不等式-2019年高考数学（文）之高频含解析.pdf

解 密12 不等式解解高考高考考点命题分析三年高考探源考查频率不等式的性质与一元二次不等式选择题、填空题中的考查以简单的线性规划与不等式的性质为主，重点求目标函数的最值，有时也与其他知识交汇考查.基本不等式求最值及应用在课标卷考试中是低频点，但基本不等式作为求最值的一种方法要牢记.不等式的解法多与集合、函数、解析几何、导数相交汇考杳.2016课标全国1 1 1 线性规划2018课标全国I 142018课标全国1 1 142018课标全国m i52017课标全国I 72017课标全国H 72016课标全国I 16 基本不等式2018天 津 132017山东12 舂 对 点解噂考点1不等式的性质与一元二次不等式题组一不等式的性质调 研 1若非零实数a,b,c 满足a 8 c,则下列一定成立的不等式是A.achcB.ah acc。-卜|6-卜|D 1!力，c不一定为正，则c Z?c不一定成立，故A错；B.同A,当a不一定为正时，a Z?a c不一定成立，故B错；C由。源=。一 心6-卜|,故C正确；,1 1,1 =一 =-1D.举反例：=1,/?=-1,c=-2,a b,故 D 错误，综上可知选C.【名师点睛】本题考查不等式性质，考查简单推理能力.根据不等式性质判断，注意乘以一个正数、负数、零对不等号的影响是不同的.调研2已知非零实数。，人满足。时 百小 则下列不等式一定成立的是A.c e b5 B.a2 b21 1 l og i|a|l og j 5|C.一 D.?a h【答案】A【解析】利用排除法：a=-L b =-2时,企与l og 1同b,a b O n；静.a O b O,O c j.0axh 或 6r x /?!-b 0,机 0,则，-(/?m 0)；p T ,T 0).a a-r-m a a-nv 7 b b-vm b bnv 7:穹 6 .*-.N 运”巨 J。*J 题组二一元二次不等式调 研 3已 知 函 数 I=+仪eR）的值域为+肛 若 关 于 的不等式/（x）c 的解集为（加,7 7 7 +6）,则实数C的值为.【答案】9【解析】因为“X）的值域为 0,+，所以/=0,即a1=4b,所以/+a r+土一c 0 恒成立,则a的取值范围是.【答案】1,19）【解析】当/+4 止5=0 时，有“=-5 或”=1.若。=-5,不等式可化为24x+3 0,不满足题意;若“=1,不等式可化为3 0,满足题意.当2+4a-5#0 时,不等式恒成立，需满足 016(a-l)2-12(o2+4 o-5)0（或 0）,如果。与办2+法+。同号，则其解集在两根之外；如果”与?+法+。异号，则其解集在两根之间.简言之：同号两根之外，异号两根之间.2.解简单的分式、指数、对数不等式的基本思想是利用相关知识转化为整式不等式（一般为一元二次不等式）求解.3.解含参数不等式要正确分类讨论.且 T/一.。：运 .第;旦 培.1考点2线性规划题组一线性目标函数的最值及范围问题调 研1A.-8若变量x,y满足约束条件x-v+l 0 x+y l，则z=-2x-y的最小值是B.7C.6【答案】BD.-4x y+10 x+y 0调 研2 已 知 不 等 式 组 x+y-3 0z =a x+6y(a 0)的最小值为-6,则实数。的值为3A.-B.621C.3 D.-2【答案】C【解析】作出不等式组对应的平面区域，如图中阴影部分所示，由z=o x+6y(a 0)得j =-岑+：,则6 6直线斜率一9 =1=a =3,故 选C.，Y 亳 ZW.拿，J:二算 a 运.瑞：”.q技巧点拨求解线性规划中含参数问题的基本方法有两种：一是把参数当成常数用，根据线性规划问题的求解方法求出最优解，代入目标函数确定最值，通过构造方程或不等式求解参数的值或取值范围；二是先分离含有参数的式子，通过观察确定含参的式子所满足的条件，确定最优解的位置，从而求出参数.尸嗯.。谷.富 一.噬 Y 1.。运.