2023年高考数学第01章攻克压轴题的战略构想.pdf

第O 1章攻克压轴题的战略构想高考数学压轴题通常是指试卷中体现“选 拔”功能的试题，主要分布在解答题的最后两、三道题中的部分较难的小题或填空题，选择题中少量较难的题目，分值大约占全卷 的 20%,数学压轴题的特点是设计新颖，思维含量高，数学核心素养体现得非常充分,它们的作用是提高考试的分区度.压轴题之所以难度高，体现在综合性强,对解题能力的要求高，通常命题者总是在新颖且具有创造性上做文章.攻克压轴题需要学生更好地融会贯通知识，需要对极为陌生题目的领信力,需要突破常规，另辟硬径，尝试用新的方法来分析、求解,着眼于进一步提高处理知识综合和融合试题的能力.在数学学习与复习的过程中也确实有这种知识综合和解题能力提升的需要,数学高考复习第一轮基本结束后，不 少 学 生 测 试 的 成 绩 仍 在 11()分左右徘徊,经常碰到这样的学生，他们在试卷发下来后心里非常懊恼,，难一点的试题如压轴题找不到正确的思路干脆瞎做一通，甚至开了“天窗”，也有的解题过程虽然书写得洋洋洒洒，但其中漏洞百 此 得 分 很 少，如果在基础题和中档题部分又犯了不少低级错误，最后的分数可想而知.这实际上是数学复习中的瓶颈状态，表面上通过一轮逐章逐节的复习，仿佛对每章、每节的知识点都掌握了,实际上还停留在表层，不能把知识点纵横联结甚至对某些知识点的认识仍然模糊不清，不能做到“了然于胸”，出现上述种种“状况”是不奇怪的.要突破这种瓶颈状态，除了进一步梳理、贯通知识、查漏补缺外，对解题术的研究应当摆上冲刺阶段的日程表.“攻克压轴题的战略构想”十讲为你描绘了解决难题的路线图，使你的解题能力达到一种广阔和自由的境界.第一讲扎根基础、树上开花树上开花，是由“铁树开花”转化而来的，原意为不可能开花的树竟然开起花来了，比喻极难实现的事情.兵书 三十六计上把它作为制造声势以摄服敌人的一种计谋，许多成语的含义是在不断演化的，因为“铁树开花”虽然不容易，但也有开花的时刻.高中数学考点众多，知识体系十分丰富，如果我们把它们看作一棵树的枝叶，叶与叶之间从表面看似乎毫不相关，而实际上同属于一棵树，同宗同脉，考点与考点之间是紧密联系在一起的，章与章之间知识上是互相交汇的，如果我们能够融会贯通这一系列的通识，通法，一定会结出丰硕之果.要 进 入 这 种“扎根基础、树上开花”的境界必须首先做到以下两点:1.回归课本、梳理概念观察近几年的高考数学试卷中的压轴题，虽然初看似曾相识，但细看又关卡重重，其特点是综合性强滩度确实有点高,但是我们静下心来仔细审题，解题的入口还是比较宽的，命题者不可能连门都不让你进.把题目分解开来看，也并不是一道大题的每道小题都很难，通常前面几小题仍以中学数学的基础知识.重点内容、基本方法出发设计命题，把对基础知识的考查放在突出的地位,从基本概念、基本性质、基本表达形式，基本的公式出发去理解问题，解决问题.所以当前最重要的是在第一轮复习的基础上，以课 程 标 准 与 考试手册为纲，以题型示例为参照，以课本为依据，独立地把各章知识点梳理一遍，一是厘清知识发生的本质，构建高中数学基础知识的网络;二是克服“眼高手低”“好高鹫远”的毛病，对课本中的例题、习题进行举一反三的推敲;三是对第一轮复习过程中老师讲的例题，布置的习题进行整理归纳，对做错的习匙进行分类订正,对于典型例题.习题提炼通法,构建知识块、解法链.实际上高考中相当多的试题是从课本上的例至进行适当变形或重组而得到的，直接考查课本上某一定理的证明也出现过多次，回归课本，梳理概念，既有利于消除第一轮复习中还存在的薄弱环节，查漏补 缺，全面把基础落实，更有利于拿下压轴题中的基本分.2.重视“通法”，淡化“特技”考试手册）指出:数学学科高考旨在考查中学数学的基础知识和基本技能,逻辑思维 能 力、运算能力、空间想象能力、分析问题与解决问题的能力以及数学探究与创新能力.近年来又提出“核心素养”，这是在高考数 学 复 习 中 必 须 认 真 理 解，切实照办的.当前课改的根本方向是课程目标的构建，即由“知识与技能”“过程与方法”“情感态度与价值观”3个维度构成的目标体系，强调“展现知识的发生、发展，形成和应用的过程，这就告诉我们当前命制数学高考题不会过分地道求特殊方法和特殊技巧，运算量也不会太大，但试卷的阅读量会增加，所以考生应用重视“通法”，也就是高中数学中经常运用的由数学思想统领的基本解题方法.