吉林省通化市2023年高考数学一模试卷含解析.pdf

2023年高考数学模拟试卷注意事项：1.答题前，考生先将自己的姓名、准考证号码填写清楚，将条形码准确粘贴在条形码区域内。2.答题时请按要求用笔。3.请按照题号顺序在答题卡各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试卷上答题无效。4.作图可先使用铅笔画出，确定后必须用黑色字迹的签字笔描黑。5.保持卡面清洁，不要折暴、不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.已知随机变量X服从正态分布N（1,4）,P（X 2）=0.3,P（X 0）的图象向右平移工个单位得到函数y=g（x）的图象，并且函数g（x）在区间 工,1 上12 6 3T T T C单调递增，在区间,务 上单调递减，则实数。的 值 为（）7 3 5A.一 B.-C.2 D.-4 2 43.是函数=1川 在 区 间（0,1w）内单调递增”的（）A.充分不必要条件 B.必要不充分条件C.充分必要条件 D.既不充分也不必要条件x+2y24.已知实数x,y满足约束条件 y-尤kx5 7A.1 B,-C.2 D.-3 35.已知正四棱锥S-A B C D的侧棱长与底面边长都相等，E是S 3的中点，则AE,SD所成的角的余弦值为（）6.下列不等式成立的是（）AH B.c.iog.iiog.i D.7.一个几何体的三视图及尺寸如下图所示，其中正视图是直角三角形，侧视图是半圆，俯视图是等腰三角形，该几何体 的 表 面 积 是（）1 0.已知圆锥的高为3,底面半径为G，若该圆锥的顶点与底面的圆周都在同一个球面上，则这个球的体积与圆锥的1 4 V2正视图 O,y O,-g 0 g 的最小正周期是不，且当x=工时，f(x)2 2 J 6取得最大值2.(1)求“X)的解析式；(2)作出“X)在 0,句上的图象(要列表).2 1.(1 2 分)已知函数 f(x)=xlnx.(1)若函数g(x)=L,求g(x)的极值；X X(2)证明：f(x)+lex-x2.(参考数据：In2 2 0.69 ln3 1.1 0%4.48 7.39)1 1X=I t（n2 2 x=1 +cos 022.（10分）在平面直角坐标系xOy中，已知直线/的参数方程为、（/为参数）和曲线C：.（。1 y=s m 0y=t il 2为参数），以坐标原点。为极点，x轴的非负半轴为极轴建立极坐标系.（1）求直线/和曲线C的极坐标方程；7T 5 V（2）在极坐标系中，已知点M是射线4:6=a 0,-）与直线I的公共点，点N是4与曲线C的公共点,求台招2|O M|的最大值.参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1.B【解析】利用正态分布密度曲线的对称性可得出P（x 2）,进而可得出结果.【详解】X N（l,4）,所以，P（X 2）=0.3.故选：B.【点睛】本题考查利用正态分布密度曲线的对称性求概率，属于基础题.2.C【解析】由函数/（x）=sinyx（。0）的图象向右平移专个单位得到g（x）=s i n c =sin（cox-）,函数g（x）在）1）1 11区间上单调递增，在 区 间-_ o 3 J|_ 3712上单调递减，可得x=W时，g（x）取得最大值，即（0,当人=（）时，解得。=2,故选C.点睛：本题主要考查了三角函数图象的平移变换和性质的灵活运用，属于基础题；据平移变换“左加右减，上加下减”的规律求解出g(x),根据函数g(x)在 区 间 上 单 调 递 增，在 区 间 上 单 调 递 减 可 得x=时，g(x)取得最大值，求解可得实数0的值.3.C【解析】/(x)=|(ar-l)x|=|ar2-x|,令口？_=0,解得西=0,x2【考点定位】考查充分条件和必要条件的概念，以及函数图像的画法.4.B【解析】画出约束条件的可行域，利用目标函数的几何意义，求出最优解，转化求解Z即可.【详解】(2 2、(4 2 攵 一1、可行域如图中阴影部分所示，B+1 ,。丁 二,丁 二，要使得z能取到最大值，贝(I左 1,当1%2 k-l k-)2攵 +1 2k+lJ时，X在 点8处取得最大值，即22+1）=2,得%=；;当 2时，z在 点C处取得最大值，即2岛卜岗卜2,得弓（舍 去）.故选:B.