【三模】高考数学考试卷附答案解析.pdf

高考模拟测试数学试题时 间：1 2 0 分钟 满 分：1 50 分一、选择题（本大题共12小题，每小题5 分，共 60分）在每小题给出的四个选项A.中，只有一个是符合题目要求的.1 .设集合 4 =1,1,2,3,3 =卜|/一 1 4 0 ,则 4 08=（）A.-1,2 B.-1,3 C.-1,1 D.1,3 2 .若复数z 满足z（l-2 i）=3 7（，为虚数单位），则复数z 的共辗复数为（）1-/-l-i D.-1 +Z3.一,则 c o s f 2 c z-兀-79)3A.2B.3C.4.如图所示的程序框图给出了利用秦九韶（我国南宋时期的数学家，四川人）算法的一个实例，若输入 ，x 的值分别为3,4,则输出v 的 值 为（）A.2 5 B.1 0（）C.40 0 D.65.已知变量x,y 之间的线性回归方程为y =-0.7x+1 0.3,且变量无，y 之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）X681 01 2y6m32A.变量x,y 之间呈负相关关系 B.可以预测，当x=3 0 时，y =-1 0.7C.m=4 D.该回归直线必过点（9,4）716.在 AABC中，角 A,B,C 的对边分别为 a,6,c,若 a =b c o s C 且 c =6,A=一，则 AAGC3的面积为（）A.36/3 B.27 C.2073 D.18G7.过 点 P（2,2）的直线4 与圆（x i y +y 2=i相切，则直线4 的方程为（）A.3 x-4y +2 =0 B.4 x 3 y 2 =0C.3%-4+2 =0 或 x=2 D.4 x-3 y-2 =0或 1=28.直 线 y =+2与曲线=%3+2 依+/,相切于点A（l,5）,则a+Z?的值等于（）A 0 B.-2 C.1 D.49.函数y =/r（a 0,a H l）的图象恒过定点A,若点A 在双曲线2 2三 七=（2 0,0）上，则巾-的最大值为（）m nA.6 B.4 C.2 D.11 0.已知函数/（x）=2 si n（3“A 0,c y 0,|同0,若存在正实数x,使得不等式1。8 2%-h2.20成立，则上的最大值为（）二.填空题（本大题共4 小题，每小题5 分，共 20分）将答案填在答题卡相应的横线上.x+2 y 5 4 01 3 .设变量x,y 满足约束条件 x y +l N O ,则2x+y的 最 小 值 为.”11 4.已 知 向 量 福=（1,3）,A C =（2,/）,|BC|=1,则 向 量 而 与 方 的 余 弦 值 为1 5.抛 物 线 焦 点 为 凡 P为抛物线线上的动点，定点A（3,2）,则+的最小值为.1 6 .在棱长为1 的正方体A B C。A gGQ中，点 P在线段A 上运动，给出以下命题：异面直线GP与 耳。所成的角不为定值；平面4。尸J 平面D B G ；三棱锥。一 B PG的体积为定值；与。与平面BPC1垂直.其 中 真 命 题 的 序 号 为.三、解答题（本大题共6 小题，共 70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7 .己知等比数列 4 的公比为q（#l）,前 项和为S“，$3=1 4,且3%是 2%与44的等差中项.求%的通项公式；设 2=0%晨-），也，的前项和为小证明：片?1 8 .成雅高速铁路（又称成雅高铁）是川藏铁路的重要组成部分，于 2 0 1 8 年 1 2 月顺利通车，它的开通改变了成都到雅安没有直达铁路的历史，在出行人群中越来越受欢迎现交通部门利用大数据随机抽取了出行人群中的1 0 0 名旅客进行调查统计，得知在4 0 岁及以下的旅客中采用乘坐成雅高铁出行的占(1)请完成2 x 2 列联表，并由列联表中所得数据判断有多大把握认为“采用乘坐成雅高铁出行与年龄有关”？