这种“通法”的掌握不是靠做大量的习题才能做到，而应当学会“读题”，通过“读题”提高思维层次，通过归纳总结领悟并业握“通法”，比如可以找一本以总结解题方法为主的参考书，通过读题,首先想一想这道题涉及哪些重要的知识点，想一想若自己做这道题可以运用什么样的解题方法，不妨试着解一解，再看一看书中是如何分析这道题并提供了怎样的解法，随即与自己的解法相对照比较一下优劣，思考一下本题的解法中运用了哪些数学思想与解题谋略,回顾一下所碰到过的类似的习题，思考当题中条件、结论稍作改变，在解法上会有什么变化等.千万不要认为学会解题一定要做大旺的题目，反反复复地进行操练,解一定量的题目以巩固知识的掌握程度是需要的，若再辅之以边读题边思考边总结，必定事半功倍.以上两点是确保压轴题基本分获取的法宝.一、例题精讲【例 1】已 知 函 数 x)=f+o x+b在 区 间 2,3 上有零点,则l+从的取值范围是。【解题策略】本题初看不过是二次函数问题.二次项系数为1,抛物线开口向上,在区间 2,3 上有零点,则对有一个或两个零点讨论，由于对称轴未定,对称轴相对于区间的位置关系又要进一步分类讨论，解题过程是腕够复杂的，难点不仅仅在此,因为解析式中含有双参数,而需寻求的是双参数构成的关系式M+的取值范围,/+后用什么来表示?如何才能求出其范围?看来解决本题并不简单.解决木题的关键是实施转化，把较为复杂的问题朝简单的方向转化、朝常见的题型转化、扎根基础、寻找最基本的通解求出结果.比如将双参数的最值问题转化为单参数函数的最值问题，利用导数求最值就方便多了;比如通过变更主元，即 视a1为主元,x为参数，则 关 于x的 二 次 方 程/+6 =0变 更 为b +m+/=O则是直线方程,(/+)即为原点到此直线距离的平方;比如通过构造向量运用柯西不等式求解;又比如转化为函数零点问题结合“耐克”函数单调性求解.总之，这4种思考方法都是把难度较高的双参数问题转化为容易求解的基础问题，化难为易应当是解题者追求的目标.【解】【解法 一】由 b=一 工2 _ dx ,导 g(x)=Q2+b，(_ cix +a*=+a。，,g (x)=2 x(x +d)(2 x +a)当.L2时,g(x)在 区 间 2,3 上单调递增.g（x）m in =g（2）=5 a-+16 a +16 =5 a +g J+y.y2 4止匕时a =,h =.5 5当a 43（舍去）.综 上+从【解法二】办+),把主元X 变更为q,6,x 为参数，则关于X的二次方程变为关于。和b的直线方程b +x a +x?=0.年+阳 即 为 平 面 上 原 点 到 直 线 b +X 6 Z +X2=0的 距 离 平 方，有 /mind%2 YV x2+1岛.当 当 晓 专 时 心 2.【解法三】由 x2=-a x-b,得 a=(一 及 一 1),夕=(a,b).则 a2.伊+(3)2 =(+i)1 2+2 0 尸+统=+)(1+/J +;1=七.1 +1=&2 +-2 =r +-2 =5 时取等号)a-+l a +1 a +l t 5?此时,a =2,=_:.【例 2】已知函数 x)=s in 2 x+a c os 2 x 的图像关于直线=-三对称,求实数a的值.8(2)将函数 x)=s in 2 x+c os 2 x 的图像向左平移0个单位，所得图像对应的函数为奇函数，求 e的最小正值.若 将 函 数 x)=sin(2x+|的图像向右平移。个单位,所得图像关于y轴对称，求的最小正值.(4)(2 0 1 7年商考数坐全国卷I I理料第14 题)函数/(JC)=sin2x+/3cosx-x e 0,。的最大值是.(5)(2018年 商 考 数 学 全 国 卷I理 科 第16题)已 知 函 数/(x)=2sinx+sin2x,则/(x)的最小值是.(6)设 函 数/(x)=Asinx+)(A0,0),若“X)在 区 间 上6 2 _具有单调性，且/图=/停)=一/闺，求/(X)的最小正周期.【解题策略】这是一组研究三角函数周期性、奇偶性、单调性以及图像的对称性、最大最小值的基础题，而且它们之间又往往交汇在一起，可以纳入统一的知识体系，从不同的角度入手求解，有些解法非常巧妙.这类题扎根基础，看似简单，内涵丰硕，是三角函数这棵大树上开出的美丽小花.【解】【解 法 一】(通 解 一)y =1 1 +a2 sin(2x+0)(。=arctan a),.|川,71%r,由正弦函数图像的性质知,当=-工 时,1训=忘7,8艮 I s in(-.)+acos(一?