【点 睛】本题考查由目标函数最值求解参数值,数形结合思想，分类讨论是解题的关键,属于中档题.5.C【解 析】试题分析：设A C、3。的 交 点 为。，连 接E。，则N A E O为AE,SO所成的角或其补角；设正四棱锥的棱长为。，则=所以 cos/AE。2 2 24 6+。川 绅2AE-OA吟故c为正确答案.2 x（*a）.q a）考 点：异面直线所成的角.6.D【解 析】根据指数函数、对数函数、塞函数的单调性和正余弦函数的图象可确定各个选项的正误.【详 解】对 于A,（）2，.1 si n，l,log11 =log32 1 0 3,c错 误；对于O,.=)在 R上单调递增，；.()；)3,0正确.故选：D.【点睛】本题考查根据初等函数的单调性比较大小的问题；关键是熟练掌握正余弦函数图象、指数函数、对数函数和幕函数的单调性.7.D【解析】由三视图可知该几何体的直观图是轴截面在水平面上的半个圆锥，表面积为 4 ,4 V2 H H 7 T ,2 ,6 =8/2 +8 万，故选 D.2 2 28.D【解析】由题可得函数/(x)的定义域为x|x H 1,因为f(-x)=l n|F l=-l n|p M|=-f(x),所以函数f(x)为奇函数，排除选项B；1+x 1-XX/(l.D=ln2 1 l,/(3)=ln2 0)通过导数判断函数值域求出方程有一个不是1 的解时t应满足的条件.x I 2 x I 2【详解】由题意知函数/(X)的定义域为(0,+?),r(x)-94-t(x+2)(X-1)(X+2)X2X2X e-1x+2 )因为“X)恰有两个极值点，所以/0),则，(x)x+2(x+l)ev(X+2)20,所 以 函 数g(x)在(0,+?)上单调递增，从 而g(x)g =；,且g(i)=.所 以，当，5且，声3时,/(x)=?-4 l n x+x +j恰有两个极值点，即 实 数1的取值范围是,.(e)U 鼻,+8 .IJ 71 e2,3故选：C【点 睛】本题考查利用导数研究函数的单调性与极值，函数与方程的应用，属于中档题.10.B【解 析】计 算 求 半 径 为/?=2,再计算球体积和圆锥体积，计算得到答案.【详 解】如图所示：设 球 半 径 为R,则7?2=(3-/?)2+6=解 得 火=2.4 1 3 2 1 厂2 V 3 2故求体积 为：V=-7 r R3=7r9圆锥的体积：匕=万G x3 =3 ,故 于=不 .3 3 3 匕 9故选：B.【点 睛】本题考查了圆锥，球 体 积，圆锥的外接球问题，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.11.B【解 析】根据菱形中的边角关系，利用余弦定理和数量积公式，即可求出结果.【详 解】如图所示，A,_口菱 形 形A B C D的 边 长 为2,Z A B C =60,二 N C =1 2 0 ,B O?=2?+2?2 x 2 x 2 x cos 1 2 0 0 =1 2 ,A B D=2/3 ,且ZB )C=3 0 ,工 B b C D=B bxC bxcos302y/3x2x =6,2故 选B.【点 睛】本题主要考查了平面向量的数量积和余弦定理的应用问题，属于基础题.1 2.C【解 析】利用等差数列的性质化简已知条件，求得见的值.【详 解】由于等差数列,满足=4+3,所 以6+生+4 +4 =4+3,+2+3=3,3 2=3,a2=1.故选：C【点 睛】本小题主要考查等差数列的性质，属于基础题.二、填空题：本 题 共4小 题，每 小 题5分，共2 0分。1 3.7【解 析】先 求 出 向 量 时 和4 4夹角的余弦值，再由公式即得.【详 解】如图，过 点 作A 7 4的平行线交。A,于点8,那 么 向 量 值 和 有 夹 角 为Z B A 4,/。4 4=90，NA 34 =9 0 ,N4 04 =N%4,。4=4 4=1,且 。4人是直角三角形，=正，同理得OA b V6,OA j=5/7，二 co s(A 4,4 4)=s i n 2 46Az0 =.4 4 =1 x故答案为：叵7【点睛】本题主要考查平面向量数量积，解题关键是找到向量4 4和 瓶 的夹角.1 4.9【解析】根据集合交集的定义即得.【详解】.集合A =1,4,3 =。一5,7 ,A nB=4 .a 5 =4,则a的值是9.故答案为：9【点睛】本题考查集合的交集，是基础题.I1 5 .