(2)为提升服务质量，铁路部门从这1 0 0 名旅客按年龄采用分层抽样的方法选取5 人免费到雅安参加座谈会，再从选出的5 人中抽两人作为主题发言人，求抽到的2个人中恰有一人为4 0 岁以上的概率.4 0 岁及以下4 0 岁以上合计乘成雅高铁1 0不乘成雅高铁合计6 01 0 0参考公式：K2=n(ad-bc)-(a+b)(c+d)(a +c)(b+d),n-a+b+c+d,参考数据如表:PK2K0 1 0 0 0 0 5 0 0 0 1 00.0 0 1k2.7 0 6 3.8 4 16.6 3 51 0.8 2 81 9.如图，在等腰梯形A 3C D中，4 3/。/分 别 为 4民 8的中点C D =2 A B =2 E F =4,M为 D F中点,现将四边形B E F C沿E F折起，使平面B E F C1平面A EF D，得到如图所示的多面体，在图中.(1)证明：E F 1 M C；(2)求三棱锥M -A B D的体积.2 0 .已知椭圆C：5 +，=l(a 0 0)的 离 心 率 为 乎，且过点尸(0,1).(1)求椭圆C的标准方程；过定点M(l,0)的直线I与椭圆C相交于A、3两点，已知点N(4，T),设直线A N、B N的斜率分别为用、k2,求证：kt+k2=.2 1 .已知函数/(x)=l nx,g(x)=or-l(a e H).(1)若方程/(x)g(x)=0存在两个不等的实根玉，/，求”的取值范围；(2)满足(1)问的条件下，证 明:J q x2 l.2 2 .在直角坐标系X。)，中，以。为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系.若直线/的极坐标方程为加c os(。(1 2 =0,曲线C的极坐标方程为：p si n2 e =c os。，将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到曲线G.(1)求直线/和曲线G的直角坐标方程；已知直线/与曲线G交于4 8两点，点产(2,0),求|PA|+|P却 的值.2 3.已知/(x)=|办-l|(a e R),g(x)=l-M(1)当a =l时，解关于x的不等式/(x)Wg(x)；若的解集为R,求a的取值范围.答案与解析一、选择题（本大题共12小题，每小题5分，共60分）在每小题给出的四个选项中，只有一个是符合题目要求的.1.设集合4 =1,1,2,3,8 =X|X21 W 0 ,则4n 8=()A.-1,2 B.-1,3 C.-1,1 D.1,3【答案】C【解析】【分析】通过解不等式得集合B,再进行交集运算即可.【详解】因为A =1,1,2,3 ,5 =2-1 0）=%|-1%0 继续执行程序；V=ET+Z=1X4+2=6,i=21 =1 0 继续执行程序；=+7 =6 x 4+1=25,Z =l-l =0 0.继续执行程序；v =vx+i=25 x 4+0=100,i=0 1 =1 0,程序结束，输出 u =100.故选：B.5.已知变量x,y之间的线性回归方程为y=-0.7 x+10.3,且变量X，y之间的一组相关数据如下表所示，则下列说法错误的是（）X681012y6m32A.变量X,y之间呈负相关关系B.可以预测，当x =30时，y=-10.7c.m=4 D.该回归直线必过点（9,4）【答案】C【解析】【分析】根据x,y之间的线性回归方程，结合表中数据，判断选项中的命题是否正确即可.【详解】对于A,变量X,y之间的线性回归方程为y=-4）.7 x+10.3，而-0.7 =3+2狈+/）相切于点A（l,5）,5 =Z +23+2。=k =14-2cl+=5a-0。=4,a+/?=4.k=3故选：D.9.函数丁 =/7（。0,。1）的图象恒过定点儿若点A在双曲线2 2土 _乙=1（加 0,0）上，则m-”的最大值为（）m nA.6 B.4 C.2 D.1【答案】B【解析】【分析】根据指数的运算性质，结合基本不等式进行求解即可.