二次根式导学案(人教版全章).pdf

二次根式导学案(人教版全章)二次根式导学案二次根式(1)一、学习目标1、了解二次根式的概念，能判断一个式子是不是二次根式。2、掌握二次根式有意义的条件。3、掌握二次根式的基木性质：a 0(a 0)和(a)2 a (a 0)二、学习重点、难点重点：二次根式有意义的条件；二次根 式 的 性 质.难 点：综合运用性质a 0(a 0)和(a)2 a (a 0)三、学习过程(-)复习回顾：(1)已知x a,那么a是 x的_ _；x是 a的，记为一，a一定是数。(2)4 的算术平方根为2J a 3J3 a,4 x+5,用式子表示为；正数a的 算 术 平 方 根 为,0 的算术4平方根为；式子a 0(a 0)的 意 义 是。(二)自主学习(1)的平方根是；(2)一个物体从高处自由落下，落到地面的时间是t (单位：秒)与开始下落时的高度h(单位：米)满足关系式h 5 t。如果用含h 的式子表示t,则 t=；(3)圆的面积为S,则圆的半径是；(4)正方形的面积为b 3,则 边 长 为。思考：，224、由公式(a)2 a (a 0),我们可以得到公式a=(a)2,利用此公式可以把任意一个非负数写成一个数的平方的形式。如()=5；也可以把一个非负数写成一个数的平方形式，如 5=().练习：(1)把下列非负数写成一个数的平方的形式：6 0.3 5 (2)在实数范围内因式分解22x 2 7 4 a 2-l l(三)合作探究例：当 x是怎样的实数时，解：由 x 2 0,得x 2当 x 2 时，x 2 在实数范围内有意义。练习：1、x取何值时，下列各二次根式有意义？3 x 4 x 2 在实数范围内有意义？1 2 x2、(1有意义，则 a的值为.(2)若在实数范围内有意义，则 x为()OA.正 数 B.负 数 C.非 负 数 D.非正数3、(1)在式子 已 知 x 4+2s h,b 3 等式子的实际意义.说一说他们的共同特征.5定义：一般地我们把形如a (a 0)叫做二次根式，a叫做 1、试一试:判断下列各式，哪些是二次根式？哪些不是？为什么？2x1 x中，x的取值范围是.2x y=0,贝 ij x y .x 3 2,贝 lj y x=。3,4 a(a 0),x 2 13(3)已知y 3 x (四)达 标 测 试(一)填空题：22、当 a为正数时a指 a的，而 0 的算术平方根是，负 数，只有非负数a才有算术平方根。所以，在二次根式a中，字 母 a必须满足a才有意义。3、根据算术平方根意义计算：31、52、若 2x 1 y 0,那么 x=,y=o3、当 x=。4、在实数范围内因式分解：112(1)(4)(2)(3)(0.5)(4)()3)3222根据计算结果，你能得出结论：()2，其 中 a 0,(l)x 9 x ()=(x+)(y-)(2)x 3 x ()=(x+)(y-)2222223、计算：02 a 0 时,a 2(二)选择题：1、一个数的算术平方根是a,比这个数大3的 数 为()A、a 3 B、a 3 C、a 3D、a 23 2、二次根式a 1 中，字 母 a的取值范围是()A、a l D、a l 2、已知x 3 0 则 x的值为A、x -3 B、x -3 C、x=-3 D、x的值不能确定3、下列计算中，不 正 确 的 是()。A、3=()2 B、0.5=(.5)2 C、0.6 20.6 D、(5 7)2 3 5 二次根式(2)一、学习目标1、掌握二次根式的基本性质：a 2a 2、能利用上述性质对二次根式进行化简.二、学习重点、难点重点：二次根式的性质a 2a.难点：综合运用性质a 2a进行化简和计算。三、学习过程(-)复习引入:(1)什么是二次根式，它有哪些性质？(2)二次根式2x 5有意义，则x。(3)在实数范围内因式分解：x 26 x 2()2=(x+)(y-)(二)自主学习1、计算：VaF4 22 0 2观察其结果与根号内幕底数的关系，归纳得到：当a 0时,a 2 2、计算:，(-0.2-(4)2观察其结果与根号内累底数的关系，归纳得到：当a 0时,a 2(三)合 作 交 流1、归纳总结将上面做题过程中得到的结论综合起来，得到二次根式的又条非常重要的性质:a a 2 aa O 0 0a a 0 2、化简下列各式：(1)0.3 2 2)(0.5)2 (3)(6)2(4)2 a 2a 0)3、请大家思考、讨论二次根式的性质(a)2 a (a 0)与 a 2a有什么区别与联系。(四)巩 固 练 习 1、化简下列各式(1)4 x 2 (x 0)(2)x 42、化 简 下 列 各 式(1)(a 3)2(a 3)(2)2 x 3 2(x-2)注：利 用 a 2 a可将二次根式被开方数中的完全平方式“开方”出来，达到化简的目的，进行化简的关键是准确确定“a”的取值。