列1-1,-”2 a”.|l g 2 ”+2|.的前n项和T.3 1 1【答案】勺=：丁 而 万一而可.【分析】解：(1)由题知：5+1+5 =anJ,S+S _,=2(2)两式相减得：an+l+an=,(+|2-a,2；所以凡j 一q 2 _(4 用+4)=o,所以 3 向 一 a,-l)(a+1+a )=。：因为a“0,n e N*,所以 a“+i 4=1(N 2)*又因为S 2 +E =4 2,所以+2 q =。；，因为q=l,解得：=2 (2=-1舍 去)，所以。2-4 =1适合*式所以 为 是以1为首项，1为公差的等差数列.所以 a”=l+(-l)x l =M+2(2)由(1)得:b、+34 +也=2-0；7 1+1所以4 +2瓦+3Z3+.+(=2-(2)(2)H一得：nbn=(2),所以勿=/(之2)又由式得，=3适合上式所以“=(e N)1 1 1(1 1、4帆2么+2|(+2)n+2,所以(,=11 1 1 1 1一 +-+-+3 2 4 3 511-1-1-n +1 n 几+2_ 3 _ 1 _一-2（+1）-2（“+2）19.（2020.黑龙江高三月考（理）已知数列 ,的前几项和为S“，S=2a-2.（1）求数列 4 的通项公式；（2）设2=至2%,6=-,记数列 c的前n项和7“.若对 wN*，Tn W%（+4）恒成立，求实数k的取值范围.【答案】4=2 ；(2)3，+)【分析】：(1)当 =1时，4=2,当 之 2 时，an=Sn=2afl-2-(2au_x-2),即：公比的等比数列，/.an=2.(2)由N-log24得,bn=log22n=n,则%=/,T 1 1 1 11,1 n/=1 +1 .2 2 3 n 7i+l +l +l.n n.+.(n+l)(n+4)vT+5n+44 1 4 4+-+5 2 2 j x+5=9，当且仅当=一，即=n y 1 n 1 1 4-9.因此左之入，故实数A的取值范围为-+5 9n2=2,.数列 q j为以2为an-=-1 -=-1-1-+n +1，14.nd-F5n2时等号成立，?+42 0.(2020咸阳市高新一中高三月考(理)已知等差数列 a,J满 足/=2,q+%=5.(1)求数列 a,的通项公式；(2)若数列他,满 足:4=3也=6,也 一%为等比数列，求数列也 的前项和7“.【答案】4,=：=妁詈+2用一2.,、f 2=。+d【分析】等 差 数 列 4 满足“2 =2,4+4=5,则L l，解得4=4=1,3 =24+3d：.an=1+(力-1)=，(2).=3,伪=6,d一%为等比数列，设公比为生二 4-q=3-1=2,%-出=62=4,：.q=2,：.bn-an=2x2w-1=2,；.b“=n+2：数列 的前项和1=(1+2+3+)+(2+2?+2)=(：D+2 0-2)=+1)+2向 _?