【详解】设y =/O）=a 3 r,因为y =/（3）=l,所以点4的坐标为（3,1）,r2 y2 9 1又因为点A在双曲线L 匕=1上，所以-二1,m n m n因此加 一 =1 （加 ）=（2 ）（in-H）=10-=10 -（4-）0,0 0,网/3 _ _ _ 2 _ 4后O、E =。2后=1C E =-,OA=OC=C E =，即有四边形OOE O?是正方形，则。1 0=。石=竿，放。0 9中，N OQ1 A=90,则 0 4 =J o q 2+q A 2 =，呼）2+（华）2=亭,所求外接球的表面积S=44 QM=4万（3叵）2=.3 3故选：B【点睛】关键点睛：求多面体外接球的表面积或体积的关键是确定其外接球球心位置，进而求得半径.1 2.设攵0,若存在正实数x,使得不等式1。82 一人2米2 0成立，则人的最大值为（）【答案】A【解析】【分析】由题意可得1%，。）-（2*厂，可令2*=a，则1 0 gli工.屋成立，由 y =优 和y =k）g X互为反函数，可得图象关于直线y =x对称，可得x =lo g,x有解，通过取对数和构造函数法，求得导数，单调性和最值，即可得到的最大值.【详解】不等式1。8 2 X-人2吗.0,即为，皿.2 ,K即有 lo g y（X）.（2*），可令2人=a,则lo g 0 x.a”成立,由y =优 和y =lo g.X互为反函数，可得图象关于直线y =X对称，可得X =ax=lo g.X有解，lu x则 I nx =xlna，即 I n。=,xr 砥 I nx 曰2二,1-lnx可得y ，导数为y =2 ，X X可得x e时，函数y递减，（）%e时，函数y递增，则x =e时，y 取得最大值一，x e可得即有I n%e可 得 鼠 四，e即女的最大值为3位.e故选：A.二、填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）将答案填在答题卡相应的横线上.x+2 y-5 01 3.设变量x,y满足约束条件 x y +1 2 0 ，则2 x+y的最小值为”1【答案】1【解析】【分析】由约束条件作出可行域，当直线z =2 x +y过点A（O,1）时，相应坐标值代入2 x+y求得最小值.x+2 y-5 0【详解】由约束条件 尤-y +1 20作出可行域如图：”1X V 4-1 =0联立 -，解得A（0）.令z =2 x+y,由图可知，当直线z =2 x +y过点A（0,l）口=1时，z有最小值为1,即2 x+y的最小值为1,故答案为：1.【点睛】本题考查线性规划，根据约束条件求最值，属于基础题.1 4 .已 知 向 量 通=（1,3）,A C =（2,t）,|BC|=1,则 向 量 而 与 起 的 余 弦值为【答案】叵1 0【解析】【分析】计 算 就 的 坐 标，由模求得参数r,由数量积的运算求得向量夹角的余弦值.【详解】由 已 知 得 配=/一而=（1/一3）,所以|比|=1 +（/_ 3）2 =1,解得f=3,B C =（l,0）,COSAB,BC-A-B-B-C-,1|AB|BC|VioxiVwlo-故答案为：巫.1 01 5 .抛物线V=8x焦点为F,P为抛物线线上的动点，定点A(3,2),则|P 4|+|P E|的最小值为.【答案】5【解析】【分 析】过P作 准 线/的 垂 线PM，垂 足 为 根 据 抛 物 线 的 定 义 有|P F|+|P A|=|P M|+|ft 4|,这样可得M,P,A三点共线时尸A|取得最小值，由此即得结论.【详解】准线为x =-2,过尸作准线/的垂线PM，垂足为 ，则归始=|产耳，所以|尸产|+|%|=归|+|力，易知当三点共线时归M+|M取得最小值为3-(-2)=5,故答案为：5.1 6 .在棱长为1的正方体A B C O Ag GR中，点P在线段AR上运动，给出以下命题:异面直线GP与8。所成的角不为定值；平面4cp，平面DB G；三棱锥。-6PG的体积为定值；B C与平面BPC1垂直.其 中 真 命 题 的 序 号 为.【答案】【解析】【分析】由4。，8 G，A B 1 B.C,推出4C_L平面A 8 G 2,知 耳。