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初中数学竞赛辅导讲义(初三)第 一 讲 分 式 的 运 算 知识点击1、分部分式：真分式化为另几个真分式的和，一般先将分母分解因式，后用待定系数法进行。2、综合除法：多项式除以多项式可类似于是有理数的除法运算，可列竖式来进行。3、分式运算：实质就是分式的通分与约分。例题选讲例 1.化简 +T+-!-+3/+2 无 +5/+6 x+7x+12解：原式=-!-+-!-+-!-(x+l)(x+2)(x+2)(x+3)(x+3)(x+4)=-1-1-+1-1-1+-1-x+l x+2 x+2 x+3 x+3 x+43(尤+1)(尢 +4)“I,x+y-z x-y 4-z-x+y+z 八 -_u(x+y)(y-z)(z+x).例 2.已知 一-=-=-，旦 xyzW O,求分式-的值。xyzzXyx+y=kz()x+y x+z解：易知：.-z y若 k=2 则原式=k3=8上 上=k 则xx+z =kyQ)y+z =kx(3)(1)+(2)+(3)得：(k-2)(x+y+z)=O k=2 或 x+y+z=O若 x+y+z=O,则原式=k3=-19XY例 3.设 丁 =1,X 一 I X+1解：显然X WO,由已知三 二 匚=1 ,则 X+L =m +1X X=(m +1)2-2-m 2=2 m -1 原式二-2m例 4.已知多项式3 x+ax2 +3 x+1能被x?+l整除，求 a 的值。求4?2 1x-mx+1的值。x4-m2x2+1x2x 2+-m 2=(x+)2-2 -m 2x x解:3x+aX2+1)3/+.+3X+13x,+0+3十ar2+1Q K 2 +4l-a1-a=0 a=1例5：设n为正整数，求证-+-+.+-0,b 0),贝lj-a-b,口*皿 i r ab be 1 ca 1 皿 abc4、已知a、b、c是有理数，且-=-,-二一，-二 一，则-二a+b 3 b+c 4 c+a 5 ab+be+ca5、若 _ =2 0 0 6,则 r+xy+y=_。x y 2 x+6 0 1 9 xy-2 y6、实数a、b满足ab=l,设A=+一，B=q+1,则A、B的关系1 +。1 +/7 1 +a 1 +/?为。7 当a、b、c为何值时，多项式x4-3 x+3 x2+ax=/?能被除数尤2-3 x+2整除？8、计算i 2007 1 20072007-_V 2007 _j_y20079、已知x+x 3(广-3 x+2)(x 3)AX-lB C-+-X-2 X-3求A、B、C的值。10、若对于 3以外的一切实数X,等 式 上 一 一二 一x+3 x-3心 Q b c e a+b-c11、已 知 一 二 二-,则-=_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _b c a a-b+c 7-均成立，则mn二X2-9第二讲分式方程及应用 知识点击1、解分式方程的基本思路是去分母化分式方程为整式方程；2、解分式的方程的常用方法有：换元法、整体法、通分法等；3、分式方程广泛应用于生活实际中，要注意未知数的值既要是原方程的根，又要与实际意义相符。例题选讲例1.2解方程组9p +y+=18x-y1066y-x分析：令x+y1=n，则+5n=189/72+1077=661cx-m=6 I 2可得：6 易求：1n=-y=-I 5 I 3例2.解 方 程 4 一 卫 二=三兰一把二22x 2 x 1 x 6 x 7解：原方程可化为-二-x 2 x 1 x 7 x 6两边分别通分:-1-1(%2)(x-l)(x 7)(x 6),易求：x=4例3.当m 为何值时，关于x 的 方 程 丁 一=一 一-七1 的解为正数？-x 2,x+1 x 21 7 7 7解：解方程可得：X=-需2x)0 x W 1可得m V l 且x W 2例4.设库池中有待处理的污水a 吨，从城区流入库池的污水按每小时b 吨的固定流量增加，若同时开动2 台机组需30小时处理完污水，同时启动4 台机组需10小时处理完污水，若要求在5 小时内将污水处理完毕，那么至少要同时开动多少台机组？解：设 1 台机组每小时处理污水y 吨，要在5 小时内处理完污水，至少同时开动x 台机组，则:Q +30 =2x 30y r.a=30y a+5b +10Z?=4xl0v 可 得 X2-=7b-y 5 ya+5b 5xy例5.