(五)达标测试：A组1、填空：(1)、(2 x 1)2-(2 x 3)2(x 2)=.、(4)2(3)a、b、c为三角形的三条边，则(a b c)2b a c _.2、已知 2 V x 2 x D、x 2/245 X 2x/54x/12crb2a 3 1 2 a y 37(-4)x(-9)Q6、/2.v+6x-4|-|7-x|o二次根式的乘除法二次根式的乘法、学习目标8/xaba 2 0,b 2 0）yjabna O,b 2 0）,并利用它们进行计算和化简二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学习过程（一）复 习 引 入1.填空：（17 4 x 9二 _.(27 1 67 2 50 6 x 2 5x/1 6(3V T o o底JlO O x 3 6x/i o o(二)、探索新知3在（三）、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展判断下列各式是否正确，不正确的请予以改正:725（2（四）展示反馈展示学习成果后，请大家讨论：对 于 9X 27的运算中不必把它变成243后再进行计算,你有什么好办法？注：1、当二次根式前面有系数时，可类比单项式乘以单项式法则进行计算：即系数之积作为积的系数，被开方数之积为被开方数。2、化简二次根式达到的要求:A.45X25=8 B.5X42=205 C.43X32=75 D.53X42=206/,/1）被开方数进行因数或因式分解。试：A 组1、选择题（1）等式 X 1 X 1百x/479V25716x25/367100 x36x2 1成立的条件是（）A.x21 B.xT C.T W x W l D.(2)分解后把能开尽方的开出来。(五)达标测x e l 或 xW T(2)下列各等式成立的是().(3)二 次 根 式(2)26的计算结果是()A.2 B.-26 C.6 D.1 2 2、化简：(1)；(2)32x 43、计算：(1)；(2)3 27 5B 组1、选择题 若 a 2 b 24 b 4 c 2c140,贝 ij b 2 a =()A.4 B.2 C.-2 D.1(2)下列各式的计算中，不正确的是()A.(4)(6)4 6=(-2)X (-4)=8B.4 a 44 a 4 22(a 2)2 2a 2C.324 29 1 625 5D.2 1 22(1 3 1 2)(1 3 1 2)1 2 1 2 25 12、计算：(1)6 X (-26)；(2J&ibQ&ib3、不改变式子的值，把根号外的非负因式适当变形后移入根号内。(1)-323(2)2a l 2a二次根式的除法一、学习目标1、掌握二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。2、能熟练进行二次根式的除法运算及化简。二、学习重点、难点重点：掌握和应用二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质。难点：正确依据二次根式的除法法则和商的算术平方根的性质进行二次根式的化简。三、学 习 过 程(一)复习回顾1、写出二次根式的乘法法则和积的算术平方根的性质2、计算：(1)3X (-4 6)(2)a b 6 a b 33、填空：(1V16规律:叵而(3V164V16(4一般地，对】次根式的除法规定:F 面我们利用这个规定来计算和化简一些题目.（二）、巩 固 练 习 1、计算：（1(2(3164b?5(4I 9.ry 64y22、化简:（1 （2（3（4注：1、当二次根式前面有系数时，类比单项式除以单项式法则进行计算：即系数之商作为商的系数，4被开方数之商为被开方数。2、化简二次根式达到的要求：（1）被开方数不含分母;（2）分母中不含有二次根式。（三）拓展延伸阅读下列运算过程：耳昌6忑2百召x 62/数学上将这种把分母的根号去掉的过程称作“分母有理化”。利用上述方法化简：（1）京3723二（四）达标测试：A组1、选择题（1).A.2小7.27 C0 x/2(2的结果是（）A.x/2了x/62、计算：(1)2x34 8(2)2x(3)1 41 1 6B 组用两种方法计算：（1764前（2）64V io2/(4叵V 64 V2最简二次根式一、学习目标1、理解最简二次根式的概念。2、把二次根式化成最简二次根式.3、熟练进行二次根式的乘除混合运算。二、学习重点、难点重点：最简二次根式的运用。