大学物理课后习题答案.pdf
习题解答6-2 一个运动质点的位移与时间的关系为-01+今其中x的单位是m,，的单位是s。试求：(1)周期、角频率、频率、振幅和初相位；(2)r =2 s时质点的位移、速度和加速度。解(1)将位移与时间的关系与简谐振动的般形式相比较，可以得到54T 5 .14-IQ J 一 角频率 2 s，频率 4，周期，5,振 幅X-O1*,初相位 3.(2)f =2 s时质点的位移 -Q leo+?f=2s时质点的速度-JJOxIO,02Sfa(r+今-李 ，T-0Mr =2 s时质点的加速度A j -a-4-y -4rx ,3 16-3 一个质量为2.5 k g 的物体系于水平放置的轻弹簧的一端，弹簧的另一端被固定。若弹簧受10 N 的拉力，其伸长量为5.0 c m,求物体的振动周期。解根据已知条件可以求得弹筮的劲度系数,P 10J C 一 -rx s u x ir1于是，振动系统的角频率为 昭 乎 晅a i P.g j nd.r1所以，物体的振动周期为r-7D xW-1s.6-4 求图6-5所示振动装黄的振动频率，已知物体的质量为机，两个轻弹簧的劲度系数分别为自和 左 2。解 以平衡位置。为坐标原点，建立如图6-5所示的坐标系。若物体向右移动了则它所受的力为改写为A所以O图6-6弹簧2伸长了电，并有F物体所受的力为6-5求图6-6所示振动装置的振动频率，已知物体的质量为加，两个轻弹簧的劲度系数分别为左和“2。解 以平衡位置。为坐标原点，建立如图6-6所示的坐标系。当物体由原点0向右移动x时，弹簧1伸长了 修,式中上是两个弹簧串联后的劲度系数。由上式可得于是，物体所受的力可另写为由上式可得I I.I*能所以装置的振动角频率为装置的振动频率为6-6仿照式(6-15)的推导过程，导出在单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。解 由教材中的例题6-3,单摆的角位移。与时间/的关系可以写为0-久 cos(01+夕)，单摆系统的机械能包括两部分，一部分是小物体运动的动能 卜-的2 -切另一部分是系统的势能，即单摆与地球所组成的系统的重力势能.6 产-卜04*0A*+.单摆系统的总能量等于其动能和势能之和，即卜产 48+同*4 N(+川7因为 ,所以上式可以化为目暧卜于是就得到4吗.,十7。由此可以求得单摆系统中物体的速度为这就是题目所要求推导的单摆系统中物体的速度与角位移的关系式。6-7与轻弹簧的一端相接的小球沿x轴作简谐振动，振幅为A,位移与时间的关系可以用余弦函数表示。若在，=0时，小球的运动状态分别为(1)x =-A：(2)过平衡位置，向x轴正方向运动；(3)过处，向x轴负方向运动；(4)过x二处，向x轴正方向运动。试确定上述各状态的初相位。解(1)将f=0和x=-A代入x-得-X-Aeoa根据以及可以得到00由上两式可以解得(3)由 2 和 v 0 可以得到A.彳-A c o a.-“曲”0 可以得到-“dnmO由上两式可以解得6-8 长度为/的弹簧，上端被固定，下端挂重物后长度变为/+s,并仍在弹性限度之内。若将重物向上托起，使弹簧缩回到原来的长度，然后放手，重物将作上卜运动。(1)证明重物的运动是简谐振动;(2)求此简谐振动的振幅、角频率和频率：(3)若从放手时开始计时，求此振动的位移与时间的关系(向下为正)。解(1)以悬挂了重物后的平衡位置0 为坐标原点，建立如图6-7所示的坐标系。因为当重物处于坐标原点。时重力与弹力相平衡，即g-Jb 0$.(1)当重物向下移动X 时，弹簧的形变量为(s+x),物体的运动方程可以写为将式(1)代入上式，得士即重物的运动满足这样的微分方程式，所以必定是简谐振动。令,(3)方程式(2)的解为X-003 力.