求证对任意自然数n,有1H d +.4 7 V222 32 n2证明：当n=l时，1 l 时，n(n-1)X)；.m=l2 0 0 72方程可化为(2 0 0 6 X-1 )(X-1)=O12006x2=1 V X i x22006n-m12006T=一20052006 点评归纳1、有的方程某部分重复出现，或经过变形后产生重复出现的式子，可通过换元使方程简化而便于求解。2、含有两个无理根式且可化为一元二次方程的方程，若两个无理式的有理化因式与它的乘积等于一个常数，这时通常可用平方差公式构造两个无理式的和与它们的差，从而加减消去一个根式，可使方程简化并求解。3、一元一次方程的根是满足方程的未知数的值，由此得到的等式是许多代数式求值的依据，要灵活运用。巩固练习2 31、解方程：2x2+-3X-=x X2、解方程:X-7 X-5-+=J x 3+2 J x 4+13、解方程：X2-|2X-1|-4=4 三个二次方程 a x2+b x+c=O,b x2+c x +a =0,c x2+a x +b=0有公共根，求证a +b +c=05、已知 a、b、c 均为实数，且满足 J q?2 a +l+|b+1 1+(c+2)2=0试求方程a x2+c *-1)=0 的解6、求证方程(a-b)x2+(b -c )x +c -a =0 (a W b)有一个根为 1。7 设方程 x?+p x+q=的两根为 Xi、X2,且 h=x i +X2 I2=x；+x；.In=x：+X：则当 n 2 3 时，求 In+PIn T+q In-2+的值。8、证明：不论x为何实数，多项式2-4 X2-1 的值总大于父-2 乂 2-4 的值。9、已知 a2-4a+b2-?+包=o,则 22-4痣=2 16-10、已知m、口为有理数，方程xmx+n=0 有一个根为豆-2,求 m+n的值。11、已知m2=m+5,n 2=n+5,m W n,求m+n 的值.12、二次方程 a(x+1)(x+2)+b(x+2)(x+3)+c(x+3)(x+1)=13 解关于 x 的 方 程(m-1)x2+2mx+m+3=0第四讲 根的判别式及根与系数的关系 知识点击1、设一元二次方程 ax?+bx+c=0(aW O)的两根为 无、X2,则 ax?+bx+c=a(X-Xi)(X-XJ=ax2-a (Xi+X2)X+aX%h r.x,+X2=-X,X2=-这两个式子即为一元二次方程a a根与系数的关系。要注意，方程有两个实数根是两根关系式存在的前提，即通常要考虑a W0、()这两个前提条件。2、一元二次方程根的判别式源自求根公式，常记作=b 2-4 a c,使用的前提是方程为一元二次方程，即二次项系数a#0,它是解决一元二次方程整数解的工具。3、使用根的判别式及根与系数的关系时，常常涉及到完全平方数、整数性质、因式分解、因数分解等重要知识与方法。例题选讲例 1：已知一直角三角形三边分别为a、b、c,Z B=9 0 ,那么关于X 的方程a (X2-l)-2 C X+b (X2+l)=0 的根的情况如何？解：方程整理为:(a+b)X2-2 C X+b-a=0=4 (C2+a2-b2)Z B=9 0 Z.C2+a2=b2V A=O ,原方程有两个相等实根例 2：求所有正实数a,使得方程x 2-a X+4 a=0 仅有正整数根。x +y=a解：设方程的两个正整数根为X,y (X W y)则 7xy=4。Xy-4 (x +y)=0 (x -4)(y -4)=1 6x -4 =4y -4 =4x-4 =2v -4 =8x-4 =1y-4 =1 6这时 x=y=8 a=x +y =1 6这时 a=x +y=1 8l y =1 2这 时 厂=5 a=X+y =2 5y =2 0例 3：已知1 2 V m 6 0,且一元二次方程X?-2 (m+1)x2=0,两个整数根，求整数m,并求这两个整数根。：X=m+l J2?+1 为整数，2 m+l 必为完全平方数V 1 2 m 6 0,.,.2 5 2 m+l 1 2 1 ；2 m+l 为奇数，2 m+l=4 9 或 2 m+l=8 1则 m i=2 4 时,XF32,XZ=18m 2=4 0 时，Xi=5 0,X2=3 2例 4：设 a、b、c是互不相等的非零实数，求证三个方程，a X2+2 b x+c=0 b X2+2 c x+a=0C x 2+2 a x+b=0 不可能都有两个相等的实数根。证明(一)：假设三个方程都有两个相等的实数根。