|=y/l+a2,1-1 1=J l+a2,即-1)?=l+a?,:.a=-1.2【解 法 二】(通 解 二)函 数y=/(x)=sin2x+acos2x的图像关于直线=-三 对 称，8兀-X4=/(x),即 sin2(X|+Q COS 2 1-X)I 4=sin 2x+acos 2X-cos2 x-a sin2x=sin2x+acos2x，即(a+l)(sin2x+cos2x)=0,故。=1.【解法三】(特殊法解)：函数图像关于直线x=-工对称，且(0,a)在原函数的图像上，点(0,a)8关于 =2 的对称点为1:/(0)=即 a-sin 2 -+f zcos 2 -6 Z =-1.(2)/(x)=sin 2x+cos 2x=0 sin(2x+=0 sin 2 1x+先作出函数y=0 s in 2 x 的图像，再向左平移2 个单位,操作时也可理解为相对地将8y 轴向右平移右个单位，再将图像向左平移夕个单位确保平移后的函数为奇函数，求。的最小正值，即将y 轴再向右平移，第一次经过图像与x 轴交点时平移的大小即为。的最小正值，应为臣.(3)【解法一】/(x)=sin 2x+.)的图像向右平移个单位得函数 =sin 2x+?-2 s 的图像，由4函 数 y=sin(2x+-2 0 的 图 像 关 于 y 轴 对 称 可 知,s in(-2*J=I,即sin(2s-?)=1,故 20一亳=左 乃 +，左 e Z,即=+G Z,又【解法二】根据正弦函数的对称性，只要找到y 轴左侧第一条对称轴.由 2x-=S w Z),得 x =,取 k=-l,得 x =-，即 将 函 数4 2 2 8 8/(X)=si n(2 x +?)的图像向右平移1 个单位.(4)化简三角函数的解析式，得,3 1 (6 丫f(x)1 C O S-X +c o s X c o s-X+/3 C O S X 4 c o s x-+1 由自 W 的44 I 2)jr.范围 X 0,y 可得 C O S X G 0,1 .当c o sx =*时，函数/(X)取得最大值1.【解法一】(导数法)fx)=2 c o sx+2 c o s2 x =2c o sx +2(2 c o s2x-1)=4 c o s2 x+2 c o sx-2 =2(c o s x +1)(2 c o s x -1)令广(无)0 ,得 c o sx ；,即f(x)在区间(2 左 乃?,2%+5卜%e Z)内单调递增;令/,(x)0，得 c o sx g ,即/(x)在 区 间(2 版 +5,2+与)(我 Z)内单调递减，则(叽 n=2 女 啜 卜 一 半【解法二】(化单角三角函数后用均值不等式)/(x)=2 si n x +si n 2 x =2 si n x(+c o s x)=4 si n2 x(l +c o sx)2=4(1 -c o s x)(l +c o s x)3r-144 3(1 -c o s x)+(1 +c o s x)+(1 +c o s x)4-(1 +c o s x)_ 2 7 3 4 T当且仅当3(1 c o s x)=1 +c o sx,即c o sx =时 取 等号.2 加（必 2 卜-半阪）孚”的 最 小 值 为 一 手【解 法 三】（化半角三角函数后用均值不等式）/(x)=2 si n x +si n 2 x =2 si n x(l +c o sx)=4 si n -c o s-2 c o s2=80 si.n x c o s 3 x =8=2 2 V 3=x 3 si n2c o s6 3 2 2c.2 X 2 X 2 X 2 X 3 si n +c o s+c o s+c o s里 2 2 2 23 42 7T当且 仅 当 3 si n 2 -=c o s2工 即 s i n?时取等号.2 2 2 4A 0|/(x)2个，.一芈 颗 半，/(x)的最 小 值 为-半4 2 2 2【解法四】(换元法结合导数法)*.*f(x)=2 s in x +s in 2x =2 s in x(l +co s x)，(x)F =4s in2x(l +co s x)2=4(1 -co s x)(l +co s x)3.设 co sx=t，则 y =4(l-r)(l +03(-l 1).y=4-(l +r)3+3(1-/)(1 +/y=4(1 +疗(2-4t).当一1 ，0;当 g f l时,y C=W有 3。