难点：会判断二次根式是否是最简二次根式和二次根式的乘除混合运算。三、学习过程（一）复习回顾1、化 简（1）96 x 4=（2V27(3=(4V2旧=(52、结合上题的计算结果，回顾前两节中利用积、商的算术平方根的性质化简二次根式达到的要求是什么？()自主学习观察上面计算题1的最后结果，可以发现这些式子中的二次根式有如下两个特点：1.被开方数不含分母；2.被开方数中不含能开得尽方的因数或因式.我们把满足上述两个条件的二次根式，叫做最简二次根式.2、化简：如丁20(三)合 作 交 流 1、计算：23 21 23 52、比较下列数的大小 2.8 与 234(2)7 6 与 6 7 5注：1、化简二次根式的方法有多种，比较常见的是运用积、商的算术平方根的性质和分母有理化。2、判断是否为最简二次根式的两条标准：(1)被开方数不含分母；(2)被开方数中所有因数或因式的事的指数都小于2.(四)拓展延伸观察下列各式，通过分母有理化，把不是最简二次根式的化成最简二次根式：1 1 (2 1)2 1 (2 1)(2 1)2 12 12 1,1 (2)21(3 2)(3 2)2323 2,同理可得：1 2 3二 2 3,9M9从计算结果中找出规律，并利用这一规律计算(1 1 2 11 2,十20 0 9 20 0 8)(20 0 9 1)的值.(五)达标测试：1、选择题(1(y 0)是二次根式，化为最简二次根式是().A齐(y 0)By 0)Cy 0)D.以上都不对(2)化简二次根式aa 2a2的结果是 A、a 2 B、-a 2 C、a 2 D、-a 2 2、填空:(1yjx4+x2y2.(x 20)(2)己知 x 1 5 2,贝 1的值等于.3、计算：(1)37 14 2(2)331 2(1 84 47)1 45121、计算：2b a b 5 (32a 3b)3b(a 0,b 0)2、若 x、y为实数，且jx 4+,4-+1x y X y的值。二次根式的加减学案(1)学习内容：同类二次根式二次根式的加减学习目标：1、理解同类二次根式，并能判定哪些是同类二次根式2、理解和掌握二次根式加减的方法.3、先提出问题，分析问题，在分析问题中，渗透对二次根式进行加减的方法的理解.再总结经验，用它来指导根式的计算和化简.学习重点、难点1、重点：二次根式化简为最简根式.2、难点：会判定是否是最简二次根式.学习过程一、自 主 学 习()、复 习 引 入 计 算.(1)2 x 3 x；(2)2 x 23 x 25 x 2；(3)x 2 x 3 y；(4)3 a 22 a 2a2 6(二)、探索新知学生活动：计算下列各式.(1)戊石(2)(3百耳7977(4)由此可见，二次根式的被开方数相同也是可以合并的，如x/2囱但它们可以合并吗？也 可 以.（与整数中同类项的意义相类似我们把与23,3a、2a与4a这四、课堂检测（一）、选择题1后A).V27A.和 B.和 C.和 D.和2.下列各式：1不772x/6/24样的几个二次根式，称为同类二次根式）瓜2y/2-0/273/3/所以，二次根式加减时，可以先将二次根式化成最简二次根式，再将同类二次根式进行 合 并.例 1.计 算（1瓜晒(2116xJ64x例 2.计 算(1)5/48-9V12(2)5/48x/20+V12亚归纳：第一步，将不是最简二次根式的项化为最简二次根式;第二步，将相同的最简二次根式进行合并.二、巩固练习(1)(1 3 12 7)(2)(4 8 2 0)(5)xl x 4 y x l 2 yy(4)2 3 x x (x 2l x 6 x x 4)三、学生小组交流解疑，教师点拨、拓展 例 3.已知4 x 2+y 2-4 x-6 y+1 0=0，求(2+y3-(x)的值.的 有().A.3 个 B.2个 C.1 个 D.0个 3.在下列各组根式中，是同类二次根式的是()(A)和(B)和1 3(C)a 2 b 和 a b 2 (D)a 1 和 a 14 .下列各式的计算中，成立的是()(A)2 2 5 (B)4 3 5x y(D)4 5 2 0 55 .若 a1 2 1,b1 2 1则 a b (a b b a)的值为()(A)2 (B)-2(0 2(D)2 2二、填 空 题 11 (0 x 2 y 2VT25Vo7iy/3a有_.2 .计算二次根式n3 .若最简二次根式3 2 x 1 与 3 x 1 是同类二次根式，则 x=_ _ .4.根 式 a b与 a 2 b 是同类二次根式，则 a=_ ,b =_5 .计算：(1)1 2 7 a 3 3 a a l l 3 a 2 a 3 a 3 4 a (2)3 2 8 2 37 5 0.5 7三、综合提高题先化简，再 求 值.