A,=4从-4 a c =(XD0+中 至 少 有 一 个 大 于 0即至少有一个方程有两个不相等的实数根。例 5：已知a、夕是方程X 2-7X+8=O的两根，且 a/不解方程，利用根与系数的关系求W +3/2 的值。a2分析：由a+B=7 2 =8直接求一2+3 B?的值无法下手，这时，我们常用对偶式2=+3 a 来构造和差求解：&+=7 2/?=8a p:.a(a+7?)-2t t /?=7-2x 8=3 3(a-)2=(a +)-4 e r =72-4 x 8=17又,：a 0 a-P-Vn2 2令 M=+3 ；构造M的对偶式N=+3 a 2a p2 2 3，M+N=(+)+3(a2+B2)=100-a B 4M-N=(-)+3(/r-a2)=-遗如a B 4c 7 3 4 03-85 V17(+)+2 得 M=-8 点评归纳1 运用一元二次方程根的判别式时，常与配方法结合使用，这时应考虑非负数的性质。4、运用根与系数的关系求整数解时，因式分解法及分离整数法是求不定方程整数解的常用方法。5、利用对偶式构造和差法是代数式求值时重要的变形技巧，应灵活运用。巩固练习1、方程x 2+PX+q=0的两个根都是正整数，且 P+q=19 9 6,试问方程较大根与较小根之比为多少？2、已知一元二次方程a X?+bx+c=O(a c 7 O)有两个异号实根m和 n ,且那么二次方程C X2+(m-n )ax-a=O的根的情 况 是()A、没有实根 B、两根同正 C、两根同负 D、两根异号3、关于X的二次方程2 x 2-5 X-a=0的两根之比，X,.X2=2:3贝！I X.-X 2 =_4、若方程X2-4(m-l)X+3m2-2 m+4K=0,对于任意有理数m都有有理根，求实数K的值。5、求方程x+y=X2 x y+y 2+1 的实数解。6、若对于任何实数a,关于X的方程，X?-2ax-a+2b=0都有实根则实数b 的取值范围是()7、若m是不为0 的整数，当二次方程mX?-(m-l)X+l=0有有理根时，则m=()8、方程|X2-5X|=a 有且只有相异二实根，求 a 的取值范围9、关于X的方程aX?+2(a-3)x+(a-2)至少有一个整数解且a 是整数，求 a 的值。10、已知无、X?是关于X的方程4 X2-(3m-5)x-6m?=0 的两个实根，且|五|=试求m的值.x2 211、设方程4X2-2X-3=0的两个根为m、n,求 4m?+2 n 的值.12、若 a、b、c 都是实数，且 a+b+c=0,abc=l 则a、b、3c 中必有一个大于一.213、设 a2+2aT=0 b-2b2T=0 且 ab?则(+b +1)2007=a14、已知 a、b 为整数，a b,方程 3 X +3 (a+b)X+4 a b=0 的两根 a、0 满足关系式 a (4 Z+1)+/?(/?+l)=(a+l)(+1),试求所有的整数对(a、b)15、关于X的方程，X2+(a-6)X+a=0 的两根均为整数，求 a.16、已知X i、X z 是方程4 ax 2-4 ax+a+4=0的两个实根(1)是否能适当选取a 的值，使 是(X 2X z)(X r f X D 的值为？42 2(2)求使”+=的 值 为 整 数 的 整 数 a 的值.%!X217、求证：对于任意一矩形A,总存在矩形B,使得矩形A和矩形B的周长之比和面积之比都等于常数K (其中K 21)第五讲：一元二次方程的应用 知识点击1、一元二次方程的应用问题，诸如：数字问题、面积问题、增长率问题、方案设计问题等，综合运用一元二次方程的有关知识，是各类考试与竞赛的重要考点，须认真领会。2、形如A X?+B x y+c y 2+D X+E y+F 的各项式叫做关于X、y的二元二次多项式，常见的分解方法有双十字相乘法、待定前数法、公式法等。公式法是先将原式整理成关于X (或 y)的二次三项式，再运用求根公式。3、非一次不定方程主要掌握两种情况：二次三项式左边分解成两个因式的乘积，右边分解因数求整数解；分式不定方程，采用整数离析法求整数解。4、可化为一元二次方程的分式方程要注意方程的特点进行有效的变形，像 X+L =a+，这类特殊类型的方程，显然a声 1 时，X尸x aa 与 Xz=L 就是它的两个根。无理方程通过配方、换元、分解转化为有理方程来解。a 例题选讲例 1：m 为何值时，二次三项式x、2x-2+m(x 2-2x+l)是完全平方式？解：原 式=(m+1)X2+2(1-m)x +(m 2)令=(),即 4(l-m)2-4(m+1 )(m 2)解得m=3例 2：分解因式 X?