广州市2022年高三一模考试数学试题及答案.pdf

广州市2022年高三一模考试数学试题本试卷满分150分，考试用时120分钟.一、选择题：本题共8 小题，每小题5 分，共 40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.1.已知集合 4 =62卜1工1,B =x|0 x +8 时，-7T0,故exe；y=x2增长的速率比y=ev增长的速率慢，/(x)一 上 0,e即图像在无轴上方无限接近于x轴正半轴，与题意不符，故排除C.综上，D选项正确.故选：D.7.设抛物线E：V=8x的焦点为凡 过点加(4,0)的直线与E相交于A,8两点，与E的准线相交于s点C,点B在线段A C上，|6口 =3,则 B C F与AACE的面积之比1（）3 A A er1-6c二4A.1-B.51-D.7【7题答案】【答案】C【解析】【分析】根据抛物线焦半径公式得到8点横坐标，进而利用抛物线方程求出8点纵坐标，直线A 8的方程，求出C点坐标，联立直线与抛物线，求出A点纵坐标，利用S苫 Rge?=BC=y2-yc求出答案.SaACF A C 弘一汽【详解】如图，过点8作8。垂直准线x=-2于点O,则由抛物线定义可知：|8尸|=|8。|=3,设直线 A B为x=y+4,A（x，yJ,3（电,%），C（-2,yc）,不妨设机 0,则 x 0,为 +4 =2,解得：%=T血，则。卜2,70），联立 x=my+4 与=8得：y1-8w 1-3 2 =0.则%=-3 2,其中 S&B C F _ BC _%一_ 2&_ j _SAACF A C y,-yc 12 亚 6所以X=8 0,8.若正实数a,6满足a b,且l nan人0,则下列不等式一定成立 的 是（）A.l ogaZ?b-C.2ofe+l 2a+bh aD.ab-0得到a 。1或0 人a Z?0,y=l nx为单调递增函数，故l na l nZ?,由于l na-l n/?0 ,故l na l nZ?0,或 In h In a l nh 0时，a h ,此时a-b-(a-b Y I0，a-b-,b a)V ab)b aa+l-(。+6)=(。-1乂6-1)0,2ofr+1 2+；当l nb l na 0时，0 c A e a 0,a-b=故Jb aa Z?+l-(a+Z?)=(a-l)(/?-l)0,2ab+2a+b；故A B C均错误:D选项，ab-两边取自然对数，(8一l)l na (a -l)l n人，因为不管还是八 -f /,八 八 Ina InZ?Ina l n 口 广 一0 b a。，所以 ,故只需证 0且工工1),则广(,=j n 尤 x，令g(x)=l-Inx(x。且(IF*x o l),则g，(x)=e _：=当尤w(O,l)时,g (x)0,当XG(1,+。)时,g (x)0,所以g(x)g =0,所 以/(x)0且X H 1上恒成立，故/(勾=电 (x 0且X/1)单调递减，因为。人，所 以 巫 =c o s(而，而7 =c o s,即可求M坐标，进而确定线段长；C、D将长方体补为以4为棱长的正方体，根据描述找到对应的直线八平面夕，结合正方体性质求线面角、面面角的正弦值.【详解】A：如下图，直线A Q与直线 8 所成角，即为直线A G与 直 线A B所成角Z B A G，则t a n (p=t a n Z B A C,正确；A B 2B：构建如下图示的坐标系，过A的直线/与长方体所有棱所成的角相等，与面B C G片交于加(2,2)且 0,又 猛=(0,0,3),通=(0,2,0),亚=(4,0,0),则c o s =.=r =c o s =.=&+4 +Z2 VX2+4+Z2c o s =.X 9,故 X=z =2,则 A M =2 百，错误.yJx+4+zC：如下图，过4的直线机与长方体所有面所成的角都为仇则直线机为以4为棱长的正方体的体对角线A M，故sin e =3,正确;3D：如下图，过A的平面夕与长方体所有面所成的二面角都为，只需面 与以4为棱长的正方体中相邻的三条棱顶点所在平面平行，如面即 尸，故c o s=9型-=,则sin =如，正确.3 3故选：AC D【点睛】关健点点睛：根据长方体或将其补全为正方体，结合各选项线线角、线面角相等判断直线或B.l n ()+l 0D.rv(pn)2夕(2 )【1 2题答案】【答案】B C【解析】【分析】分析题意发现。()是一个等比数列，按照等比数列性质逐一验证即可，其 中B选项是化简成一个等差数列进行判断,C D两个选项需要利用数列的单调性进行判断，尤其是D选项，需要构造新数列，利用做差法验证单调性.