-4【解析】取 基 向 量 而，A B，然后根据三点共线以及向量加减法运算法则将屁，前表示为基向量后再相乘可得.【详解】如图：DCB_ _ _ ,1 ,1 .1 1 .AF=AAD+(1 A)AC f 又 AE=-AD-lAO=-A D AC,2 2 2 4且存在实数f使 得 而 一 通，.2AD+(l-A)AC=-tAD+-tA C,.?1 ./.AF=-AD +-AC,3 3W =AF-AE=-AD+AC,6 12/.BE.EF=(AE-ABEF=(AD+DE-AB).EF=(AD+-DB-ABX-AD+AC)=(A D+-A B-AD-AB X-A D +AC)4 4 6 123 3 1 1 .=(-AD-AB)(AD+AB)4 4 4 12=3而2 _ L通 旗.而16 16 8=-x4-x4 x 2x2x 16 16 8 21=4故答案为：.4【点睛】本题考查了平面向量数量积的性质及其运算，属中档题.1 6.巫4【解析】利用正切的和角公式求得tan ZACB,再求得cos Z4C 8,利用余弦定理求得A3,代入“三斜求积术”公式即可求得答案.【详解】tan ZACB=tan(ZACT+N8C0=.3+，an C D=岳,所以 cos/AC8=，由余弦定理可知1 -tan ZACD tan ZBCD 4AB2AC2+BC2-2AC BCCOSZACB=6 得 AB=4.根据“三斜求积术”可得2片42X22-442+2232党所以废半【点睛】本题考查正切的和角公式,同角三角函数的基本关系式，余弦定理的应用,考查学生分析问题的能力和计算整理能力，难度较易.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17.(1)B=-(2)BD=M3【解析】(1)根据共线得到(2a-c)cosB=b co sC,利用正弦定理化简得到答案.(2)根据余弦定理得到c=9,cosC=赤，再利用余弦定理计算得到答案.【详解】(1)C中，由余弦定理得:BD2=CB2+DC2-2C fi)CcosC=9+7-2 x 3 x V 7 x =19,2V7：BD=M【点睛】本题考查了向量共线，正弦定理，余弦定理，意在考查学生的综合应用能力.18.(1)见解析；(2)空7【解析】(1)由平面A6C。，平面PAD的性质定理得4 5,平面Q4Z),.A8J_P.在中，由勾股定理得P_LAP,，尸。！.平面Q 4 6,即可得产。，依；(2)以P为坐标原点建立空间直角坐标系，由空间向量法和异面直线8M与CE所 成 角 的 余 弦 值 为 巫，得点M的5坐标，从 而 求 出 二 面 角A6-尸的余弦值.【详解】(1)1平面ABCD_L平面尸AD，平面ABCDpI平面PAD=A)，B A D =90，所以4?_LAD.由面面垂直的性质定理得4 8,平面PAO，.A5，P，在AR4D中，-：A P =-A D,N4)P=3 0，由正弦定理可得：2sinZA)P=-sinZAP),2ZAPD=90 即 P D L A P,;.P D 工平面 PAB,；.P D L P B.i、(2)以P为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系，则C 3，5，1，E ,0,0,设 则 8M 一。1,Q 1在=(o,_g,_卜 cosBM,C得，V；.=隹/一/3x-2y-z=0 人 一 ,令x=2,z=0_ _ in n 2 277C O S T?/,7?,I./,恻同币 7 I N Z；3 5干 B M C E _ 2_40 _ VW 网西陵一 3a+2下5V 2,而 通=(0,0,1),设平面A8M的法向量为。=(x,y,z),由而可得:则万=(2,后0),取平面Q4B的法向量沅=(1,0,0),则故二面角M-A B-P的余弦值为迎.7【点睛】本题考查了线线垂直的证明，考查二面角的余弦值的求法，解题时要注意空间思维能力的培养和向量法的合理运用，属于中档题.TT1 9.(1)-3(2)百【解析】(1)利用余弦定理可求co s C,从而得到C的值.(2)利用诱导公式和正弦定理化简题设中的边角关系可得=4 a,得到值后利用面积公式可求SB C.【详解】(1)由=。2 _ 时,得/+/一。2=血所以由余弦定理，得co s C =+-c =L2ab 2又因为C e(O,)，所以C =(.