+x y-2y 2-x +7 y-6解：V X2+x y-2y2=(x -y )(x +2y)设 原 式=(x y +m)(x +2 y+n )=X2+x y-2y 2=(m+n )x +m +m=-1比较对应项系数12z =7inn=-6(2 m n)y +m nm 2*m=3/.原式=(x y +2)(x +2 y 3)例 3：在矩形地AB C D 中央修建一矩形E F G H 花圃，使其面积为这块地面积的一半，且花圃四周的道路宽相等，今无测量工具,只有无刻度的足够长的绳子一条，如何量出道路的宽度？解：设道路宽 X,AB=a ,AD=b,(a b ),则(a -2X)(b -2X)=a b ,8 x2-4(a +b )x +a b=O2解得 x =(a +b )da?+4若 x=!(a +b )+da?+b2 ,则 x (b +b +V2 b )4 4 2这不可能，舍去这个根。则 x =(a +b )J a?+/?，4量法是：用绳量出AB+B C （即 a +b 之长），从中减法B D （即“J+及 即将剩下的绳长对折两次即得到道路宽度X。r 1 丫 +7 7 7例 4：m 为何值时，关于X 的分式方程+”+2=0只有一个根？x+1 x-m解：原方程整理为2x?-(1-m)x =0(1)当二(b m)2=0时，m=l,方程有两个等根x =0 经验符合题意in(2)当m#l时,XLO X2=-有一个为增根2代入公分母(X+l)(X-m)中可得m=0 式m=-l所以m 二 T 或m=0 或m=1 时，原方程只有一个实根。例 5：解 方 程 丘=127-也解：令y=F则y=2-7-yy2-7 y +12=0 y i=3 y?=4代 入 y=我 得:Xi=8 1 x 2=256例 6：孙表示一个十位数字为X,个位数字为y的两位整数，且 I y 满足条件X2-y 2=5X,则此两位整数是多少？解：由 X?-y 2=5X 得 y 2=x (x-5)x、y 均为整数，5 x 9经验证，只有当x =5 时，y =0,两位数为50 x=9 时，y =6,两位数为9 6例 7：方程X?+PX+q=0的两根均为正整数，且 p +q=28,求方程的两根。解：设 X 2+PX+q =0 的两根为 x i,x z.则 x 1 +x 2=-P x 1 +x 2=q代入 P+q =28 中（x】-1）（X 2-1）=29%）-1 =1x2 1=29%）=2x2=30由 R t A B D O R t A B E O n Z 0 B D=ZOB=OB同理 N O C E=N O C F=y 2 X+2 y+Z A=1 8 0 x+y例 2、四边形A B (1)内接于。0,A C 1 B D,垂是为片B A D:B C D=3:1 D F 交 A C 于点 G,且 A F i B=A G A E,B E=2,E D=3(1 )求证A F G Z Z D F B(2 )求四边形A B C D 的面积。解(1)A F A B=A G A EGAG _ AFn ABAEZBAE=GAF=AFG AEBNAEB=90n ZAFG=90BAD:BCD=3:1 n ABAD=45=AF=DFZAFG=900=Z1+NBAD=90AC rBD=Z2+ZDGE=90”ZAGF=ZDGE=Z1=Z2ZAFG=NDEB0 A F G 丝D F B (A S A)(2)N 1 =N 2 =N 2 =ZBDC DR L CG!=APGE=XDCEZ 1 =NBDCJ DE=DECE=EG设 CE=a,，5(5 X 1+2)3 5=a(a+5)=2X3 n a=1=s=-=2 2例 3、等腰AABC中，AB=AC,BC=4,内切圆半径为1,求腰长解：设 AB、AC、BC分别切00于 F、E、D连 OF、AD 令 AF=XVAB=AC ABF=BD=-BC=22RtAOF 中，A 0=&+iRtZABD 中，AB2=AD2+BD2 即(x+2)、T P 工 T+1)2+2?4 4 1 0解得 x=,A B=AO+2 二 一3 3 3例 4：O O i 与。0?相交于 A、B 两点，0,A=3 7 5 0 2 A=5C0SZA0I02=2 7 5求 S i n N B A O?的值。解：A B 1 0,02 0,C=0,A C O S Z A 0 02=345A C=yjO2A2-OtC=3 =A B -6延长 A O?