【详 解】由题可知=1,夕=g；=2,(2)=2 x x g,n=3，e =22x x x；n-4,p(4)=231111X X X-X,3 3 3 3由此可知,即一个等比数歹必7A：研)2 3=A错误;3 2B：ln (n)+l =ln -11|(,2-2、“+l =ln 2 -ln 2 +l，因为I n2 v O,所以该数列为递减数列,233 32又因为当”=1时，ln ln 2 +l=ln 3 +l 0,所以1叫0()+1 2 2 x 1 1 22、2,两 边 约 去 得 到1+(25、272信134 13 4当=1时，1 +,原式成立;9 9 3当2时，12停）恒成立，所以1+停）2停）成立,即夕（“）+夕（3）20（2）成立，C正确;D：令左（）=刎），再令攵(+1)一%()=(+1)2 (7?+1)-n2(n)=(n+l)2；2I|(+l)2-n22-n2+4 +2)，2令 2+4 +2=0解得4=2+后,玛=2-遥（舍），因为eN*，所以取4 0；“2 5时 (+1)%()左（8）,即/夕 2,O P =3&4，所以，面 ABC 与球面所成弧是以A为圆心，2为半径的四分之一圆弧，故弧长为7;Jr 4 7r面 BBC 与与球面所成弧是以P为圆心，4 为半径且圆心角为一的圆弧，故 弧 长 为 一；3 3r r T T面 P B A,P C 4 与球面所成弧是以尸为圆心，4为半径且圆心角为的圆弧，故弧长为一；1 2 34 4所以最长弧的弧长为一.34 4故答案为：.31 6.如图，在数轴上，一个质点在外力的作用下，从原点0出发，每次等可能地向左或向右移动一个单位，共移动6 次，则事件“质点位于-2的位置”的概率为._I_._ _ *_ _ _ _ a-1-a-6-5 -4 -3 -2 -1 0 1 2 3 4 5 6 x【1 6题答案】【答案】7764【解析】【分析】理解题意构建数学模型，利用排列组合进行解题.【详解】由图可知，若想通过6 次移动最终停在-2位置上，则必然需要向右移动2 次且向左移动4次,记向右移动一次为凡 向左移动一次为3则 该 题 可 转 化 为 六 个字母排序的问题，故落在-2 上的排法为二三=1 5所有移动结果的总数为2-6 4,所有落在-2 上的概率为P =-故答案为:1 564四、解答题：本题共6小题，共7 0分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.个数不在下表的同一列.1 7.在 等 比 数 列 4,中，4,。2，%分别是下表第 一，二，三行中的某一个数，且中的任何两第一列第二列第三列第一列323第二列465第三列91 28 写 出4，出，。3,并 求 数 列 4的通项公式；(2)若 数 列 满 足 =。“+(-1)叫2怎,求 数 列 的前项和S“.【1 7 1 8题答案】【答 案】(1)4=2 ,%=4 ,3=8,%=2 T,=,2川+四 一2,为偶数22川 _ 二 _9,“为 奇 数2 2【解 析】【分 析】(1)根据等比数列的定义和表格中数据的特点得到4 =2,%=4,%=8,进而求得通项公式；(2)由(1)知2=2 +(-1)，利用分组求和，含 有(-1)需 讨 论 为 偶 数 与 奇 数，然后按照等差数列求和.【小 问1详 解】根据等比数列的定义和表格中数据，得 到4 =2,%=4,%=8,即 数 列 4是 首 项 为2,公 比 为2的等比数列，故。“=2X2T=2.【小 问2详 解】因 为a=+(-1)lo g2 an=2n+(-ir io g2 2 =2 +(-l)nn当w为偶数时，5“=(2 1 2 2+2 )+-1 +2-3+4-(-I)+1-2 22+-22当为奇数时，S”=(2,+2?+.+2 )+-1 +2-3+4-+(-1)一 +-n 2+-n-2 2n+1-2 22n 5222m+4一2,为偶数2综上所述，(=1为奇数I 2 218.ABC的内角A,B,C的对边分别为，b,c,已知 ABC的面积为(g a 2-)sinC.(1)证明：sinA=2sin B；3、(2)若QCOSC=一，求cosA.2【18 19题答案】【答案】(1)证明见解析；(2)一4【解析】【分析】(1)根 据 三 角 形 面 积 公 式 及 三 角 形 内 角 性 质 可 得 再 由 正 弦 定 理 的 边 角 关 系2 2即可证结论.(2)由(1)及题设可得cosC=：e(，)，进而求得sinC=，应用余弦定理及正弦定理边角关系求sin B,即可求co sB,注意根据B的范围判断符号，最后利用cosA=-cos(B+C)及和角余弦公式求值即可.【小 问1详解】由题设，ga/?sinC=(g a 2-)s in C,又sinCwO,所以不。