=11+下.JT在 RtAPOB 中，由 D F PB 得 Z D P F =Z F D B =一,3则 tan =tan N D P F =+A2=yfi，解得 A=-/2.3PDDC _ 1 _ V2故当平面D E F与平面ABC。所成二面角的大小为工时，空=.3 B C 2图1-3【证法二】(1)(向量法)如图1 -4 所示，以。为原点，射线DA,DC,D P分别为x,y,z 轴的正半轴，建立空间直角坐标系.设/。=DC=1,则有 D(0,0,0),P(0,0,1),B(2,1,0),C(0,1,0),PB=(A,1,-1).点 E 是 PC 的中点,于是P8 DE=0,即 PBA.DE.又已知 E F 工 PB,而 D E c E F =E,：.J_平面 D E F.,:PC=(0,1,-1),D E PC=O，则 D E 1 PC,：.D E 平面 P8C,由 J_平面 PBC,PB 平面。尸,可知四面体B D E F的4 个面都是直角三角形，即四面体B D E F是一个鳖脯,其 4 个面的直角分别为NDEB,ZDEF,ZEFB,NDFB.由 P Z U 平面ABC。,可得DP=(0,0,1)是平面ABC。的一个法向量;由知PB 1.平 面D E F ,可 得BP=(-2,-l,l)是 平 面D E F的一个法向量.若平面D E F 与平面ABCO所成二面角的大小为王，则有3兀 B P D P 1COS =-：-=/3|BP|DP 2+2L 解得4=血,二.令2BCV221I故 当 平 面 团 与 平 面 A B 8 所 成 二 面 角 的 大 小 为 抖 箓考.二、发散训练1 .如图1-5 所示，在等腰直角b O P Q中,NPOQ=90,OP=2 6 点 M在线段P Q上，若 OM=石，求M P的长；若点N在线段M Q上，且A M O N=30，问:当N P 0 M取何值时,0 M N的面积最小?并求出面积的最小值.图 1-52.如图1-6 所示，在平面直角坐标系x O y中，点 4 0,3)，直 线/:y=2 x-4.设圆C 的半径为 1,圆 心 在/上(1)若 圆 心 C 也 在 直 线 y=x-l 上，过 点 A 作 圆 C 的切线，求切线的方程；若 圆C上 存 在 点 M ,使|M 41=2 1M。|,求 圆 心 C 的横坐标。的取值范围.第二讲解题要诀、谋定后动根 据 G 波利亚的解题理论，一 个 数 学 问 题 的 求 解 过 程 可 分 为 4 个 阶 段:(1)弄清问题;(2)拟定计划;(3)实现计划;4)回顾反思.“弄 清 问 题”，就是我们通常讲的:解好数学题，审题是第一关,审题又分两个方面:“熟悉问题”和“深 人 理 解 问 题“熟悉问题”是分清问题中数据、条件是什么?要解决怎样一个问题?大致上涉及哪些知识?属于哪个数学板块?”深入理解问题”就是要弄清问题所给的条件、结论的实质.将已知条件提供的信息与要解决的问题的联系找出来.通常这是哪一种类型的问题?这类问题的常规解法是怎样的?还有没有可以进一步思考的空间?能不能设计出一个较为理想的解决方案？如果一个数学问题，已知条件很明显，与结论之间的联系也容易找到，解答当然就不困难，但这种情况可遇不可求，实际情形往往并非如此,许多数学问题中的条件不很明朗,仿佛隐藏着什么,与结论之间的联系无法一下子找到“拟定计戈 还无从入手,所以要特别重视挖掘数学问题中的隐含条件,使其明朗化他就是化“隐”为“显”才 能 获 得 对问题的准确理解和正确分析.在通过审题比较透彻地弄清问题之后，接下来当然是拟定解题计划了.要有一个好的解题计划,思维品质起关键作用.一个完整而优美的解题计划是在大脑高速运转中不断修正而完善起来的，考虑成熟后才动笔，这叫“谋定后动”，“实现计划”就会很顺畅，有水到渠成之感.当然，要培养谋定后动、直剖核心的能力不可能一蹴而就，一个较为复杂的数学问题的已知条件和待求(证)结论可能来自完全不同的领域，它们之间缺 乏 联 系，甚至毫无公共之处,好像两座高山，中间无路可通,需要通过分析找到它们之间的联系，采用正确的解题方法实施两者之间的转化，这种转化可以是单向的，也可以是双向的，甚至需要多个转化.设计好这种转化线路图,便是数学解题的整个过程中思维方法与战略构想的作用，唐朝诗人王维的一首诗可以用来描述这一过程：遥爱云木秀，初疑路不同.安知清流转，偶与前山通.本讲重点讲弄清问题、拟定计划的重要性,至于实现计划与回顾反思则是后话，在后面的儿讲中会讲到.