交 O O?于 D,A D=1 0,A B=6=B 8 4S i n Z B A 0 2=1 0 5例 5：PA、PB 分别切。0 于 A、B 两 点,PC 满足 AB PB-AC-PC=AB PC-AC-PB且 APJ_PC,/PAB=2/BPC 求/ACB解：AB PB-AC PC=AB PC-AC-PB=PB=PC=PAn A、B、C三点共。P 令 N P A B=a，则NAPB=2 a.N 8PC =9 0-2 a,i ono _ 2aZPAB=180-4 a 又 PA=PB ZAPB=2a ZPAB=-=90-a2=180-4 a =90-a n a =30例 6、AB为。0 直径，PB切。0 于点B、PA交。0 于点C,/A PB 的平分线分别交BC、AB于点D、E,交。0 于点F,ZA=60,线段 AE、BD的长是一元二次方程X2-KX+2后=0(K为常数)的两个根。B(1)求证 PA BD=PB AE(2 )求证0 0 的直径为常数K /_A(3 )求 t an/F P A证：(1)易证P A ES P B D 从而 P A B D=P B A E(2)易证N B E D=N B D E 则 B D=B E 又 A E+B D=KD (3)Z A=6 0 A B X P B 则 B P=AA k则 A E+B E=A B=K2 2皿二如二-H ill AF二-REBE BP Q 人 J 6 DEA E+B E=KB E+B E=K则2BE 6 K r-t an Z F P A=t an Z E P B=产=2-j3BP 2+V3 点评归纳1、弦心距和半径是圆中常用的辅助线，因为应用垂径定理和直角三角形的知识在解决弦的有关问题时常常用到。2、三角函数值在圆中的计算常常用到，这时我们通常需要构造直角三角形或用直角三角形中与之相等的角替换，使已知的三角函数值可用或可求。3、有公共端点的几条线段相等时，常构造圆使问题迎刃而解。巩固练习1、以线段AB为直径的一个半圆，圆心为0,C 是半圆周上一点，且 OCAOBC,则 NCAB=2、。的半径0A=6cm,点 C 是弦AB上一点，0CL0A且0C=BC 当 A B 的长.3、平面上不共线的四点，可以确 个圆。/1 /4、已知 ABC=-Z A B C,则 ABC=25、三角形一边为2,这边上的中线为1,另两边之和为1+8，这个三角形面积为6、0 0半径为R,C、D是直径AB同侧圆周上两点，屋 的 度 数 为96,曲 的 度 数 为36,动点P在AB上运动，则CP+PD的最小值为7、A、B、C 为。0 上的三点，若/AB0=50,则 NBCA=第7题第8题8、ZABC内接于。0,NA=30,BC=4百，则。0的直径为9、AB是。的直径，半径OC1.AB,弦CE交AB于D,求证：A B2=2 C D C E1 0、A B 为半圆的直径，A D A B,点 C为半圆上一点,C D A D,若 C D=2,A D=3,求 A B 的长。1 1、A B 切。于 D,A 0 延长线交。于 C,B C切。0 于 C,若 A D：A B=1:2 则 A 0:0 C=1 2、半圆0的直径在梯形A B C D 的底边A B 上，且其余三连B C、C D、D A 部分。0相切，若B C=2,D A=3,则 A B=1 3、0 0 1 0 B,。与 B 0 相切于E,与 A B 内切于F,与以0 A 为直径的半圆外切于点G,若 0 A=a,求。D的半径。14、己知a、b为两个不等圆的半径(a b ),C是两圆的圆心距，若两圆内含，则关于x的方程K W aX+b C (b+a)的根的情况为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _15、。0中，半 径r=5cm,AB、CD是两条平行弦，且AB=8cm,CD=6cm求AC的长。16、设A B、A2B2、A3B3是。0中处于圆心同侧的三条平行弦,且A B与A迪的距离等于A2B2与A 3于的距离,三条弦的长度分别为20、16、8,求这个圆的半径。17、平面内有任三点不共线的2007个点，那么是否可作出一个圆，使得圆内、圆外分别有1003个点，还有一个点在圆上？第七讲圆中的有关计算 知识点击1、圆中有关线段的计算主要依据是：垂径定理，勾股定理。2、圆中有关角度的计算主要借助圆心角、圆周角的关系，常常还利用相似三角形及三角函数来帮忙。