(6 x y x 3 y x y 3)(4 x xyx y),其中 x=3 2,y=2 7.二次根式的混合运算一、学习目标熟练应用二次根式的加减乘除法法则及乘法公式进行二次根式的混合运算。重点、难点若最简二次二、学习重点：熟练进行二次根式的混合运算。难点：混合运算的顺序、乘法公式的综合运用。三、学习过程(一)复习回顾：1、填空(1)整式混合运算的顺序是：。(2)二次根式的乘除法法则是：o (3)二次根式的加减法法则是：。(4)写出已经学过的乘法公式：2、计算：6 a 11 1 1 3 b (2)41 6(3)2 2 1 5(二)合 作 交 流1、探究计算：(1)(3)X(2)(4 2 3)2 22、探究计算：(1)(2 3 2 5)(2)(2 3 2)2(三)展示反馈计算：(1)(1 3 2 7 2 4 3 23)(2)(2 3 2 3)(3)(3 2 2)2 (4)而(V T o耳注：整式的运算法则和乘法公式中的字母意义非常广泛，可以是单项式、多项式，也可以代表二次根式，所以整式的运算法则和乘法公式适用于二次根式的运算。(四)拓展延伸同学们，我们以前学过完全平方公式(a b)2 a 2 2 a b b 2,你一定熟练掌握了吧!现在，我们又学习了二次根式，那么所有的正数(包括0)都可以看作是一个数的平方，如3=(3)2,5=(5)2,下面我们观察：/272点V2212222)/3V2虎点反之，3 2 1 1)2叵3 1)2 3 2 2=2-1 仿上例，求：(1)；4 2 3(2)你会算4 吗？8(3)若 a 2 b m n,则 m、n与 a、b的关系是什么？并说明理由.(六)达标测试：A组1、计算：(1)(80 90)5 (2)2 4 3 6 2 3(3)(a 3b 3a b a b 3)(a b)(a 0,b 0)(4瓜叵76)-2、已知a1 2 2 11 b1 2 1，求 a b 21 0的值。B组1、计算：（1）（2 1 2 1）（2M：Vio：）（32 0 0 9（32 0 0 9 二次根式复习一、学习目标1、了解二次根式的定义，掌握二次根式有意义的条件和性质。2、熟练进行二次根式的乘除法运算。3、理解同类二次根式的定义，熟练进行二次根式的加减法运算。4、了解最简二次根式的定义，能运用相关性质进行化简二次根式。二、学习重点、难点重点：二次根式的计算和化简。难点：二次根式的混合运算，正确依据相关性质化简二次根式。三、复习过程（一）自主复习1.若a 0,a的平方根可表示为一a的 算 术 平 方 根 可 表 示 2.当a有意义，当a3。+5没有意义。34.4 8 5.2 7 2 0（二）合作交流，展示反馈1、式子x 4x 4 x 5x 5成立的条件是什么？2、计算：（1）25 23.V24x/75V2(2(三)精讲点拨在二次根式的计算、化简及求值等问题中，常运用以下几个式子:(1)2 a (a 0)与 a 2 (a 0)a a 0 (2)a 2a 0 a 0a a 0 (3fabiyfaba 0,b 0)a 0,b 0)(4而忑a 0,b 0)a 0,b 0)(5)(a b)2a 22 a b b 2与(a b)(a b)a 2b 2(四)达标测试：A组1、选择题：9(1)化简5 2的结果是()B组1、选择：（1）aA 5 B -5 C 5 D 2 5 (2)代数式1 5x 4 x 2,b中，x的取值范围是（），则（）5A a,b 互为相反数B a,b 互为倒数C a b 5 D a=b A x 4 B x 2 C x 4且 x 2D x 4且 x 2 （3）下列各运算，正 确 的 是（）A、2 35 65 B、9 12 5932 5 5 C、5 1 2 55 1 2 5 D、x 2 y 2 x 2 y 2 x y（4y 0）是二次根式，化为最简二次根式是（）Ay0)B、y 0)Cy 0）D、以 上 都 不 对（5）化简32 2 7的结果是（忑gA 3B C3D 2、计算.(1)2 72)(4)3)2、已知 a3 2 2 2,b2求 l a 1b的值(2)在下列各式中，化简正确的是()A、5 1 3 3 B、12 2)把匕 中根号外的(a 1)移人根号内得(A BCD2、计算：(1)2 6 3 6(2)I 0.9x121V 0.36x1002(72360)2(23、归纳与猜想：观察下列各式及其验证过程:(1)按上述两个等式及其验证过程的基本思路，猜 想 4415的变化结果并进行验证.(2)针对上述各式反映的规律，写出n(n 为任意自然数，且 n 2 2)表示的等式并进行验证.10 x3 x2 xx 1j-ay/(l 1Jl-a(3)3