一、例题精妍(例1)已知 方 程I(x-l)(x3)1=依 有4个不相同的实数根，求人的取值范围.【解题策略】本题是含绝对值符号且含参数的一 元 二 次方程.当然很容易想到运用解方程的知识求解，即用零点区分法去掉绝对值符号.把原方程变为两个一元二次方程，使每一个一元二次方程都有两个不同的实数根，通过判别式大于零，求出左的取值范围如下：k G(,4-2我u(-4-2/3,4+26)u(4+2有,+8)然而这一结论是错误的.试取=-8,便 知 此 时 原 方 程 没 有4个相异实数根，这是对问题没有考虑周全勿勿解答所得的结果.首先，要使原方程成立，必须使立.0,但这一点却没有在上述解题过程中体现出来;其次，解题方案中“使每一个一元二次方程都有不同的实数根”也不妥，因为它不是原方程 有 4 个不同的实根的充分条件.试想，去掉绝对值符号有前提,有实根则实根必须在前提这个范围内，用判别式解决不了问题.若分段讨论在一定范围内有实根则需要考虑区间根的存在条件，并不是一个很简单的问题，这些表明方程之根受到许多复杂条件的制约,必须考虑周全，才能避免失误.那么能不能找到一种相对简捷的解题方法，轻松解答这个问题呢？当然是有的，我们把方程置于相应的函数之中，以能在更为广阁的领域中去研究其根的情况，通过函数图像(或方程的曲线)来研究方程，不仅能在可变状态下更为灵活地作出判断，还能创造出一种更为形象的直观意境，这种思考过程便是之前说的“谋定后动、直剖核心”.【解】在同一直角坐标系中作出这两个函数的图像，如图1-7 所示.函数的图像是由两个抛物线的一部分组合而成的(作出y=(x-l)(x-3)的图像后把x 轴下方的图像翻折到x 轴上方即可得).而函数(2)的图像是过原点的直线系,原方程的解便是两个图像交点的横坐标,从解题的目标是求出k为何值时，两个图像间出现4 个不同的交点.设 0 4 为抛物线y=-(x-l)(x-3)(lx 3)的切线，显然，只有当直线y=质 在 x 轴和0 4 之 间 时，两 图 像 才 能 有 4个 不 同 的 交 点，而%入=4-273.由 此 可 知，当0%-2 x 的解集为(1,3).若方程/(x)+6a=0 有两个相等的根，求/(x)的解析式；若/(x)的最大值为正数，求。的取值范围.【解题策略】若设/(x)=a x2+bx+c(a 丰 0),则由/(x)-2 x 的解集为(1,3)可知,/(x)=-2 x 这一方程有两个不相等的实根，可由韦达定理将汰c 均用a表示，使得/(无)只有一个参数a,而 第 问 中 还 有 一 个 条 件，求 出 a 的 值，/(x)的 解 析 式 便 可 确 定.第(2)问,/(x)3 0,。的取值范围也可顺利求出，解题者可能会轻松地得出如下的解法：(1)设/(x)=a x2+bx+c(a 丰 0).由 题 意，得f(x)+2 x =a x2+(h +2)x +c Q的 解 集 为(1,3).A 1,3 是 方 程a x2+S +2)x+c=0 的两个根.由韦达定理，得 ，即 匕 4。，=1x3=3,:/(x)=加-(2 +4。)工 +3。，(1)由方程/(x)+6a=0,得ar?(2+4。)工 +9。=0.(2)方程(2)有两个相等的根,A=(2+4a)2-4 9。=0,即5/一 4。一 1 =0,解得。=1或。=-g.；f(x)的解析式为 f(x)=x2 6x+3 或/(x)=(2)由/()=依 2 _(2+4a)o+3a=4(元_ 1 +2 一幺上色 1,可得/(尢)的最大值为 a )ac i +4a+1 c i +4a+1-，为-(),则 a(a+2+6)(a +2-扬 0.解 得 -2-6或-2+百 a 0 的解集为(1,3),即不等式 加+(b+2)x+c 0 的解集为(1,3),此时应注意到有一个隐含条件，即a 0.上述解法中没有考虑这个隐含条件，故存在问题.在第问的结果中应舍去a=l 的情况，即解析式/(X)=X2-6X+3是不存在的;第(2)问中若没有a 0 这个条件，也不能说/(x)的最大 值 为-土 巴 里,因为二次函数在R 上的最大值必须在二次项系数为负时存在，所a以不能忽视这个条件.可能学生会说:“所求得的a 的取值范围不是满足。0这个条件吗?”这只是巧合，却不能说整个解题思路是正确的.解题的每一步都要有依据,做到无取可击！【解】设/(x)=ax2+bx+c(a 丰 0),由题意，得/(x)+2x=a?+g +2)x+c 0 的解集为(1,3),a 0,且 1,3是方程ar?