2 2n k 加.13、圆弧长，扇形4、不规则图形的面积的求解关键是设法将它分解为可求图形面积的和差问题。例题选讲例1.正a A B C 的边长为4,、A D 是。0的直径，求阴影部分的面积。解:连 D E、E F、O F,易求 E F=A E=A F=3,A D=2，LAO=OD=V3,S 弓形 AE=S 弓形 ED FS 阴二S4ABC-SAAEF+S 弓形 AF=439J3 +（S 扇形 A O F-S A A O F）4例 2、A B 是。0 的直径,C D 切。于 M,B C _ L C D,A D _ L C D 交。0于 E,半径为1 c m,Z A=6 0 ,求阴影部分的面积。分析：连 O E、O M、B E,作 E F _ L A B 于 F。(1 )先求A A O E 的面积，S A A O E=o A*E F=1 12 4(2 )再求扇形OBME的 面 积，S 崩)g(3 )后求梯形B C D A 的面积：S 梯形B C D A=5 1 2 2 2=OM BE=J2(4 )可求：S 用=S w，-S -c mJ121H360 3例 3、四边形 A B C D 中，A B=A C=A D=a,D C=b,A D B C,求 B D解：以A为圆心，a为半径作。A延长 D A 交。A 于 E,连 B E,Z D B E=9 0 由 B C E D 有 口=C/CD=BE=bR tZ E B D 中，BD=ED?-BE?=一例 4：正方形A B C D 中，以A为圆心，边长为半径的圆孤B D,半径为r的。与 A B、A D、B D,切于F、G、E,求 C E 的长.解：连接 A C、O F,设 C E=X B C=a则 0 A=a r ,A C =a +xOAACOFBC则a r _ ra+x aa(a-2r)A F2=A H *A E A H=a 2 r r2=a(a -2 r)q(a-2r)_ r2例 5、四边形A B C D 外接圆0,半径为2,对角线A C 与 B D 的交点求四边形A B C D 的面积.解：连 A 0 交 B D 于 H,A B2=2 A E2=A E A CAD Ap即：一=又N E A B=N B A CAC AB为 E,A E=E C,A B=V2 A E,B D=2 7 3 ,ABE MCB n ZABE=ZACBZACB=Z.ADB=ZABDBH=HD=OB=2点 评 归 纳=ZADB=AB=AD n OH=1 =AH=1 =V31为AC中 点=S ABCD=SB D二 S 四 边 形 A B C D =2 SAAB D 2 5/31、圆中的有关计算一般要结合使用相似三角形、勾股定理、全等三角形、垂径定理等，需仔细分析，选取合适的途径。2、不规则图形的面积转化为规则图形面积的求解割补方法很多，需根据题设具体确定，有时还需借助平移、旋转、翻折去处理。巩固练习1、半。0半径为r；C O L A B 于 0,A B 为。的直径，。0 1 的圆心在0 C 上，且。切 A B 于 0,0 0 1=-r,。2 /(-0与0 0 砂卜切，与。0内切，又切A B 于 D,求。的周长。2、C为半圆。0直径A B 上一点，分别以A C、C B 为直径(!画半圆。0 1、02,C D L A B 于 D,求证：图中阴影部分的 四面积等于以C D 为直径的圆的面积。3、菱形周长为2 0 c m,有一角为6 0 ,若以较长的对角线为轴把菱形旋转一周，4、在。0中引弦A B,以0 A 为直径作。交 A B 于 C求证：/弓形A M B 的面积与弓形A nc 的面积之比为4:1 1 (0 人5、已知R tZ A B C 三边长分别为a、b、c,N C=9 0 内切圆0i.求证：r =(a +b -c )1 Z A2M kB所成的旋转体的表面积为_ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _ _c m2半径为r,切斜边A B 于 Dii.求证：SA*r(a+b+c)2iii.求证：S 物=AD DB第6题6、在一块边 长 为40cm的正方形铁皮上裁下一块完整的扇形铁皮，使之恰好做成一个圆维模型，请设计三种不同的方案，并求出铁皮利用率最高时圆维模型的底面圆半径。7、若P为。0内一定点，过P作一弦A C,分别过A、C引圆的切线，再过P分别作两切线的垂线，垂足为Q、R,试说明：-+-为定值。PQ PR8、等边三角形边长为5,其外接圆为。