，。丁；由 A41 1 B D ,A C L B D,推出 BO_L 平面 4 A C,知 B O _LA C，同理可得 BQ A AC,进而证得4 C J 平面DBG,得解；由A D J g,知A D J I平面DB。，有 V=VfBj=匕“g 为定值；根据中的证明，即可得解.【详解】解：Q g C L B C，A B B,C,且 8 6。钻=8,B G、A B I平面ABC。，BC _L 平面,.加匚平面4 56 2，4。，&2，即错误；4BA4,A C A.B D,且 A41n A e=A,A%、A C u 平面 A&C,.3。_ 1 平面4 4。，.8。，4。，同理可得，B C J A C，v BDpBCt=B,B D、B&U 平面 DBC1,4 c _L 平面 DBC,.A|C u平面4C P,.平面 ACP_L平面OB。，即正确；：ADUBC,AD,平面 DBC,B C U 平面 D B C1,AD,/平面DBG,即点尸到平面DBC1 的距离等于点A 到平面DBC1 的距离,.三棱锥。-B P G 的体积丫 =匕”g=匕为定值，即正确；由知，B|C_L平面A B C Q i，而平面BPC与平面A B C R是同一个平面，B。与平面8P G 垂直，即正确.故答案为：.三、解答题（本大题共6 小题，共 70分）解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.1 7.已知等比数列 4 的公比为以 4。1），前项和为S.,S3=1 4,且3%是2%与仞 的等差中项.（1）求%的通项公式；设“瓯品砧J也 的前“项 和 为 小 证 明：Z技【答案】4 =2：（2）证明见解析.【解析】【分析】（1）根据等差中项性质，结合等比数列的通项公式进行求解即可；（2）根据对数的运算性质，结合裂项相消法进行证明即可.【详解】解：（1）；3%是2%与仞 的等差中项6c4=2a3 +4qg?3g+2=0q=2 或 q=l（舍去）/S3=14.*.-J-（1-23）=14 q =2 a=2,1 1 1 1（2）由（1）得“一 bg?2用.log2 2.2 一 （+）（M+2）-+27；（=（f2i _n+fi_n+fi_n+.+p _3）（3 4）（3 4）+l n+2）2 n+2T K)0.10 0 0.0 50 0.0 10 0.0 0 1k2.70 63.84 16.63 510.82 83【答案】列联表见解析，有9 9.9%的把握；一.5【解析】【分析】(1)根据频率及表格中已有的数据，完成表格，然后计算出K?，即可得到结果;(2)首先根据分层抽样得到每个年龄段抽样的人数，再根据古典概型可得所求概率.【详解】解：由已知可得，4 0 岁及以下采用乘坐成雅高铁出行的有60、：=4 0 人，2 x 2 列联表如表：由列联表中的数据计算可得V 的观测值为小吧熟蕊誓匚16.667,4 0 岁及以下4 0 岁以上合计乘成雅高铁4 01050不乘成雅高铁2 03 050合计604 010 0由于 16.667 10.82 8,故有9 9.9%的把握认为“采用乘坐成雅高铁出行与年龄有关”；(2)采用分层抽样的方法，则从“4 0岁及以下 的人中抽取3人，分别记为1,2,3,从“4 0岁以上”的人中抽取2人，分别记为a,b,则基本事件为(1,2),(1,3),(1,a),(1,b),(2,3),(2,a),(2,b),(3,a),(3,b),(a,b)共 10 个，符合条件的共6种，故抽到2人中恰有一人为4 0岁以上的概率为5.19.如图，在等腰梯形A B C D中，A B/C。区E分 别 为 的 中 点C D =2 A B =2 E F=4,M为。尸中点，现将四边形B E F C沿E F折起，使平面B E F C1平面A E F D，得到如图所示的多面体，在图中.(1)证明：E F L M C；(2)求三棱锥M-A B D的体积.