德。.4/题组二非线性目标函数的最值及范围问题x+y-70 x-3y+lx调研4设变量x、y满足约束条件 x +2yx【解析】作 出 约 束:条 件+所对应的可行域(如图4 3 C),x 2 2x=-2而Z =/+y 2表示可行域内的点到原点距离的平方，数形结合可得最大距离为。或Q A=2 0，所以Z=/+y2的最大值为g,故答案为8.s e .*=.:7穹 产 鬻 名.袁:富:技巧点拨常见的非线性目标函数的几何意义(1)收+y?表示点(x,y)与原点(0,0)的距离；木工一口十“一与一表示点y)与点勾的距离；(3)2表示点(x,y)与原点(0,0)连线的斜率：Xv h(4)-表示点(x,y)与点色，加连线的斜率.x-a题组三线性规划的实际应用调研5 某公司生产甲、乙两种桶装产品，已知生产甲产品1桶需耗4原料2千克，B原料3千克；生产乙产 品1桶需耗4原料2千克，B原 料1千克，每桶甲产品的利润是300元，每桶乙产品的利润是400元，公司在要求每天消耗4B原料都不超过12千克的条件下，生产产品甲、产品乙的利润之和的最大值为A.1800 元 B.2100 元C.2400 元 D.2700 元【答案】Cr2 x+2 y 1 2 3 x+y 1 2【解析】设分别生产甲、乙两种产品为桶，y桶，利润为z元，则根据题意可得目标函数为z =3 0 0 x+4 0 0 y ,作出不等式组表示的平面区域，如图所示,z=300 x-HUXh,作直线：3 0 0+4 0 0卜=,然后把直线向可行域平移，可得x =0,y =6时，z最大，最大值为z =2 4 0 0.故选C.V 4 xp:-03.(2 0 1 8年普通高校招生全国卷一(A)【衡水金卷】高三信息卷(四)数学试题)设 2 x ,q：X-(2 m +l x+m +m 0 若p是的必要不充分条件，则实数机的取值范围为A.-2,1 B.-3,1 C.12 U(M D -2s-l)U(0:l【答案】D 4 x【解析】设p：-0的解集为A,所以A=x|-2 S r V0或0 V烂2 ,2x设4：*-(2 w +l)x+w +加 0的 解 集 为&所 以8=m彷烂叫,由题知是4的必要不充分条件，即得8是A的真子集,w +1 0=-2工加-2m Q -=0 v z w K1 或 0)的 解 集 为 则 两+必+1 的最小值是XX2B,弓也3A迈3C.-y/6 D.-/33 3【答案】C【解析】由题意可知，x ix：是方程x：7 o v+6 W=0的两个根:则毛+毛=4 q再毛=6 a所以X 1+工+/一=4 a+g 2点:当且仅当a=粤时等号成立.西电 6a 3 1 2故 选c.【名师点睛】在用基本不等式求最值时，应具备三个条件：一正二定三相等.一正：关系式中，各项均为正数；二定：关系式中，含变量的各项的和或积必须有一个为定值；三相等：含变量的各项均相等，取得最值.5.（广东省汕头市达濠华侨中学、东厦中学2019届高三上学期第三次联考数学试题）若变量x,y 满足约束x+y 00条件 3 x+y-4 W 0,则3 x+2 y的最大值是A.0B.2C.5D.6【答案】Cx+y 00【解析】画出不等式组1 3 x+y-4 表示的平面区域，如图阴影部分所示.3 z 3 zi =x-y x 4 一令z=3 x+2 y,则 2 2,平移直线 2 2 ,结合图形可得，当直线经过可行域内的点A时，直线在y轴上的截距最大，此时z取得最大值.x-y=0z-由 3 x+y-4=0,得.二；，.点 A 的坐标为.z3 1 a l=3 xl+2 xl =5故选c.3 z 3 zy x4 -y x 4 一【名师点睛】画出不等式组表示的可行域，令z=3 x+2 y,则 2 2,平移直线 2 2到可行域，根据z的几何意义确定出最优解，然后可得z=3 x+2 y的最大值.（1）利用线性规划求目标函数最值的步骤作图：画出约束条件所确定的平面区域和目标函数所表示的平面直线系中的任意一条直线/；平移：将/平行移动，以确定最优解所对应的点的位置.