0,对折使A落在A处，求折线在AABC内部的长度DE9、在一个半径为1cm的圆，在边长为6cm的正六边形内任意挪动，则圆在正六连形内不能达到的部分的面积为10、A是半径为1的。0外一点，OA=2,AB是。0的切 CrfTTTvF线，B是切点，弦BCO A,连接A C,求阴影部分面积。oA第八讲 全等三角形 知识点击1、全等三角形是特殊的相似三角形（相似比为1）,指能够完全重合的三角形。2、识别三角形全等的方法主要有S S S、S A S、A S A、A A S,对于直角三角形还有特定的识别法HL3、多边形问题往往转化为三角形问题求得，因此三角形全等的识别已成为解决数学问题基本工具。例题选评例 1：点 D 是a A B C 上一点，且 C D=A B,Z B D A=Z B A D,AA E 是a A B D 的中线，试证：A C=2 A E证明：延长A E 至使E F=A E,连 D F /ABC=A FDE=DF=AB1/AB=CD D F =DCFZEDF=ZBZADC=ZB+ZB AD nNADF=NBDA+NEDF4 D F =4 O CAD=ADn ADF 三 AADC=AC=AFb=AC=2AEA尸=2AE例 2：已知 B C A B,B D 平分N A B C,A D=D C,求证N A+N C=1 8 0 证明：在 B C 上截取B E=B A,连接D EBD=BA rN3=NAZ1=N2 n n ABED 三 ABAD n DEDCAD=DCn ZDEC=ZC-N3+NOEC=180,n/A +NC=180NA=N3例 3、Z A B C 中，Z A=9 0 ,A B=A C,D 为 B C 的中点，P 为B C 上一点，P E A B,P F 1 A C,求证 D E=D F 且 D E _ L D F。分析：连 A D,要证A D B E 名A D A F 即可先证A E A D 四F C D例 4、给定正方形A B C D,在边A B 及对角线A C 上分别取点 P 和 Q,使得 A P：P B=3:2,A Q：Q C=4:1,求P Q D 各内角。解：把正方形A B C D 分割成2 5 全相等的小正方4形，设正方形A B C D 连长为a,D E=Q F=a5E Q=P F=a N D E Q=/Q F P=9 0 5R t A D E Q R t A Q F P 贝 lj D Q=P QZ D Q P=1 8 0 -(Z D Q E+Z P Q F)=1 8 0 -9 0 =9 0 Z P=Z P D Q=4 5 点评归纳1、通过连接、延长、作垂线、作平行线等常规添辅助线的方法，构造全等三角形。2、分析法：要证证个三角形全等，已具备哪些条件，尚缺什么条件，缺少的条件，放置在另一对一角形中，是否有条件证这一对三角形全等,从而使第一次证全等为第二次证全等准备条件，这是多次证全等解题时的思考习惯。3、图形变换的主要方式：平移、旋转、翻折。其具体表现有倍长、中线，截长补短等，其目的主要使分散的条件或研究对象集中起来。巩固练习1、边长为1 的正方形A B C D 的边A B、A D 上各有一点 P、Q,且A A r%的周长为2,求N P C Q 的度数。2、正方形A B C D 的 C D 边上一点P,使 A P=P C+C B。M 为 C D 的中点，求证NB A P=2NMA D。第 1 题3、4A B C 中，Z A C B=9 0,A C=B C,B D 平分/A B C交 A C 于 D,A E_ L B D 交 B D 延长线于E,试证B D=A E。4、A、B两点坐标分别为(X,0),(X20)其中兄、X z 是方程X、2X+m-3=0的两根，且X1VOVX2(1)求m的取值范围。第 2 题(2)设点C在 y 轴正半轴上，Z A C B=9 0,Z C A B=30,求 M 的值(3)在上述条件下，若点D在第二象限，4D A B 4 C B A,求直线A D 的解析式5、正方形A B C D,点 P 距 D I O c m,向A直线前进到达点A后，左拐9 0继续直线前进，走同样的长度后到R,我们称点P完成了一次关于点A的左转弯运动，接着从R出发关于点B作左转弯运动到达,然后依次关于C、D、A、B 连续作左转弯运动，试问：作 2007 次左转弯运动后，到达点Q,则 Q 距出发点P有多少厘米。6、四边形A B C D 中，A D B C,E 为 C D 上一点,A E、B E分别为/B A D,N A B C 的平分线，求证：A D+B C=A B7、A A B C 中，Z C=2Z A,A C=2B C,求N B。