【答案】(I)见解析(H)g【解析】【分析】(I )由已知可得E F L C D,折叠后，EFVDF,E F L C F,利用线面垂直的判定得EF _ L平面。C F,从而得到EF _ L M C；(I I)由已知可得，A E=B E=1,D F=C F=2,又。M=l,得至I J M F=1=A E,然后证明A M J _。凡 进一步得到B E,平面4 EF D,再由等积法求三棱锥M -A B D的体积.【详解】(I)由题意，可知在等腰梯形A B C O中，A B/C D,:E,尸分别为A8，CD的中点，E F A B，E F A.C D.折叠后，E F A.D F，E F A.C F.尸cCF=产，E尸，平面0b.又MCu平面OCF,二(I I)易知M=B=1，D F =C F =2.；D M =1，：.M F =1=AE.又 A E/M E,.四边形AE E W为平行四边形.：.A M /E F,故 AM，。/7.平面 B EF C _ L 平面 AE E D，平面 B E F C c 平面 A E F D =E E，且 B E=E F，BE,平面 A E E D.Xw-AB/J=/i-AMD=X SM M IX B E1 1 ,3 ,1=x x l x 2 x l =.3 2 3即三棱锥M -A B D的体积为3【点睛】本题考查空间中直线与直线、直线与平面间的位置关系，考查空间想象能力与思维能力，训练了利用等积法求多面体的体积，是中档题.2 0.已知椭圆C:=+#=1(4 6 0)的 离 心 率 为 手，且过点P(0,D.(1)求椭圆C的标准方程；(2)过定点M(1,0)的直线I与椭圆C相交于A、8 两点，已知点N(4,|),设直线A N、B N的斜率分别为占、k2,求证：4+&=1.2【答案】(1)三+丁=14 -(2)证明见解析【解析】【分析】(1)由离心率、过点尸，且/=+/,解得a,h,可得椭圆C的方程；若 A3的斜率不存在，由A、8 两点坐标可得勺+&,若 AB的斜率存在，设 AB的方程与椭圆方程联立，利用韦达定理可得+质-【小 问 1 详解】因为椭圆离心率为且，且过点尸(0,1),2f c 6e=a 2所以（b =l ,解得。=2,b=l,a2=b2c2所以椭圆C的方程为工+y2 =i.4【小问2详解】证明：若A3的斜率不存在，则此时3_立 1 B2-T ,2+T r若A8的斜率存在，设&司，y),8(，y2),设AB的方程为y=M x T),y=k(x-),x2一+1 42,得（1 +4 2 2）3 2-8/+4左2-4 =0,由韦达定理得%+%1 +4公4k2-41 +4公3则k=J，1 X 43 2 一7所以玉一4 x2-4 XyX2-4（X+X2）+1 6yi y2-i 2kxix-A-L=-&+I,（%1 +/）+4（2 火+3）3 6 公+1 23 6 +1 2综上用+&=1.2 1.已知函数,f(x)=l n x,g(x)=d x-l(a w R).(1)若方程f(x)-g(x)=O存在两个不等的实根西，x2,求。的取值范围;(2)满足(1)间的条件下，证明：x,-x2 l.【答案】(1)0。1；(2)证明见解析.【解析】【分析】(1)将 l n x =a c l,转化为。=巴 吧(10),即 函 数 T(x)=电 与 直 线 yX X=a在(0,+8)上有两个不同交点求解；另解：令Z z(x)=/(x)-g(x)=l n x-奴+l(x 。),求导/(x)=4 a,分a0讨论求解；XInx,-lnx)(2)根据X 1，1 2 是历X x+l=0 的两个根，得到。=将证X 1 X 2 1,即打X 1+/2x-x2lnxx-buc,2及。，转化为证;丁存，进而转化为防工2(%一%)一、%2 )令/=X?x+x2五+1X2-LG(0,1),转 化 为 证 明 防 X22()(，+1).【详解】(1)由题意，l n x =c1,可得。