+(b+2)x+c=0 的两个根.由韦达定理，得 即 一 一 =1x3=3,3a/(x)ax1-(2+4Q)X+3Q,(1)由方程%)+6。=0,得 or?(2+4。)工 +9。=0.(2),/方程(2)有两个相等的根,=(2+4。)2 -4。9。=0,即 5。2-4a 1 =0,解得。=1 或。=一士.a 0,，舍去 a=l，因此 =一士./(x)的解析式为 f(x)=X2 x .t,/、)/c 4、c (1 +2。)6 r+4。+1由 f(x)=a x r-(2 +4 a)x+3 a =4 x-.I 。J a a 0,可得/(x)的最大值为_4+4 +l.ac i +4Q+1令*a 角 毕 得 a /3 a 0.a 0,因此若/(X)的最大值为正数,则实数a的取值范围是(-0 0,-2-0)5-2+(石,0).【例 3】设各项均为正数的数列 的前n项和为S,.若 2 厄=%+1(e N*),求数列 的通项公式；(2)若#=%,+(1 ,1,(2)-得4 q%+1 -%+2%+|-2 a“，整理得（4+i +%）（4+i -4）=2（勺+1+%）.；4 0,.可得4 田-%=2，数列 为等差数列，公差4 =2,又由26=4+1,解得4 =1,.,的 通 项 公 式 为=2-1.由条件知%,%,%成等差数列，得%+,%+,%+也成等差数列.二 点,，何成等差数列，即2 区=同+何，也即2+4=册+/3，两边平方整理得a2=3%，又由2 a 2 =%+%，得生=5 a l把 =1,=2 分别代人y/S =,结合=3a l 分解得弧=4 +,21y=3“1+,解得“-1 ,/=14 4.后=%+；,与 的方法相同，可以证明当 e N*时，数列%为等差数列,从而求得4=芸2 一上 1（3）由条件知%,%,4 成等差数列，得4%+4也成等差数列.二质，病，店 成 等 差 数 列，即2 卮=+底，也即2“+4=虱+，两边平方整理得%=3%，又由2%=%+%，得%=5%把=1,=2 分另I 代入=24+,结合4 =3 q 得=4%+/,=3 0,+4,解得4 =办=；,4 =7 72 da 2 4 4 7 t将 E =枇+平方得 5“=万；+2，。+4=A2a；,+-an+S“+i =4%喜+2 4 4 用 +A2=+1 a i+l+2（4）(4)一(3)整理得分(%+4)(q 用%)=:(%+).%0,.-.4=占,当“e N*时，数列 a,为等差数列，又;q =占，2 4 4/1.2 一 1(4)由条 件知a 1,%,生成等差数歹L设它们的公 差 为，由，S +c =+，得S +C=%。；+2 沏%4-金S +c =A 6 Z 1 +(5)S 2 +c =把。；+2 帮。2 +42S3+C =力4；+2 3。3+42(7)(6)-(5)得%=%4(2 2-4)+2Md，整理得(2 万 一1)%=外/一 2，(7)(6)得 q=(2 4 -d)+2 d，整理得(2 矛d -1)%=分/一 2如d,(9)-(8)得(2 万4 -1)4 =(),由于4 =0 显然不合题意,：.d=-,代入(8)解得=.4S“+c =万。；+2 A./ja +/?=3”；+；/(1 0)S,+i +c =22,；+|+2 川 +/?=22 0,用-4=去，当 e N*时，数列 4 为等时数列【例 4】2 2(1)已 知 定 点A(-2,2),点F为 椭 圆 上 +4 =1的 右 焦 点，点M在 椭 圆 上 移 动 时，求2 5 1 6|AM|+|敏|的最大值；2 在 椭 圆 工+2=1上 是 否 存 在 一 点 到 直 线m：x+y +2应=0的距离最大?若存在,3求出最大距离;若不存在,请说明理由；丫2、,2 设 耳，鸟 是 椭 圆 了+=1的左、右焦点，弦过尸2,求AA8耳面积的最大值；(4)P、Q、M、N这4点 都 在 椭 圆 犬+三=1上，/为 椭 圆 在y轴上的焦点.已知方 与P。共线,M户与MN共线，且尸=0,求 四 边 形P M Q N的面积的最小值和最大值.【解题策略】解析几何中的最值问题是一种极其重要的题型.木例各题以椭圆为载体探究一系列与最值相关的问题，完美地解决这一专题有利于掌握与双曲线、抛物线相关的最值问题的解法,那么怎样解椭圆中的最值问题呢?