(2)由4cco s(A+a)+bs i n C =0,得Tcs i n A+Z?s i n C =0.由正弦定理，得4c、a=0 c,因为c wO,所以=4a.又因。=1,所以b=4.所以 AAB C 的面积 S=a/?s i n C =x 1 x 4x =5/3 .2 2 2【点睛】在解三角形中，如果题设条件是关于边的二次形式，我们可以利用余弦定理化简该条件，如果题设条件是关于边的齐次式或是关于内角正弦的齐次式，那么我们可以利用正弦定理化简该条件，如果题设条件是边和角的混合关系式，那么我们也可把这种关系式转化为角的关系式或边的关系式.2 0.(1)/(x)=2 s i n(2 x +j ；(2)见解析.【解析】(1)根据函数y =/(x)的最小正周期可求出。的值，由该函数的最大值可得出A的值，再 由/菅)=2,结合。的取值范围可求得。的值，由此可得出函数y =/(x)的解析式;(2)由x O,可计算出2 x +工的取值范围，据此列表、描点、连线可得出函数y =/(x)在区间(),句上的图象.6【详解】(1)因为函数)，=/(x)的最小正周期是万，所以。=2.冗又因为当x =时，函数y =/(x)取得最大值2,所以A=2,6同时2 x 2 +0 =2攵 乃 +工(G Z),得0 =+e Z),6 2 6因为-g C 1 1 1一 乙【点睛】本题考查正弦函数解析式的求解，同时也考查了利用五点作图法作图，考查分析问题与解决问题的能力，属于中等题.21.(1)见解析；(1)见证明【解析】(1)求出函数的导数，解关于导函数的不等式，求出函数的单调区间，从而求出函数的极值即可；(1)问题转化为证e-xlnx-1 0,根据xlnxWx(x-1),问题转化为只需证明当x 0时，e-lx1+x-10恒成立，令k(x)=e x-lx 4 x-l,(x 0),根据函数的单调性证明即可.【详解】(1)g(x)=-=-(x 0),g，(x)=,当xe(O,e2),g(x)0,x X X X r当xe(e2,+8),g x)0,;.g(x)在(0*2)上递增，在 什 上 递 减，；.g(x)在尤=e?取得极大值，极大值为 无 极 大 值.e(1)要证 f(x)+l0先证明 InxSx-L 取 h(x)=ln x-x+l,则 h，(x)=士 兰，x易知h(x)在(0,1)递增，在(1,+oo)递减，故 h(x)h(1)=0,即 InxSx-L 当且仅当 x=l 时取“=”，故 xlnxex-lx4x-1,故只需证明当x 0时，e*-lx1+x-10恒成立，令 k(x)=ex-lx+x-1,(x 0),贝!I k，(x)=e-4x+l,令 F(x)=k(x),则 F (x)=ex-4,令 F (x)=0,解得：x=llnl,VF,(x)递增，故 xG(0,Hnl时，F(x)0,F(x)递增，即 k(x)递增，S.kf(llnl)=5-81nl 0,k(1)=e1-8+l0,由零点存在定理，可知mxiG(0,llnl),3xiG(llnl,1),使得 k，(x。=k(xi)=0,故 0 xi 时，k，(x)0,k(x)递增，当 xixVxi 时，kf(x)0,故x 0时，k(x)0,原不等式成立.【点睛】本题考查了函数的单调性，极值问题，考查导数的应用以及不等式的证明，考查转化思想，属于中档题.2 2.p s i n(e+w)=，P=2 co s。；(。/卜”=2ypi+2【解析】(1)先将直线/和圆C的参数方程化成普通方程，再分别求出极坐标方程；(2)写出点用和点N的极坐标，根据极径的定义分别表示出|0 N|和|0 M|,利 用 三 角 函 数 的 性 质 求 出 黑 的 最 大值.【详解】解：(1)/:x +y =g,x?co s 6+Qs i n e=；,即极坐标方程为 s i n(8+7)=等，C:(JC-1)2+/=1,极坐标方程夕=2 co s 6.(2)由题可知.“2 、，N(2 co s a,a)M(-,a)s i n a+co s aI O N|_ pN _ 2 co s a丽Z=2s i n a+co s a=4 co s a(s i n a+co s a)=2 s i n 2a+2(co s 2 a+1)=2 /2 s i n(2 a+)+2,4 当a戈 时，瑞2a +2.【点睛】本题考查了参数方程、普通方程和极坐标方程的互化问题，极径的定义，以及三角函数的恒等变换，属于中档题.