(4)振幅可以根据初始条件求得：当=0 时，XO=-S,vo=O,于是角频率和频率可以根据式(3)求得：6台堂监喘第(3)位移与时间的关系：由 三,二，*以及当f=0 时，x()=-s,vo=O,根据式(4),可以得到a一0由以上两式可解得故有1 sco4,所以合振动与不同相位。于是，在上面的结果中，合振动得初相位只能取知今即4 扣-令6-15有两个在同一直线上的简谐振动：马-05*.%和，皿m,试问：(1)它们合振动的振幅和初相位各为多大？(2)若另有一简谐振动em,分别与上两个振动叠加，夕为何值时，加+制 的振幅为最大？为何值时，X2+X3的振幅为最小？解(1)合振动的振幅为a-J彳+彳+24。0 4,所以合振动X应与如同相位，故取一 彳 当,质“a i z T时，合振 动马十4的振幅为最大，所以这时合振动的振幅为?(Ay 1115409)0on-当 吐 内-0 +1 5-。1&4时，合 振 动5+句的振幅为最小，所以 _ _ _ _ _ 3K”一p(2n+Qii+,-彳N Q,U2#-这时合振动的振幅为4,/-可001 m6-16在同一直线上的两个同频率的简谐振动的振幅分别为0.04 m和0.03 m,当它们的合振动振幅为0.06 m时，两个分振动的相位差为多大？解合振动的振幅平方可以表示为/才+4+2-X.所以A X F 4 2 6-17 一个质量为5.00 k g的物体悬挂在弹簧下端让它在竖直方向上自由振动。在无阻尼的情况 二 1L 下，其振动周期为 3；在阻尼振动的情况下，其振动周期为 2 o求阻力系数。解无阻尼时有阻尼时一3.400 2，根据关系式解出厂,得 J d-d r1将万代入卜式就可求得阻力系数A M-QXMXIOQ 3 Tl-447 kg-s-16-21某一声波在空气中的波长为0.30 m,波速为340 m s-。当它进入第二种介质后，波长变为0.81 m。求它在第：种介质中的波速。解由于波速、波长4和波的频率0.间存在下面的关系u 当声波从一种介质进入另一种介质时，频率不会改变，所以于是可以求得声波在第二种介质中的波速，为,普(MOx蛰 B -U x lO36-22在同一种介质中传播着两列不同频率的简谐波，它们的波长是否可能相等？为什么？如果这两列波分别在两种介质中传播，它们的波长是否可能相等？为什么？解 根 据 书 中160页波在介质中的传播速率的表达式(6-50)至(6-52),可以看到，波的传播速率是由介质自身的特性所决定。所以，两列不同频率的简谐波在同一种介质中，是以相同的速率传播的。故有可见，频率不同的两列波，其波长不可能相同。当这两列不同频率的波在不同的介质中传播时，上面的关系式不成立。只要两种介质中的波速之比等于它们的频率之比，两列波的波长才会相等。6-23已知平面简谐波的角频率为。=15.2xio2rads1 振幅为4=1.25、10/111,波长为4=1.10m,求波速“，并写出此波的波函数。解波的频率为.HE=2CHZ2x114波速为u-.一所以波函数可以写为7 -Xc -3 +川-12S xl0colS 2xlfl6-24 一平面简谐波沿x轴的负方向行进，其振幅为1.00 cm,频率为550 H z,波速为330 m sT,求波长，并写出此波的波函数。解波长为/空 卫.皿 !m 550波函数为y-加+$+编-UOOxUO-4E lU 0 x lo +粉+同 m6-25在平面简谐波传播的波线上有相距3.5 c m的A、B两点,8点的相位比A点落后45。己知波速为15 cmfT,试求波的频率和波长。解 设4和B两点的坐标分别为汨和曲，这样两点的相位差可以表示为“左4-*。即 A由上式可以求得波长，为/-d l S x U T1 m波的频率为丘 当mr1 Hx6-2 7 波源作简谐振动，位移与时间的关系为y =(4.0 0 x l(r 3)c o s 2 4 0 1 n m,它所激发的波以3 0.0m s-1的速率沿一直线传播。求波的周期和波长，并写出波函数。解设波函数为已知44D0X10T m H-3OD r,根据这些数据可以分别求得波的周期和波长。