有时需要进行目标函数/和可行域边界的斜率的大小比较；求值：解有关方程组求出最优解的坐标，再代入目标函数，求出目标函数的最值.（2）用线性规划解题时要注意z的几何意义，分清z与直线在y轴上的截距成正比例还是反比例.x-v +l 0:0;6.（天津市十二校2 0 1 8年高三二模联考数学试题）已知x,y满足不等式组则目标函数z=2 x-y+3的最小值为A.1B.2C.4D.5【答案】BX y+l 0:.x+y-l Os【解析】画 出 不 等 式 组-3 表示的可行域，如图，平移直线Z=2X-N+3,设可行域内一点（不）,由图可知，直线Z=2X-J+3经过 点时取到最小值，x-y+l=OV联立（x+y T =O,解得c（o,l）,.z的最小值为-1 +3 =2.故选B.【名师点睛】本题主要考查线性规划中利用可行域求目标函数的最值，属简单题.求目标函数最值的一般步骤是“一画、二移、三求”：（1）作出可行域（一定要注意是实线还是虚线）；（2）找到目标函数对应的最优解的对应点（在可行域内平移变形后的目标函数对应的直线，最先通过或最后通过的顶点就是最优解）；（3）将最优解坐标代入目标函数求出最值.7.（山东省济南外国语学校2 0 1 9届高三1 2月月考数学试题）正项等比数列 4中，存 在 两 项”使得且 =。5+2。4,则+4的最小值是m n3A.-B.22【答案】A【解析】设正项等比数列 q,的公比为4 .山牝=%+2。4可得4+解得g =2.由 曲 次=叼,可得2f “=16q二 得2+-2=i 6,解得m +=6.当且仅当n=4/27,即加=2,几=4时.，1一+4 取得最小值士3.m n m n 2故选A.【名师点睛】本题主要考查了等比数列的基本量运算及基本不等式求最值，利用基本不等式求最值时,要满足条件“一正，二定，三相等”，属于中档题.利用等比数列的基本量运算可得g，进而可得机+=6,1 4 1-F-=由加 n 6(W +w),展开利用基本不等式求最值即可.8.(吉 林 省 四 平 市2018届 高 三 质 量 检 测 数 学 试 题)若 乂y满足约束条件2x+2ylxy-2 x-1-1且向量。=(3:2)3=(x:j),则a的取值范围是A.-,44B.1,5D.r5C.枭【答案】D2x+2y 1y【解析】向量”(32)二仇 力 二a=3x+2j，设z =3x+2y,作出不等式组 2 X-JW1表示的平面区域如图,y=由 z =3%+2y,得3 z,=-rx+T f x=y f x =l /、时，直线 2 2的截距最大，此 时z最大，由1 ，解 得 ，即6（1,1）,此时2x-y=y=l v 7V=_3X+x=yz=3x l+2x l=5,经过点A时，直线2X 5的截距最小，此时z最小，由l2x+2）=l,1X-41,即心解得4z*=3x -F2X=一 r 5此时 j 4 4 4 ,则 z 乙Gil52 5电视台每周安排的甲、乙连续剧的总播放时长不多于6 00m i n ,广告的总播放时长不少于30m i n ,且甲连续剧播放的次数不多于乙连续剧播放次数的2倍，分别用x,y表示每周计划播出的甲、乙两套连续剧的次数，要使总收视人次最多，则电视台每周播出甲、乙两套连续剧的次数分别为A.6,3C.4,5【答案】AB.5,2D.2,770 x+60y30 x0【解析】依题意得J 2 0，目标函数为z=60 x+25匕画出可行域如下图所示，由图可知，目标函数在点M（6,3）处取得最大值.故选A.1 0.（四川省乐山市2019届高三第一次调查研究考试数学试题）已知实数x,y 满足x 0,y 0 且x+4,y+1 +1=10 J 则 的最大值为x y【答案】9x+4y+=10+=10-(x+4y)【解析】由 x y，得 yi i 上d in(x+4j)令 雪 上=加,则x+4y=1 0 f,则尤 y+=w(10-w)dy)Q 5+“+2 口=9 八 、0、x y x y，当且仅当下2y时等号成立，皿1 一 ”)29,二-1 0加+9 40,解得故，+工 的最大值为9.x y故答案为9.