匕=7/一8,，由正弦定理可得sin Asin 8=sin?A 2sin2 B，2 2所以 sin B(sin A+sin B)=sin2 A-sin2 B=(sin A+sin B)(sin A-sin B),又 sin A+sin 5 w 0,所以sin3=sinA-sinB,即sinA=2sin3.【小问2详解】3由(1)及题设，sin AcosC=2sinBcosC=sinB,且sinB0,2所以 cost?=?,则?v C ,根据题设可得0 z,Q B,A C两两垂直，构建空间直角坐标系，令A D =2 B E=2 a ,OB=c,OA=O C =b并确定点坐标，求面C D E、面A C D的法向量，应用空间向量夹角的坐标表示即可证结论.（2）根据已知体积，结合棱锥的体积公式求出A。,BE,进而求面A B E D的法向量、直线C E的方向向量，应用空间向量夹角的坐标表示求线面角的正弦值.【小 问1详解】若。是AC中点，连接0B,作O z/4）,由知：OBA.AC,因为 ADL 面 A B C,则 Oz,面 A B C,又 O 5,A C u 面 A 8 C,所以O z J,O B,O z l A C，综上，0 z,0 8,A C两两垂直，故可构建如下图示的空间直角坐标系。-孙z,D令 A D =2 BE=2 a,O B =c,OA=O C =b,则。(0,。,2 a),C(0,0),E(c,O,a),所 以 丽=(0,-2仇2 a),CE(c,-h,a),_ m-CD=-2 by+2 az =0若机=(尤,y,z)是面COE的一个法向量，即 _ _ ,令2 =方，贝i jm -CE-cx-by+az=0m =(Q,a,b),又I =(1,0,0)是面A C D的一个法向量，则碗.=0 ,所以面C D E J面A C ZX【小问2详解】由A D _L面A B C,A Z)u面A B E。，则面A B E。！面A B C,故C到面月B E D的距离，即为 A B C中A B上的高，3 +3-4 1 7 /?因为 A B =B C =6，A C =2,则 7=-,故 s in B =-,2 x,3 x j3 3 39r所以AB上的高/2 =B C-s in 3 =*.3又 A B i 面 A B C,则 而 AD BE,有 6E1AB，A D =2 B E，所以4 3 E O为直角梯形，令A D =2 B E=2 a,则5即0=(*3。乂6 =考 且，综上，VABCDF=：-2 =3 6 g=近a=叵,故 a=i./1 O V L J C t 3 3由(1)知：A(0,-l,0),D(0,-l,2),C(0,l,0),E(及,0,1),所 以 正=(0,0,2),诙=(亚,1,一 1),_l-AD=2 k=0若/二(加,九,左)是面A 8 E Z)的一个法向量，即_ _ _ _ _ l,令机=一1,则/-D E =yJ2 m+n-k=07=(-1,72,0),而 屋=（7 2,-1,1）,则|C O S H，竺|=-1 -=,|/|C E|V 3 x2 3所以直线C E与平面A B E。所成角的正弦值为述.32 0.人们用大数据来描述和定义信息时代产生的海量数据，并利用这些数据处理事务和做出决策，某公司通过大数据收集到该公司销售的某电子产品1月至5月的销售量如下表.月份X12345销售量y（万件）4.95.86.88.31 0.2该公司为了预测未来几个月的销售量，建立了 y关于龙的回归模型：y u x2+v.（1）根据所给数据与回归模型，求y关于x的回归方程（力的值精确到0.1）；（2）已知该公司的月利润z （单位：万元）与x,），的关系为z =2 4 6一3修，根 据（1）的结yJx果，问该公司哪一个月的月利润预报值最大？参考公式：对于一组数据（x，y）,（w，%），（%，%），其回归直线$=忘+&的斜率和截距的最小（西-可（弘-刃二乘估计公式分别为b=-,a=y-bx.（看一可2/=1 2 0-2 1题答案】【答案】（1）y=0.2/+5；（2）第9个月的月利润预报值最大【解析】【分析】（1）根据数据与回归方程的公式进行求解,；，得到回归方程；（2）结合第一问所求得到z关于x的函数，通过导函数求出单调区间，极值及最值，求出答案.【小 问1详解】令W =x 2,则卬=1 +4 +9 +1 6 +2 55=1 1，y 4.9 +5.8 +6.8 +8.3 +1 0.2 力-=/.2,5 吗 _.)