=巴 吧(x 0),转化为函数?U)=+1”*与直线),=”在(0,+口)上有两个不同交点,x7(x)=一(x 0),x故当x w(o,i)0-t,r(x)o；当XW(L+8)时，r(x)o,故 7 U)在(0,1)上单调递增，在(1,+8)上单调递减，所以 T(X)“K“=T(1)=1.又故当”e(o,g)时，T(x)0.可得 a C(0,1).另解：令(x)=/(x)_ g(x)=l n x _ a r +l(x 0),贝 l j：hx)=-a,当.4 0 时，(月 0 恒成立，.(力在(0,+0 0)单调递增,不满足题意；当a 0时，丁 =(力在(0,+0 0)单调递减，0,|,/z (x)0,X 6 I,+o cd,AZ(X)V 0,h令(x)=0,则 x =,，当x ea，1,即0 6Z=,xr要证 hxX2)1,即证 In xi+In X 20,即证(的-1)+(ar21)0,2 Inx,一 Inx.2即 只 需 证 明-成立，即证一!-.%+1 2 X+X2不妨设 0 X l T2,故加上 =c o s 9,即2 2 s i n 2 e =p c o s e,化为直角坐标方程：/=%,将曲线C上所有点的横坐标缩短为原来的一半，纵坐标不变，得到曲线G：9=2无；(2)设点A对应的参数为4,点5对应的参数为L，由(1)知，直线/的直角坐标方程：x+y-2 =0,进而可得其参数方程为：x=2r-7-212/（f为参数）,V 2y-代入曲线G的普通方程可得：r+2 8 =0,解得?|+?2 2 /2 ,（2-8 ,.|刚+|即=上一/2|=+，2）2 -4宿【点睛】方法点睛：直线参数方程的几何意义的应用:X=X（.+Z CO S 6 Z.为参数）,y =%+f s i n a1.经过点尸(%,%),倾斜角为a的直线/的参数方程为若A,8为直线/上两点，其对应的参数分别为4，t2,线段A B的中点为M,点M所对应的参数为f o,则以下结论在解题中经常用到:“长|叫=/。|=半 AB=t2 h 闸 阀=卜 匐：I P A|+I P1 L%|=|+-2-4 能 用 2 0(注：记住常见 形式，P是定点，A、B是直线与曲线的交点，P、A、B三点在直线上)特别提醒：直线的参数方程中，参数f 的系数的平方和为1 时，f 才有几何意义且其几何意义为：M是直线上任一点(x，y)到M(X o，y。)的距离，即=直线与圆锥曲线相交，交点对应的参数分别为乙，t2,则弦长/=也一修；2.解题思路：第一步：曲线化成普通方程，直线化成参数方程；第二步：将直线的参数方程代入曲线的普通方程，整理成关于，的一元二次方程：+初+。=o ；b c第三步：韦达定理：4+=-，t，2 =一，a a第四步：选择公式代入计算.2 3.已知/(x)=|o r-l|(a e R),g(x)=l_(.当 a =l时，解关于x的不等式/(x)W g(x)；若的解集为R,求。的取值范围.【答案】。1；-U L【解析】【分 析】将 问 题 转 化 为|%-1区 1-凶，然 后 采 用“零 点 分 段 法”分别考虑x 0,0 l 时不等式的解集，由此求解出结果；(2)将问题转化为“/(X)的图象恒在g(x)图象的上方”，然后根据。的正负结合图象分析出。满足的不等式，由此求解出。的取值范围.【详解】(1)当a =l时，/(为 4 8。)等价于打一1区 1国，x 0 0 x 1则 1 或 1 或，1 x 1+x l-x 1 x x-1 1 X工=0 或 0 4 1 或无解，综上，原不等式的解集为 0,1；当 a =0 时，/(x)=|a x-l|=l,因为国20,所以1 2 1-国恒成立，即/(x)N g(x)恒成立，所以。=0 满足/(x)N g(x)解集为R；而 g（x）=i-国=0 x+1,1 0 时,/(x)=|o x-l|=ax-,x al-ax,x a当Q V 0 时,/(x)=|t u-l|=ax-,x 一aa当a 0 时，图象如下图所示:综上可得：a的取值范围是-1 .【点睛】关键点点睛：解答本题第二问的关键在于采用数形结合以及分类讨论的思想将不等式问题转化为函数图象的位置关系，利用图象直观分析出所需满足的条件并完成求解.