【名师点睛】本题主要考查了基本不等式在求解最值中的应用，考查了利用换元法解一元二次不等式,需要进行转化，有一定难度，需要掌握解题方法.根据题意可以令2+,=加，则得到x+4y=i 0一加，x y根据基本不等式求出(x+4y)的最值，即可得到关于机的不等式，计算即可求得答案.I I.(江 西省南康中学2019届高三上学期第五次月考数学试题)设 正 数 满 足x ；x+2j =3,则1 9-F-x 工+51的最小值为.Q【答案】-31 1，/1 9 -(x-y+x+5y)=l -(x-y+x+5y),-+=【解析】由x+2y =3得6 ，故6 x-y x+5yj_=_ x+5y _ 9(x _ y)6 3,当且仅当x-p x+5y即x =2,y =g时等号成立.【名师点睛】本小题主要考查利用基本不等式求最小值，考查化归与转化的数学思想方法，属于基础(X v+x+5y)=1题.将x+2y =3转化为6 ,用这个“1”去乘求最小值的式子，化简后利用基本不等式来求得最小值.x+y312.(四川省内江市2019届高三第一次模拟考试数学试题)设x,y满足约束条件 x-y N-l J z =3:步x 3x-y 2-l作出可行域如图,x32x+v=0化目标函数z2x+y为y=-2x+z,由图可知I,当直线y=-2x+z过A （1,2）时，直线在y轴上的截距最小，z最小，最小值为2x l+2=4.故答案为4.【名师点睛】本题考查了简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题.由约束条件作出可行域，数形结合得到最优解，求出最优解的坐标，代入目标函数得答案.1 3.（江西省南昌市第十中学2 0 1 9届高三上学期第二次月考数学试题）己知 A B C的三个内角A ,B,C所对的边分别为a,b,c,若（3+a si n5 si i U=lc-alsi nC,且6 =3,则 A B C面积的最大值为.解析由力=3,(3+G(sh R_si nJ)=(c _a)si nC,即S+a)(si n5-si M =(c-a|si nC ,利用正弦定理化简得(a+)()=c(c-a),整理得/-=c、a c,即a、c?-/=a c,所以_ a2+c2-b2 1COSJ5=-=，2-c2ac 2,即 5=6 0。，所以=即 a c 0 x+2 y+l 03 x+y-2 0 x+2 y+l 0【解析】不 等 式 组 对 应 的 平 面 区 域 是 以A(-l,0),8(l,-l),C(0,2)为顶点的三角形(如图)，因为y =j t(x+l)过定点A(-l,0),由题意直线y =4+l)过B C的中点所以斜 率Z=(.2x-y 01 5.(河北省武邑中学2 0 1 8届高三上学期期末考试数学试题)已 知 实 数 满 足,x+y 4 ,则的”1最小值为.【答案】|【解析】作出可行域如图中阴影部分(含边界)所示，z =表示可行域内的点(x,y)与点。(-2,0)连线的斜率，8(/3,1),%=方1-0=1，所以由图 知y上 的最小值为不1【名师点睛】在线性规划的非线性应用中，经常考虑待求式的几何意义，如本题的斜率，或者是两点间距离、点到直线的距离，这就要根据表达式的形式来确定.1 6.（衡水金卷2 0 1 8 年普通高等学校招生全国统 考试分科综合卷数学（二）模拟试题）已知满足X*y 0,y 0,.，.3x+y=(3x+y)(+)3 y 3x 3 2V J X 3,3x 3y，3x+y的最小值 为 吁2叵，当且仅当日 时=”成立.3 y 3x故答案为：土 心 叵.3【名师点睛】本题考查了平面向量的线性运算与共线定理的应用问题，也考查了基本不等式在求最值中的应用问题.由条件通过三角形的重心与三点共线推出-+-=1,然后根据基本不等式即可求出3y 3xx+y的最小值.禽真题再现1 .(2 0 1 6新课标全国I I文 科)已知集合佳=1,2,3 ,=%l x2 9 ,则A B=A.