(一)(叱-可1=1-1 0 x(-2.3)+(-7)x(-1.4)+(-2)x(-0.4)+5xl.1 +1 4 x3 _ 8 1.1 Q2(1-1 1)2+(4-1 1)2+(9-1 1)2+(1 6-1 1)2+(2 5-l l)2 3 7 4 ,=了_55=7.2-0.2*1 1 =5，所以y关于x的回归方程为y=0.2 +5；【小问2详解】由(1)知：y=0.2 x2+5,z =24G-容=24G _5(0咋5)+2J x 5/尤=244-与令3/i(x)=24A/X-3=*卡+羿2-3 f +2 4 x+2 72xyx-3(x-9)(x+l)z、-4-(x 0)2xy/x令(x)0得：0 x 9,令(x)9,令 (力=0得:%=9,所以力 =24G-一 子(x0)在尤=9处取得极大值，也是最大值，(月侬=7 2 2 7-9 =3 6所以第9个月的月利润预报值最大.2 1.在平面直角坐标系宜川中，己知点A(2,0),5(2,0),点M满足直线AM与 直 线 的 斜 率 之3积 为-士，点M的轨迹为曲线C.4(1)求C的方程；(2)已知点/(1,0),直线/:x =4与x轴交于点。，直线AM与/交于点M 是否存在常数人 使得ZM E D =4 N N E D?若存在，求7的值；若不存在，说明理由.【21 22题答案】2 2【答案】(1)+2 =1且。2；4 3(2)存在;1 =2,理由见解析.【解析】(分析。)利用斜率两点式,结合直线斜率之积为定值列方程，即可求M的轨迹为曲线C,注意x H 2.YI(2)设N(4,)、直线AM为y =-(x +2),联立曲线C,应用韦达定理求M坐标，进而应用表示t a nN M E D、t a n/V E D,结合二倍角正切公式判断t a nN M E D与t a n/V E D的数量关系，即可得解.【小 问1详解】设则则二上二：且工。1 2，x+2 x-2 4所以M的轨迹为曲线C方 程 为 三+汇=1且X H 2.4 3【小问2详解】n设N(4,)，则直线4M为 =：(x +2),联立曲线c得:n,一、y =：(x+2)6整理得：(2+27)X 2+4 2工 +4/-1 08 =0,4 2由题设知：2”一七5 4 -2/4+2 7故 =n 1 08-X-6 n2+271 8/2川+27又 t a n&尸 =,t a n ZNF D =-.XM-1 9-32 2 t a n ZNFD 3所以1-t a M/V E D，*1-9-7=t a n Z M F D9 一 2即 N M F D =2 4/FD,所以存在;1 =2,使.NMFD=2 NNFD.22.己知函数/(x)=e +s i nx c os x,/(x)为 f。)的导数.(1)证明：当兀0时，f(x)2；设g(x)=x)-2x-l,证明：g(x)有且仅有2个零点.22-23题答案】【答案】(1)证明过程见解析(2)证明过程见解析【解析】【分析】(1)令丸(x)=e*+c os x+s i nx,利用导数判断(x)的单调性，并求出其最小值即可证明;(2)由(1)可知，8(力 在 0,+。)上单调递增，利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，通过构造函数即可证明g(x)在(-0,0)上单调递减，同理利用零点存在性定理可证明在这个区间上有一个零点，即可得证.【小 问1详解】由 /r(x)=e +c os x +s i nx,设 (x)=e +c os x+s i n无，则(x)=e*s i nx+c os x ,当x0时，设(x)=e*-x-l,q(x)=x-s i n尤，(x)=e*1 NO,q (x)=1 c os x N O ,二p(x)和q(x)在 0,+8)上单调递增，A p(x)p(0)=0,q(x)2q(O)=O,当x i()时，er x+l,x s i nx,则/(x)=ev-s i n x+c os x 2 x +1 -s i n x+c os x=(x-s i nx)+(l+c os x)0,函数(x)=ev+cos x+sin x 在(),+8)上单调递增，./z(x)/z(O)=2,即当x 2 o时，r(%)2；【小问2详解】由己知得 g(x)=e*+sinx-cosx-2x-l,当xNO时，*/g(x)=e*+cosx+sinx-2=/(x)-2 N 0 ,，g(X)在 0,+向上单调递增，又：g(0)=_ 0,由零点存在性定理可知g(X)在 0,+。)上仅有一个零点，当x 0时，设、门 m(/x)x =-2-s-i-n-x-c-o-s-X-z(x 0八)、,则ml 加，(/x)、=-2i(_s i n x-l m(0)=1,ev+cosx+sinx-2 r.g(x)=e*+cosx+sinx-20,，g(X)在(-e,0)上单调递减，又：g(0)=-l0,由零点存在性定理可知g(X)在(-8,0)上仅有一个零点，综上所述，g(X)有且仅有2个零点.