波的频率为Z*-130 出2*波的周期和波长分别为r-3 3 x W 8 8于是，波函数可以表示为6-2 9 沿绳子行进的横波波函数为J n l O E0 0 1-2 1n,式中长度的单位是cm,时间的单位是S。试求：(1)波的振幅、频率、传播速率和波长；(2)绳上某质点的最大横向振动速率。解波函数可写为y -.A ofcr-其中(1)由已知条件可以得到X-10 D IJOXLQT BLu-i4 2 0 a-r1绳上质点的横向速率为哈附所以 30 x CBL,&3*IQ T 6-30证明公式丑*1*。解根据“施*-2”和 A,所以可以将波速的表达式作如下的演化.2K“k 2x Jt故有6-31T一 T-r用横波的波动方程*r*f和纵波的波动方程0t 证明横波的波速和纵波的波速分别为艮 6解将平面简谐波波函数f -Aco4t-5分别对X 和，求二阶偏导数:弯-Ao Z-5一，3一 -独 -同.(2)将以上两式同时代入纵波波动方程 即教材中第167页式(6-6 2),得T 3Z F所以将式(1)和式(2)同时代入横波波动方程 即教材中第169页式(6-6 4),得a 3Z F所以6-3 2 在某温度下测得水中的声速为1.4 6 x l()3 m.s T,求水的体变模量。解已知水中的声速为=1.4 6 x 1 0,m sl水的密度为,将这些数据代入下式就可以求得水的体变模量，得B.丑-213x10 Pa6-3 3 频率为3 0 0 H z、波速为3 3 0 n r s-的平面简谐声波在直径为1 6.0 c m 的管道中传播，能流密度为 l O O x l O-V s-L m”。求：(1)平均能量密度；(2)最大能量密度；(3)两相邻同相位波面之间的总能量。解(1)平均能量密度：根据p.ir-vtf将已知量J-mDxMT3 和-330 一代入上式，就可以求得平均能量密度,得方 2 3 j x irs J-IB-8u(2)最大能量密度Wma”W-2V-CDS XI0-4 J-nr1(3)两相邻同相位波面之间的总能量W：将已知量 UO mS*-2JDlxU)T J代入下式得IF-frA-tfTOxio-7 J6-34 P和。是两个以相同相位、相同频率和相同振幅在振动并处于同介质中的相干波源，其频 率 为 小 波 长 为P和。相距3力2。R为尸、。连线延长线上的任意一点，试求：,(1)自产发出的波在R点引起的振动与自。发出?5 的波在R点引起的振动的相位差；图 6-1 0(2)R点的合振动的振幅。解(1)建立如图6-1 0所示的坐标系，P、。和R的坐标分别为修、X2和X,尸和。的振动分别为1n l.4y和P点和Q点在R点引起的振动分别为M 和 两者在R点的相位差为-M r-X|)*r tT S-)+#-C*a-xD i U tt2K,、23.d0 J&T。-7*/-3l两者在R点的相位差也可以写为”“r-+司-1W-；3+.-动可见，尸点和。点在K点引起的振动相位是相反的，相位差为人4外。(2)R点的合振动的振幅为可见，R点是静止不动的。实际上，由于在Ap的上述表达式中不含x,所以在x轴上、。点右侧的各点都是静止不动的。6-35弦线上的驻波相邻波节的距离为65 c m,弦的振动频率为2.3X1()2H Z,求波的传播速率M和波长九解因为相邻波节的距离为半波长，所以A2 xfUS 5 L3 BL波速为u-AF-3J0XU J36-36在某一参考系中，波源和观察者都是静止的，但传播波的介质相对于参考系是运动的。假设发生了多普勒效应，问接收到的波长和频率如何变化？解在这种情况下，接收到的频率为l i t.同时，因为所以”即没有多普勒效应。6-37火车汽笛的频率为心 当火车以速率丫通过车站上的静止观察者身边时，观察者所接收到的笛声频率的变化为多大？已知声速为人解火车远去时，观察者所接收到的笛声频率为火车迎面驶来时，观察者所接收到的笛声频率为If-，,观察者所接收到的笛声频率的变化为A 八号-4然