首先要用到椭圆的定义、标准方程和几何性质，其次还常用到函数、方 程、不等式及三角函数等重要知识，综合性强,联系性广,策略性要求高，其基本的思想是函数与方程的思想和数形结合的思想，基本解题策略是从代数和几何两个角度分析，椭圆是几何图形，研究的量也主要是几何量，当然借助几何性质(对椭圆而言是对称性与范围)，利用几何的直观性来分析问题，但几何直观往往严谨性不强,难以细致入微所以需要借助代数工具实现突破，几何法常需扣住圆锥曲线的定义并和平面几何有关结论巧妙结合，代数法则常把有关问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用配方法、基本不等式、函数的单调性或三角函数有界性等解之.第(1)问扣住椭圆的定义结合三角形中两边之和大于第三边求解.第(2)问可设椭圆上动点为三角形式，由点到直线的距离公式结合辅助角公式求解.第(3)(4)两问都是求与椭圆相关的三角形面积的最大值，由于两小题都涉及动直线问题，引进参变量显得很重要.第(3)问，设 动 直 线A B的 倾 斜 角ZXF2B为参数，则可扣住椭圆定义结合余弦得一 种 巧 妙 的 解 法.第 问 以 动 直 线P Q的 斜 率k为参数，则要分类讨论斜率不存在的情况，而且求三角形面积的最值，由于解析式较为复杂，解题的技巧性很强，且方法也多,如可以通过变形转化为代数函数求最值,或通过去分母并换元转化为二次方程运用判别式法求最值，也可通过三角换元与代数换元转化为“耐 克”函 数 求 最 值.第(5)问求椭圆内接四边形的最值,情境更显复杂，难度明显增大,但从前四题的解答中不难获得启示.由于四边形的对角线互相垂直,求面积解析式并不难，但分类讨论不能忘，由于解析式的形态复杂，换元法使之简化并利用相应新函数的性质则是解题的关键，务请重视.【解】如图1-8所示，设月是左焦点，则K(-3,0).AM+MF=AM+10-|A7f；|10+|Af；|而1 4周=J(-3+2+(0-2)2=6,.AM|+1 MF|”10+6即|AM|+|M/|的最大值为10+J.设P(石cos。,sin。)是椭圆上+y2=i上任意一点，由点到直线距离公式得3r-厂 2sin(+e+2 夜,|V3cos。+sin。+2V2|3)=c -亚411ax=C +2(3)如图 1-9 所示，设 ZXF2B=c(0 a sna=sina=f,g(/)=(0 1).a 求直线y=依+1被椭圆截得的线段长(用a,k表示)；(2)若任意以点A(O,1)为圆心的圆与椭圆至多有3 个公共点，求椭圆离心率的取值范围.【解题策略】本题的难点在第(2)问，背景是双二次曲线问题,且有多个变量.圆的圆心确定,半径是变量，椭圆方程中。是 大 于 1 的变量，探讨双二次曲线交点个数，思维的着眼点是等价转化，即“形 与 数之间的转化.可以从反面考虑，即假设圆与椭圆有4 个交点，借助于弦长公式,充分运用几何意义来转化屈于圆心40,1)是椭圆的一个顶点，且圆和椭圆的图像均关于y 轴对称，有 4 个交点时a 的范围容易得到，则至多有3 个公共点时。的范围就明确了，离心率e 的范围可以求得.本例(2)还可以利用双二次曲线方程，结合对称性转化为二次函数在有限区间上零，点的讨论,运用函数与方程的思想方法求角.【解】设直线y =k x+l被椭圆截得的线段为A P,y=爪+1由，f,得(1+。-2卜2+2a2Ax=0,故X =0,=a2 +)2 a2k因此|AP|=J1+小口一百=2 卜，.Jl+/.1 1 a K(2)【解法一】(正难则反思想的运用)假设圆与椭圆的公共点有4 个，由对称性可设)，轴左侧的椭圆上有两个不同的点P,。满足|=|A。记直线A P,AQ的斜率分别为勺&，且k,k2 0,k产Q由(1)知,|AP|=耳再更AQ=2T1 +优灯 l +a-故 2个 客 正=2个 女 子，即(4 _ 后)i+中+标Q 一 叫 阻 =o由于 W%2，K，2 0得1 +片+2(2 42)其后=0,(i V i 、因此 4+1 4+1=1+/(/_ 2).(1)、k 八&2 )因为式关于人次2的方程有解的充要条件是1+Y R2 2)1,.a VL因此，任意以点A(0,l)为圆心的圆与椭圆至多有3个公共点的充要条件为lv区,JL由于e=必三,得所求离心率的取值范围为0-1)2=r2,r()于是，丁 消去无可得(一1丘2 +2丁 +户一 _/=0(_掇/1)令/(Z)=(a2-1)?2+2Z+r2-1 -a2(-1 Z 0(l)/(-l)=(a2-l)-2 +r-a2-l 0(2)/(I)=(a2-l)+2+r2-a2-l 0(3)-K _ _2,T1(4)式 等 价 于/2且/2.a-I对于a?2，显然有a1+=a?