-2,-LQL2,3B.-2,-1,0,12C.1,2,3)D.1,2【答案】D【解析】由 f 9 得 3 x 3,所以 B=x-3 x 3 ,因为 A=1,2,3,所以 41 5=1,2,故选 D.x+3y ,贝 lj z=x+y的最大值为.y0,A.0B.1C.2D.3【答案】D【解析】如图，作出不等式组表示的可行域，则目标函数z=x+y 经过A（3,0）时 z 取得最大值，故z=3+0=3,故选 口.【名师点睛】本题主要考查线性规划问题，首先由不等式组作出相应的可行域，并明确可行域对应的是封闭区域还是开放区域、分界线是实线还是虚线，其次确定目标函数的几何意义，是求直线的截距、两点间距离的平方、直线的斜率、还是点到直线的距离等等，最后结合图形确定目标函数的最值取法或值域范围.3.（2016新课标全国I 文科）某高科技企业生产产品A 和产品B 需要甲、乙两种新型材料.生产一件产品A 需要甲材料1.5 k g,乙材料1 k g,用 5 个工时；生产一件产品B 需要甲材料0.5 k g,乙材料0.3 k g,用3 个工时，生产一件产品A 的利润为2100元，生产一件产品B 的利润为900元。该企业现有甲材料150kg,乙材料90 kg,则在不超过600个工时的条件下，生产产品A、产品B 的利润之和的最大值为 元.【答案】216000【解 析】设 生 产 产 品A、产 品B分 别 为x、y件，利 润 之 和 为z元，那么由题意得约束条 件r1.5x+0.5v150:x+0.3W90,-5x+3jW600：仑0：3X+NW3OO,10 x4-31900,5x+3yC600,GO：P20.目标函数z=21x+900y.约束条件等价于1例-作出二元一次不等式组表示的平面区域，即可行域，如图中阴影部分所示.7 Z 7 7 7将z=2100 x+900y变形，得），=一+金，作直线：y=-x并平移，当直线），=一x+嬴 经过 点,城时，z取得最大值.fl0 x+3v=900解方程组1 ,，得 川 的 坐标为（6Q100）.5x+3y=600所以当x=60,y=100时，zaai=2100 x60+900 x100=216000.故生产产品A、产 品B的利润之和的最大值为216000元.【名师点睛】线性规划也是高考中常考的知识点，一般以客观题的形式出现，基本题型是给出约束条件求日标函数的最值，常见的结合方式有：纵截距、斜率、两点间的距离、点到直线的距离,解决此类问题常利用数形结合.本题运算量较大,失分的一个主要原因是运算失误.X 2y 2 0【答案】6-2 y-2 0 0【解析】根据题中所给的约束条件1 ,画出其对应的可行域，如图所示:3 1x=-x+-z 3 7山z =3 x +2），可得 2 2 ,画出直线y =-/x,将其上下移动，结合万的几何意义，可知当直线过点B时，z取得最大值，x-2 y-2=0V由 卜=,解得8（2,0）,此时=3X2+0=6,故答案为.【名师点睛】该题考查的是有关线性规划的问题，在求解的过程中，首先需要正确画出约束条件对应的可行域，之后根据目标函数的形式，判 断z的几何意义，之后画出一条直线，上下平移，判断哪个点是最优解，从而联立方程组，求得最优解的坐标，代入求值，要明确目标函数的形式大体上有三种：斜率型、截距型、距离型，根据不同的形式，应用相应的方法求解.2 x+y +3 0,5.（2 0 1 8新课标III文科）若变量X，y满足约束条件 X-2 J+4N 0,则2 =工+；的最大值是.x-2 Q,0,r【解析】作出约束条件、-2 0,【解析】不等式组 x-2 j+32 0,表示的可行域是以,4(4)出 亿2)了(5,0)为顶点的三角形区域,x-5 0如卜图所示，目标函数2=彳+丁 的最大值必在顶点处取得，易知当x=5,y=4时，z1rax=9.【名师点睛】线性规划问题是高考中常考考点，主要以选择或填空的形式出现，基本题型为给出约束条件求目标函数的最值，主要结合方式有：截距型、斜率型、距离型等.