8、A D 为a A B C 的角平分线，A B A C,求证N C B D,求证NA D B /A D C10、4A B C 中，M 为 B C 的中点，A N 平分NB A C,B NA N若 A B=14,A C=19,求 MN。11、Z X A B C 中，Z A C B=9 0,A C=B C,D、E 是A B 上两点，A D=2,B E=3 Z D C E=45,求 D E 的长。第 9题第 10题第十二讲数学基本思想方法 知识点击1、常见的数学思想有:2、基本的数学方法有:分类思想、整体思想、数形结合思想、转化与化归思想、代换思想、方程思想、函数思想等。等积法、构造法、换元法、截长补短法、倍长中线法、待定系数法、配方法、特殊化法、参数法等。例题选讲例 1 （整体思想）大矩形被分割成四个小矩形，其中三个小矩形面积如图中数据的示，求第四个小矩形的面积。解：设 A E、D E、D H、H C 长分别为线X、y、m、n有 x m=10 x n=6 n y=12,三式相乘（x n）：m y=7 207 20m y=2 0 即第四个小矩形面积为2036例 2（代换思想）计算19 9 9 +9 9 9 x 9 9 9 个 个 个解：9 9 -9 =a,则原式=10n+a+a 2=a（a+D+10=a X 10n+10=10n(a+l)=102n例 3（分类思想）由等腰a A B C 的点A引B C 边的高A D 恰解:分B C 为底边和腰两种情况分别求解（1）当 B C 为底边时,A B=A C B D=D C=A D易求 NB=Z C=45 则 NB A C=9 0A G B10612D H好等于B C 的一半，求NB A C。(2)当 B C 为腰时，又有a A B C 为锐角、钝角、直角、三角形三类4 A B C 为锐角三角形时，B C=B A A D=-A B2i o n o _ 30。Z B=30 则 Z B A C=-=7 52 A B C 为钝角三角形时，B C=B A,A D=-B C=-A B2 2有NA B D=3O 则NA B C=150,那么 N BAC=二 空=152A A B C 为直角三角形，不合题意。综上所述，NB A C 为 9 0、7 5、15例 4(数形结合)计算，11111 1 1+-+-+-+-+-2 4 8 16 32 64 128 256解：直接通分将非常困难，构造面积为1 的正方形,使问题迎刃而解（如图所示）1 255原式=1-=-256 256例 5 （函数思想）已知方程（X-2）（X-3）=1,不解方程证明该方程总有两个不相等的实数根,且一根大于3,另一根小于2。证明：设丫=(X-2)(2-3)-1y=X2-5 X+5=(X-)2-2 4该抛物线开口向上，对称轴X=W,顶 点（9,-9）在第四象限，草图如右，显然它与X 轴总有两个交点，即方程（X-2）（2-3）2 2 4T总有两个不相等实根同时 X=3 时，y=-l 0 X=2 时，y=-l 解方程,x-xz yz 3y 2y+xy+y z-z2=218、方程X?+(m-2)X+2m-1=0两根中一根在0 和 1 之间另一根在1 和 2 之间，求m 的范围。19、图中三角形有_ _ _ _ _ _ _ _ _个。K/W20、化简J(2 x+1/+J(2X-1)2+|3-X|21、已知方程|X|=ax+l有一个负根而且没有正根，那 a 的取值范围是()A、a -l B、a=l C、al D、无法确定22、解 方 程 X2-|2X-l|-4=0 23、求代数式2-=的最小值V r2x+624、已 知 a x 二b y c z +=1x y z求证：ax2+by2+cz2=a+V c25、实数 a、b、c 满足（a +c）（a +b +c求证（b -c ）24a （a +b +c ）已知 p2-P l=0,1-q-q2=0 且 P q*l,则 凶+1 =()qA、-1 B、1 C、2 D、-2三、解答题13 解方程：4 x 4-y/x+1+2ylx2+lx =35-2x问如何安排生产方案，才能使产值最高？最高产值为多少千元?家电名称空调彩电冰箱14、某家电生产企业准备每周（按 120个工时计算）工时_J_生产空调、彩电、冰箱共360台，且冰箱至少生产2346 0 台，已知生产这些家电产品每台所需工时和每台产 值（千432产值如右表