-1 +21+1 +2=4,a a-1显然，存在正数r(大于2),使得对于“2 2有下式成立.r2 垃;即至多有3 个公共点的充要条件为1 0,求 实 数a的取值范围;(2)若 函 数/(x)=X?+以+1,当a w 0,2时 恒 有/(%)0，求 实 数x的取值范围;(3)已知函数/(x)=log“(ax2在1,2上恒正，求 实 数。的取值范围;若 关 于x的不等式x2 og“x 0恒成立，此 时a e R;当xe(0,2时，由 芦+6+1 0恒 成 立 得。-卜+口 (此处采用参变分离法).又-*)max,-2(当且仅当*=1 时 取 从 而a -2.由 于ae0,2 时 恒 有/(x)0,把。作 为 主 元，设g(a)=M+f+i=/(x),则当e0,2 时 恒 有g(a)0,因 此 卜 此 处 特 别 要 注 意g(a)是 一 次 函 数，当 0.a w0,2时其图像为一段线段.)叱 二:3，;-1,故彳的取值范围是“|;-1.当 a 1 时,/(x)=log”(加 一 x+；)在 1,g上恒正，等价于如2-8 +上 1在 12 2上恒成立=：+J =；t +l)22.1 2.一 一x|_33 3，当”=1时,右边最大值为5，.5当Ova v 1时，/(x)=log”(2 -x+g 在1，T 上恒正，等价于0 以2 -x+；1在上恒成立=ax 2x1 1.1 2 J 业 3,4 1(1,丫 18 一 ,1，当X=一 时 -F 1-的取小值为77；x|_ 3 2 2(x)2 9当x=l 时,己一 11+的最大值为)2 2 2 9a 1 Q综上所述,a 的取值范围是a 或2 2 9(4)构造函数/(尤)=1 -log,“x,x e(0,g，则/()1,则 x2-log,x x2-log,1 =x2 0，矛盾，/.0 m 1.由/(x)=f 一 iog,x的单调性知/(x)递增，故/(x)0 在 x e(0,力时恒成立o任由/(；)。，得 O g g 触 log,廿 log,；0 m 1,m4.,BP m 1 ,g|ltlsm 的取值范围是,11.2 16 116)【例 2】若函数y=log,(3必-4x+2 a)的定义域为R,求实数。的取值范围；若函数丁 =1082362+(2“+1口+1的定义域为区,求实数。的取值范围；(3)若函数y=log(公一女 2优)(0。1)的定义域为(0,+oc),求实数的取值范国;(4)若函数丁 =108卜2一%一2优)(0。1)在区间(0,+00)上有意义,求实数人的取值范围；若函数y=log“(3V-4x+24 的值域为R,求实数a 的取值范围；若函数y=log,3ax2+(2a+l)x+1 的值域为R,求实数a 的取值范围.【解题策略】这是一组复合函数已知定义域或值域反求参数范围的问题.第(1)(2)问在解答时可对比一下，参数位置的不同在解答时会有不一样的要求.第(3)(4)问给出的是同一函数,而第(3)问的定义域为(0,+8),第(4)问则是在区间(0,+oo)上有意义，两种提法究竟有什么差异?在解题时如何体现出这种差异?第(5)(6)问给出的都是复合函数，由于参数位置的不同，在解答时会有怎样的不同要求？第(1)(5)问所给函数相同,已知定义城为R 或值城为R，所求都是a 的取值范围，涉及相关知识上的差异，怎样才能不混题?第 问也需进行对比，在不断进行对照鉴别的解答中深刻理解这类问题的解法.【解】(1)由3/一 4%+2。0对 11恒成立,得A=16-24Q 0且a w 1.2n a 一且a wl.3(2)由题意可得3aY+(2 +l)x+l。对XE R 恒成立.若。=0,则 y=x+l 0 不恒成立；若。工0,则需解得与叵。白甚.A0 2 2(3)函数旷=108”(女 2一-24)()。1)的定义域为(0,+=0)是指当%2%一 2优 0时,X能取遍区间(0,+00)中的一切值.c k2-k k2-kV k2-k-2 ax 0 fl寸,ax，又；()a log”皆 上从而令log“tk2-k =0,得k匕2-上k=1,则攵=2 或上=1.(4)函数y=log(42 一 4 一 2a)(0 a 0对xe(0,+8)恒 成 立，即k1-k 2 ax对x e(0,+oo)恒 成 立.由 于0&0,，0 罐 0且。w 1.n a j o,2 .I 3_(6)若。=0,则 y =log2(%+l